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_lgebra_linear_resolu_o_de_sistema_linear (1)

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Álgebra Linear
Prof. Tércio Brum
 
Matriz Aumentada
• O termo matriz refere-
se a uma coleção 
retangular de 
números.
• Seja o sistema:
mnmn33m22m11m
2nn2323222121
1nn1313212111
bxaxaxaxa
 
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
=++++




 
Matriz Aumentada
• Pode-se resumir a escrita representado apenas a 
tabela retangular de números:








mmn2m1m
2n22221
1n11211
baaa
baaa
baaa




mnmn33m22m11m
2nn2323222121
1nn1313212111
bxaxaxaxa
 
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
=++++




 
Resolução de sistemas Lineares
1. Multiplicar uma linha inteira por uma 
constante não nula;
2. Trocar duas linhas entre si;
3. Somar uma constante vezes uma linha a 
outra.
 
Exemplo








−
−
0563
1342
9211
0z5y6x3
1z3y4x2
9z2yx
=−+
=−+
=++
(L2)’ = 2L1 + L2
 








−
−−
0563
17720
9211
(L3)’ = -3L1 + L3








−−
−−
271130
17720
9211
(L2)’’ = (L2)’/2
 
(L3)’’ = -3L2 + L3








−−
−−
2/32/100
2/172/710
9211










−−
−−
271130
2
17
2
710
9211
 
Resultado
• Poderíamos continuar, fazendo o mesmo 
procedimento, porém de baixo para cima.
• Conseguiremos chegar ao resultado por meio 
de “retro alimentação”
• Assim: x = 1; y = 2 e z = 3
 
Eliminação Gaussiana
3. Sistemas Lineares em três incógnitas








1000
0210
0001
0x + 0y +0 z = 1  Sistema Inconsistente








−
−
0000
2410
1301
0x + 0y +0 z = 0  Infinitas soluções
z42y
z31x
+=
−−=
a)
b)
 








−
−
0000
2410
1301
0x + 0y +0 z = 0  Infinitas soluções


+=
−−=
z42y
z31x
b)
z  Variável Livre; z = t



=
+=
−−=
tz
t42y
t31x
 







 −
0000
0000
4151
0x + 0y +0 z = 0  Infinitas soluções


−+=
=+−
zy54x
4zy5x
c)
y  Variável Livre; y = s
z  Variável Livre; z = t



=
=
−+=
tz
sy
ts54x
 
Procedimento de Eliminação








−−−
−
−
156542
281261042
1270200
L
L
L
3
2
1 1º - Permutar a 1ª Linha com a 
segunda para obter uma 
entrada não nula.








−−−
−
−
156542
1270200
281261042
Dividir a 1ª Linha por 2








−−−
−
−
156542
1270200
1463521
3
'
31 LLL.2 =+−
 








−−
−
−
29170500
1270200
1463521
2
'
2 LL.2
1
=−








−−
−
−
−
29170500
62
70100
1463521
3
''
3
'
2 LLL.5 =+−








−
−
−
12
10000
62
70100
1463521
3
''L2
Até aqui temos eliminação Gaussiana








−
−
−
210000
62
70100
1463521
 
Eliminação de Gauss – Jordam
(Cont.)








−
−
−
210000
62
70100
1463521
23 LL.2
7
+







 −
210000
100100
1463521
13 LL.6 +−







 −
210000
100100
703521
12 LL.5 +
 








210000
100100
703021
Eliminação de Gauss – Jordam
(Cont.)
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