11_SerieFourier

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Sinais e Sistemas 
Renato Dourado Maia 
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros 
Fundação Educacional Montes Claros 
Série de Fourier 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Convergência da FS 
 Um sinal periódico contínuo possui uma repre-
sentação em Série de Fourier se ele satisfaz às 
seguintes condições de Dirichlet: 
 
1. O sinal deve ser limitado. 
 
2. O sinal deve possuir um número finito de máximos e 
mínimos num período. 
 
3. O sinal deve possuir um número finito de descontinui-
dades num período. 
 
 
 
 
 
Essas condições garantem que o sinal é igual à sua 
representação em FS, exceto em valores isolados de 
tempo para os quais o sinal é descontínuo. 
31/10/2012 2/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Convergência da FS 
Violação da Primeira 
Condição de Dirichlet 
Violação da Segunda 
Condição de Dirichlet 
Violação da Terceira 
Condição de Dirichlet 
31/10/2012 3/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Convergência da FS 
 Na prática, o somatório é finito, ou seja, utiliza-
se a Série de Fourier Truncada, que contempla 
as N primeiras harmônicas: 
 
 
 
0( )
N
jk t
N k
k N
x t a e



 
Espera-se que a Série Truncada convirja para o sinal x quando N 
tende a infinito. Felizmente, não há problemas de convergência 
para uma grande quantidade de classes de sinais periódicos. 
Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização da 
Série Truncada de Fourier, apresentando os fasores para 
cada harmônica... 
31/10/2012 4/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo: Script em Matlab – M_11_SerieFourierProg1.m 
 
0
2
T



Frequência Fundamental? 
31/10/2012 5/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
0
0
0
0 0
0
0
0
0 00
0
0 0
0 0
2
2
0 0 0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
1 1 1
( )
2 ( ) 2 ( )2
2
( ) ( )
2
2 2
( )
2
2
2
2
2
T
T T
jk t jk t jk t
k
T T
T
jk T jk T
a x t e dt e dt e
T T Tjk
sen k T T sen k
T
Te e
Tk j Tk T k T
T
sen k T sen k
T T T T
sinc k
TT T T T
k T k
T
T T
  
 

 
  




  
 



  

  
  
 
( )
( )



sen u
sinc u
u
Função sinc 
31/10/2012 6/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
a k
k
T=16, T
o
=4
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
a k
k
T=16, T
o
=1
31/10/2012 7/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo – Aproximação do Sinal pela Série Truncada de Fourier 
 
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 0
(t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 1
(t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 3
(t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 5
(t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 7
(t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 9
(t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 1
1(
t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 1
3(
t)
-5 0 5
0
0.5
1
t
x 1
5(
t)
( ) ix t i é a quantidade de harmônicas utilizadas
CE6.m: arquivos do 
livro do Sinais e 
Sistemas Lineares, 
segunda edição 
31/10/2012 8/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Convergência da FS 
 Vimos que se espera que a Série Truncada com-
virja para o sinal x quando N tende a infinito. 
Será que isso acontece sempre? 
 
 Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui u-
ma representação em Série de Fourier se ele satisfaz 
às condições de Dirichlet, mas sabemos também que a 
aproximação não é perfeita em pontos de descontinui-
dade. Esse é o Fenômeno Gibbs... 
 
 
 
Vejamos uma outra animação em Java que ilustra a utilização 
da Série Truncada de Fourier e evidencia o Fenômeno Gibbs... 
31/10/2012 9/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Convergência da FS 
 Existem métodos para reduzir ou eliminar o e-
feito do Fenômeno Gibbs. Essencialmente, tais 
métodos são diferentes maneiras de modificar 
(ponderar) os coeficientes da FS truncada, e são 
conhecidos como métodos de janelamento. 
 
 Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização de 
janelamento para redução do efeito do Fenôneno Gibbs... 
31/10/2012 10/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
 Calcular a FS para o sinal apresentado a seguir: 
Exemplo 
 
( ) 2 (2 3) (6 )x t sen t sen t   
31/10/2012 11/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x(
t)
t
x(t)=2sin(2 t-3)+sin(6 t)
31/10/2012 12/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
( ) 2 (2 3) (6 )x t sen t sen t   
(2 3) (2 3) 6 6
(2 3) (2 3) 6 6
( 3)2 ( 1)2 3 (1)2 3 (3)2
( ) 2
2 2
( )
2 2
( )
2 2
j t j t j t j t
j t j t j t j t
j t j t j j t j j t
e e e e
x t
j j
j j
x t je je e e
j j
x t e je e je e e
   
   
   
   
   
  
 
 
    
   
31/10/2012 13/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
2
( 3)
3 32 2
3
( 3)
3 32 2
2 2
1
, -3
2 2
1 1 , -1
 
, 1
1 1
, 3
2 2 2
0, 
j
j j
j j
j jk j j j
j j
j
j
e k
je e e e k
a
je e e e e k
j
e e e k
caso contrário

 
 

 






 


  

 
   

    


Exemplo 
 
31/10/2012 14/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5
0
5
x(
t)
t
x(t)=2sin(2 t-3)+sin(6 t)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
|X
(k
)|
k
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
0
2

 X
(k
)
k
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
 Calcular a FS para o sinal a seguir: 
Exemplo 
 
( ) ( )
k
x t t kT


 
( )x t
TT
1
2T3T 2T T 3T
... ... 
31/10/2012 16/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Sinais Contínuos Periódicos (FS) 
Exemplo 
 
( ) ( )
k
x t t kT


 
0 0
2 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
T T
jk t jk t
k
T T
a x t e dt t e dt k
T T T
  
 
    
( )x t
TT
1
2T3T 2T T 3T
... ... 
31/10/2012 17/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Algumas Propriedades da FS 
Linearidade 
 ( )
( )
( ) ( ) ( )
FS
k
FS
k
FS
k k kA
x t a
y t b
z t x t y t c a bAB B


    
Deslocamento no Tempo 
 
0 0
0
( )
( )
FS
k
F
k t
S
j
k
x t a
x t e at


 
31/10/2012 18/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Algumas Propriedades da FS 
Reflexão no Tempo 
 
( )
( )
FS
k
FS
k
x t a
x t a

 
O que se pode dizer sobre os coeficientes da FS para 
sinais pares e ímpares ? 
k ka a
k ka a 
31/10/2012 19/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Algumas Propriedades da FS 
Mudança de Escala no Tempo 
 
0
0( )
 
( )
( )
 
jkt
k
k
jk t
k
k
x t a e
x t a e
é um número positivo real












Conjugado e Simetria 
 
* *
( )
( )
k
FS
k
FS
x t a
x t a



31/10/2012 20/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Algumas Propriedades da FS 
Multiplicação 
 ( )
( )
( ) ( )
FS
k
FS
k
FS
k l k l
l
x t a
y t b
x t y t h a b





  
Relação de Parseval 
 
2 21 ( ) k
kT
x t dt a
T


 
31/10/2012 21/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Propriedades da FS 
 A Tabela 3.1 (página 206 do livro Signals and 
Systems) resume as propriedades da FS: algu-
mas propriedades apresentadas na tabela não es-
tão nos slides... 
 
 As propriedades são interessantes para facilitar a 
determinação dos coeficientes da FS de um sinal, 
evitando a realização de contas desnecessárias. 
 
 Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-
senta comentários interessantes... 
31/10/2012 22/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Propriedades da FS 
Exemplo 
 
 Calcular a FS para o sinal a seguir: 
1
2
1
2

11 22
( )g t
31/10/2012 23/31 
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Propriedades da FS 
Exemplo 
 
 Lembrando: 
0 02 2( )k
T T
a sinc k
T T

31/10/2012 24/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Propriedades da FS 
Exemplo 
 
1
2
1
2

11 22
( )g t
0
0
1
( ) ( 1)
2
1, 4
2
g t x t
T T


  
 

31/10/2012 25/31 
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Propriedades da FS 
Exemplo 
 
1 2
1
( ) ( 1)
2
( ) ( ) ( )
g t x t
g t x t x t
  
 
Aplicar Linearidade!!! 
1
2
1 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
FS
k
FS
k
FS
k k k
x t b
x t c
g t x t x t d b c


    
31/10/2012 26/31 
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Propriedades da FS 
Exemplo 
 
1( ) ( 1)x t x t 
Aplicar Deslocamento no Tempo!!! 
0 0
0
( )
( )
FS
k
F
k t
S
j
k
x t a
x t e at


 
2
jk
k kb e a



2
1
( )
2
x t  
0, 0
 1
, 0
2
k
k
c
k


 
 
31/10/2012 27/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Propriedades da FS 
Exemplo 
 
1
2
1 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
FS
k
FS
k
FS
k k k
x t b
x t c
g t x t x t d b c


    
2
jk
k kb e a



0, 0
 1
, 0
2
k
k
c
k


 
 
2
0
, 0
 
1
, 0
2
jk
k
k
e a k
d
a k



 
  

31/10/2012 28/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Propriedades da FS 
Exemplo 
 
2
0
, 0
 
1
, 0
2
jk
k
k
e a k
d
a k



 
  

0 1, 40 0
1
( ) ( )
2 2 1 1 1 2 2( ) ( )
12 2 2
2
T T
k k
k
sen k sen
T T
a sinc k a sinc k
T T k
k


     
2
( )
2 , 0 
0, 0
jk
k
k
sen
e kd
k
k





  


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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Educational Matlab GUIs 
 Demos sobre Processamento de Sinais: Convolu-
ção, Série de Fourier, Transformadas, etc... 
 
http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html 
 
(Acesso em 03/03/2007) 
 Vamos brincar um pouco com a Fourier Series 
Demo!  
31/10/2012 30/31 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercício 
Exercício 3.1 – Signals and Systems 
 
 Um sinal periódico de tempo contínuo é real, 
e tem período fundamental . Os coeficientes 
não nulos da FS de são: 
 
 
 Expresse na forma: 
3
*
1 1 32, 4 .a a a a j   
0
( ) ( )k k k
k
x t A cos t 


 
( )x t
8T 
( )x t
( )x t
31/10/2012 31/31