13_TransformadaFourierContinuo

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Sinais e Sistemas 
Renato Dourado Maia 
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros 
Fundação Educacional Montes Claros 
A Transformada de Fourier de Tempo Contínuo 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
 Nas últimas aulas, desenvolvemos a representa-
ção de sinais periódicos como combinação linear 
de exponenciais complexas harmonicamente rela-
cionadas, e utilizamos essa representação para 
estudar sistemas LTI. 
 
 
MAS O QUE FAZER PARA SINAIS APERIÓDICOS? 
29/11/2012 2/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
 Em seu trabalho, Fourier utilizou o fato de que 
um sinal aperiódico pode ser interpretado como 
um sinal periódico de período infinito. 
 
 Se lembrarmos da representação em FS, perce-
beremos que, conforme o período aumenta, a 
frequência fundamental diminui, e, na frequência, 
as componentes harmônicas ficam cada vez mais 
próximas... 
 
 
29/11/2012 3/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Introdução 
T
T 1T1T
( )x t
t
1
14T T
18T T
116T T
kTa
kTa
kTa



0
0
0
04
08
0202
04
08
0
102 ( )
k
T
e k
a
Ts n
k



0
12 ( )
k
k
sen T
Ta


 

29/11/2012 4/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
O Par Transformada de Fourier 
1
( ) ( )
2
j tx t X j e d 



 
( ) ( ) j tX j x t e dt



 
Transformada (ou Integral) de Fourier 
Equação de Análise 
Transformada Inversa de Fourier 
Equação de Síntese 
CONVERGÊNCIA? 
29/11/2012 5/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Convergência da FT 
 Assim como para sinais periódicos, as condições 
de Dirichlet garantem que um sinal é igual à sua 
representação em FT, exceto em valores isola-
dos de tempo para os quais o sinal é descontí-
nuo (Fenômeno Gibbs). As condições são: 
 
1. O sinal deve absolutamente integrável. 
 
2. O sinal deve possuir um número finito de máximos e 
mínimos num período. 
 
3. O sinal deve possuir um número finito de descontinui-
dades num período. 
 
29/11/2012 6/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 1 
 
( ) ( ), 0atx t e u t a 
( )
0 0
1 1
( ) , 0t j t j ta a a
a
X j e e dt e
j a j
   

      
 
O QUE ACONTECERIA SE ? 
0a 
29/11/2012 7/24 
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Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 1 
 
2 2
1
( )
a
X j



1( )X j tan
a
      
 
Escrevendo na Forma Módulo/Fase: 
( ) ( ), 0atx t e u t a 
( )
0 0
1 1
( ) , 0t j t j ta a a
a
X j e e dt e
j a j
   

      
 
29/11/2012 8/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 1 
 
2 2
1
( )
a
X j



1( )X j tan
a
      
 
1 a
1 ( 2)a
a a 
a
a
2
2
4
4
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Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 2 
 
0
0
1, 
( )
0, 
t
x t
t
T
T
 
 

00
0 0
0 0
00 0
0
0 0
0
1 1
( ) ( )
( )2 2
( ) ( ) 2
2
j jj t j t
j
TT
T T
T T
T Tj
X j e dt e e e
j j
senj e e
X j sen
j
T
Tj
T
T
  
 

 
 
  
 
 

 
   
 
   
 

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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 

0T

0T


( )x t
t
1
0
0T0T
0

( )X j
0 2 T 
Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 2 
 
29/11/2012 11/24 
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Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 3 
 
1, 
( )
0, 
W
X j
W



 
 

1 1 1 ( )
( ) ( )
2 2
j t j t
WW
W W
sen t
x t e d e sen t
W
t t
W
j
W
W
    
 
   
DUALIDADE? 
LEIAM NO LIVRO!!! 
 
29/11/2012 12/24 
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Transformada de Fourier (FT) 
Exemplo 4 – Determinar a FT do impulso 
 
( ) ( ) 1j tX j t e dt 



 
Exemplo 5 – Determinar a FT inversa do impulso na Frequência 
 
1 1
( ) ( )
2 2
j tx t e d   


 
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Transformada de Fourier (FT) 
Existe FT 
para sinais 
periódicos? 
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FT para Sinais Periódicos 
0( ) ( )X j    
Exemplo 6 
 
0
0
1 1
( ) ( )
2 2
j tj tx t e d e    


  
PERIÓDICO!!! 
Então: 
0
02 ( )
j t
e
    
ENERGIA CONCENTRADA 
NUNA ÚNICA FREQUÊNCIA 
Generalizando: 
0
0( ) ( ) 2 ( )
jk t
k k
k k
x t a e X j a k
     
 
    
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FT para Sinais Periódicos 
0( ) ( )x t cos t
Exemplo 7 
 
0 0
1 1
( )
2 2
j t j t
x t e e
  
0 0( ) ( ) ( )X j         
Euler 
( )X j

0
0

0
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Algumas Propriedades da FT 
Linearidade 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
FT
FT
FT
x t X j
y t Y j
z t x t y t Z j X j Y jBA BA


  


    
Deslocamento no Tempo 
 
0
0
( ) ( )
( ) ( )
FT
FS
j t
t
x t X j
x t e X j




 
Magnitude se mantém, 
e há atraso de fase 
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Algumas Propriedades da FT 
Diferenciação no Tempo 
 
( ) ( )
( )
( )
FT
FT
x t X j
dx t
j X j
dt

 


Integração no Tempo 
 
( ) ( )
1
( ) ( ) (0) ( )
FT
t FT
x t X j
x d X j X
j

     



 
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Algumas Propriedades da FT 
Diferenciação na Frequência 
 
( ) ( )
( ) ( )
FT
FT
x t X j
d
tx t j X j
d





Deslocamento na Frequência 
 
0
0
( ) ( )
( ) ( ( ))
FT
FT
j t
x t X j
e x t X j


 

 
29/11/2012 19/24 
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Algumas Propriedades da FT 
Mudança de Escala no Tempo 
 
( ) ( )
1
( )
FT
FT
a
a
x t X j
j
x t X
a



 
  
 
Relação de Parseval 
 
2 21
( ) ( )
2
FT
x t dt X j d 
 
 
 
29/11/2012 20/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Algumas Propriedades da FT 
 
 
 * *
( ) ( )
( )
FT
FT
x t X j
x t X j



 
Se o sinal é real 
 
   *X j X j  
     Re X j Re X j  
     Im X j Im X j   
   X j X j  
   X j X j   
Conjugado 
Par 
Par 
Ímpar 
Ímpar 
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Algumas Propriedades da FT 
Se o sinal é real e par, a FT será também real e par. 
Se o sinal é real e ímpar, a FT será puramente imaginária e ímpar. 
 
Lembrando que um sinal pode ser decomposto em uma soma de 
partes par e ímpar, pode-se concluir que, para um sinal real: 
   
   
   
   
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
FT
FT
FT
x t X j
X j Re X j jIm X j
x t Par x t Ímpar x t
Par x t Re Xj
Ímpar x t jIm X j

  



 
 


29/11/2012 22/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 4.1 – Signals and Systems 
 
 Determine a FT para cada um dos sinais a se-
guir, e desenhe os gráficos de magnitude: 
 
a) b) 
 
 
 
2( 1)( ) ( 1)tx t e u t  
2 1
( )
t
x t e
 

Exercício 4.2 – Signals and Systems 
 
 Determine a FT para cada um dos sinais a se-
guir, e desenhe os gráficos de magnitude: 
 
a) b) 
 
( ) ( 1) ( 1)x t t t    
 ( 2 ( 2))
d
u t u t
dt
   
29/11/2012 23/24 
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia 
Exercícios 
Exercício 4.3 – Signals and Systems 
 
 Determine a FT para cada um dos sinais periódi-
cos a seguir: 
 
a) b) 
 
 
 
( ) (2 )
4
x t sen t
  ( ) 1 (6 )
8
x t cos t
  
Exercício 4.4 – Signals and Systems 
 
 Determine a IFT: 
 
a) b) 
 
 
1( ) 2 ( ) ( 4 )
( 4 )
X j     
  
  
 
1
0 22
2 0( ) 2
20
X j



 

   
 
29/11/2012 24/24