Matemática Básica para Engenharias-2 - (OK) - Cópia - Cópia

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JORGE BRANDÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Editora
Universitária UFP E
4 
RECIFE - 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FICHA 
 
5 
Matemática Básica para Engenharias: 
Argumentações no Cálculo com 1 variável 
 
 
 
Justificando o título: “argumentação” - sf (lat argumentatione) 
significa: (1) Ato de argumentar. (2) Reunião de argumentos. (3) Filos Série de 
argumentos com vistas a uma só conclusão. (4) Raciocínio. (5) Dedução. 
Desta feita, pretende-se usar argumentos coerentes e concisos na 
construção e concepção de conceitos matemáticos atrelados às Engenharias. Por 
exemplo: Considere o pagamento da conta de água em determinada localidade. 
Nesta, paga-se R$ 13,00 por consumos até 10 m³. Por cada m³ que exceder os 10 
m³ iniciais, são pagos R$ 2,00. Como relacionar o valor pago com o consumo? 
Sendo x o consumo em m³ e y = f(x) o valor a se pagar, em reais, então 
y = 13, se 0 ≤ x ≤ 10. Para cada m³ que exceder, podemos imaginar: 
 Consumo de 11 m³. Excedeu 1 m³. Logo o valor pago é 13 mais 2 = 
15 reais. 
 Consumo de 12 m³. Excedeu 2 m³. Logo o valor pago é 13 mais 
2x2 = 17 reais. 
 Consumo de 13 m³. Excedeu 3 m³. Logo o valor pago é 13 mais 
2x3 = 19 reais. 
 Seguindo ideia, se o consumo for (x – 10), o valor a ser pago será 
de 13 acrescido de dois que multiplica (x – 10). 
Notação matemática: 
 {
 
 ( ) 
 
Ou {
 
 
 
Por qual motivo x não pode ser negativo? 
 
Outro exemplo: Em virtude da gripe das aves em determinado país da 
Ásia, alguns produtores resolveram construir aviários dentro de grandes galpões 
refrigerados. Se em um desses galpões um produtor dispõe de 20 metros de tela 
de arame e deseja construir um aviário de formato retangular, quais as dimensões 
do de maior área? 
Como está o andamento da gripe das aves não vamos abordar, pois o 
nosso foco, por enquanto, é o raciocínio (ou argumentação) matemática. 
Também não será justificado o motivo da construção de aviários em galpões 
refrigerados. 
Pois bem, vamos selecionar os trechos relativos a aplicação matemática: 
6 
1. Aviário de formato retangular. Um retângulo é um quadrilátero que 
possui todos os ângulos internos iguais a 90º. Lados opostos são 
paralelos e com mesma medida. 
2. Assim, se a tela tem 20 metros (e não usaremos mais que uma volta, 
pois não foi dito no problema), e se r e x são os lados do retângulo, 
segue-se que 2r + 2x = 20 (a medida da tela é o perímetro do 
retângulo!). 
3. Como queremos a área, e a do retângulo é o produto da medida da base 
pela altura, segue-se que, A = rx. 
4. De (2), r = 10 – x, daí, a área é A = (10 – x)x = -x² + 10x. 
5. ATENÇÃO!!! Não esquecer do domínio da função. Como não podemos 
ter um lado (no contexto) com medida negativa, segue-se que 0 < x < 
10. 
6. Qualquer área nos interessa? Não. Queremos a maior. Por se tratar de 
uma função polinomial do segundo grau, o vértice é nosso ponto de 
máximo (pois o coeficiente do x² é negativo). Daí, sendo y = ax² + bx + 
c, pelo “x” do vértice, temos que: xv = -b/2a = -10/2(-1) = 5. 
7. Deste modo, r = 5 e a área máxima é 25 m². 
 
Percebe-se que os conhecimentos prévios (como retângulo e função 
polinomial do segundo grau) são necessários para a resolução do problema. 
 
Entendendo este material... 
 
 Com mais de 15 anos de vivências em salas de aulas ensinando as 
disciplinas de Cálculo Fundamental (disciplina anual nos cursos de engenharias 
do centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará - UFC), e Cálculo I 
para o Bacharelado em Ciências e (UFERSA) e, tendo que adaptar a matemática 
da Educação Básica para pessoas com deficiência visual, resolvi preparar um 
material diferente (mas com a essência) dos já existentes. 
 Com efeito, há matemáticos cegos, enquanto jovens, que fizeram (e 
fazem) contribuições para o desenvolvimento desse campo do saber. Iniciando 
com Lev Semenovich Pontryagin (1908–1988), que nasceu em Moscou e ficou 
cego aos 14 anos em virtude de uma explosão. Foi auxiliado em seus estudos 
principalmente pelo apoio recebido de sua mãe, Tatyana Andreevna, que lia para 
Pontryagin. 
 Muito embora fosse leiga na Matemática, Tatyana descrevia com um 
linguajar próprio a partir das aparências dos símbolos matemáticos. Por 
exemplo: para indicar que um conjunto A está contido em um conjunto B, 
notação A  B, ela fazia referência do tipo A cauda B (EVES, 2002). A 
importância da citação de Pontryagin não é só sua capacidade matemática. Seu 
7 
esforço o tornou um brilhante professor nas áreas de Topologia e Equações 
Diferenciais. Destaca-se a participação de sua mãe como um apoio em seus 
estudos, “transcrevendo” textos. 
 Outro que pode ser citado é Nicholas Saunderson (1682–1739), nasceu 
em Thurlstone, Yorkshire, em janeiro de 1682. Com aproximadamente um ano 
de idade ele perdeu a visão através de varíola, todavia, este ocorrido não o 
impediu de adquirir um conhecimento de latim e grego, bem como estudar 
matemática. Amigos liam para ele. Destaca-se a máquina que ele desenvolveu. A 
mesma máquina era útil tanto para realização dos cálculos algébricos quanto para 
a descrição de figuras retilíneas, podendo ser comparada a um “pré-geoplano”. 
 A máquina consistia em um quadrado, dividido em quatro partes iguais 
por meio de linhas perpendiculares aos lados, de modo que ele ofereça os nove 
pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O quadrado é perfurado por nove orifícios capazes 
de receber alfinetes de duas espécies todos do mesmo comprimento e da mesma 
grossura, mas uns com a cabeça um pouco mais grossa do que outros. 
 Os alfinetes de cabeça grande situam-se sempre no centro do quadrado; 
os de cabeça pequena, sempre nos lados exceto em um único caso, o do zero. O 
zero é assinalado por um alfinete de cabeça grande, colocado no centro do 
pequeno quadrado, sem que haja qualquer outro alfinete nos lados. O algarismo 
“1” é representado por um alfinete de cabeça pequena, colocado no centro do 
quadrado, sem que haja qualquer outro alfinete nos lados. 
 O material apresentado por Saunderson pode ser considerado um 
precursor das celas Braille. Não obstante, a forma como confeccionava figuras 
planas, utilizando seu material ele estava introduzindo, de modo inconsciente, o 
hoje utilizado geoplano. A gravura a seguir indica a representação de um 
trapézio segundo usos de Saunderson. 
 

















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





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

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

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
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00
 
Figura 01 – Representação de um trapézio 
 Os pontos pretos representam alfinetes e os zeros são espaços vazios. 
Entre colchetes tem-se uma “cela” do esquema de Saunderson. Com o tato ele 
caracterizava as figuras. Quando as figuras eram grandes ou com maior riquezas 
8 
de detalhes, ele colocava apenas nos extremos (vértices) alfinetes e estes eram 
unidos por barbantes. 
 E um terceiro matemático cego é Bernard Morin. Ele nasceu em 1931 
em Shangai, onde o seu pai trabalhava para um banco. Morin desenvolveu 
glaucoma bem cedo e foi levado para a França para tratamento médico. Ele 
voltou a Shangai, mas, por ocasião do rompimento das retinas ficou 
completamente cego aos seis anos de idade. 
Depois que ficou cego, Morin retornou para a França sendo educado em 
escolas para cegos até a idade de quinze anos, quando entrou no ensino regular. 
Estudou sob Henri Cartan e se juntou ao Centre National de la Recherche 
Scientifique como pesquisador em 1957. Morin já era bem conhecido por sua 
eversão da esfera e tinha passado dois anos no Institute for Advanced Study na 
época em que concluiu a sua tese dePh.D. teoria da singularidade em 1972. 
A grande notoriedade de Morin está no fato de ser um dos matemáticos 
que demonstrou a possibilidade da “eversão da esfera”, um problema na área de 
Topologia Matemática. 
As citações desses matemáticos servem para indicar que a Matemática 
pode ser apreendida por pessoas com necessidades especiais, e que a participação 
ativa da família e de amigos (e dos professores especialistas) é de grande 
importância para uma aprendizagem significativa. 
 E em relação às adaptações, de que forma um professor de Matemática 
deve trabalhar este campo do saber em sala de aula quando existem discentes 
com deficiência visual? Ora, analisando a expressão “estudante com deficiência 
visual”, excluindo-se “deficiência visual” fica “estudante” e, por conseguinte, 
têm direitos e deveres iguais aos demais. Logo, o docente pode trabalhar 
conforme planejou sua atividade. É claro, com adequações. 
 Há quem argumente que a Matemática está associada aos números... 
então só há matemática se ocorrer a existência de números? Acompanhem, 
caríssimos leitores, o seguinte exemplo: Conjugar o verbo cantar. 
Primeira pergunta natural a ser feita é: em qual tempo verbal? Pois bem, 
caso seja no presente do indicativo temos: 
EU CANT O 
TU CANT AS 
... 
Caso seja no pretérito (perfeito), fica: 
EU CANT EI 
TU CANT ASTE 
9 
... 
Ora, o verbo cantar é um verbo de primeira conjugação porque termina 
em AR. Além disso, é um verbo regular. Verbos regulares são verbos que não 
possuem alteração no radical, no caso CANT. 
Percebam que há uma relação direta entre os sujeitos, que possuem suas 
características, e as desinências (terminações). A relação entre esses conjuntos, 
conjunto dos sujeitos e o conjunto das desinências, é dada pela existência do 
radical CANT. 
Como os sujeitos influenciam (DOMINAM) as desinências, podemos 
indicar tal conjunto como o DOMÍNIO da função "conjugar o verbo cantar". As 
desinências refletem, reagem a este domínio, isto é, elas representam 
CONTRADOMÍNIO. Ao conjunto das desinências de um tempo verbal 
específico chamamos de IMAGEM... 
Eis um exemplo de adequação. Aprender matemática (e qualquer outra 
área do saber) consiste em aprender seus conceitos. Por exemplo: leite em pó é 
leite, se uma criança conceitua leite como líquido de cor branca que saem das 
mamas dos mamíferos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saibam que 1 + 1 > 2 quando os limites de cada um são respeitados e suas 
potencialidades são valorizadas 
10 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Parte Revisando operações numéricas 12 
2ª Parte Revisando funções estudadas no Ensino Médio 
(com aplicações) 
16 
3ª Parte Limites 22 
4ª Parte Derivadas 42 
5ª Parte Integração 60 
 
 
 
 
11 
 
12 
1ª Parte Revisando operações numéricas 
 
 
 
Iniciando... 
 
Saber operações numéricas é base para desenvolver uma matemática 
bem estruturada. Por exemplo: 
i. Sabemos que -1 = (-1)³, pois (-1).(-1).(-1) = -1. 
ii. Podemos reescrever (-1)³ como (-1)6/2, haja vista 3 = 6/2. 
iii. De ab/c ser interpretada como a raiz de ordem “c” de “a” elevado a “b”, 
segue-se que (-1)
6/2
 é a raiz quadrada de “menus um” elevado à sexta 
potência. 
iv. Como (-1)6 = 1, ficamos com a raiz quadrada de um. 
v. Ora, raiz quadrada de um é um, daí, -1 = 1??? 
 
Resumindo em símbolos: 
 ⏟
 
 ( ) ⏟
 
 ( )
 
 ⏟
 
 √( ) ⏟
 
 √ ⏟
 
 
 
Logo, como 1 ≠ -1, segue-se que há um erro. Onde? 
 Desta feita, este módulo objetiva utilizar de forma coerente operações 
numéricas e os produtos notáveis. 
 
Resumindo... 
 
Como há um erro na “justificativa” de -1 = 1, segue-se que é necessário 
compreender as operações numéricas. A seguir relembramos algumas definições 
e propriedades referentes aos números reais. Lembrando que o conjunto dos 
números reais, denotado por R, é a união dos conjuntos dos números racionais 
com os números irracionais. 
 
Intervalos numéricos: 
 
Consideremos axiomas de corpo (ideias aceitas sem demonstração) 
para o conjunto dos números reais, denotado por R. Isto significa que R é um 
conjunto não vazio o qual definimos duas operações fechadas: 
Adição: (+): RxR  R 
(x, y)  x + y 
Multiplicação: (×): RxR  R 
(x, y)  x × y 
Obs.: Podemos utilizar em vez de x × y uma das seguintes escritas: xy ou x∙y 
13 
As operações satisfazem os axiomas a seguir, considerando x, y e z 
números reais quaisquer: 
 
Para a adição “A”: 
A1) Associatividade: (x + y) + z = x + (y + z) 
A2) Comutatividade: x + y = y + x 
A3) Elemento neutro: Existe “0” ("zero") em R, tal que x + 0 = x 
A4) Simétrico: Existe “-x” em R (ou oposto), tal que x + (-x) = 0 
 
Para a multiplicação “M”: 
M1) Associatividade: (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z) 
M2) Comutatividade: xy = yx 
M3) Elemento neutro: Existe “1” ("um") em R, tal que 1∙x = x 
M4) Inverso multiplicativo: Qualquer que seja “x” (x ≠ 0) em R, então 
possui um inverso, denotado por “x-1”, em R tal que x ∙ x-1 = 1 
 
Temos ainda o “Axioma da Distributividade”: x ∙ (y + z) = x ∙ y + x ∙ z 
 
Com base no quarto axioma da adição (A4) e o quarto axioma da 
multiplicação (M4), podemos definir: 
 
Subtração: (–) : RxR  R 
(x,y)  x – y 
 
Divisão: (÷) : RxR* R 
(x,y)  x÷y = x . y-1 
sendo R* = R - {0}. 
 
 A seguir, argumentaremos que a multiplicação de dois números 
negativos é positivo. A referência utilizada é Lima (2011), recomendamos a 
leitura do livro, pois há várias curiosidades (algumas serão debatidas ou 
argumentadas neste material, como 0
0
) 
 
Inicialmente, o simétrico de “-x” é “x”, ou seja, -(-x) = x, para todo x 
em R. Pois: -x + x = x + (-x) = 0. A seguir, adicionando “-(-x)” a ambos os 
membros da igualdade e usando o axioma A1, obtemos: [-(-x) + (-x)] + x = -(-x) 
+ 0. Por conseguinte, 0 + x = -(-x), ou seja, x = -(-x) 
Agora, justificaremos que x∙0 = 0, para todo x em R. 
Dado que x + x∙0 = x.1 + x.0 = x.(1+0) = x.1 = x. Daí, x + x.0 = x. 
Somando “-x” a ambos os membros da igualdade, obtemos, x∙0 = 0 
14 
 A seguir, argumentaremos que (-1).x = -x, para todo x em R. Com 
efeito, dado que x + (-1).x = 1.x + (-1).x = [1 + (-1)].x = 0.x = 0. Logo, (-1)x é o 
simétrico de x, ou seja: (-1).x = -x 
Em particular, se x = -1, (-1).(-1) = -(-1) = 1. 
Além disso, considerando x e y pertencentes a R, tem-se: (-x).y = -(x.y) 
e (-x).(-y) = x.y 
Pois: (-x).y = [(-1).x].y = (-1).(x.y) = -(x.y) e (-x).(-y) = (-1).x.(-1).y = 
(-1).(-1).x.y = 1.x.y = x.y 
Percebam, caros leitores, que tudo até aqui apresentado é argumentado a 
partir de uma informação inicial (ou premissa) 
 
Desigualdades (nos números reais... é bom, caro(a) leitor(a) rever os conjuntos 
numéricos) 
 
Consideremos “x” e “y” números reais. Seguem-se as desigualdades. Dizemos 
que: 
 “x é maior do que y” e representamos por “x > y”, se x – y > 0. 
 “x é menor do que y” e representamos por “x < y”, se x – y < 0. 
 “x é maior ou igual a y” e representamos por “x > y”, se x – y > 0. 
 “x é menor ou igual a y” e representamos por “x < y”, se x – y < 0. 
 
Intervalos reais 
 
Intervalos finitos: A partir das observações anteriores definimos os conceitos de 
intervalo e da função modular. 
(a,b) = {x ⍷ R: a < x < b}, 
[a,b) = {x ⍷ R: a < x < b}, 
(a,b] = {x ⍷ R: a < x < b}, 
[a,b] = {x ⍷ R: a < x < b} 
Sob o “ponto de vista” da Geometria, temos, considerando um círculo vazio 
onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade. 
 
 
 
Figura 2 – intervalos numéricos 
15 
Intervalos infinitos: Definiremos o intervalo (a, ) como o conjunto de todos 
os números reais maiores do que a, isto é: 
(a,+ ) = {x em R: x>a} (- ,a) = {x em R: x<a} 
 
 
e também os intervalos: 
 
[a,+ ) = {x em R: x>a} (- ,a] = {x em R: x<a} 
 
 
e uma notação comum é R=(- ,+ ). 
Agora, definiremos o “Módulo de um número real” (também conhecido 
como valor absoluto) de um número realx. Por que estudar? Nas engenharias há 
aplicações que envolvem distâncias... Assim sendo, o módulo é definido como 
sendo o maior valor entre x e -x, ou seja: |x|= máximo{x,-x}. 
Em termos da raiz quadrada, podemos indicar 
| | √ {
 
 
 
 
 
Resultados: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se que: 
R1: |+x| = |-x| R2: |x-y| = |y-x| 
R3: |x.y| = |x|.|y| R4: -|x| < x < |x| 
R5: |x+y| < |x| + |y| R6: |x-y| < |x| + |y| 
 
Cuidado!!! 
|x+y| nem sempre é igual a |x|+|y|. Pois, se x = -y, com x ≠ 0, segue-se que x + y 
= 0, mas |x| + |y| = |x| + |-x| = 2|x| ≠ 0. 
Distância entre números reais x e y é definida por: 
d(x,y) = |x - y| 
 
 
 
 
“O essencial é invisível aos olhos” (Pequeno Príncipe) 
16 
2ª Parte Revisando funções estudadas no Ensino 
Médio (com aplicações) 
 
 
 
Rever aplicações envolvendo exercícios sobre funções polinomiais de primeiro e 
de segundo graus. 
 Se f(x) = ax + b, com a  0, tem raiz (ou zero) quando x = -b/a. Seu 
gráfico é uma reta que será crescente quando a > 0 e será decrescente 
quando a < 0. 
 Se f(x) = ax² + bx + c, com a  0, tem raízes (ou zeros) quando x =
a
acbb
2
4²  . Seu gráfico é a parábola. Ela será côncava para 
cima “” quando tivermos a > 0 e será côncava para baixo “” quando 
a < 0. 
 Em relação às inequações do segundo grau, com a  0, e sendo x1 e x2 
as raízes (com x1 < x2): temos que ax² + bx + c > 0  x < x1 ou x > x2. 
Caso contrário, x1 < x < x2. 
 
Os exercícios ímpares (resolvidos) servem de base para os pares. 
 
01). A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao 
nível do Equador) em função da profundidade: 
Profundidade (m) 0 100 500 1.000 3.000 
Temperatura (
o
C) 27 21 7 4 2,8 
Admitindo linearidade entre duas medições consecutivas, qual a temperatura 
prevista para a profundidade de 400m? E para uma profundidade p qualquer? 
Solução: 
Linearidade entre duas medições consecutivas significa que entre dois 
pontos vizinhos eles são ligados por uma linha reta. Assim sendo, podem ser 
utilizadas três ideias: 
1ª. Geometria Analítica 
2ª. Geometria Plana 
3ª. Função polinomial do Primeiro grau (pois seu gráfico é linear). 
Independentemente da ideia, a solução é a mesma. 
Utilizemos a terceira ideia: Uma função polinomial do primeiro grau é do 
tipo y = ax + b. 
Como 400 está entre 100 e 500, este intervalo será considerado. Sejam 
x a profundidade e y a temperatura. Assim, profundidade de 100 m e 
17 
temperatura de 21
o
C implicam x = 100 e y = 21. Idem para profundidade de 500 
e temperatura de 7. 
 De x = 100 e y = 21, temos: 21 = 100a + b (trocar x por 100 e 
y por 21) 
 De x = 500 e y = 7, temos 7 = 500a + b (trocar x por 500 e y por 7). 
 Fazendo a diferença entre as duas equações, membro a membro, temos: 
21 – 7 = (100a + b) – (500a + b)  14 = -400a  a = 14/(-400) = -0,035. Por 
conseguinte, basta escolher uma das equações para substituir o valor de a para 
encontrar b. 
De 21 = 100a + b, temos b = 21 – 100a = 21 – 100(-0,035) = 21 + 3,5 
= 24,5. 
Logo, para profundidade de 400, sendo y = -0,035x + 24,5, temos: 
 y = -0,035.400 + 24,5 = -14 + 24,5 = 10,5. 
Siga esta ideia para os demais intervalos bem como para a questão 02. 
 
02). A tabela abaixo mostra a variação do preço do dólar (cotação) em um 
determinado dia: 
Preço (em R$) 1,98 1,96 1,98 1,95 
Hora 08 11 14 17 
Admitindo linearidade entre duas medições consecutivas, qual era o valor 
previsto para a cotação do dólar às 9 horas. E às 15 horas? 
 
03). Para produzir um objeto, uma firma gasta R$1,20 por unidade. Além disso, 
há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O 
preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, 
a partir da qual a firma começa a ter lucro? 
Solução: 
O ganho por peça será o preço de venda menos o gasto por unidade. 
Logo, o ganho é R$ 2,00 – R$1,20 = R$ 0,80. 
Lucro é obtido quando os ganhos superam os gastos, ou seja, 0,80x > 
4.000, onde x é a quantidade produzida (a qual é um valor inteiro). Por 
conseguinte, x > 4000/0,80  x > 5.000. Por conseguinte, terá lucro a partir de 
5.001 peças. 
 
04). Duas funções importantes em finanças são: Receita total: RT = P x Q e 
Custo total: CT = CF + CVU x Q, onde: P = preço de venda unitário; CF = custo 
fixo; CVU = custo variável unitário e Q = quantidade produzida e vendida. 
 Certa metalúrgica produz uma peça, para a qual são conhecidos os seguintes 
dados mensais: 
P = $ 5.000,00; CF = $ 100.000,00; CVU = $ 2.000,00 e lucro L = RT – CT = 
800.000,00. 
18 
 A fim de enfrentar seus concorrentes, decide reduzir em 20% o preço de 
venda unitário, mas pretende obter o mesmo lucro, através do aumento em Q 
de… (em %). 
 
05). Qual a notação que representa a função real assim definida: “Em uma conta 
de luz paga-se um valor fixo de R$ 1,34, correspondendo à taxa de iluminação 
pública, e, por cada kwh consumido, paga-se R$ 0,92.” Considere y o valor a se 
pagar e x o consumo em kwh. 
Solução: 
Y = 1,34 + 0,92x. 
 
06). Um vendedor de uma loja ganha R$ 450,00 mais 2% de comissão sobre o 
preço de vendas. Qual expressão indica os ganhos y deste vendedor. Considere x 
o valor das vendas em determinado mês. 
 
07). Equação de oferta (Eo) é uma função econômica que relaciona o preço de 
venda unitário (p) com a quantidade (x) oferecida pelo produtor. Equação de 
demanda (Ed) é uma função econômica que relaciona preço de venda unitário (p) 
com a quantidade (x) demandada pelo consumidor. 
Considere: Eo = 2x + p – 10 = 0 
 Ed = p² – 8x – 5 = 0. 
Determinar o ponto de equilíbrio (PE) entre as funções. 
Obs.: 1). O PE é dado por um par de valores (x, p) que satisfaz as duas 
equações. 
 2). Em Economia, só interessam valores positivos de x e de p. 
Solução: 
Em virtude do PE, x e p são os mesmos. De Eo, temos 2x = 10 – p. Substituindo 
em Ed: p² – 4(10 – p) – 5 = 0. Daí: p² + 4p – 45 = 0. 
Usando... 
19618016)45)(1(4)4(4 22  acb 
 
5
2
144
)1(2
196)4(
2







a
b
p
 
A raiz negativa não foi considerada conforme observação da questão. 
Assim, x = (10 – p)/2 = 5/2 = 2,5 
 
08). Idem anterior: Eo = 2x + 3p – 5 = 0 e Ed = p² + 2x – 45 = 0. 
 
09). Para evitar a perda de galináceos durante invernos rigorosos, alguns 
produtores resolvem construir galinheiros dentro de grandes celeiros. Se deseja 
construir no formato de retângulo, qual é o retângulo de maior área se o 
proprietário dispõe de uma tela de arame de 60 metros de lado (não considere a 
19 
altura da tela)? 
Solução: 
 Sejam x e z os lados do galinheiro. Por ser um retângulo, sua área é xz. 
Perceba que há uma relação entre x e z... 60 metros de tela de arame significa 
que o perímetro é 60. 
 Isto é, 2x + 2z = 60  x + z = 30  z = 30 – x. 
 Uma pergunta que se faz é... quaisquer valores de x servem para este 
problema? Ora, por ser medida de lado, x > 0. Acontece que x não pode crescer 
indefinidamente porque z também é medida. 
 Assim, z > 0  30 – x > 0  x < 30. 
 Por conseguinte, z = 30 – x, 0 < x < 30. 
 A área será então: A = xz = x(30 – x) = 30x – x², com 0 < x < 30. 
 É uma função do segundo grau... como está sendo pedida a maior área, 
uma função do segundo grau, que é y = ax² + bx + c, com a  0, terá seu ponto 
de máximo (ou de mínimo) no vértice da parábola, desde que a < 0 (ou a > 0). 
 E quem é o x do vértice? 
 Ora xv = -b/2a = -30/(-2) = 15. 
 Se x = 15  z = 15. 
 Conclusão: o retângulo de maior área é um quadrado. 
 
10). Para evitar a perda de galináceos durante invernos rigorosos, alguns 
produtores resolvem construir galinheiros dentro de grandes celeiros. Caso se 
deseje construir no formato de retângulo, aproveitando uma parede retilínea 
como um dos lados, qual é o retângulo de maior área se o proprietário dispõe de 
uma tela de arame de 60 metros de lado (não considerea altura da tela)? 
 
QUESTÕES DESAFIO: 
 
01). Considere um círculo de raio igual a x cm, se um quadrado está inscrito 
neste círculo, determine a área A do quadrado em função de x. E como seria a 
área caso o quadrado estivesse circunscrito? 
Resp.: 2x² (inscrito) e 4x² (circunscrito) 
 
02). Dado um pedaço de papelão quadrado com 8 cm de lado, tira-se de cada 
canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados 
de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine: 
 (a) O volume V da caixa em função de x; 
 (b) A área S da caixa em função de x. 
 
Resp.: Ideia básica, pode desenvolver... 
(a) V = x(8 – 2x)², 0 < x < 4 
20 
 (b) S = (8 – 2x)² + 4x(8 – 2x), 0 < x < 4 
 
03). O custo de produção de p unidades de um produto é dado por c(p) = p² + 2p 
reais e o número de unidades produzidas, em função do tempo t, é p(t) = 2t + 1, t 
em horas. Qual é o custo (em R$) na 5
a
 hora? 
Resp.: c(p(5)) = c(11) = 143 
 
 Exemplificando: Como apresentar uma composição de funções? 
Uma ideia pode ser contar a quantidade de pessoas que deixam uma cidade A 
pela estrada B. Acontece que muitas pessoas podem deixar a cidade usando 
carros, ônibus, bicicletas... Assim, pode-se quebrar este problema da seguinte 
maneira: Durante um determinado intervalo de tempo, por exemplo, 10 minutos, 
observar quantos carros deixam a cidade. 
 Este exemplo pode ser trabalhado com uma turma de alunos. 
A vivência, neste caso, é de grande valia, pois cada sujeito será parte ativa na 
“construção” do problema. 
 Uma pessoa (ou um grupo) fica responsável por estimar o número de 
pessoas por carro. Repetir tal observação em outros dias e horários, com mesmo 
intervalo de tempo. Entendendo: se a observação dura 10 minutos nos horários 
de 08:00 às 08:10, de 11:00 às 11:10 e de 17:30 às 17:40, neste mesmos horários 
em outros dias deve ser feita a observação. 
 Obs.: Podem ser outros horários, como os de pico ou horários em que 
discentes estejam na escola. O contexto pode ser modificado. 
 Supondo que a cada 10 minutos 150 carros deixem a cidade A pela 
estrada B, e que cada carro tenha em média 4 passageiros, quantos indivíduos 
deixam a cidade durante um fim de semana? 
 Notem que este problema pode ser adequado de diversas formas. 
 
04) Funcionários do departamento de engenharia de trânsito de um município 
resolveram efetuar um levantamento sobre o número de pessoas que saíam do 
município por uma determinada rodovia. Para tal, dividiram o problema em duas 
etapas: o número de veículos que deixavam a cidade por minuto e quantas 
pessoas havia em cada veículo. 
 Quanto ao número de veículos por minuto, concluíram que, em média, 08 
veículos deixavam a cidade por minuto, ou seja, v(t) = 8t, onde t indica o número 
de minutos. Já o número de pessoas por veículo obedecia à lei de formação p(v) 
= 3v + 1, sendo v o número de veículos e p o número de pessoas. 
21 
 Em média, após 08 minutos, quantas pessoas devem ter saído da cidade pela 
rodovia observada? 
Resp.: v(8) = 64  p(v(8)) = p(64) = 193 
 
05). Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para quaisquer x e 
y reais, então f(1235) é: 
Resp.: 
Como 1235 é um número natural, vamos desenvolver ideia para tais números. 
Em particular, se x = y = 1, temos f(1 + 1) = f(1) + f(1). 
Ou seja, f(2) = 2.f(1) = 2.3 = 6 
Seguindo a ideia, se x = 2 e y = 1, f(2 + 1) = f(2) + f(1). 
Daí, f(3) = 2f(1) = f(1) = 3f(1) = 9. 
Por conseguinte, f(n) = nf(1) = 3n  f(1235) = 3705 
 
06). Seja f uma função de variável real tal que f(x + y) = f(x).f(y), para quaisquer 
x e y reais. Se f(1) = 2, determine f(5000). 
Resp.: f(n) = [f(1)]
n
 = 2
n
  f(5.000) = 25.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Felicidade começa com FE... 
 
22 
3ª Parte Limites 
 
 
 
 Imagine que um trecho de uma montanha russa seja aproximado pela 
função f(t) = sen(t), onde t é o tempo e f(t) é a distância percorrida. A velocidade, 
entre dois instantes consecutivos t2 e t1 é: 
 ( ) ( ) 
 
. 
Se então 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 . Se 
temos que 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 . Melhorando a escrita, se t1 = 0, então f(t1) = 
sen(0) = 0 e temos: 
 
 
 
 
 
. 
Paremos momentaneamente com esta função. 
Complete as tabelas dadas em relação à função f(x) = 
1
352 2


x
xx
. 
Note que x não pode ser igual a um senão zera o denominador. Todavia, x = 1 
também zera o numerador. E 0/0 é forma indeterminada. 
 E o que são formas indeterminadas? São expressões que podem assumir 
quaisquer valores. Por exemplo, sabemos que 12 / 4 = 3 porque 12 = 4 x 3. Bem, 
se 0/0 = n, segue-se que o zero do numerador será o produto do zero do 
denominador pelo n. Assim, 0 = 0.n. Todavia, qualquer número multiplicado por 
zero dá... ZERO! 
 Assim, vamos considerar valores próximos de um para as tabelas dadas. 
Entretanto, se x  1, segue-se que ou x < 1 ou que x > 1. Logo, vamos nos 
aproximar por ambos os lados. 
 
Valores próximos de 1, sendo menores que este. 
X 0,5 0,9 0,95 0,99 
F(x) 
 
Para facilitar, a expressão 2x² – 5x + 3 pode ser reescrita como (x – 1)(2x – 3)... 
(escrever em função das raízes!!!) 
 
Valores próximos de 1, sendo maiores que este. 
X 1,5 1,1 1,05 1,01 
F(x) 
 Perceba que: 
Se x = 0,5, então a diferença 1 – x será igual a “0,5”. 
Se x = 0,9, então a diferença 1 – x será igual a “0,1”. 
23 
Se x = 0,95, então a diferença 1 – x será igual a “0,05”. 
Se x = 0,99, então a diferença 1 – x será igual a “0,01”. 
 
 Também... 
 
Se x = 1,5, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,5”. 
Se x = 1,1, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,1”. 
Se x = 1,05, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,05”. 
Se x = 1,01, então a diferença 1 – x será igual a “– 0,01”. 
 
 Vamos recordar a função módulo. A interpretação geométrica dela é a 
distância da origem até x. Assim sendo, é conveniente reescrever: 






0,
0,
)(
xx
xx
xf
 
Traduzindo... a importância do módulo é deixar tudo positivo (O que se entende 
por este tudo? Reflita). 
 Note que: 
 | 1 – x | = 0,5 se x = 1,5 ou se x = 0,5. 
 | 1 – x | = 0,1 se x = 1,1 ou se x = 0,9. 
 | 1 – x | = 0,05 se x = 1,05 ou se x = 0,95. 
 | 1 – x | = 0,01 se x = 1,01 ou se x = 0,99. 
 
Conclusão: quanto mais próximo x estiver de “1”, mais próximo de “0” 
está | 1 – x |. 
Além disso, percebe-se que f(x) está muito próximo de “– 1” à medida 
que x está próximo de “1”. 
 Seguindo ideia anterior... |–3 – f(x)| está muito próximo de “0” à medida 
que x se aproxima de “1”. 
 Em termos de símbolos: 
1
1
352
lim
2
1 



x
xx
x
. 
 Leia: “limite da função ... quando x se aproxima de ‘1’ é igual a ‘-1’ ”. 
Obs.: só existe o limite no ponto se existirem e forem iguais os limites laterais. 
Limites laterais? Sim, é o ato de aproximar-se de x = a por valores pela direita 
(ou maiores que a) ou pela esquerda (ou menores que a). 
Em símbolos: 
Limite pela direita: 
)(lim xf
ax 
 
Limite pela esquerda: 
)(lim xf
ax 
 
24 
 Traduzindo... estamos tão próximos do valor indicado que, se substituir-
mos a variável pelo valor indicado o erro entre o valor aproximado e o valor real 
pratiacamente é zero. Logo, basta substituir a variável pelo valor indicado. 
Exemplos: 
0
2
0
2
)3(
lim
)3(2
)3(
lim
62
96
lim
0
0
62
96
lim)
10)5(lim
5
)5)(5(
lim
5
25
lim
0
0
5
25
lim
10423)43(lim)
3
2
3
2
3
2
3
55
2
5
2
5
2


























u
u
u
u
uu
u
uu
b
x
x
xx
x
x
x
x
xa
uu
uu
xx
xx
x
 
 
 Nos exercícios abaixo, calcule os limites laterais da função indicada: 
01. 
;
1xse1
1xse0
)x(f






 
02. 








 ;
1
122
1
1
)(
2
xsex
xexse
x
x
xg
 
03. 
;
1x1sex1
1xou1xse1x
)x(p
2
2




 
04. 
;
2x1se1
1x0sex
0x2sex
)x(P
2








 
Solução... 
01). No caso, a = 1. 
11lim)(lim
1
   xax xf
 Tender para ‘1’ pela direita significa que a 
função está definida para valores maiores que ‘1’. Ou seja, f(x) = 1. 
Analogamente... 
00lim)(lim
1
   xax xf
 
25 
03). 
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
0)1(lim)(lim
2
11
2
11
2
11
2
11












xxf
xxf
xxf
xxf
xx
xx
xx
xx
 
Nota: independentemente de ser pela direita ou pela esquerda, basta substituir a 
variável pelo valor a qual ela tende. 
 
05. Calcule: 
a) 
)1(lim senxx 
 
b) 
)1(lim 0 senvv 
 
Solução: 
Basta trocar a variável pelo valor a qual tende. Logo, (a) 1 + sen = 1 + 0 = 1 e 
(b) 1, pois sen(0) = 0.. 
Interessante... 
Assim como podemos ter pessoas com mesmo peso e alturas distintas, segue-se 
que podemos ter funções distintas com mesmo valor no cálculo de um limite. 
Foi o que ocorreu com as funções da questão anterior. Considere, dada a 
expressão do item (a), u = x – , a diferença entre a variável e o valor a qual ela 
tende. Por conseguinte, 1 + senx = 1 + sen(u + ) = 1 + (sen(u)cos() + 
sen()cos(u)) = 1 – sen(u), que é a expressão do item (b), se trocarmos u por v. 
 
Isto ocorre com outras funções. Seja f(x) = 2x + 3. Se x  4, então f(x)  11. 
g(u) = 2u + 11 tende para 11 quando u  0. Com efeito, a função g(u) é obtida 
por meio da relação u = x – 4. Mais adiante faremos uso desta ideia (**). 
 
DESAFIOS: 
 
Nos exercícios que se seguem, caso o limite exista, dê o seu valor: 
01. 
);x(flim,
1xse2
1xse2
)x(f
1x





 
Resp.: não existe, pois limites laterais são diferentes. 
 
02. 
);x(glim,
2xse2x
2xse1
)x(g
2x
2






 
Resp.: 2 
26 
03. 















);x(Flim2e2xse
2x
4x
e,2xse1
)x(Flim2xse1
)x(F
2x
2
2x
 
Resp.: Se x  -2, então f(x)  -4 
 Se x  2, então f(x)  0 
 
04. 
).(lim)(lim),(lim
,
32
2
313
01
)(
310
2
2
3
xGexGxG
xsex
x
xse
xexse
xx
xx
xG
xxx 














 
Resp.: se x  0, então g(x)  1 
 Se x  1-, então g(x)  2 e se x  1+, então g(x)  3. Logo, não existe. 
 Se x  3-, então g(x)  3 e se x  3+, então g(x)  -1,5. Logo, não 
existe. 
 
Definição de limite: 
Dizemos que uma função é contínua em x = a quando: 
)()(lim afxfax 
. 
E é contínua em um intervalo quando é contínua em todos os pontos desse. 
 
1). Encontre os valores das constantes a e/ou b, para que a função dada seja 
contínua em 
( , ): 
 
a). 
;
1xse2x
1xsexa
)x(f
2
2






 
b). 
;
2xsexb
2x2sebax
2xseax
)x(h 2








 
Resposta: 
Façamos o item (b). 
Se x  -2-, então o limite pela esquerda fica – 2 – a. 
Se x  -2+, então o limite pela direita fica 4a + b. 
27 
Assim, 4a + b = – a – 2. 
Se x  2-, então o limite pela esquerda fica 4a + b. 
Se x  2+, então o limite pela direita fica b - 2. 
Assim, 4a + b = b – 2. 
Daí,a = -1/2 e b = 5/2. 
 
2). Para que valor de k a função é contínua em x = 0? 
f(x) = 






0,2
0,
x
x
x
senx
k
. 
Resp.: K = 0 
 
3). A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minutos após a 
introdução de uma toxina é dada pela função: 






5,728
5,7
)(
2
tt
tt
tf
 
Explique por que a população deve ser de 10000 bactérias em algum 
momento entre t = 1 e t = 7. 
Resp.: Porque é contínua a função, basta fazer t  5- e depois t  5+ 
Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é contínua no valor indicado: 
4). 
;0c,
0xse1
0xse1
)x(h 






 
5). 
;2c,
2xse3
2xse
2x
4x
)x(m
2










 
6). 
;1c,
1xse1
1xse|1x|
)x(G 






 
7). 
;,
1
cos1
)(
)(
2













 c
xse
xse
x
x
xP
 
Respostas: 
Devemos verificar se 
)()(lim afxfax 
. 
Na questão 4) 
Quando x  0- temos que f(x)  -1, pois é constante a função. 
Quando x  0+ temos que f(x)  1, pois é constante a função. 
 
28 
Sendo diferentes os limites laterais, não existe o limite no ponto. Por 
conseguinte, a função não é contínua em x = 0. 
 
Na questão 5) 
3)2(4)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
2
2
2
2









fx
x
xx
x
x
x
xx
. 
Logo, não é contínua em x = 2. Caso a função fosse redefinida em x = 2, para 
f(x) = 4, então seria contínua neste valor. 
 
Na questão 6) 
Redefinindo a função conforme definição de módulo:






1,1
1,1
)(
xx
xx
xG
 
Independentemente de como x tende para um... g(x) tende para zero. Não é 
contínua em... 
 
Para questão 7) 
)cos()cos(
)cos()1(
2
2
1
1
cos1
1
lim
cos1
lim
cos1
)(
lim
2
0
2
0
)1(2
uu
xuxxu
u
u
u
u
x
x
u
ux















 
Não é contínua... 
 
8). Encontre os valores das constantes a e b, para que a função dada seja 
contínua em 
( , ): 
 
.
3xseaxbx
3x1sebxax
1xsea2x
)x(j
2
2








 
Resposta: 
Se x  1 – então f(x)  (1 – 2a) 
Se x  1 + então f(x)  (a + b) 
29 
Daí, para a continuidade, em x = 1, 1 – 2a = a + b, de onde temos b = 1 – 3a. 
Se x  3 – então f(x)  (3a + 3b) 
Se x  3 + então f(x)  (9b – 3a) 
Daí, para a continuidade, em x = 3, 3a + 3b = 9b – 3a, de onde temos b = a. 
Substituindo b = a em b = 1 – 3a, segue-se que a = b = ¼. 
 
Limites infinitos e no infinito 
 
 Considere a função y = 1/x. Com x diferente de zero. Ela tem grande 
importância porque qualquer polinômio pode ser reescrito em termos dela. 
Por exemplo: p(x) = x³ + 3x² + 2x. 
Vamos colocar em evidência o x³. Isto é, dividir o membro direito da igualdade 
por x³ (e multiplicar por ele mesmo, desde que x ≠ 0). 
Assim, 
))
1
(2
1
31(
)
23
1()
23
()(
23
2
3
33
2
3
3
3
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxp


. 
 Vamos completar as tabelas: 
Quando x decresce indefinidamente, isto é, x  -  
X -10
10 
-10
100
 -10
1.000
 -10
100.000
 
Y = 1/x 
 
Quando x cresce indefinidamente, isto é, x   
X 10
10 
10
100
 10
1.000
 10
100.000
 
Y = 1/x 
 
Quando x se aproxima de zero por valores menores que zero, isto é, 
x  0- 
X -10
-10 
-10
-100
 -10
-1.000
 -10
-100.000
 
Y = 1/x 
 
Quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero, isto é, 
x  0+ 
X 10
-10 
10
-100
 10
-1.000
 10
-100.000
 
Y = 1/x 
 
 
30 
Percebemos que... 








x
x
xx
x
x
xx
1
lim
1
lim
1
lim0
1
lim
0
0
 
 
 Algumas considerações sobre o “infinito”: 













n
n
n
n
n
n
n
0,0
0,
0,
0,
 
Por quê? Discuta com seus colegas... antes, compare com a seguinte ideia: se 
alguém não vive 130 anos, viverá 130 + 10? 130 x 10? 130
10
? 
 
Resultado importante: (*) 
0lim  nx x
k
 se a constante k for diferente de zero 
e n > 0. 
Exemplos resolvidos...: 
 















0
1
2
1
lim).2
5
1
5
01
5
1
1
lim
5
1
lim
5
1
lim).1
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
31 
Dicas: 
(1). Quando x  -  ou x  , basta dividir tudo pelo xn, onde n é o maior 
expoente de x (ou da variável que aparece). 
(2). Quando x  a-, lembrar que x < a  x – a < 0. 
(3). Idem caso x  a+. 
 
Exercícios... 
Determine o limite quando a variável x se aproxima de cada um dos extremos 
dos intervalos do domínio de cada função: 
01). 
f x x( ) ; 2 4
 
02). 
g x x( ) ; 9 2
 
03). 
k x
x
( ) ;

1
1
 
04). 
m x
x
x
( ) ;


1
2
 
Solução: 
01). O domínio da função é ]- ; -2]  [2; [, pois só faz sentido a raiz 
quadrada de alguma expressão no universo dos números reais quando esta 
expressão não é negativa. 
Ou seja, x² - 4  0 
Desta feita, calcular limites quando x  - , x  - , x  -2- e x 2+. 
0)(lim
0)(lim
)(lim
)(lim2
2










xf
xf
xf
xf
x
x
x
x
 
 
03). O domínio é dado pelos valores de x tais que 1 – x > 0  x < 1 
Logo, calcular limites quando x  -  e x  1-: 















0
1
1
1
lim
0
111
)(1
1
1
1
lim
1
2
1
x
x
x
x
 
Todas as passagens estão relacionadas implicitamente aos limites. 
 
32 
05. Para que valores de a e b tem-se 
1
3
12
lim
2




bxax
x
x
 ? 
Solução: 
Primeiramente, vamos supor a  0. Por quê? Para garantir que o grau do 
denominador seja ‘2’. 
Assim sendo, vamos dividir numerador e denominador por x². 
0
0
3
12
lim
3
12
lim
3
12
lim
2
2
2
2
2
2











a
xx
b
a
xx
x
bxax
x
x
bxax
x
x
xx
 
Como é dito no enunciado que o limite é igual a ‘1’, segue-se que supor a  0 
não é verdadeiro. Logo, a = 0. 
Mesmo raciocínio... supor b  0. 
21
22
3
1
2
lim
3
12
lim
3
12
lim










b
bb
x
b
x
x
bx
x
x
bx
x
xxx
 
 
 
Resp.: a = 0 e b = 2. 
 
06. Para que valores de a e b tem-se 
3
1
3
1
lim
2




xax
bx
x
 ? 
 
07. Um importante resultado sobre limites é o teorema do confronto, ou do 
sanduíche. A ideia básica é que, em um intervalo, se f(x) < g(x) < h(x) e 
)(lim)(lim xhLxf axax  
 então 
Lxgax  )(lim
, mesmo que esta 
função g(x) não seja uma função usual ou conhecida. 
33 
Use este resultado para calcular 
)(lim xgx 
 sabendo que, para todo x > 1, 
(x – 1)² < (x² – 1)g(x) < (x + 1)². 
Solução: 
Como x > 1  x² > 1  x² – 1 > 0. Assim, vamos dividir ambos os membros da 
desigualdade por x² – 1. 
Assim, 
1
1
)(
1
1
)1)(1(
)1)(1(
)(
)1)(1(
)1)(1(
1
)1(
)(
1
)1(
2
2
2
2
















x
x
xg
x
x
xx
xx
xg
xx
xx
x
x
xg
x
x
 
 
Seja f(x) a função à esquerda e h(x) a função à direita de g(x). 
Note que 
1)(lim)(lim   xhxf xx
. Chegamos neste resultado 
dividindo tanto o numerador quanto o denominador de cada uma das funções 
por x e utilizando o resultado (*). Logo, o limite procurado é 1. 
 
Limites de funções trigonométricas 
 
Você lembra o que é um triângulo retângulo? 
Desenhe um triângulo retângulo de 
hipotenusa a e catetos b e c. Seja x ângulo 
oposto ao cateto de medida b 
Relações: 
 
Teor. Pitágoras: 
a² = b² + c² 
sen(x) = b/a e 
cos(x) = c/a 
Rel. fud. Trigonometria: 
sen²(x) + cos²(x) = 1 
Tg²(x) + 1 = sec²(x) (#) 
Ctg²(x) + 1 = csc²(x) (##) 
Notas: 
 tangente de x, tg(x) = sen(x)/cos(x) 
 cotangente de x, ctg(x) = 1/tg(x) = cos(x)/sen(x) 
 secante de x, sec(x) = 1/cos(x) 
 co-secante de x, csc(x) = 1/sen(x) 
34 
 (#) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a membro, por 
cos²(x). 
 (##) é obtida dividindo sen²(x) + cos²(x) = 1, membro a membro, por 
sen²(x). 
 
Perceba que (#) e (##), bem como a relação fundamental da 
trigonometria estão todas, direta ou indiretamente, relacionadas com sen(x). 
Observou-se que os limites que envolvem funções trigonométricas passam pelo: 
1lim 0 
x
senx
x 
 
Tal limite é considerado o limite fundamental da trigonometria. 
Pesquise o motivo deste resultado. 
Exemplos: 
2
1
2
1
1
cos1
1
)(lim
)cos1(
lim
)cos1(
cos1
lim
cos1
cos1cos1
lim
cos1
lim)
1
1
1
1
cos
1
lim
1
cos
lim
coslimlim)
2
)9(
2
0
)8(
2
2
0
)7(
2
2
0
)6(
20
)5(
20
)4(
0
)3(
0
)2(
0
)1(
0
























xx
senx
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
b
xx
senx
xx
senx
x
x
senx
x
tgx
a
x
xx
xx
xx
xx
 
Entendendo as “passagens”: 
1) Já que dá 0/0, escrever a tg(x) como a razão entre sen(x) e cos(x). 
2) Foi utilizada a divisão de frações. 
3) Organizamos expressão para aparecer sen(x)/x. 
4) Quando x  0 temos que cos(x)  1. 
5) De sen²x + cos²x = 1, temos que sen²x = 1 – cos²x = 
(1 – cosx)(1 + cosx), pois a² - b² = (a – b)(a + b). 
6) Ideia anterior. 
7) Substituição prevista em (5). 
8) Fizemos aparecer sen(x)/x 
9) Idem (4). 
 
 
35 
Exercícios: 
1). Usando as ideias dos exemplos, calcule: 
x
x
b
xtg
x
a
x
x
cos1
lim)
)(
lim)
0
0


 
 
Resp.: (a) “1” e (b) “0” 
 
2). Fazendo a mudança u = x – a, onde ‘a’ é o valor a qual tende o limite, resolva 
os itens (b) e (c) conforme o exemplo (a). Repare que em cada caso temos 0/0: 
0
2
0
11
2
)cos(1
lim
1
lim
)cos()cos()
2
()
2
cos()()
2
(
)cos()()cos()()(
)
2
()(
22
1
lim)
0
2
2






















u
u
x
senx
uusenusenusen
absenbasenbasen
usenxsen
uxxu
x
senx
a
u
x
x
 
2)(
1cos
lim)
lim)









x
x
c
x
tgx
b
x
x
 
Apoio: 
)()()cos()cos()cos(
)()(1
)()(
)(
bsenasenbaba
btgatg
btgatg
batg




 
 
 
36 
FUNÇÃO 
ÂNGULO 
30º ou 
(/6) 
45º ou 
(/4) 
60º ou 
(/3) 
90º ou 
(/2) 
180º ou 
() 
Seno 
2
1
 
2
2 
2
3 1 0 
Co-seno 
2
3 
2
2 
2
1
 0 -1 
Tangente 
3
3 1 3 
Não existe 0 
Resp.:(b) “-1” e (c) “½”. 
 
Observação: 
0
0
 é forma indeterminada. Assim sendo, se no cálculo de limites 
obter tal expressão, você deve retirar um ou ambos os zeros. Como? Bem... 
 Se função do tipo p(x)/q(x), SEM envolver trigonométricas, dividir 
numerador e denominador por x – a, onde “a” é o valor o qual a variável 
x está tendendo. 
 Se função do tipo p(x)/q(x), COM funções trigonométricas, usar o 
limite fundamental da trigonometria: 
1lim 0 
u
senu
u
. 
 
Alguns resultados úteis: 
 m² – n² = (m – n)(m + n) 
 m³ – n³ = (m – n)(m² + mn + n²) 
 
0
1cos
lim 0 


u
u
u
 
 
2
1cos1
lim
20



u
u
u
. Obs.: Se a variável não tender para zero mude 
de variável... em vez de “x  a” faça “u  0” considerando “u = x – 
a”, que equivale a “x = u + a” 
 











mn
mn
b
a
mn
xq
xp
m
n
x
,0
,
,
)(
)(
lim 
37 
com p(x) = anx
n
 + ... + a0 e q(x) = bmx
m
 + ... + b0. 
 
kx
x e
x
k
 )1(lim
 
Exercícios 
01). A conta de água de uma determinada região é assim composta: 
 Para consumos até 10 m³, paga-se uma taxa de R$ 15,00. 
 Para consumos que excedam os 10 m³ e não sejam superiores a 20m³, 
paga-se R$ 5,00 por cada m³ que excede os 10 m³ iniciais. 
 Para consumos superiores a 20 m³, paga-se R$ 10,00 por cada m³ que 
excede os 20 m³. 
Seja x o consumo em m³ e y o valor a ser pago em reais. 
a) Expresse y em termos de x. 
b) Verifique se a função é contínua em seu domínio 
Resp.: 
(a) 
Y = 15 se 0  x  10 
Y = 15 + 5(x – 10) = 5x – 35 se 10 < x  20 
Y = 5x – 35 + 10(x – 20) = 15x – 235 se 20 < x 
(b) 
Sim. 
 
Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é contínua no valor indicado: 
Lembre-se, verificar se 
)()(lim afxfax 
, quando x  a. Para x < a ou x > 
a, limites laterais. 
02. 
;1c,
1xse1
1xsex
)x(j 






 
Resp.: Sim 
03. 
;2c,
2xse3
2xse
2x
4x
)x(m
2










 
Resp.: Não 
04. 
;2c,
2xse
2
x3
2xse1x
)x(F
2








 
Resp.: Sim 
05. 
;1c,
1xse1
1xse|1x|
)x(G 






 
38 
Resp.: Sim 
06. 
;1ce0c
1xse1x
,1x0sex1
0xse1x
)x(N
2









 
Resp.: Não, em c = 0 e sim em c = 1. 
07. 
2ce0c
2xse2x
2x0sex1
0xse1x3
)x(p 2 








 
Resp.:Sim em c = 0 e não em c = 2 
08. 
;,
,1
,
cos1
)(
)(
2













 c
x
x
x
x
xP
 
Resp.: Não. 
 
09): Calcule os seguintes limites: 
a) 
n
nn
n



...321
1
lim
2 
Sugestão: o denominador é a soma dos termos de uma P.A. 
Resp.: “2” 
b) 
)]5ln(sen[lnlim
0
xx
x

 
Sugestão: ln(u) – ln(v) = ln(u/v). Um resultado útil é 
m
k
mx
kxsen
x 
)(
lim 0
. 
Para ‘provar’ este resultado basta fazer u = kx… 
Resp.:-ln(5) 
 
O número de EULER: e = 
n
n
n
)
1
1(lim 
sendo n um número natural. Este 
resultadopode ser estendido para qualquer número real x. 
Uma das utilidades do número e, e = 
x
x
x
)
1
1(lim 
, é a relação 
com a Matemática Financeira. Isto é, M = C(1 + i)
n
 representa o montante M 
após n períodos que um capital C, investido a uma taxa i, relativa a este período 
n (se o período é mensal, a taxa é mensal, se o período é diário, a taxa é diária, 
etc.). 
39 
Quando a capitalização é contínua, temos M = C.e
in
. Para chegar neste 
valor, procede-se da seguinte maneira, sendo n anual e i taxa anual. 
 Se n for mensal, o novo período é multiplicado por 12 e a taxa 
correspondente é dividida por 12. 
 Passando a considerar n diário, o novo n será n x 12 x 30, e a taxa, que 
está dividida por 12, i/12, fica dividida por 30, ou seja, i/(12 x 30). 
 Passando a considerar valores a cada minuto, a cada segundo, etc. temos 
M = 
nk
k
i
C )1( 
. 
Calcule o limite quando k tende para o infinito da função M e verifique que 
M = C.e
in
 
Sugestão: Uma forma “genérica” do número ‘e’ é obtida mudando de variável. 
Seja y = 1/x. Assim, x    implica que y  0. Por conseguinte, 
y
y
x
x y
x
1
0 )1(lim)
1
1(lim  
. 
Logo, em 
nk
k
i
C )1( 
sendo que k  , seja y = i/k. 
Daí, 
in
in
y
y
y
i
n
y
nk
k
nk
k
eCyCyC
k
i
C
k
i
C
.)1(lim.)1(lim.
)1(lim.)1(lim
1
00 














 
Exercícios: Determine: 
a) 
u
u u
1
0 )1(lim 
 resp.: e 
b) 
x
x
x
)
3
1(lim 
 resp.: e
3
 
c) 
x
x
x
x
)
1
1
(lim



 resp.: e
2 
Sugestão: em (x + 1)/(x – 1), divida numerador e denominador por x... 
 
Para fixar... 
kx
x e
x
k
 )1(lim
. 
Com efeito, sendo u = k/x, temos x = k/u e x   implica em u  0. 
40 
kku
u
u
k
u
x
x
eu
u
x
k




])1[(lim
)1(lim)1(lim
1
0
0
 
Lembrar, que 1 – 3/x, por exemplo, pode ser reescrito como 1 + (-3)/x 
 
Aplicação: Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que 
adoeceram, num certo bairro, após t dias é dado por 
L(t) = 
te 8,0900.191
000.100

 
Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença. 
Resp.: 100.000 
 
Limites importantes: 






 
)ln(lim
)ln(lim
0
x
x
x
x
 
 
Para percebê-los, complete as tabelas, lembrando que ln(x) = log
x
e (logaritmo de 
x na base e), bem como ln(e
k
) = k 
 
 
Primeiro para x   
X e
1 
e
25 
e
2.500
 e
25.000.000
 
Ln(x) Ln(e
1
) = 1 
 
Agora, faça para x  0+ 
X e
-1 
e
-50 
e
-5.000
 e
-5.000.000
 
Ln(x) 
 
Um resultado importante: 
1
1
lim 0 


h
eh
h
, com efeito, se u = e
h
 – 1, 
temos e
h
 = u + 1, de onde h = ln(u + 1). 
Note que h  0 implica u  0 também (por quê?). 
Daí, 
41 
1
ln
1
)1(limln
1
)1ln(
1
lim
)1ln(
1
1
lim
)1ln(
1
lim
)1ln(
lim
1
lim
1
0
)(
10
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
















euu
u
u
u
uu
u
h
e
u
u
v
u
u
iv
u
iii
u
ii
u
ih
h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desejo a cada um de vocês a matemática da vida, a qual consiste em somar 
ótimas amizades, diminuindo as más preocupações, multiplicando os bons 
momentos vividos com amigos e familiares, dividindo amor e compreensão. 
DEUS seja a potência no coração de cada um de nós. 
 
 
42 
4ª Parte Derivadas 
 
 
 
Definição: ( ) 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Regras de derivação: 
 
1). Se f(x) = cxn, então f ’(x) = cnxn - 1 
 Ex.: f(x) = 2x³  f ‘(x) = 23x 3 – 1 = 6x² 
 
2). Se f(x) = g(h(x)), então f’(x) = g’(h(x))h(x). 
Ex.: f(x) = (ax + b)
n, neste caso, a função de “dentro” ou h(x) é ax + b e a de 
“fora” ou g(x) é un (a de fora é obtida ‘pondo a mão’ sobre o que está dentro dos 
parênteses). Assim, g(u) = u
n
  g’(u) = nun – 1 e g’(h(x)) = n[h(x)]n – 1 = n(ax + 
b)
n – 1. E quem é h’(x)? Bem, vamos lembrar a definição de derivada... 
aa
t
at
t
baxbatax
t
baxbtxa
t
xhtxh
xh
tt
t
t
t











00
0
0
0
limlim
lim
][])([
lim
)()(
lim)('
 
Por fim, g’(h(x)) = an(ax + b)n - 1 
Ex. numérico: [(8x + 11)
9]’ = 8.9.( 8x + 11)9 – 1 = 72(8x + 9)8 
 
3). Se f(x) = senx, então f ’(x) = cosx 
4). Se f(x) = cosx, então f ’(x) = - senx 
5). Se f(x) = tgx, então f ’(x) = sec²x 
6). Se f(x) = cotgx, então f ’(x) = - cosec²x 
7). Se f(x) = secx, então f ’(x) = secxtgx 
8). Se f(x) = cosecx, então f ’(x) = - cosecxcotgx 
9). Se f(x) = lnx, então f ’(x) =1/x 
10). Se f(x) = g(x)  h(x), então f ’(x) = g’(x)  h’(x) 
11). Se f(x) = g(x)h(x), então f ’(x) = g’(x)h(x) + g(x)h’(x) 
12). Se f(x) = g(x)/h(x), então f ’(x) = [g’(x)h(x) - g(x)h’(x)]/[h(x)]² 
43 
Deduzindo algumas das regras de derivação: 
 
 
***Derivada do produto: f(x) = g(x).h(x) 
 
)(').()().('
)](
)()(
)(
)()(
[lim
]
)()()()()()()()(
[lim
)()()]()()()([)()(
lim
)()()()(
lim
)()(
lim
)5(
0
)4(
0
)3(
0
)2(
0
)1(
0
xhxgxhxg
xg
u
xguxh
uxh
u
xguxg
u
xhxguxhxg
u
uxhxguxhuxg
u
xhxguxhxguxhxguxhuxg
u
xhxguxhuxg
u
xfuxf
u
u
u
u
u




















 
 
 
***Derivada de f(x) = sen(x) 
 
)cos(1).cos(0).(
]
)(
)cos(
1)cos(
)([lim
)()cos()()cos()(
lim
)()(
lim
)()(
lim
)3(
0
)2(
0
)1(
00
xxxsen
h
hsen
x
h
h
xsen
h
xsenxhsenhxsen
h
xsenhxsen
h
xfhxf
h
h
hh












 
 
 
***Derivada de f(x) = e
x
 
x
h
x
h
xhx
hh
e
h
e
e
h
ee
h
xfhxf









1
lim
lim
)()(
lim
0
)2(
0
)1(
0
 
 
 
44 
***Derivada de f(x) = ln(x) 
x
eh
x
h
xh
x
hx
h
h
xhx
h
xfhxf
xh
hh
h
hh
1ln)
1
1ln(lim)
1
1ln(
1
lim
)ln(
1
lim
)ln()ln(
lim
)()(
lim
1)4(1
0
)3(
0
)2(
0
)1(
00










 
 
 
EXERCÍCIOS (com respostas mais adiante...) 
 
01). Derive, após obter as funções: 
 A) Considere um círculo de raio igual a x cm, se um quadrado está 
inscrito neste círculo, determine a área A do quadrado em função de x. Faça um 
esboço do seu gráfico. 
 B) Dado um pedaço de papelão quadrado com 12 cm de lado, tira-se de 
cada canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados 
de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine o volume V da caixa em 
função de x, indicando o domínio e a imagem. 
 
02) A temperatura T, em graus centígrados, do forno de uma padaria varia, a 
partir do momento em que é ligado, de acordo com a equação: 
1m
26m180
T



. 
a) A que temperatura está o forno quando é ligado? 
b) Como evolui a temperatura com o tempo? 
c) Para que valor vai tender a estabilizar a temperatura? 
d) Qual é a taxa de aquecimento do forno no momento em que é ligado? E aos 
10 minutos? E ao fim de uma hora? 
 
Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas primeira e segunda da função dada, 
usando fórmulas de derivação: 
03). 
a x x( ) ;  3
 
04). 
c x x x( ) ;  5 32 1
 
05).
;x
x
1
x
1)x(e
3

 
45 
06). 
 f x x( ) ; 2
5
1
 
07). 
;
2x
x)x(s


 
08). w(x) = sen²(x) 
09). R(x) = tg(x) – cotg(x) 
10).
;
2
tsen)t(H 2
 
11). U(x) = ln(x² + 1) 
 
12). Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas 
tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente 
a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado: 
a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) 
b) y = x/(x² + 1), P(0, 0) 
c) y² + x² = 1, P(1, 0) 
d) x² - y² = 1, P(-1, 0) 
e) y = tg(1 – x²), em x = 1 
f) y = ln(x² + 1), em x = 1 
obs.: 
Derivação implícita: 
Se f(x) = [g(x)]
n
  f’(x) = n[g(x)]n – 1.g’(x) 
Assim, se y = f(x), então (y³)’ = 3y².y’. 
Você usará esta ideia nos itens (c) e (d). 
 
13). Em Economia, a função custo marginal é a derivada da função custo total 
associada à produção de um bem, e na qual x representaa quantidade produzida. 
Determinar a função custo marginal em relação às seguintes funções custo total 
(CT): 
a) CT = 2x + 100 
b) CT = (4x + 24)
1/2
 + 30 
 
14). 
(a). Seja uma função real g derivável e f(x) = g[5 + ln(x² + 1)]. Determine o valor 
de f ’(1) sabendo que g’(5 + ln2) = 2. 
(b). Seja f uma função derivável e g(x) = f(e
2x). Calcule g´(0) sendo f ’(1) = 2 
 
15). Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de 
movimento, s = 5 – 4cos²t, onde s metros é a distância orientada da partícula 
desde a origem em t segundos. Se v (m/s) e a (m/s²) são, respectivamente, a 
46 
velocidade e a aceleração da partícula, encontre v e a. Lembre-se: v = ds/dt e a = 
dv/dt. 
 
Respostas: 
(entender e refazer organizando ideias formalmente) 
 
1ª. Questão 
(a) Ao inscrever um quadrado em uma circunferência, a diagonal do quadrado 
será o diâmetro da circunferência. Assim, se k indicar o lado do quadrado, sua 
diagonal será k2. E o diâmetro é 2x. Como queremos a área, A = k². Ora, k2 = 
2x  2k² = 4x²  k² = 2x²  A = 2x²  A’ = 4x. 
 
(b) Em relação ao volume, 0 < x < 6, pois não faz sentido medida negativa (para 
esta aplicação!). Daí, como o volume de uma caixa é o produto das medidas 
(largura x altura x comprimento), temos V = x.(12 – 2x).(12 – 2x) = 144x – 48x² 
+ 4x³. Portanto, V’ será igual a 144 – 96x + 12x². 
 
2ª. Questão 
(a). Qual a sua idade no ano que você nasceu? Seguindo esta ideia, quando é 
ligado, o tempo é zero. Logo T(0) = - 26
o
C. 
(b). Perceba que T(m) é do tipo 
(c). Estabiliza-se com m muito grande, isto é, m  . Logo, lembrando que o 
grau do numerador é igual ao grau do denominador, o resultado do limite é 180/1 
= 180. 
(d). É só calcular a derivada em cada um dos valores. 
 
3ª. Questão  A’(x) = -3x² e A’’(x) = -6x 
 
4ª. Questão  C’(x) = 5x4 – 6x² e C”(x) = 20x³ - 12x. 
 
5ª. Questão  e(x) = x – 3 – x – 1 + x  e’(x) = -3x – 4 + x- 2 + 1 e e”(x) = 12x- 5 – 
2x
-3
 
 
6ª. Questão 
Perceba que f(x) = g(h(x)), onde g(u) = u
5
 e h(x) = x² - 1. Sendo f ’(x) = 
g’(h(x)).h’(x), então f ’(x) = 5(x² - 1)4.2x = 10x.(x² - 1)4. 
Já para o cálculo da derivada segunda, usaremos regra do produto e regra da 
cadeia. 
f”(x) = [10x]’.(x² - 1)4 + 10x.[(x² - 1)4]’. 
Daí, f”(x) = 10.(x² - 1)4 + 10x.4.(x² - 1)3.2x 
= 10(x² - 1)
4
 + 80x².(x² - 1)³ (pode desenvolver, se quiser!) 
47 
7ª. Questão 
332
222
)2(4)2).(2).(2()(")2.(2)('
)2(
2
)2(
1.)2.(1
)2(
)'2.()2)'.((
)('
 









xxxsxxs
xx
xx
x
xxxx
xs 
 
8ª. Questão 
W(x) = (senx)²  w’(x) = 2.(senx).cosx (regra da cadeia). 
Pode ser visto como sen(2x). Daí, w”(x) = cos(2x).2 (novamente regra da cadeia) 
 
9ª. Questão 
R’(x) = sec²x – (-csc²x) = sec²x + csc²x 
Regra da cadeia será usada para o cálculo da derivada segunda. 
R”(x) = 2.secx.(secx.tgx) + 2cscx.(-cscx.ctgx) = 2sec²x.tgx – 2csc²x.ctgx 
 
10ª. Questão 
Atenção: sen²(t/2) = [sen(t/2)]², 
assim, H’(t) = 2.sen(t/2).cos(t/2).1/2. 
De sen(2u) = 2sen(u)cos(u), podemos perceber que 
H’(t) = sen(t)/2. 
Logo, H”(t) = cos(t)/2. 
 
11ª. Questão 
U’(x) = 2x/(x² + 1). Não esquecer que (lnu)’ = (1/u).u’ = u’/u. 
U”(x) = [(2x)’.(x² + 1) – 2x.(x² + 1)’]/(x² + 1)² = 
[2.(x² + 1) – 2x.(2x)]/(x² + 1)² por conseguinte, 
u” = (1 - 2x²)/(x² + 1)² 
 
12ª. Questão 
A equação da reta tangente em (xp, yp) é dada por 
y – yp = f ’(xp).(x – xp). 
(a). y’ = 2x + 2. Daí, f ’(1) = 4  y – 4 = 4(x – 1)  y = 4x. 
 
(b). y’ = [(x)’.(x² + 1) – x.(x² + 1)’]/(x² + 1)² = 
[1.(x² + 1) – x.(2x)]/(x² + 1)² por conseguinte, 
y’ = (1 - x²)/(x² + 1)². Daí, f ’(0) = 1  y – 0 = 1(x – 0)  y = x. 
 
(c). (x² + y²)’ = (1)’  2x + 2y.y’ = 0  y’ = - x/y. Note que não existe y’ 
quando y for 0. A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao eixo x. 
No caso, x = 1. 
 
48 
(d). (x² - y²)’ = (1)’  2x - 2y.y’ = 0  y’ = x/y. Note que não existe y’ quando 
y for 0. A interpretação geométrica é uma reta perpendicular ao eixo x. 
No caso, x = -1. 
 
(e). y’ = sec²(1 – x²).(-2x), lembrar da regra da cadeia. Em x = 1, temos que o 
valor da derivada será f ’(1) = sec²(1 – 1²).(-2.1) = sec²(0).(-2) = -2. Pois, como 
sec(0) = 1/cos(0), temos que sec(0) = 1/1 = 1. E quem é o yp? 
Ora, sendo x = 1, f(1) = tg(1 – 1²) = tg(0) = 0. 
Por conseguinte, y – 0 = 2(x – 1)  y = 2x – 2. 
 
(f). y’ = 2x/(x² + 1). Não esquecer que (lnu)’ = (1/u).u’ = u’/u. 
f ’(1) = 1. Para o cálculo do yp, f(1) = ln(1 + 1²) = ln2. 
Assim, y – ln2 = 1(x – 1)  y = x – 1 + ln2. 
 
13ª. Questão 
(a). (CT)’ = 2 
(b). (CT)’ = [(4x + 24)1/2]’ + (30)’ = (1/2).(4x + 24)- ½.(4) = 2.(4x + 24)- ½ 
 
14ª. Questão 
Objetivo deste tipo de questão é analisar a interpretação do discente. 
F’(x) = g’(5 + ln(x² + 1)).[5 + ln(x² + 1)]’, estamos usando a regra da cadeia. 
F’(x) = g’(5 + ln(x² + 1)).[2x/(x² + 1)], lembrando que (lnu)’ = u’/u. 
F”(1) = g’(5 + ln(1² + 1)).[2.1/(1² + 1)] = g’(5 + ln2).1 = 2. 
 
(b). g’(x) = f ’(e2x).(e2x)’ = f ’(e2x).(e2x).2  
g’(0) = f ’(e2.0).(e2.0).2 = f ’(1).1.2 = 4 
 
15ª. Questão 
A velocidade é: s’ = (5 – 4cos²t)’ = -4.2.(cost).sent = -4sen(2t), sendo usado o 
fato que sen(2t) = 2.sent.cost. E a aceleração é v’ = (-4).cos(2t).2 = -8cos(2t). 
Atenção: (cos²x)’ = (cosx.cosx)’ = 
(cosx)’.(cosx) + (cosx).(cosx)’ = 
2.(cosx)’.cosx = - 2senx.cosx = - sen(2x) 
Ou, considere f(x) = cos²x = (cosx)² 
Perceba que f(x) = g(h(x)), 
Onde g( ) = ( )² (ou g(u) = u², sendo “u” variável de apoio). 
E h(x) = cosx. 
Como f’(x) = g’(h(x)).h’(x) 
Segue-se que g’(u) = 2u  g’(h(x)) = 2h(x) = 2cosx. 
Sendo h’(x) = -senx, 
(cos²x) = -2cosx.senx 
49 
Extremos (ou aplicações de máximos e mínimos) 
 
Quando queremos um valor de máximo estamos interessados no valor 
em que x = c tal que f’(c) = 0 e f’’(c) < 0. Será de mínimo quando f’(c) = 0 e 
f’’(c) > 0. 
Observação: Podemos ter pontos críticos tais que não exista f’(x). Tais casos não 
serão aqui abordados, pois o intuito é a aplicação. 
A função da derivada primeira é estar associada ao crescimento 
(intervalos onde f’(x) > 0) ou decrescimento (intervalos onde f’(x) < 0) de uma 
função. 
A derivada segunda está relacionada com a concavidade para cima 
(f’’(x) > 0) ou para baixo (f’’(x) < 0). 
 
Atividades: 
16). Se a função de demanda de um bem é dada por p = (a – bx)1/2, onde p é o 
preço, x a quantidade demandada e a e b são constantes positivas, demonstrar 
que a elasticidade de demanda, Ex, dada por: 
dp
dx
x
p

, decresce com o 
aumento de x e que Ex = - 1 quando o valor de x for igual a 2a/b. 
 
17). O processo usado para se aumentar um capital é denominado formação de 
capital. Se este processo é considerado como sendo contínuo ao longo do tempo, 
o capital pode ser expresso como uma função do tempo k(t), e a taxa de 
formação de capital é, então, dada por k’(t). A taxa de formação de capital no 
instante t é igual à taxa de fluxo de investimento líquido no instante t, denotada 
por I(t). 
 Determine I(t) se K(t) = 5t² + 7
 
 
18). Com uma folha de papelão quadrada de lado 15 cm, cortando-se partes 
quadradas nos cantos e dobrando-as, deseja-se construir uma caixa aberta, do 
tipo de uma caixa de sapatos. O volume máximo que pode ter uma caixa assim 
construída é um valor... 
 
19). A função y = A sen(kx), com A > 0, e sua derivada segunda y’’ satisfazem 
identicamente a igualdade y’’ + 4y = 0. O valor da derivada primeira y’, para x = 
0, é 12. Calcular as constantes A e k. 
 
20). Uma caixa d´água tem o formato de um cone circular reto invertido com 120 
cm de diâmetro e 150 cm de altura. Uma torneira enche essa caixa à razão de 
1000π mm³/seg. Determinando a taxa de variação da altura no instante em que a 
água está a 90 cm de altura, obtemos um valor... 
50 
 
21). Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 400ml. Calcular o 
raio da base de modo que o material gasto na embalagem seja o mínimo possível. 
 
22). A altura de um cone circular reto é 15 cme aumenta na razão de 0,2 
cm/min. O raio da base é 10 cm. Qual a taxa de variação do volume quando a 
altura for de 20 cm? 
 
23). Seja p = - 2 + 100/(x + 5) a curva de demanda de determinado bem (p = 
preço, x = quantidade demandada). Verificar se no seu domínio a curva é 
estritamente decrescente e tem concavidade voltada para baixo. 
 
24). Verificar em quais intervalos do domínio de cada uma das funções abaixo a 
função é crescente, e em quais tem concavidade voltada para cima: 
a) p = 0,5ln(20/x) 
b) p = (a – bx)², com a > 0 e b > 0. 
 
RESPOSTAS 
16ª. Questão 
Atenção! Não esquecer que 
dp
dxdx
dp 1

. Assim, p’ (ou dp/dx) é (1/2).(a – bx)-
1/2
.(-b). 
Desta feita, 
bx
p
bxa
bx
p
bxabx
p
dx
dpx
p
Ex
2
2
1
2
1
2
)(
2
2
))((
11





 
Por hipótese, Ex = -1. Daí, 2p² = -bx  2(a – bx) = -bx  2a = bx  x = 2a/b. 
 
17ª. Questão 
I(t) = K’(t) = 10t. 
 
18ª. Questão 
O volume, de domínio 0 < x < 7,5, pois não faz sentido medida negativa (para 
esta aplicação!). Daí, como o volume de uma caixa é o produto das medidas 
(largura x altura x comprimento), temos V = x.(15 – 2x).(15 – 2x) = 225x – 60x² 
+ 4x³. Portanto, V’ será igual a 225 – 120x + 12x². 
Queremos x tal que v’ = 0. Daí 
51 










5,2
5,7
24
60120
)12(2
)225)(12(4)120()120(
2
4
22
a
acbb
x
 
Logo, x = 2,5 (pois 7,5 não pertence ao domínio da função) 
 
19ª. Questão 
Temos que y’ = A.cos(kx).k = Ak.cos(kx). De y’(0) = 12, segue-se que 12 = 
Ak.cos(0). De onde Ak = 12. 
Como A > 0, segue-se que k > 0. E quem é k? Usar a outra hipótese. Dado que 
y” + 4y = 0  
-Ak²sen(kx) + 4Asen(kx) = 0  Asen(kx)(4 – k²) = 0. Dado que k > 0, k² = 4, de 
onde k = 2. Daí, A = 6. 
 
20ª. Questão 
Uma relação que será utilizada nesta e em outras questões é: 
dado
dado
H
R
H
R

. 
Como Rdado = 60 e Hdado = 150, segue-se que R = 2H/5. 
O volume do cone é: 
3
2HR . Para este caso, 
75
4
3
)
5
2
(
3
3
2
2 H
H
H
HR
V


 
Derivar ambas as variáveis em relação ao tempo. 
segcmHH
HHV
H
V
/
1296
1
'')90(
25
4
'3
75
4
'.1)'
75
4
()'(
2
2
3




 
 
21ª. Questão 
V = R²H = 400. A área total é 2Abase + Alateral. Daí, A = 2R² + 2RH. Como 
queremos o raio, isolar H na expressão do volume. Assim, H = 400/R². 
Organizando, a área será 2R² + 2R(400/R²) = 
2R² + 800.R-1. Daí, queremos R tal que A’ = 0. 
52 
Assim, A’ = 4R - 800.R-2 = 0  R = 
4
200
3 

 
 
 
22ª. Questão 
Dado H’ = 0,2 cm/min. Como Rdado = 10 e Hdado = 15, segue-se que R = 2H/3. 
Queremos V’. Derivar ambas as variáveis em relação ao tempo. 
min/
9
160
')2,0()20(
9
4
'
'3
27
4
'.1)'
27
4
()'(
32
2
3
cmVV
HHV
H
V




 
 
 
23ª. Questão 
Será decrescente para valores tais que p’ < 0. A concavidade será voltada para 
baixo (CPB) nos valores em que p” < 0. Perceba que p = -2 + 100(x + 5)-1. 
Daí p’ = -100(x + 5)-2, que é sempre negativa. 
Já p” = 200(x + 5)-3 será sempre positiva. 
 
 
24ª. Questão 
(a). p’ = 
x
x
x
x
x 5,0
20
20
5,0
/20
)'/20(
5,0
2 


 . Como x > 0  p’ < 0. 
Para facilitar derivação, perceba que p’ = -0,5x-1  p” = 0,5x-2 > 0. 
 
 
(b). p’ = 2(a – bx)(-b)  p’ > 0 se -2b(a – bx) > 0  a – bx < 0 (dividindo tudo 
por -2b) daí, a < bx  x > a/b. 
Por analogia, p’ < 0  x < a/b. Em relação ao p”, note que p’ vale -2ab 
+ 2b²x. Logo, p” = 2b² > 0. 
 
 
 
 
 
 
53 
EXERCÍCIOS – PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
25). Determine a altura do cone de maior volume que pode ser gerado pela 
rotação de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 2 cm em torno de um 
dos catetos. 
 
26). Se a velocidade de uma onda de comprimento L, em águas profundas, é 
dada por: 
L
B
B
L
Mv 
 
Onde M e B são constantes positivas, qual é o comprimento de onda que 
minimiza a velocidade? 
 
27). A taxa aeróbica de uma pessoa com x anos de idade é dada por: 
x
x
xA
)2(ln110
)(


 
Sendo x  11. Em que idade a pessoa tem capacidade aeróbica máxima? 
 
28). Para se fazer uma circunferência e um quadrado cortou-se um fio de arame, 
com 100cm de comprimento, em dois bocados. 
 
De que maneira deve ser cortado o fio de modo que a área total 
(círculo+quadrado) seja mínima? 
 
29). Na figura, um retângulo em cor, está inscrito no triângulo retângulo isóscele 
cujos catetos medem 20 cm. Determina as dimensões do retângulo de área 
máxima. 
 
 
 
30). Dentre os retângulos de perímetro dado, qual o de maior área? 
 
54 
RESPOSTAS 
 
25ª. Questão 
Sejam x e y os catetos, sendo x o raio e y a altura quando obtemos o cone via 
rotação em torno do cateto de lado y. Logo, x² + y² = 4. O volume do cone será 
x²y/3. Organizando, V = (4 – y²)y/3 = (/3)(4y – y³)  V’ = (/3).(4 – 3y²). 
Queremos y tal que V’ = 0. De onde concluimos que y = 
3
32 . 
 
26ª. Questão 
BLBL
B
v
BLL
B
BL
B
M
BL
B
BLL
B
MvBLL
B
Mv










0
1
0'
)
1
(2
)
1
(
)
1
()
1
(
2
1
')
1
(
2
2
1
1
2
22
1
12
1
1
 
 
27ª. Questão 
213ln0ln30)('
ln3
110
1)2(ln)
1
(
110
)'()2(ln)'2(ln
110)('
3
22
2








exxxxA
x
x
x
xx
x
x
xxxx
xA
 
Obs.: Não confundir lnx – 2 com ln(x – 2). 
 
28ª. Questão 
Atotal = R² + x². Pelo comprimento, 100 = 2R + 4x. Vamos isolar x. x = 25 - 
R/2. 
Daí, Atotal = R² + x² = R² + (25 - R/2)². Queremos R tal que A’ = 0. Desta 
feita, derivando temos A’ = 2R + 2(25 - R/2).(- /2) = 2R -  (25 - R/2) = 0 
Portanto, R = 50/(4 + ) que vale aproximadamente 7 (sete). E x fica em torno de 
11,5. 
 
55 
29ª. Questão 
A área do retângulo é xy. Aplicando semelhança de triângulos, temos y/(20 – x) 
= 20/20  y = 20 – x. assim, A = x(20 – x) = 20x – x². Queremos x tal que 
A’ = 0. 
A’ = 20 – 2x. logo, x = 10 e y = 10 (quadrado). 
 
30ª. Questão 
Seja 2p o perímetro do retângulo. Daí, 2p = 2x + 2y (sendo x e y os lados do 
retângulo). Ou seja, p = x + y  y = p – x e A = xy = x(p – x) = xp – x². 
Queremos x tal que A’ = 0. Por conseguinte, x = p/2. 
 
 
Resumo: para função g(x) definida em um intervalo I. 
* g’(x) > 0  função crescente (no intervalo); 
* g’(x) < 0  função decrescente (no intervalo); 
* g’’(x) > 0  concavidade voltada para cima:  
* g’’(x) < 0  concavidade voltada para baixo:  
 
 
31). Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas 
figuras: 
 
 
RESPOSTA: 
Item (a). 
y’ = 3a(x – b)². Como a < 0, y’ < 0, com efeito, (x – b)² > 0. Função sempre 
decrescente. Para concavidade, analisar derivada segunda: y’’ = 6a(x – b). Note 
que y’’ = 0  x = b. 
Assim, 
Se x < b  y’’ > 0, pois a < 0 e x – b < 0. Daí, concavidade voltada para cima. 
Se x > b  y’’ < 0, pois a < 0 e x – b > 0. Daí, concavidade voltada para baixo. 
Quando x = b, y = c, pois y = a(x – b)³ + c. 
 
Item (b). 
Y’ = 3x² - 6x  y’ = 0  x = 0 ou x = 2. 
Y’’ = 6x – 6  y’’ = 0  x = 1. 
 
56 
Intervalo 
y = x³ - 3x² 
+ 2 
Y’ Y’’ Conclusão 
X < 0 *** + - 
Crescente e 
CPB 
X = 0 2 0 - Máximo local 
0 < x < 1 *** - - 
decrescente e 
CPB 
X = 1 0 - 0 Ponto inflexão 
1 < x < 2 *** - + 
decrescente e 
CPC 
X = 2 -2 0 + Mínimo local 
X > 2 *** + + 
Crescente e 
CPC 
 
Item (c). 
0)()(
11
0)(''
9
4
9
4
)(''
111)(1
1
0)('
3
4
3
4
)('2)(
4233
4
33
2
3
4
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4
2333
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
3
2









xxxxx
xx
xx
xxxgxxxg
xxxx
x
x
xxxg
xxxgxxxg
 
 
Siga ideia de construir tabela para obter o gráfico mencionado. 
 
Regras de L’Hospital 
 
Se no cálculo de limites aparecer 0/0 ou /, “basta” derivar numerador 
e denominador simultaneamente: 
57 
)('
)('
)(
)(
lim
ag
af
xg
xf
ax 
 
Caso particular... 0 x . Neste caso, lembrar que 4 x 5 = 20. Também temos que 
4 : (1/5) = 20. Ou seja, 1/(1/5) = 5.Isto é, ab = a/(1/b). 
 
 
32). Usando L’Hopital, calcule: 
a) 
34
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 
b) 
xx e
x
3
ln
lim

 
c) 
senx
x
x
0
lim
 
d) 
xx
x
ex
1
0
)(lim 

 
 
33). Um circuito elétrico tem resistência de R ohms, uma indutância de L henrys 
e uma força eletromotriz de E volts. Considere E, R e L positivos. Se I amperes é 
a corrente no circuito t segundos após este ter sido ligado, então 
)1( / LRte
R
E
I 
 
calculando o limite de I quando R tende para ZERO pela direita, obtemos... 
34). Calcule 
n
nn
n



...321
1
lim
2 
 
 
32ª. Questão 
Item (a) 
1
42
2
lim
34
1
lim
12
2
1





 x
x
xx
x
xx
 
Item (b) 
0
3
1
lim
3
1
lim
ln
lim
333

 xxxxxx xee
x
e
x 
Item (c) 
58 
1lim0)limln(
0
)1(
0
1
)cos(
lim
)cos(
1
lim
cos
1
lim)(lnlim
1
ln
limln.lim)(lnlim
ln.lnlim
0
00
0
2
0
2
0
'"
0
000
0























eyy
x
senx
x
senx
x
xsen
x
xsen
x
xy
senx
x
xsenxy
xsenxyxyx
xx
xx
x
HopitalL
x
xxx
senxsenx
x
 
Item (d) 
2
000
0
'
00
111
0
lim2)limln()(lnlim
2
1
1
lim)ln(
1
lim)(lnlim
)ln(
1
)ln(ln)()(lim
eyyy
ex
e
ex
x
y
ex
x
exyexyex
xxx
x
x
x
HopitalL
x
xx
x
xxxxxx
x









 
 
33ª. Questão 
LEt
LteE
e
R
E
I
LRt
R
HopitalL
LRt
RR
/
1
)/()(
lim
)1(limlim
/
0
'
/
00









 
 
34ª. Questão 
Note que temos a soma dos termos de uma Progressão Aritmética: 1 + 2 + ... + n 
= (1 + n).n/2 = (n² + n)/2 
59 
2
1
2
lim
2
1
12
lim
22
1
lim
...321
1
lim
"
"
2
22











n
HopitalL
n
HopitalL
nn
n
n
nn
nn
n
nn
 
 
 
60 
5ª Parte Integração 
 
 
 
Relembrando algumas regras de integração... 
considerando integral como antiderivada 
 
 
0;
1
0;)(
1
)cos(
0;)cos(
1
)(
0;
1|,|ln
1
1,
1
)(1
)(
)()()]()([
1




















 

kCe
k
dxe
kCdxkxsen
k
dxkx
kCdxkx
k
dxkxsen
a
xbax
a
x
n
bax
adxbax
dxxgdxxfdxxgxf
kxkx
n
n
 
 
 
Alguns exercícios resolvidos 
 
 
1). Se 
axdx
dp
2
1

 e p = 2a se x = a³/2, ache o valor de p quando x = 2a³. 
Resposta: 
61 
aaa
a
pax
aCC
a
a
a
ap
a
x
Cx
a
C
x
a
p
dxx
a
dxx
a
dp
dxx
a
dp
axdx
dp
3)2(
2
2
)
2
(
2
2
2
2
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
33
2
13
3
2
112
1
2
1
2
1
2
1












 
 
2). Se a função de consumo é dada por y = f(x), onde y é o consumo nacional 
total e x é a renda nacional total, então a tendência marginal ao consumo é igual 
a derivada do consumo com relação a x. Supondo x = y + s, onde s é a poupança, 
a tendência marginal à poupança é 
dx
dy
dx
ds
1
 (por quê?). 
a) Se a tendência marginal ao consumo (em bilhões de dólares) é 
xdx
dy 2,0
7,0 
. Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 8 
bilhões de dólares. Ache a função de consumo. 
b) A tendência marginal a poupança é 1/3. Quando a renda é igual a zero, 
o consumo é de 11 bilhões de dólares. Ache a função de consumo. 
 
Resposta: 
Vamos justificar a fórmula... 
Sendo x = y + s, derivando em relação à variável x... 
(x)’ = (y + s)’ = (y)’ + (s)’ 
Daí, 1 = y’ + s’. Ou, s’ = 1 – y’. 
Item a) 
62 
CCxxy
dxx
dx
x
dy
xdx
dy




84,07,0
)2,07,0(
)
2,0
7,0(
2,0
7,0
2
1
2
1
 
 
 
Para as questões 03 e 04 considere o seguinte enunciado: 
 
O processo usado para se aumentar um capital é denominado formação de 
capital. Se este processo é considerado como sendo contínuo ao longo do tempo, 
o capital pode ser expresso como uma função do tempo k(t), e a taxa de 
formação de capital é, então, dada por k’(t). A taxa de formação de capital no 
instante t é igual à taxa de fluxo de investimento líquido no instante t, denotada 
por I(t). 
 
03). Qual é a relação entre as expressões k(t) e I(t)? 
a)
  dttIdttktI )(')()(
 
b) I’(t) = k’(t) 
c) I(t) = k(t) 
d) 
  dttIdttktk )()(')(
 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
04). Se o fluxo de investimento é dado por I(t) = 25t
4
 e o estoque de capital 
inicial, k(0), é igual a $ 0,45, ache a função que representa o capital k(t). 
a) 25t
5
 + 0,45 b) 25t
5
 - 0,45 
c) 100t
3
 + 0,45 d) 25t
3 
+ 0,45 
e) nenhuma das respostas anteriores 
SOLUÇÂO: 
Ck
CtC
t
dttdttdttIdttktk


   
)0(
5
5
.25
2525)()(')(
5
5
44
 
Logo, item (e) 
63 
05). A função custo marginal é a derivada da função custo total. Determinando a 
função de custo total sendo a função custo marginal dada por y’ = 1,064 – 
0,005x, sabendo que o custo fixo – isto é, f(0) – é de $ 0,163, temos: 
a) 1,064x + 0,025x² + 0,163 
b) 1,064x – 0,025x² + 0,163 
c) 0,163x – 0,005x² + 1,064 
d) 0,163x + 0,005x² + 1,064 
e) nenhuma das respostas anteriores 
 
06). A velocidade de uma partícula em M.H.S. é dada por v(t) = 4.cos(t + 
/6). Qual é a equação horária, s(t), dado que s(0) = 2? 
SOLUÇÃO: 
V = ds/dt .: ds = v.dt .: s =  4.cos(t + /6)dt = 4.cos(t + /6)dt = 
4. (1/).sen(t + /6) + C = 4sen(t + /6) + C.: s(0) = 2 .: 2 = 4sen(/6) + C .: 
C = 0. 
 
07). Calcule as integrais: 



4
0
)
31
)

tgxdxb
e
dxe
a
x
x
 
 
SOLUÇÃO: 
a). Seja u = 1 + 3e
x
. Daí, du/dx = 3e
x
  du = 3ex.dx. Assim, 
  





cecuc
u
duu
u
du
e
dxe x
x
x
31
3
2
3
2
1
2
13
1
3
13
31
2
112
1
2
1 
b). Vamos encontrar F(x), resultado da integral. Depois fazemos F(/4) – F(0). 
Lembrar que tgx = senx / cosx. Logo, seja u = cosx.: du = -senx.dx. Daí, 
 
Agora é só fazer a 
diferença. 
 
Mais exercícios: 
 
01). O gráfico de uma função g é dado a seguir. Faça um esboço do gráfico da 
função antiderivada de g, que passa pelo ponto (0,1). 
  

 cxcu
u
du
x
senxdx
tgxdx |cos|ln||ln
cos
64 
 
 
 
02). Calcule: 
a) ∫( 
 
√ 
) 
b)∫ (
 
√ 
 
√ 
 
) 
c) ∫
 
 
 
d)∫ (
 
 
 √ 
 
 
) 
 
03). Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que 
remunera o capital C investido de acordo com a equação 
 
 
 Supondo 
que o capital investido no instante t=0 seja C0, determine o valor do capital no 
instante t. 
 
 
SOLUÇÕES 
1ª. Questão 
Como o gráfico representa uma parábola, e esta é o gráfico da função do 
segundo grau, segue-se que y = ax² + bx + c é a função do gráfico. Perceba que 
as raízes são x = 1 e x = 3. Assim, 
X = 1 e y = 0  a + b + c = 0 (eq. I) 
X = 3 e y = 0  9a + 3b + c = 0 (eq. II) 
 Do vértice, x = 2 e y = -1. daí, 
X = 2 e y = -1  4a + 2b + c = -1 (eq. III) 
 Das equações (eq. I) e (eq. II) temos que 8a + 2b = 0 (fazendo a 
diferença entre as equações) b = -4a 
 Em (eq. I), a – 4a + c = 0  c = 3a 
 Usando (eq. III), 4a + 2(-4a) + (3a) = -1 a = 1. 
 Logo, b = -4 e c = 3. 
 Assim, y = x² - 4x + 3. 
65 
 Como queremos a anti-derivada, vamos integrar: 
Cxx
x
Cx
xx
dxxx  323
3
2
4
3
)34( 2
323
2
 
 Determinamos C a partir da informação do problema: 
Passar por (1, 0). Assim, 0 = 1/3 – 2 + 3 + C  C = -4/3 
 
 
2ª. Questão 
a)
 
 

 CttC
tt
dttt 2/13
2/13
2/32 23
)2/1(3
9)9(
 
b) 
 

CxxC
xx
dx
x
x 2
5
2
12
5
2
1
2
3
2
1
15
2
2
2
53
1
2
1
)
3
(
 
c) 
CxC
x
C
u
C
u
duu
u
du
x
senxdx
senxdxdu
xuxx









  
sec
cos
11
)1(
)(
cos
cos)(coscos
1
2
22
22
 
d) 
 
 Ct
t
eCt
t
edttte ttt ln
3
2
2
1
ln
2
32
1
)
2
1
(
2/32/3
12
1
 
 
3ª. Questão 
tkktKt eCCeCteeeC
ktCdt
C
dC
dt
C
dC
C
dt
dC
08,0
00
08,008,0 0
08,0ln08,0
08,008,0




 
 
66 
MAIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
01. 
 23x 2x 1 dx;  
SOL.: