TEORIA10-DERIVADAS-FUNCOESCOMPOSTASa289989

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Cálculo 1 
Cálculo I 
Professor: José Mirtênio da Paz 
Revisão: Aula 10 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
Aula 10 – Função Composta 
 
 
 
Objetivo: Ao final desta aula o aluno deve ser capa z de: 
 
 
► Entender derivada da função Composta. 
 
► Revisar todos os conteúdos de Derivadas. 
 
 
 
 
 
 
Conteúdos: 
 
 
► Derivada da função Composta (Regra da Cadeia) 
 
► Revisão Geral sobre as regras de Derivação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
9. Derivadas da Função Composta 
 
 
Considere a função composta definida por ���� � ������	; se as 
derivadas �`��	 e �`��	 existem, então: 
�	`��� � �	`	���.		�	`	���. 
De uma forma mais simples, podemos escrever: 

 � ������	 		→ 		
	` � 	�	`	���.		�	`	��� 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1º Exemplo: Dada a função ���� � 	���	�3��, calcular �	`	���. 
 
1ª Maneira 
 
Resolução: Transformando, temos: ���� � 	���	�3��. 
 
 A função é da forma ���� � ������	 		→ 		�	`��� � �	`	���.		�	`	��� 
 
 Pelos dados do problema: 
���� � 3� ���� � ���	� 
�`��� � 3 �`��� � cos �	 → cos�3�� 
 
���� � ������	 		→ 		�	`��� � 	�	`	���	.		�	`��� 
 
 Então: ���� � 	���	�3�� 
 
																										�	`	��� � cos�3��	.		3 
	
Respostas: �	`	��� � �	. �������	 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
2ª Maneira 
Dada a função ���� � 	���	�3��, calcular �	`	���. 
Aplicação direta, usando a seguinte fórmula: 
���� � �� 	���		 → 		�	`	��� � !"����	. 	�` 
�	`	��� � �	. ������� 
 
2º Exemplo: Se ���� � #���$ % 5� ' 6�, calcular �	`	���. 
 
1ª Maneira 
 
Resolução: 
 A função é da forma ���� � ������	 		→ 		�	`��� � �	`	���.		�	`	��� 
 Pelos dados do problema: 
���� � �$ % 5� ' 6 ���� � #�	� 
�`��� � 2� % 5 
�`��� �
1
�
�
1
�$ % 5� ' 6
 
 
���� � ������	 		→ 		�	`��� � 	�	`	���	.		�	`��� 
 Então: ���� � #���$ % 5� ' 6� 
																										�	`	��� �
1
�$ % 5� ' 6
	. �2� % 5� 
	
Respostas: �	`	��� �
�+�,-�
�+,-�./
	 
2ª Maneira 
Dada a função ���� � 	 #���$ % 5� ' 6�, calcular �	`	���. 
Aplicação direta, usando a seguinte fórmula: 
���� � 0 	�		 → 		�	`	��� �
	�	`
�
 
�	`	��� �
+� % -
�+ % -� ' /
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
10. Regra da Cadeia 
 
 
A função composta também é conhecida como a “Regra da Cadeia”. 
 
Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferenciável de 
x, então y é uma função diferenciável de x e 
1
1�
�
1
1�
	 .
1�
1�
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1º Exemplo: Se 
 � ��� ' 2��, calcular 
	`. 
 
Resolução: 
 A função é da forma: 
1
1�
�
1
1�
	.
1�
1�
 
 
Poderíamos fazer esse cálculo, desenvolvendo o produto notável, veja: 
 

 � ��� ' 2�� 	→ 	
 � ��� ' 2�	. ��� ' 2�+ 
																																				
 � ��� ' 2�	. �3�+ ' /� ' 2� 
																																				
 � +4�� ' 25�+ ' �� ' 3�+ ' /� ' 2 
																																				
 � +4�� ' +4�+ ' 3� ' 2 
 
Agora sim, poderíamos derivar a função y: 
																																				
	` � 52�+ ' -6� ' 3 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
 Poderíamos resolver esse mesmo exemplo, usando a “regra da cadeia ”, 
veja: 

 � ��� ' 2��	 
 Vamos chamar de � � �� ' 2 , portanto: 

 � �� � � �� ' 2 

	` � �. �+ �	` � � 
 
1
1�
�
1
1�
	.
1�
1�
 
 
1
1�
� ��+	. � 
 
1
1�
� 3�+ 
 
Substituindo � � �� ' 2 , vem: 
1
1�
� 3	. ��� ' 2�+ 
 
1
1�
� 3	. �3�+ ' /� ' 2� 
 
1
1�
� 52�+ ' -6� ' 3 
 Teríamos o mesmo resultado do primeiro modo que resolvemos, mas 
lembre-se, caso tivéssemos um expoente muito maior, o primeiro modo seria 
trabalhoso. 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
2º Exemplo: Se 
 � ���+ % -� ' +�/, calcule 
1
	
1�
. 
 
Resolução: 
 A função é da forma: 
1
1�
�
1
1�
	.
1�
1�
 
 
Vamos chamar de � � ��+ % -� ' +, portanto: 

 � �/ � � ��+ % -� ' + 

	` � /. �- �	` � /� % - 
 
1
1�
�
1
1�
	.
1�
1�
 
 
1
1�
� /�-	. �/� % -� 
 
1
1�
� /��+ % -� ' +�-	. �/� % -� 
 
1
1�
� ��+ % -� ' +�-	. ��/� % �7� 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
 
 
 Exercícios de Revisão - Aula 10
 
 
1. Calcule a derivada das funções: 
a) ( ) ( )xxf cos= 
 
b) ( ) ( )13 += xsenxf 
 
c) ( ) ( )xsennxf .l= 
 
d) ( ) ( )xxxf 3log 2 −= 
 
 
 
2. Dada a função ( ) ( )52 23log += xxf , calcule )(xf ′ : 
 
 
3. Calcule a derivada de ( ) ( ) ( )xxsenxf 2cos3 −= . 
 
 
4. Dada a função: ( ) ( ) ( )xsenxsenxf 42 += , calcule )(xf ′ . 
 
5. Calcule a derivada da função ( )184log 22 +−= xxy . 
 
 
6. Calcule a derivada de: 
a) ( )12log 22 −+= xxy em 2=x 
 
b) ( )862 +−= xxny l em 1−=x 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
 Respostas dos Exercícios de Revisão - Aula 10
 
1. 
a) ( ) ( )xsenxf 6.6−=′ 
 
b) ( ) ( )13cos.3 +=′ xxf 
 
c) ( ) ( )xgxf cot=′ 
 
d) ( ) ( )( )xx
ex
xf
3
log.32
2 −
−=′ 
 
 
2. ( ) ( )23
.log.30
2 +
=′
x
ex
xf 
 
 
3. ( ) ( ) ( )xsenxxf 2.23cos.3 +=′ 
 
 
4. ( ) ( )xxxf 4cos22cos2 +=′ 
 
 
5. ( ) exx
x
y 22 log.184
88
+−
−=′ 
 
 
6. 
a) 
7
log.6 2 ey =′ 
 
b) 
15
8−=′y 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada Simples Derivada Composta 
Função Derivada Função Derivada 
( ) xxf = ( ) 1=′ xf ( ) nuxf = ( ) uunxf n ′=′ − .. 1 
( ) kxf = (constante) ( ) 0=′ xf ( ) uxf = ( ) u
u
xf ′=′ .
2
1
 
( ) baxxf += ( ) axf =′ ( )
u
xf
1= ( ) u
u
xf ′−=′ .1
2
 
( ) cbxaxxf ++= 2 ( ) baxxf +=′ 2 
( ) ( )INnxxf n ∈= ( ) 1. −=′ nxnxf ( ) unxf l= ( ) u
u
xf ′=′ .1 
( ) ( )xfcxg .= ( ) ( )xfcxg ′=′ . ( ) uxf blog= ( ) ubnuxf ′=′ ..
1
l
 
( ) xaxf = ( ) anaxf x l.=′ 
( ) xexf = ( ) xexf =′ ( ) uexf = ( ) uexf u ′=′ . 
( ) xxf = ( )
x
xf
2
1=′ 
 
( ) ( )xsenxf = ( ) ( )xxf cos=′ ( ) ( )usenxf = ( ) ( ) uuxf ′=′ .cos 
( ) ( )xxf cos= ( ) ( )xsenxf −=′ ( ) ( )uxf cos= ( ) ( ) uusenxf ′−=′ . 
Propriedades 
( )′uk . uk ′. 
( )′± vu vu ′±′ 
( )′vu . vuvu ′+′ .. 
′






v
u
 2
..
v
vuvu ′−′
 
Derivada da Potência de uma função 
ngy = ggny n ′=′ − .. 1 
Derivada da Função Exponencial 
( ) xaxf = anaxf x l.)( =′ 
( ) uaxf = anuaxf u l..)( ′=′ 
Derivada do produto de uma 
constante por uma função 
( ) ( )xfcxg .= ( )xfcxg ′=′ .)( 
Regra da Cadeia 
( )[ ]xvu . ( ) ( )xvvu ′′ . 
Derivada da Função Logarítmica 
( ) xnxf l= ( ) xxf 1=′ 
( ) xxf alog= exxf alog.
1
)( =′ 
 ( ) x
x
xf alog.
1=′ 
( ) xxf alog= ou 
 ( )
anx
xf
l.
1=′ 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
 
Bibliografia Básica 
 
 
DEMANDA, FRANKLIN D. (et al.) Pré cálculo . São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2013. 
 
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A . São Paulo. 
Parson Prentice Hall, 2006. 
 
GUIMARÃES, Karina Perez. Desafio e perspectivas para o ensino da 
Matemática: Livro Eletrônico. Curitiba: Intersaberes, 2012. – (Série Matemática 
em Sala de Aula). 
 
MACHADO, A. S. Matemática: temas e metas. São Paulo: Atual, 6 v, 1986-1988. 
 
MORETTIN, Pedro et. al. Cálculo – Funções de Uma e Várias Variáveis , de. 
Ed. Saraiva, 2003 – SP. 
 
ROCHA, Alex (et al.) Tópicos de Matemática Aplicada . Livro Eletrônico. 
Curitiba: Intersaberes, 2013. – (Série Matemática em Sala de Aula). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Cálculo 1 – Prof. José Mirtênio da Paz 
Bibliografia Complementar 
 
HOWARD ANTON; Irl Bivens e Stephen Davis. Cálculo Vol. 1 8ª ed. Editora 
Bookman, RS. 
 
HOWARD ANTON. Cálculo – Um Novo Horizonte , volume 1, 6.ª ed., de Howard 
Anton. Ed. Bookman, 1999– RS. 
 
ROLKOUSKI, Emerson. Tecnologias no ensino de Matemática: Livro 
Eletrônico. Curitiba: Intersaberes, 2013. – (Série Matemática em Sala de Aula). 
 
SIMMONS, George. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 Editora Pearson – 
São Paulo. 
 
STEWART, James. Cálculo , volumes 1 e 2, 4.ª ed., de James. Ed. Pioneira, 2001 
– São Paulo. 
 
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 2ª ed. Editora 
Pearson – São Paulo.