Aula05_Medidas de dispersão

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ESTATÍSTICA
Luciana Vieira
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SUMÁRIO
Aula 05: Medidas de dispersão
conceitos de variação; amplitude, desvio 
médio absoluto, desvio padrão, variância e 
coeficiente de variação; 
coeficiente de variação de Pearson -
homogeneidade e heterogeneidade. 
Estudo da assimetria da distribuição. 
Box plot.
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MEDIDAS DE DISPERSÃO
As Medidas de Tendência Central:
�representam uma distribuição de dados
�só elas não são suficientes para caracterizar a 
distribuição.
Para uma análise estatística mais exata é 
necessária a verificação da flutuação dos valores 
em torno de sua média aritmética.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada 
qual com 5 alunos.
GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6
GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10
Média do grupo “A”: 5
Média do grupo “B”: 5
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Os dois grupos apresentam a mesma média
O comportamento dos 2 grupos são bem distintos
GRUPO “A”: valores são mais homogêneo.
GRUPO “B”: valores são dispersos em relação à média
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Dentre as medidas de dispersão pode-se citar 
algums delas:
a) Amplitude Total ( AT ) 
b) Variância ( S² ou σ² ) 
c) Desvio Padrão ( S ou σ ) 
d) Coeficiente de Variação ( CV ). 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude Total – At
É a diferença entre o maior e o menor valor
observados.
At = Limite superior - Limite Inferior
Exemplo 5: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
At = 9 – 1
At= 8
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude Total – Dados agrupados – sem
intervalo de classes.
At= Xmax – Xmin
Diferença entre o maior valor e o menor valor da
amostra.
At = 3-0 = 3
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude Total – Dados agrupados – com
intervalo de classes.
At= Lmax – lmin
Diferença entre o limite superior da última classe
e o limite inferior da primeira classe.
At = 40 – 10 = 30
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude Total – At
Tem o inconveniente de só levar em conta os dois
valores extremos da série, descuidando do
conjunto de valores intermediários, o que quase
sempre invalida a idoneidade do resultado.
Ela é uma indicação aproximada da dispersão
ou variabilidade.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Logo, devemos entender que a variância 
amostral calculada resultou em 24,30 
anos².
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: Calcule o variância da série abaixo, 
considerando-se uma população. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Variância:
Observação: 
A vantagem da variância em relação a 
amplitude total é que a variância utiliza todos os 
valores da distribuição, fazendo uma análise mais 
completa da variabilidade da distribuição em 
questão estudada
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Variância:
Sendo a variância calculada a partir dos
quadrados dos desvios, ela é um número em
unidade quadrada em relação à variável em
questão, o que sob o ponto de vista prático é um
inconveniente.
Por isto imaginou-se uma nova medida que tem
utilidade e interpretação prática, denominada
desvio padrão.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Desvio padrão (S ou σ) :
É a medida de dispersão mais utilizada na
estatística, e a definimos como a raiz quadrada
da variância.
�É a mais utilizada
�Revela a dispersão do conjunto que se estuda
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Desvio padrão (S ou σ) : dados tabelados
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: Calcule o desvio padrão da série abaixo, 
representativa de uma amostra.
Cálculo da variância amostral:
O desvio padrão amostral corresponde à raiz
quadrada da variância amostral:
Cálculo da média:
Assim, os dados variam, em média, 3,37 unidades 
ao redor da média 8,4.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Coeficiente de variação:
É uma medida de dispersão empregada para 
estimar a precisão de experimentos e representa 
o desvio padrão expresso como porcentagem da 
média. 
Sua principal qualidade é a capacidade de 
comparação de distribuições diferentes (exemplo: 
peso e altura; litro e comprimento, etc.). 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Coeficiente de variação:
�CV mede o grau de heterogeneidade da 
distribuição
�Valor máximo é CV = 1
0 ≤ CV ≤ 1
Observação: para expressarmos o CV na forma 
percentual, basta multiplicarmos seu resultado por 
100.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Coeficiente de variação:
Ao contrário do desvio padrão o coeficiente de
variação não possui unidade, ou seja podemos
comparar amostras medidas em unidades
diferentes utilizando este parâmetro.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: considere uma distribuição com média 
igual a 40 e um desvio padrão igual a 4. 
Considere agora outra distribuição com média 
igual a 5 e um desvio padrão igual a 4. 
Observe que o desvio padrão na segunda 
distribuição tem um peso muito mais significativo 
do que na primeira e, no entanto, este é igual em 
ambas. Ao se determinar o coeficiente de 
variação é possível saber de que forma o desvio 
padrão está para a média.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Nos exemplos dados, os coeficientes de variação 
são, respectivamente, 4/40= 0,1 e 4/5=0,8. 
Ao se interpretar estes valores, pode-se afirmar 
que, na primeira distribuição, em média, os 
desvios relativos à média, atingem 10% do valor 
desta. 
Na segunda distribuição, porém, os desvios 
relativos à média, atingem, em média, 80% do 
valor desta. 
As percentagens mostram o peso do desvio 
padrão sobre a distribuição. 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Observação: alguns analistas sugerem a seguinte 
classificação a partir do coeficiente de variação. 
�Baixa variabilidade: CV < 15% 
�Média variabilidade: 15% ≤ CV < 30% 
�Alta variabilidade: CV ≥ 30% 
MEDIDAS DE DISPERSÃO
EXERCÍCIO
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Determine:
a) a média; b) a variância;
c) o desvio-padrão; d) o 
coeficiente de variação;
Ex1) Seja a amostra abaixo:
Exercício 2:
Em 120 experimentos, onde cada um consiste em 
lançar 3 moedas e contar o número de caras, 
obtivemos os seguintes resultados:
Calcular a média, a variância e o desvio padrão 
do número de caras observado nos experimentos.
Exercício 3:
Uma amostra de 900 lâmpadas foi testada para se 
determinar a durabilidade. Os dados foram:
Na amostra testada
a) qual é a porcentagem de lâmpadas que duraram 
menos de 1800 horas?
b) qual é a durabilidade média?
c) qual é o desvio padrão?