Townsend chapter-5-a-system-of-two-spin-1-2-particles

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Solutions - Chapter 5
Kevin S. Huang
Problem 5.1
Ĥ =
2A
h̄2
Ŝ1 · Ŝ2 →
1,2,3,4

A/2 0 0 0
0 −A/2 A 0
0 A −A/2 0
0 0 0 A/2

〈1|ω0Ŝ1z|1〉 =
h̄ω0
2
〈2|ω0Ŝ1z|2〉 =
h̄ω0
2
〈3|ω0Ŝ1z|3〉 =
−h̄ω0
2
〈4|ω0Ŝ1z|4〉 =
−h̄ω0
2
Off-diagonal terms are 0:
Ĥ =
2A
h̄2
Ŝ1 · Ŝ2 + ω0Ŝ1z →
1,2,3,4

A+h̄ω0
2
0 0 0
0 −A+h̄ω0
2
A 0
0 A −A−h̄ω0
2
0
0 0 0 A−h̄ω0
2

Energy eigenvalues:∣∣∣∣∣∣∣∣
A+h̄ω0
2
− E 0 0 0
0 −A+h̄ω0
2
− E A 0
0 A −A−h̄ω0
2
− E 0
0 0 0 A−h̄ω0
2
− E
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
(
A+ h̄ω0
2
− E
)[(
−A+ h̄ω0
2
− E
)(
−A− h̄ω0
2
− E
)(
A− h̄ω0
2
− E
)
− A2
(
A− h̄ω0
2
− E
)]
= 0
Ee =
A+ h̄ω0
2(
−A+ h̄ω0
2
− E
)(
−A− h̄ω0
2
− E
)(
A− h̄ω0
2
− E
)
− A2
(
A− h̄ω0
2
− E
)
= 0
1
Ee =
A− h̄ω0
2(
−A+ h̄ω0
2
− E
)(
−A− h̄ω0
2
− E
)
− A2 = 0(
E +
A
2
+
h̄ω0
2
)(
E +
A
2
− h̄ω0
2
)
= A2(
E +
A
2
)2
−
(
h̄ω0
2
)2
= A2
Ee = −
A
2
±
√
A2 +
(
h̄ω0
2
)2
Energy eigenvalues:
Ee =
A± h̄ω0
2
,−A
2
±
√
A2 +
(
h̄ω0
2
)2
Approximation (x� 1): (1 + x)n ≈ 1 + nx
Limiting Case: A� h̄ω0
Ee =
A± h̄ω0
2
,−A
2
±
[
A+
(h̄ω0)
2
8A
]
Limiting Case: A� h̄ω0
Ee =
±h̄ω0 + A
2
,
±h̄ω0 − A
2
Problem 5.2
|1, 1〉 = |+z,+z〉 =
[
1√
2
(|+x〉1 + |−x〉1)
] [
1√
2
(|+x〉2 + |−x〉2)
]
=
1
2
(|+x,+x〉+ |−x,+x〉+ |+x,−x〉+ |−x,−x〉)
|1,−1〉 = |−z,−z〉 =
[
1√
2
(|+x〉1 − |−x〉1)
] [
1√
2
(|+x〉2 − |−x〉2)
]
=
1
2
(|+x,+x〉 − |−x,+x〉 − |+x,−x〉+ |−x,−x〉)
Problem 5.3
|0, 0〉 = 1√
2
|+z,−z〉 − 1√
2
|−z,+z〉
|+z〉 = cos θ
2
|+n〉+ sin θ
2
|−n〉
2
|−z〉 = e−iφ sin θ
2
|+n〉 − e−iφ cos θ
2
|−n〉
|0, 0〉 = 1√
2
(
cos
θ
2
|+n〉+ sin θ
2
|−n〉
)(
e−iφ sin
θ
2
|+n〉 − e−iφ cos θ
2
|−n〉
)
− 1√
2
(
e−iφ sin
θ
2
|+n〉 − e−iφ cos θ
2
|−n〉
)(
cos
θ
2
|+n〉+ sin θ
2
|−n〉
)
=
1√
2
(
e−iφ
2
sin θ |+n,+n〉+ e−iφ sin2 θ
2
|−n,+n〉 − e−iφ cos2 θ
2
|+n,−n〉 − e
−iφ
2
sin θ |−n,−n〉
)
− 1√
2
(
e−iφ
2
sin θ |+n,+n〉 − e−iφ cos2 θ
2
|−n,+n〉+ e−iφ sin2 θ
2
|+n,−n〉 − e
−iφ
2
sin θ |−n,−n〉
)
|0, 0〉 = e
−iφ
√
2
|−n,+n〉 − e
−iφ
√
2
|+n,−n〉
Problem 5.4
〈+n,+z|0, 0〉 = 1√
2
(〈+n,+z|+ z,−z〉 − 〈+n,+z| − z,+z〉) = − 1√
2
〈+n| − z〉
| 〈+n,+z|0, 0〉 |2 = 1
2
sin2
θ
2
〈+n,−z|0, 0〉 = 1√
2
(〈+n,−z|+ z,−z〉 − 〈+n,−z| − z,+z〉) = 1√
2
〈+n|+ z〉
| 〈+n,−z|0, 0〉 |2 = 1
2
cos2
θ
2
〈−n,+z|0, 0〉 = 1√
2
(〈−n,+z|+ z,−z〉 − 〈−n,+z| − z,+z〉) = − 1√
2
〈−n| − z〉
| 〈−n,+z|0, 0〉 |2 = 1
2
cos2
θ
2
〈−n,−z|0, 0〉 = 1√
2
(〈−n,−z|+ z,−z〉 − 〈−n,−z| − z,+z〉) = 1√
2
〈−n|+ z〉
| 〈−n,−z|0, 0〉 |2 = 1
2
sin2
θ
2
P (S2z = h̄/2) = | 〈+n,+z|0, 0〉 |2 + | 〈−n,+z|0, 0〉 |2 =
1
2
P (S2z = −h̄/2) = | 〈+n,−z|0, 0〉 |2 + | 〈−n,−z|0, 0〉 |2 =
1
2
Problem 5.5
3
a) Interaction between electron and magnetic field:
Ĥ = ω0Ŝ1z
Interaction between positron and magnetic field (opposite charge):
Ĥ = −ω0Ŝ2z
Neglecting electron-positron interaction, spin Hamiltonian:
Ĥ = ω0(Ŝ1z − Ŝ2z)
b)
Ĥ →
1,2,3,4

0 0 0 0
0 h̄ω0 0 0
0 0 −h̄ω0 0
0 0 0 0

Energy eigenvalues: ∣∣∣∣∣∣∣∣
−E 0 0 0
0 h̄ω0 − E 0 0
0 0 −h̄ω0 − E 0
0 0 0 −E
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
(−E)(h̄ω0 − E)(−h̄ω0 − E)(−E) = 0
Ee = −h̄ω0, 0, h̄ω0
Energy eigenstates:
E = 0: 
−0 0 0 0
0 h̄ω0 − 0 0 0
0 0 −h̄ω0 − 0 0
0 0 0 −0


a
b
c
d
 = 0
b = c = 0
|E = 0〉 = 1√
2
|+z,+z〉 ± 1√
2
|+z,−z〉 = 1√
2
(|1, 1〉 ± |1,−1〉)
E = −h̄ω0: 
h̄ω0 0 0 0
0 h̄ω0 + h̄ω0 0 0
0 0 −h̄ω0 + h̄ω0 0
0 0 0 h̄ω0


a
b
c
d
 = 0
4
a = b = d = 0
|E = −h̄ω0〉 = |−z,+z〉 =
1√
2
(|1, 0〉 − |0, 0〉)
E = h̄ω0: 
−h̄ω0 0 0 0
0 h̄ω0 − h̄ω0 0 0
0 0 −h̄ω0 − h̄ω0 0
0 0 0 −h̄ω0


a
b
c
d
 = 0
a = c = d = 0
|E = h̄ω0〉 = |+z,−z〉 =
1√
2
(|1, 0〉+ |0, 0〉)
|ψ(0)〉 = |0, 0〉 = 1√
2
|E = h̄ω0〉 −
1√
2
|E = −h̄ω0〉
|ψ(t)〉 = e
−iω0t
√
2
|E = h̄ω0〉 −
eiω0t√
2
|E = −h̄ω0〉
=
e−iω0t − eiω0t
2
|1, 0〉+ e
−iω0t + eiω0t
2
|0, 0〉
|ψ(t)〉 = cos(ω0t) |0, 0〉 − i sin(ω0t) |1, 0〉
Period:
T =
2π
ω0
c)
P (S1x = S2x = h̄/2) = | 〈+x,+x|ψ(t)〉 |2 =
sin2(ω0t)
2
〈+x,+x|ψ(t)〉 = cos(ω0t) 〈+x,+x|0, 0〉 − i sin(ω0t) 〈+x,+x|1, 0〉
= cos(ω0t)(0)− i sin(ω0t)
(
1√
2
)
Problem 5.6
Ĥ =
2A
h̄2
Ŝ1 · Ŝ2 + ω0(Ŝ1z − Ŝ2z) →
1,2,3,4

A
2
0 0 0
0 −A
2
+ h̄ω0 A 0
0 A −A
2
− h̄ω0 0
0 0 0 A
2

Energy eigenvalues:
5
∣∣∣∣∣∣∣∣
A
2
− E 0 0 0
0 −A
2
+ h̄ω0 − E A 0
0 A −A
2
− h̄ω0 − E 0
0 0 0 A
2
− E
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0(
A
2
− E
)[(
−A
2
+ h̄ω0 − E
)(
−A
2
− h̄ω0 − E
)(
A
2
− E
)
− A2
(
A
2
− E
)]
= 0
Ee =
A
2(
E +
A
2
+ h̄ω0
)(
E +
A
2
− h̄ω0
)
− A2 = 0
E = ±A− A
2
− h̄ω0
Energy eigenvalues:
Ee = −
3A
2
− h̄ω0,
A
2
− h̄ω0,
A
2
Problem 5.7
|ψ〉 = 1√
2
|R,R〉 − 1√
2
|L,L〉
a)
| 〈R,R|ψ〉 |2 = 1
2
| 〈L,L|ψ〉 |2 = 1
2
b)
| 〈x, y|ψ〉 |2 = 1
2
〈x, y|ψ〉 = 1√
2
〈x, y|R,R〉 − 1√
2
〈x, y|L,L〉 = i
2
√
2
+
i
2
√
2
=
i√
2
| 〈y, x|ψ〉 |2 = 1
2
〈x, y|ψ〉 = 1√
2
〈y, x|R,R〉 − 1√
2
〈y, x|L,L〉 = i
2
√
2
+
i
2
√
2
=
i√
2
c)
〈x, x|ψ〉 = 1√
2
〈x, x|R,R〉 − 1√
2
〈x, x|L,L〉 = 0
〈y, y|ψ〉 = 1√
2
〈y, y|R,R〉 − 1√
2
〈y, y|L,L〉 = 0
6
| 〈x, x|R,R〉 |2 = 1
4
| 〈y, y|R,R〉 |2 = 1
4
| 〈x, x|L,L〉 |2 = 1
4
| 〈y, y|L,L〉 |2 = 1
4
7