lista de exercicios GA

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LISTA 1 - MAT 011 - abril/2013
(Profa. Patrícia)
PARTE A - MATRIZES
1) Considere as seguintes matrizes:
A =
(
2 0
6 7
)
, B =
(
0 4
2 −8
)
, C =
(−6 9 −7
7 −3 −2
)
,
D =
−6 4 01 1 4
−6 0 6
 , E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
 .
Se for possível, calcule:
(a) AB −BA;
(b) 2C −D;
(c) (2Dt − 3Et)t.
2) Sejam A, B e C matrizes, tais que
AB =
(
1 −2
3 −1
)
e AC =
(
2 4
1 −1
)
.
Calcule:
(a) A(B + C);
(b) BtAt;
(c) (ABA)C.
3) Dadas duas matrizes:
A =
(
x 2 0
)
e B =
(
x 2x 1
)
,
encontre os valores de x que satisfazem a equação:
ABt = 0.
4) Dizemos que duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Mostre que, se A e B são matrizes
que comutam com a matriz
M =
(
0 1
−1 0
)
2
(ou seja, AM =MA e BM =MB), então AB = BA.
5) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n. Usando as propriedades de soma e produto
de matrizes, diga sob qual condição a igualdade abaixo se verifica:
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
6) (a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0? Justifique.
(b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique.
7) Para matrizes quadradas A = (aij)n×n, definimos o traço de A como sendo a soma dos
elementos da diagonal principal de A, ou seja,
tr(A) =
n∑
i=1
aii = a11 + a22 + . . .+ ann.
(a) Mostre que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
(b) Mostre que tr(αA) = αtr(A), onde α é um número real.
(c) Mostre, para o caso particular em que n = 2, que tr(AB) = tr(BA).
(d) Mostre, para o caso particular em que n = 2, que se AAt = 0, então A = 0. Sugestão:
use o traço de AAt.
Note que os dois últimos resultados acima se estendem para matrizes quadradas de qualquer
ordem n ≥ 3.
PARTE B - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
1) Diga quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão na forma
escalonada:
A =
1 0 0 0 30 0 1 0 −4
0 0 0 1 2

B =
0 1 0 0 −40 0 1 0 5
0 0 0 −1 2

C =

1 0 0 0 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0

3
D =
0 0 1 2 −40 0 0 1 0
0 0 0 0 0

E =
0 1 0 3 21 0 0 −7 8
0 0 1 1 −5

2) Resolva (usando Gauss ou Gauss-Jordan) os seguintes sistemas:
(a)

x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1
3x − 7y + 4z = 10
(b)

2x + 2y + 2z = 0
−2x + 5y + 2z = 1
8x + y + 4z = −1
(c)

−2y + 3z = 1
3x + 6y − 3z = −2
6x + 6y + 3z = 5
Classifique os sistemas acima em impossível, possível e determinado ou possível e indeter-
minado (e, neste último caso, diga qual é o grau de liberdade do sistema, isto é, o número de
variáveis livres).
3) Considere as matrizes abaixo, as quais são matrizes escalonadas reduzidas de matrizes am-
pliadas de sistemas. Analisando tais matrizes, classifique os seus respectivos sistemas em:
(i) impossível,
(ii) possível e determinado ou
(iii) possível e indeterminado.
Sugestão: resolva o sistema correspondente ou utilize o teorema sobre os postos das matrizes
ampliada (pa) e dos coeficientes (pc).
(a)
1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5

(b)
1 0 0 0 60 1 0 0 3
0 0 1 1 2

4
(c)

1 7 0 0 −8 −3
0 0 1 0 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0

(d)
1 0 0 30 1 0 4
0 0 0 −2

PARTE C - INVERSÃO DE MATRIZES E DETERMINANTES
1) Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:
(a)
1 2 30 2 3
1 2 4
 (b)(1 0
1 −2
)
(c)
1 2 31 1 2
0 1 1

2) Se A−1 =
(
3 2
1 3
)
e B−1 =
(
2 5
3 −2
)
, determine (AB)−1.
3) Se det(A) = −3, encontre:
(a) det(A2);
(b) det(A3);
(c) det(A−1);
(d) det(At).
4) Resolva o sistema AX = B, onde
A−1 =
(
2 3
4 1
)
e B =
(
5
3
)
.
5) Se A e B são matrizes n× n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(AtB−1).
6) Calcule o determinante da seguinte matriz:
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

(a) utilizando o desenvolvimento de Laplace sobre alguma linha ou coluna;
(b) realizando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior.
5
7) Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando:
( ) det(A+B) = det(A) + det(B)
( ) Se At = A2 e det(A) 6= 0, então det(A) = 1.
( ) Se B = AAtA−1, então det(B) = det(A).
PARTE D - VETORES
1) Determine o ponto C tal que
−→
AC= 2
−→
AB, sendo A = (0,−2) e B = (1, 0).
2) Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor
→
v= (3, 0,−3), sabendo-se que sua origem está no ponto P = (2, 3,−5).
3) Verifique se os pontos dados a seguir são colineares:
(a) A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3,−5);
(b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2,−3) e C = (14, 4,−15).
4) Dados os pontos A = (1,−2,−3), B = (−5, 2,−1) e C = (4, 0,−1), determine o ponto D
tal que A, B, C e D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
5) Verifique se o vetor
→
u é combinação linear dos vetores
→
v e
→
w:
(a)
→
v= (9,−12,−6), →w= (−1, 7, 1) e →u= (−4,−6, 2);
(b)
→
v= (5, 4,−3), →w= (2, 1, 1) e →u= (−3,−4, 1).
6) Quais dos seguintes vetores são paralelos:
→
u= (6,−4,−2), →v= (−9, 6, 3), →w= (15,−10, 5).
7)∗∗ Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio
é paralelo às bases, e a sua medida é a média aritmética das medidas das bases.
(Sugestão: veja figura (p.6) e mostre que
−→
MN= 1
2
(
−→
AB +
−→
DC); depois conclua que
−→
MN é um
múltiplo escalar de
−→
AB).
8) Resolva os seguintes exercícios do livro Vetores e Geometria Analítica (Paulo Winterle):
• p.6: 2
• p.14: 1, 2, 4, 5, 6 e 12
• p.40: 1, 4, 5, 9, 13, 16, 18, 23, 40 e 52
6
Fig. 1: exercício 7