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147 pág.
Apostila Algebra Linear Roberto

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ÁLGEBRA LINEAR
ISBN 978-85-915683-0-7
ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES
Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS
Belo Horizonte
Edição do Autor
2013
Sumário
Prefácio 1
1 Espaços Vetoriais 2
1.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Independência Linear. Bases. Dimensão . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Espaços Produto e Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Somas e Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Exercícios do Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Aplicações Lineares 18
2.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Composição e Inversão de Aplicações Lineares . . . . . . . . . 23
2.3 Álgebra das Aplicações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Exercícios do Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Matrizes 32
3.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Aplicação Linear × Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Mudança de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Exercícios do Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Formas Lineares. Dualidade 49
4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Anulador de um Subespaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Exercícios do Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Determinantes 58
5.1 Aplicações r-lineares alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
i
SUMÁRIO ii
5.2 Determinante de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Desenvolvimento em relação aos elementos de uma coluna (ou
de uma linha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Autovalores e Autovetores 84
6.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Polinômios de Operadores e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4 Exercícios do Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Produto Interno 99
7.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Relações entre V e V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5 Exercícios do Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 Operadores Unitários e Normais 115
8.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2 Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.3 Matrizes Simétricas Positivas. Decomposição de Cholesky . . . 123
8.4 Teorema dos Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5 Exercícios do Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Formas Bilineares e Quadráticas 130
9.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Matriz de uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3 Mudanças de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Formas Bilineares Simétricas Reais . . . . . . . . . . . . . . . 133
10 Miscelânea 137
10.1 Orientação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.2 Volume de Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3 Matriz de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Exercícios de Revisão 142
Bibliografia 144
Prefácio
A origem desse livro de Álgebra Linear remonta a um curso feito para
alunos do Bacharelado em Matemática da UFMG. Na ocasião, fizemos uma
primeira redação revista pelos professores do ICEx-UFMG, Michel Spira e
Wilson Barbosa, a quem muito agradecemos. Mais recentemente, retomamos
o trabalho e, após várias mudanças, aproveitamos parte do material na disci-
plina “Métodos Matemáticos” do Programa de Pós-Graduação em Engenha-
ria Elétrica da PUCMINAS. A versão final do livro foi revista pela professora
Mariana Cornelissen Hoyos, a quem agradecemos a generosa assistência.
A leitura do Sumário mostra que se trata de um livro básico de Álgebra
Linear que procura desenvolver o assunto com cuidado no aspecto teórico,
visando a boa formação do profissional. Para aprofundamento na matéria
deve-se recorrer aos livros indicados na Bibliografia, que utilizamos livre-
mente.
A digitação do manuscrito foi feita, com eficiência e boa vontade, por Eric
Fernandes de Mello Araújo, a quem agradecemos. Ao leitor, bom proveito.
Belo Horizonte, janeiro de 2013
Roberto N. Mendes
1
Capítulo 1
Espaços Vetoriais
1.1 Definições e Exemplos
Seja K um corpo com elementos neutros distintos 0 e 1, por exemplo, K = R
ou K = C.
Definição 1.1 Um espaço vetorial sobre K é um conjunto V munido de duas
leis:
V × V −→ V e K × V −→ V
(u, v) 7−→ u+ v (a, v) 7−→ av
tais que, para quaisquer u, v, w ∈ V e a, b ∈ K, se tenha:
(1) u+ v = v + u
(2) (u+ v) + w = u+ (v + w)
(3) existe 0 ∈ V , chamado o vetor zero, tal que v + 0 = v
(4) dado v ∈ V , existe (−v) ∈ V , chamado o oposto de v, tal que v+(−v) = 0
(5) 1 · v = v
(6) a(bv) = (ab)v
(7) a(u+ v) = au+ av
(8) (a+ b)v = av + bv.
Exemplo 1.1.1 Seja V = Kn, onde n ∈ N, com as leis:
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)
e
a(x1, ..., xn) = (ax1, ..., axn).
É fácil verificar que, com estas leis, Kn é um espaço vetorial sobre K.
2
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 3
Observação: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de
vetores, enquanto que os deK são chamados de escalares. Essa nomenclatura
deriva do exemplo acima. As leis são chamadas de adição e multiplicação por
escalar, respectivamente.
No exemplo 1.1.1, se n = 1, vemos que K é um espaço vetorial sobre
si mesmo, de modo que seus elementos são, ao mesmo tempo, escalares e
vetores.
Exemplo 1.1.2 Seja V = Pn, onde n ∈ N, o conjunto das funções polino-
miais de grau estritamente menor que n, com coeficientes em K, juntamente
com a função zero. Se p = a0+a1t+...+an−1tn−1 e q = b0+b1t+...+bn−1tn−1,
definimos p+ q ∈ V e cp ∈ V , onde c ∈ K, por:
p+ q = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ ...+ (an−1 + bn− 1)tn−1
cp = ca0 + ca1t+ ...+ can−1tn−1
Resulta que Pn é um espaço vetorial sobre K.
Exemplo 1.1.3 Seja V = K[t] o conjunto de todos os polinômios a uma
variável, com coeficientes em K. Definindo as leis como no exemplo 1.1.2, é
imediato que K[t] é um espaço vetorial sobre K.
Exemplo 1.1.4 Seja V = F(I,R) o conjunto das funções f : I 7−→ R, onde
I ⊂ R é um intervalo. Se f, g ∈ V e a ∈ R, definimos f + g e af por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(af)(x) = a · f(x)
para todo x ∈ I. Verifica-se imediatamente que essas leis tornam F(I,R)
um espaço vetorial real, isto é, sobre R.
Consequências Imediatas da Definição
(a) Se u, v ∈ V definimos:
u− v = u+ (−v)
Se a ∈ K, então
a(u− v) + av = a[(u− v) + v] = a[u+ (−v) + v] = a(u+ 0) = au.
Somando −av aos dois membros, vem:
a(u− v) + av − av = au− av,
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 4
donde:
a(u− v) = au− av.
Fazendo u = v, obtemos
a · 0 = 0
e também
a(−v) = a(0− v) = a · 0− av = −av.
(b) Se a, b ∈ K e v ∈ V , então:
(a− b)v + bv = (a− b+ b)v = av,
donde:
(a− b)v = av − bv
Fazendo a = b, vem
0