Apostila Algebra Linear Roberto

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ÁLGEBRA LINEAR
ISBN 978-85-915683-0-7
ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES
Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do
Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS
Belo Horizonte
Edição do Autor
2013
Sumário
Prefácio 1
1 Espaços Vetoriais 2
1.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Independência Linear. Bases. Dimensão . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Espaços Produto e Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Somas e Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Exercícios do Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Aplicações Lineares 18
2.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Composição e Inversão de Aplicações Lineares . . . . . . . . . 23
2.3 Álgebra das Aplicações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Exercícios do Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Matrizes 32
3.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Aplicação Linear × Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Mudança de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Exercícios do Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Formas Lineares. Dualidade 49
4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Anulador de um Subespaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Transposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Exercícios do Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Determinantes 58
5.1 Aplicações r-lineares alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
i
SUMÁRIO ii
5.2 Determinante de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Desenvolvimento em relação aos elementos de uma coluna (ou
de uma linha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Autovalores e Autovetores 84
6.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Polinômios de Operadores e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4 Exercícios do Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Produto Interno 99
7.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Relações entre V e V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5 Exercícios do Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 Operadores Unitários e Normais 115
8.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2 Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.3 Matrizes Simétricas Positivas. Decomposição de Cholesky . . . 123
8.4 Teorema dos Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5 Exercícios do Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Formas Bilineares e Quadráticas 130
9.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Matriz de uma forma bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3 Mudanças de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 Formas Bilineares Simétricas Reais . . . . . . . . . . . . . . . 133
10 Miscelânea 137
10.1 Orientação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.2 Volume de Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3 Matriz de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Exercícios de Revisão 142
Bibliografia 144
Prefácio
A origem desse livro de Álgebra Linear remonta a um curso feito para
alunos do Bacharelado em Matemática da UFMG. Na ocasião, fizemos uma
primeira redação revista pelos professores do ICEx-UFMG, Michel Spira e
Wilson Barbosa, a quem muito agradecemos. Mais recentemente, retomamos
o trabalho e, após várias mudanças, aproveitamos parte do material na disci-
plina “Métodos Matemáticos” do Programa de Pós-Graduação em Engenha-
ria Elétrica da PUCMINAS. A versão final do livro foi revista pela professora
Mariana Cornelissen Hoyos, a quem agradecemos a generosa assistência.
A leitura do Sumário mostra que se trata de um livro básico de Álgebra
Linear que procura desenvolver o assunto com cuidado no aspecto teórico,
visando a boa formação do profissional. Para aprofundamento na matéria
deve-se recorrer aos livros indicados na Bibliografia, que utilizamos livre-
mente.
A digitação do manuscrito foi feita, com eficiência e boa vontade, por Eric
Fernandes de Mello Araújo, a quem agradecemos. Ao leitor, bom proveito.
Belo Horizonte, janeiro de 2013
Roberto N. Mendes
1
Capítulo 1
Espaços Vetoriais
1.1 Definições e Exemplos
Seja K um corpo com elementos neutros distintos 0 e 1, por exemplo, K = R
ou K = C.
Definição 1.1 Um espaço vetorial sobre K é um conjunto V munido de duas
leis:
V × V −→ V e K × V −→ V
(u, v) 7−→ u+ v (a, v) 7−→ av
tais que, para quaisquer u, v, w ∈ V e a, b ∈ K, se tenha:
(1) u+ v = v + u
(2) (u+ v) + w = u+ (v + w)
(3) existe 0 ∈ V , chamado o vetor zero, tal que v + 0 = v
(4) dado v ∈ V , existe (−v) ∈ V , chamado o oposto de v, tal que v+(−v) = 0
(5) 1 · v = v
(6) a(bv) = (ab)v
(7) a(u+ v) = au+ av
(8) (a+ b)v = av + bv.
Exemplo 1.1.1 Seja V = Kn, onde n ∈ N, com as leis:
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)
e
a(x1, ..., xn) = (ax1, ..., axn).
É fácil verificar que, com estas leis, Kn é um espaço vetorial sobre K.
2
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 3
Observação: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de
vetores, enquanto que os deK são chamados de escalares. Essa nomenclatura
deriva do exemplo acima. As leis são chamadas de adição e multiplicação por
escalar, respectivamente.
No exemplo 1.1.1, se n = 1, vemos que K é um espaço vetorial sobre
si mesmo, de modo que seus elementos são, ao mesmo tempo, escalares e
vetores.
Exemplo 1.1.2 Seja V = Pn, onde n ∈ N, o conjunto das funções polino-
miais de grau estritamente menor que n, com coeficientes em K, juntamente
com a função zero. Se p = a0+a1t+...+an−1tn−1 e q = b0+b1t+...+bn−1tn−1,
definimos p+ q ∈ V e cp ∈ V , onde c ∈ K, por:
p+ q = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ ...+ (an−1 + bn− 1)tn−1
cp = ca0 + ca1t+ ...+ can−1tn−1
Resulta que Pn é um espaço vetorial sobre K.
Exemplo 1.1.3 Seja V = K[t] o conjunto de todos os polinômios a uma
variável, com coeficientes em K. Definindo as leis como no exemplo 1.1.2, é
imediato que K[t] é um espaço vetorial sobre K.
Exemplo 1.1.4 Seja V = F(I,R) o conjunto das funções f : I 7−→ R, onde
I ⊂ R é um intervalo. Se f, g ∈ V e a ∈ R, definimos f + g e af por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(af)(x) = a · f(x)
para todo x ∈ I. Verifica-se imediatamente que essas leis tornam F(I,R)
um espaço vetorial real, isto é, sobre R.
Consequências Imediatas da Definição
(a) Se u, v ∈ V definimos:
u− v = u+ (−v)
Se a ∈ K, então
a(u− v) + av = a[(u− v) + v] = a[u+ (−v) + v] = a(u+ 0) = au.
Somando −av aos dois membros, vem:
a(u− v) + av − av = au− av,
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 4
donde:
a(u− v) = au− av.
Fazendo u = v, obtemos
a · 0 = 0
e também
a(−v) = a(0− v) = a · 0− av = −av.
(b) Se a, b ∈ K e v ∈ V , então:
(a− b)v + bv = (a− b+ b)v = av,
donde:
(a− b)v = av − bv
Fazendo a = b, vem
0· v = 0
e também
(−a)v = (0− a)v = 0 · v − av = −av.
(c) Para todo a ∈ K e todo v ∈ V vimos que
0 · v = a · 0 = 0
Suponhamos que av = 0. Se a 6= 0 então
0 = a−1 · 0 = a−1(av) = 1 · v = v.
Portanto, av = 0 implica ou a = 0 ou v = 0.
Exercícios
1. O conjunto de todos os polinômios de grau 3, com coeficientes reais e
munido das leis usuais, juntamente com o polinômio zero, forma um
espaço vetorial real?
2. Dê exemplo de um conjuntoM que verifique todos os axiomas de espaço
vetorial, exceto 1 · v = v para todo v ∈M .
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 5
3. O conjunto das sequências complexas z = (zn)n≥1 tais que
zn+2 = zn+1 + zn, n ≥ 1,
munido das leis usuais, forma um espaço vetorial complexo?
4. O conjunto das funções f : R 7−→ R duas vezes continuamente de-
riváveis e tais que f ′′ + af ′ + bf = 0 (a e b reais fixos), munido das leis
usuais, forma um espaço vetorial real?
5. Prove que o conjunto das funções limitadas f : R 7−→ R, munido das
leis usuais, é um espaço vetorial real.
6. Seja l1(N) o conjunto das sequências x = (xn)n≥1 onde xn ∈ C e
∞∑
n=1
|xn| < ∞. Prove que, com as leis usuais, l1(N) é um espaço ve-
torial complexo.
1.2 Subespaços
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K.
Definição 1.2 Dizemos que W ⊂ V é um subespaço de V se:
(a) 0 ∈ W
(b) u, v ∈ W =⇒ u+ v ∈ W
(c) a ∈ K, v ∈ W =⇒ av ∈ W
É claro que W , com as leis induzidas pelas de V , é um espaço vetorial
sobre K.
Exemplo 1.2.1 Em V = Kn verifica-se imediatamente queW = {(x1, ..., xn) ∈
Kn;x1 = 0} é um subespaço.
Exemplo 1.2.2 Em V = F(R,R), espaço vetorial real das funções f : R→
R, o subconjunto formado pelas funções contínuas é um subespaço.
Proposição 1.1 Seja V um espaço vetorial sobre K. A interseção de uma
família qualquer de subespaços de V é um subespaço de V .
Dem. Seja (Wα)α∈A uma família de subespaços de V , e seja W =
⋂
α∈A
Wα.
Então:
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 6
(a) 0 ∈ W pois 0 ∈Wα para todo α ∈ A.
(b) u, v ∈ W ⇐⇒ u, v ∈ Wα para todo α ∈ A =⇒ (u + v) ∈ Wα para todo
α ∈ A =⇒ (u+ v) ∈ W .
(c) α ∈ K, v ∈ W =⇒ av ∈ Wα para todo α ∈ A =⇒ av ∈W .
Definição 1.3 Seja X um subconjunto não-vazio do espaço vetorial V sobre
K. Todo elemento da forma a1v1 + ...+ amvm =
m∑
i=1
aivi, onde m ∈ N, vi ∈
X, ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, é chamado de combinação linear de elementos de X.
É fácil verificar que o conjunto de todas as combinações lineares de ele-
mentos de X é um subespaço de V , chamado de subespaço gerado por X.
Proposição 1.2 O subespaço gerado por X ⊂ V, X 6= ∅, é a interseção de
todos os subespaços de V contendo X, ou seja, é o “menor” (para a inclusão
de conjuntos) subespaço de V contendo X.
Dem. Seja (Wα)α∈A a família de todos os subespaços de V contendo X.
Sabemos que W =
⋂
α∈A
Wα é um subespaço de V . É claro que W contém X
e, portanto, que W contém todas as combinações lineares de elementos de X,
ou seja, W contém o subespaço S gerado por X. Como S é um subespaço de
V contendo X, temos que W ⊂ S. Resulta W = S.
Exercícios
1. Seja V = F(R,R) o espaço vetorial real das funções f : R → R.
Verifique se W é subespaço de V nos seguintes casos:
(a) W = conjunto das funções pares
(b) W = conjunto das funções ímpares
(c) W = conjunto das funções deriváveis
(d) W = conjunto das funções C∞
2. Qual a expressão do elemento genérico do subespaço de K[t] gerado
pelos polinômios t2 e t3?
3. Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3; x = 2y} é subespaço de R3.
4. Mostre que W = {(0, y, z) ∈ R3} é gerado por (0, 1, 1) e (0, 2,−1).
5. Mostre que o conjunto das funções f : R → R de classe C2 tais que
f ′′ + af ′ + bf = 0 (a e b reais fixos) é um subespaço de F(R,R).
6. Mostre que, em geral, a união de dois subespaços não é um subespaço.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 7
1.3 Independência Linear. Bases. Dimensão
Definição 1.4 Sejam X 6= ∅, X ⊂ V, V um espaço vetorial sobre K. Dize-
mos que X é linearmente independente se, quaisquer que sejam v1, ..., vm ∈
X, m ∈ N, a equação a1v1 + ... + amvm = 0, onde a1, ..., am ∈ K, im-
plica a1 = a2 = ... = am = 0. Se X não é linearmente independente
(LI) dizemos que X é linearmente dependente (LD); neste caso, existem
v1, ..., vp ∈ X, p ∈ N, e escalares não todos nulos, a1, ..., ap, tais que
a1v1 + ...+ apvp = 0.
Exemplo 1.3.1 Em Kn consideremos os vetores
e1 = (1, 0, ..., 0)
e2 = (0, 1, ..., 0)
...
en = (0, ..., 0, 1)
Esses vetores são LI, pois a1e1+ ...+anen = (a1, ..., an) = 0 = (0, ..., 0)⇔
a1 = 0, ..., an = 0.
Exemplo 1.3.2 Em Pn os vetores 1, t, ..., tn−1 são LI pois a0 + a1t + ... +
an−1tn−1 = 0 implica a0 = a1 = ... = an−1 = 0.
Exemplo 1.3.3 No espaço das funções f : R → R de classe C1 considere-
mos os vetores f1(t) = er1t, f2(t) = er2t onde r1 6= r2 são reais. f1, f2 são
LI pois se a1f1 + a2f2 = 0 então a1er1t + a2er2t = 0 para todo t ∈ R, donde
a1e
(r1−r2)t + a2 = 0 para todo t ∈ R. Derivando: a1(r1 − r2)e(r1−r2)t = 0 para
todo t ∈ R, donde a1 = 0 e, portanto, a2 = 0.
Exemplo 1.3.4 Consideremos os elementos 1 e i de C. Considerando C
como um espaço vetorial real, 1 e i são LI. Considerando C como um espaço
vetorial complexo, 1 e i são LD.
Proposição 1.3 Se v1, ..., vn são vetores LI em V e
a1v1 + ...+ anvn = b1v1 + ...+ bnvn,
com ai ∈ K, bi ∈ K (1 ≤ i ≤ n), então ai = bi para todo i.
Dem. A relação dada é equivalente a (a1 − b1)v1 + ... + (an − bn)vn = 0,
donde a1 − b1 = ... = an − bn = 0, isto é, ai = bi para i = 1, 2, ..., n.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 8
Definição 1.5 Seja V um espaço vetorial sobre K. Dizemos que G ⊂ V
gera V ou que G ⊂ V é um conjunto de geradores de V se todo v ∈ V é
combinação linear de vetores de G, ou seja, se o subespaço gerado por G é
V . Dizemos que o conjunto de geradores G é mínimo se, qualquer que seja
g ∈ G, o conjunto G1 = G− {g} não gera V .
Exemplo 1.3.5 Em Kn os vetores e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1) for-
mam um conjunto de geradores mínimo.
Definição 1.6 Seja X ⊂ V um conjunto LI no espaço vetorial V . Dizemos
que X é um conjunto linearmente independente máximo se, para todo v ∈ V ,
v /∈ X, o conjunto X1 = X ∪ {v} é LD.
Exemplo 1.3.6 Os vetores e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1) de Kn for-
mam um conjunto LI máximo.
Proposição 1.4 Sejam v1, ..., vm vetores LI do espaço vetorial V gerado por
w1, ..., wp. Então m ≤ p e, alterando-se eventualmente a numeração dos wi,
os vetores v1, ..., vm, wm+1, ..., wp ainda geram V .
Dem. Seja v1 = a11w1 + ... + ap1wp; sem perda de generalidade podemos
supor a11 6= 0 e, então:
w1 = b11v1 + b21w2 + ...+ bp1wp.
Logo, toda combinação linear de w1, ..., wp também é combinação linear
de v1, w2, ..., wp, ou seja, estes vetores geram V .
Seja v2 = a12v1+a22w2+...+ap2wp; ao menos um dos escalares a22, ..., ap2
é diferente de zero pois v1 e v2 são LI. Podemos supor a22 6= 0 e, então:
w2 = b12v1 + b22v2 + b32w3 + ...+ bp2wp,
e toda combinação linear de v1, w2, ...wp é também combinação linear de
v1, v2, w3, ..., wp, ou seja, estes vetores geram V .
Repetindo essa operação um número finito de vezes, vemos que, para
r ≤ min(m, p), os vetores v1, ..., vr, wr+1, ..., wp geram V . Se fosse m > p,
tomando r = p, teríamos que v1, ..., vp gerariam V e, portanto, vp+1, ..., vm
seriam combinações lineares de v1, ..., vp, o que é absurdo já que v1, ..., vm são
LI. Portanto, m ≤ p e, ao fim de um número finito de operações, obteremos
o conjunto de geradores v1, ..., vm, wm+1, ..., wp.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 9
Corolário 1.4.1 Se w1, ..., wp geram V e n > p, então v1, ..., vn são LD. Em
particular, p+1 vetores que são combinações lineares de p vetores quaisquer
são LD.
Proposição 1.5 Seja X um subconjunto não-vazio do espaço vetorial V so-
bre K. As propriedades seguintes são equivalentes:
(a) X é LI e gera V
(b) X é um conjunto de geradores mínimo
(c) X é um conjunto LI máximo
Dem. (a)⇒ (b): Sejam x ∈ X, Y= X−{x}. Se x fosse combinação linear
de vetores de Y , x =
n∑
i=1
aiyi, yi ∈ Y, ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ n, então X seria
LD, contradição. Portanto, Y não gera V , o que mostra que X é mínimo.
(b)⇒ (c): Se X fosse LD existiriam vetores x, x1, ..., xn de X e escalares
a, a1, ..., an, não todos nulos, tais que ax+a1x1+ ...+anxn = 0. Sem perda de
generalidade podemos supor a 6= 0, donde x = b1x1+ ...+bnxn e, portanto, X
não seria mínimo, contradição. Além disso, X é (um conjunto LI) máximo
pois, dado v ∈ V , temos v =
m∑
i=1
aixi, xi ∈ X, ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, ou seja,
X ∪ {v} é LD.
(c)⇒ (a): Seja v ∈ V, v /∈ X, então Y = X ∪{v} é LD e existem vetores
x1, ..., xn de X e escalares a, a1, ..., an, não todos nulos, tais que
av + a1x1 + ...+ anxn = 0.
Se fosse a = 0 resultaria X LD. Então a 6= 0 e v = b1x1 + ...+ bnxn, isto é,
X gera V (e é LI).
Definição 1.7 Seja V um espaço vetorial sobre K. X ⊂ V, X 6= ∅, é
uma base de V se X possui uma das (e portanto as três) propriedades da
proposição 1.5.
Se V tem uma base finita X = {v1, ..., vn} dizemos que V tem dimensão
finita; neste caso, se v ∈ V , então v se escreve de modo único na forma
v = a1v1 + ...+ anvn, ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ n.
Proposição 1.6 Sejam {v1, ..., vn} e {w1, ..., wp} bases do espaço vetorial V
sobre K. Então:
n = p
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 10
Dem. Como v1, ..., vn são LI e w1, ..., wp geram V , temos n ≤ p. Por
simetria, p ≤ n. Logo, n = p.
Definição 1.8 Sejam V um espaço vetorial sobre K e {v1, ..., vn} uma base
de V . Dizemos que n é a dimensão de V sobre K. Por definição a dimensão
de V = {0} é zero.
Notação: n = dimKV ou n = dim V
Exemplo 1.3.7 Kn tem dimensão n e {e1, ..., en} é uma base de Kn, chamada
de base canônica.
Exemplo 1.3.8 {1, t, ..., tn−1} é base de Pn, donde dim Pn = n.
Exemplo 1.3.9 V = K[t] não tem dimensão finita sobre K.
Exemplo 1.3.10 dimRC = 2 e {1, i} é uma base.
dimCC = 1 e {1} é uma base.
Uma base de Cn sobre R é {e1, ie1, e2, ie2, ..., en, ien}.
Corolários:
(1) Se dim V = n e v1, ..., vn são LI, então {v1, ..., vn} é base de V (pois é
um conjunto LI máximo).
(2) Se W é subespaço de V e dim W = dim V , então W = V (pois toda
base de W é também base de V ).
(3) Se dim V = n e m > n então os vetores v1, ..., vm são LD (pois o número
máximo de vetores LI é n).
Proposição 1.7 Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. Se-
jam v1, ..., vr, r < n, vetores LI. Então existem vr+1, ..., vn ∈ V tais que
{v1, ..., vr, vr+1, ..., vn} seja base de V .
Dem. Como r < n, {v1, ..., vr} não é um conjunto LI máximo; logo, existe
vr+1 ∈ V tal que {v1, ..., vr, vr+1} seja LI. Se r + 1 < n podemos repetir o
argumento. Após um número finito de repetições obteremos n vetores LI,
v1, ..., vn, ou seja {v1, ..., vn} é base de V .
Exercícios
1. Mostre que t3 − t2 + 1, q = t2 − 1 e r = 2t3 + t− 1 são LI em P4.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 11
2. Prove que f, g, h ∈ F(R,R) são LI, onde
f(t) = t, g(t) = et e h(t) = sen t.
3. Ache uma condição necessária e suficiente para que u = (a, b) ∈ K2 e
v = (c, d) ∈ K2 sejam LD.
4. Seja W o subespaço de P4 gerado por u = t3− t2+1, v = t2− 1 e w =
t3 − 3t2 + 3. Ache uma base para W .
5. Existe alguma base de P4 que não contenha nenhum polinômio de grau
2?
6. Seja (v1, ..., vm) uma sequência de vetores não-nulos do espaço vetorial
V . Prove que se nenhum deles é combinação linear dos anteriores então
o conjunto {v1, ..., vm} é LI.
7. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Prove que todo conjunto
de geradores de V contém uma base.
1.4 Espaços Produto e Quociente
Sejam V1 e V2 espaços vetoriais sobre K e V = V1 × V2 = {(v1, v2); v1 ∈
V1, v2 ∈ V2} seu produto cartesiano. Vamos introduzir em V uma estrutura
vetorial, definindo:
(v1, v2) + (u1, u2) = (v1 + u1, v2 + u2)
a(v1, v2) = (av1, av2) , a ∈ K
É imediato verificar que, com estas leis, V = V1×V2 é um espaço vetorial
sobre K. A definição do espaço produto se estende a um número finito
qualquer de espaços vetoriais. Se V1, ..., Vn são espaços vetoriais sobre K e
V = V1 × ...× Vn, definimos:
(v1, ..., vn) + (u1, ..., un) = (v1 + u1, ..., vn + un)
a(v1, ..., vn) = (av1, ..., avn) , a ∈ K
Desta maneira V fica munido de uma estrutura vetorial sobre K.
Proposição 1.8 Se V1 e V2 têm dimensão finita sobre K, então
dim(V1 × V2) = dim V1 + dim V2.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 12
Dem. Sejam {v1, ..., vn} e {u1, ..., up}, respectivamente, bases de V1 e V2.
Vamos provar que {(v1, 0), ..., (vn, 0), (0, u1), ..., (0, up)} é base de V1×V2. Se
v ∈ V1 e u ∈ V2, existem escalares ai, bj tais que v = a1v1 + ... + anvn e
u = b1u1 + ...+ bpup. Então:
(v, u) = (a1v1 + ...+ anvn, b1u1 + ...+ bpup) =
= a1(v1, 0) + ...+ an(vn, 0) + b1(0, u1) + ...+ bp(0, up),
o que mostra que os vetores (v1, 0), ..., (0, up) geram V1 × V2.
Se tivermos a1(v1, 0) + ...+ an(vn, 0) + b1(0, u1) + ...+ bp(0, up) = 0 então
(a1v1 + ... + anvn, b1u1 + ... + bpup) = (0, 0), donde a1v1 + ... + anvn = 0 e
b1u1 + ... + bpup = 0, que implicam a1 = ... = an = 0 e b1 = ... = bp = 0, ou
seja, os vetores (v1, 0), ..., (0, up) são LI.
Definição 1.9 Sejam V um espaço vetorial sobre K e W um seu subespaço.
Se v ∈ V definimos v +W por:
v +W = {v + w;w ∈ W}
Observemos que v +W = u+W ⇔ v − u ∈ W .
Seja
V
W
= {v +W ; v ∈ V }. Para introduzir uma estrutura vetorial sobre
V
W
definamos:
(v +W ) + (u+W ) = (v + u) +W
a(v +W ) = av +W , a ∈ K.
Essas leis estão bem definidas pois se u+W = u1+W e v+W = v1+W ,
então
(v1 +W ) + (u1 +W ) = (u1 + v1) +W = (u+ v) +W =
= (v +W ) + (u+W ), já que (u1 + v1)− (u+ v) =
= (u1 − u) + (v1 − v) ∈ W.
Analogamente, se a ∈ K e v1 +W = v +W , temos:
a(v1 +W ) = av1 +W = av +W = a(v +W )
pois av1 − av = a(v1 − v) ∈ W .
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 13
É pura rotina verificar que, com estas leis,
V
W
se torna um espaço vetorial
sobre K. O elemento neutro da adição em
V
W
é a classe W = 0 +W .
V
W
é
chamado de espaço vetorial quociente de V por W .
Exemplo 1.4.1 Sejam V = R2 e W uma reta pela origem de R2. Um
elemento típico de
V
W
é uma reta v + W paralela a W , e
V
W
consiste de
todas as retas paralelas a W em R2.
-
6
W
v +W
u+W
(u+ v) +W
¸ v
]u
Ou+ v
Exercícios
1. Prove que se v1 +W, ..., vn +W são LI em
V
W
, então v1, ..., vn são LI
em V .
2. Sejam V um espaço vetorial e W um subespaço. Para u, v ∈ V defi-
namos u ≈ v se u− v ∈ W . Prove que ≈ é uma relação de equivalência
em V e que o conjunto das classes de equivalência é o espaço quociente
V
W
.
1.5 Somas e Somas Diretas
Definição 1.10 Sejam V um espaço vetorial sobre K,U e W subespaços de
V . A soma de U e W é definida por:
U +W = {u+ w, u ∈ U, w ∈ W}.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 14
É fácil ver que U + W é um subespaço de V . De fato, se u1, u2 ∈ U ,
w1, w2 ∈ W e a ∈ K, temos:
(a) 0 = 0 + 0 ∈ U +W
(b) (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) ∈ U +W
(c) a(u1 + w1) = au1 + aw1 ∈ U +W
Dizemos que V é soma direta de U e W , e escrevemos V = U ⊕W , se
todo elemento v ∈ V se escreve, de modo único, na forma v = u + w, com
u ∈ U e w ∈ W .
Proposição 1.9 V = U ⊕W se, e só se, V = U +W e U ∩W = {0}.
Dem. Se V = U ⊕W é claro que V = U +W . Além disso, se v ∈ U ∩W
temos, de modo único, v = v + 0 = 0 + v, donde v = 0, isto é U ∩W = {0}.
Reciprocamente, seja v ∈ V arbitrário. Como V = U +W temos v = u+
w, com u ∈ U, w ∈ W . Se tivéssemos também v = u1+w1, u1 ∈ U, w1 ∈ W ,
então teríamos u − u1 = w1 − w ∈ U ∩W = {0}, donde u = u1 e w = w1,
ou seja, a representação de v na forma u+ w é única. Logo, V = U ⊕W .
Proposição 1.10 Sejam V um espaço vetorial sobre K, de dimensão finita,
e W um subespaço de V . Existe subespaço U de V tal que V = U ⊕W .
Dem. Seja {w1, ..., wr} base de W . Sabemos que existem vetores u1, ..., us ∈
V tais que {w1, ..., wr,u1, ..., us} seja base de V . Seja U o subespaço gerado
por u1, ..., us. É claro que V = U ⊕W .
Obs.: Em geral existem muitos subespaços U de V tais que V = U ⊕W .
Dizemos que um tal U é um subespaço suplementar de W.
Proposição 1.11 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K,
U e W dois de seus subespaços. Se V = U ⊕W então dim V = dim U +
dim W .
Dem. Sejam {u1, ..., ur} e {w1, ..., ws} bases de U e W , respectivamente.
Provemos que {u1, ..., ur, w1, ...ws} é base de V . Se v ∈ V então v = u + w,
com u ∈ U e w ∈ W , ou seja, u = a1u1 + ...+ arur e w = b1w1 + ...+ bsws.
Portanto,
v = a1u1 + ...+ arur + b1w1 + ...+ bsws
e os vetores u1, ..., ur, w1, ..., ws geram V .
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 15
Seja a1u1 + ...+ arur + b1w1 + ...+ bsws = 0. Então:
a1u1 + ...+ arur = −b1w1 − ...− bsws.
Como U ∩W = {0} resulta a1u1 + ... + arur = 0 e b1w1 + ... + bsws = 0,
donde a1 = ... = ar = 0 e b1 = ... = bs = 0, ou seja, u1, ..., ur, w1, ..., ws são
LI.
Logo, {u1, ..., ur, w1, ..., ws} é base de V e dim V = r + s = dim U +
dim W .
O conceito de soma direta se estende à soma de vários subespaços V1, ..., Vn
do espaço vetorial V . Dizemos que V é a soma direta de V1, ..., Vn, e escreve-
mos V = V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vn, se todo v ∈ V se escreve, de modo único, na
forma v = v1 + v2 + ...+ vn, onde vi ∈ Vi, i = 1, 2, ..., n.
Proposição 1.12 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K,
V1, ..., Vr subespaços de V e, para cada i = 1, ..., r, {vi1, ...vini} base de Vi.
V = V1 ⊕ ...⊕ Vr se, e só se, B = {v11, ..., v1n1 , ..., vr1, vr2, ..., vrnr} é base
de V .
Dem. Se V = V1 ⊕ ... ⊕ Vr então todo v ∈ V se escreve de modo único na
forma v = v1 + ...+ vr, onde vi ∈ Vi, 1 ≤ i ≤ r. Mas
vi =
ni∑
k=1
akivik, 1 ≤ i ≤ r.
Logo:
v =
r∑
i=1
ni∑
k=1
akivik e B gera V.
Suponhamos que
r∑
i=1
ni∑
k=1
akivik = 0. Pondo vi =
ni∑
k=1
akivik, temos que
vi ∈ Vi, i = 1, ..., r. Então: v1 + ...+ vr = 0 e, como a soma é direta, temos
vi = 0, isto é,
ni∑
k=1
akivik = 0, donde aki = 0 pois vi1, ..., vini são LI. Logo, B
é LI e, portanto, B é base de V .
Reciprocamente, se B é base de V , então v =
r∑
i=1
ni∑
k=1
akivik =
r∑
i=1
vi, onde
vi =
ni∑
k=1
akivik pertence a Vi, i ≤ i ≤ r. Logo: V = V1 + ... + Vr. A soma
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 16
é direta pois se v1 + ... + vr = 0, vi ∈ Vi, então
r∑
i=1
ni∑
k=1
akivik = 0, donde
aki = 0 e, portanto, vi = 0, 1 ≤ i ≤ r.
Exercícios
1. Sejam U, V,W os seguintes subespaços de R3:
U = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 0}; V = {(x, y, z) ∈ R3;x = z} e
W = {(0, 0, z) ∈ R3; z ∈ R}. Mostre que R3 = U + V , R3 = U +W ,
R3 = V +W . Quando é que a soma é direta?
2. Sejam V = F(R,R), U o subespaço das funções pares e W o das
ímpares. Mostre que V = U ⊕W .
3. Sejam U e W subespaços de V. Se
V = U +W e dim V = dim U + dim W <∞,
prove que V = U ⊕W .
4. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K, U e W sube-
spaços de V . Prove:
dim(U +W ) ≤ dim U + dim W
1.6 Exercícios do Capítulo 1
1. Determine uma base para o subespaço de R4 descrito por x = (x1, x2, x3, x4)
tal que x1 = x2 − 3x3, x3 = 2x4. Complete a base obtida a uma base
do R4.
2. Em V = F(R,R) considere fk(t) = erkt onde rk ∈ R, 1 ≤ k ≤ n. Prove
que f1, ..., fn são LI se, e só se, r1 6= r2 6= ... 6= rn.
3. Sejam v1, ..., vn LI e u = b1v1 + ...+ bjvj + ...+ bnvn com bj 6= 0. Prove
que v1, ..., vj−1, u, vj+1, ..., vn são LI.
4. SejaW um subespaço do espaço vetorial V . Suponha que v1, ..., vn ∈ V
sejam LI e gerem um subespaço U tal que U ∩W = {0}. Prove que os
vetores v1 +W, ..., vn +W são LI em
V
W
.
CAPÍTULO 1. ESPAÇOS VETORIAIS 17
5. Sejam V um espaço vetorial, U e W seus subespaços. Se U e W têm
dimensões finitas, prove que:
dim U + dim W = dim(U +W ) + dim(U ∩W ).
6. Sejam V um espaço vetorial real e u, v ∈ V . O segmento de reta de
extremidades u e v é o conjunto [u, v] = {(1 − t)u + tv; 0 ≤ t ≤ 1}.
X ⊂ V é convexo se u, v ∈ X ⇒ [u, v] ⊂ X. Prove:
(a) Se X, Y ⊂ V são convexos, então X ∩ Y é convexo.
(b) Se X ⊂ V é convexo e r, s, t são reais não negativos tais que r +
s+ t = 1, então u, v, w ∈ X ⇒ ru+ sv + tw ∈ X.
(c) Se X ⊂ V , a envoltória convexa de X é o conjunto C(X) das
combinações t1x1+ ...+ tnxn, onde ti ≥ 0,
n∑
i=1
ti = 1, n ∈ N, chamadas
combinações convexas dos elementos de X. Prove que C(X) é convexo,
que X ⊂ C(X) e que se C ′ é convexo e X ⊂ C ′ então C(X) ⊂ C ′.
7. Seja V um espaço vetorial real. A ⊂ V é uma variedade afim se u, v ∈
A, t ∈ R⇒ (1− t)u+ tv ∈ A. Prove:
(a) Se A,B ⊂ V são variedades afins, então A ∩B é variedade afim.
(b) Se A 6= ∅ é uma variedade afim em V , existe um único subespaço
vetorial W ⊂ V tal que para todo x ∈ A tem-se
A = x+W = {x+ w;w ∈ W}.
8. Dado o conjunto finito X = {a1, ..., an}, ache uma base para o espaço
vetorial real F(X,R) = {f : X → R}.
Capítulo 2
Aplicações Lineares
2.1 Definições e Exemplos
Definição 2.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K. Dizemos que uma
aplicação T : V → W é linear se:
T (u+ v) = T (u) + T (v)
T (av) = a · T (u),
quaisquer que sejam u, v ∈ V e a ∈ K.
Exemplo 2.1.1 A aplicação identidade I : V → V , I(v) = v é linear, bem
como a aplicação zero, 0 : V → V , 0(v) = 0 para todo v ∈ V .
Exemplo 2.1.2 Seja V = K[t] o espaço vetorial dos polinômios na variável
t com coeficientes em K. A aplicação derivada D : V → V , definida por
D(a0+ a1t+ a2t
2+ ...+ amt
m) = a1+2a2t+ ...+mamt
m−1, é uma aplicação
linear.
Exemplo 2.1.3 Se V1 e V2 são espaços vetoriais sobre K e V = V1 × V2,
as aplicações p1 : V → V1 e p2 : V → V2 definidas por p1(v1, v2) = v1 e
p2(v1, v2) = v2 são lineares.
Exemplo 2.1.4 Seja W um subespaço do espaço vetorial V. A aplicação
pi : V → V
W
, pi(v) = v +W , é linear.
Exemplo 2.1.5 Seja V = C0([0, 1],R) o espaço vetorial real das funções
contínuas f : [0, 1]→ R. A aplicação f ∈ V 7−→ T (f) ∈ V , onde
(Tf)(x) =
∫ x
0
f(t)dt, x ∈ [0, 1],
18
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 19
é linear. É também linear a função f ∈ V 7−→
∫ 1
0
f(t)dt ∈ R.
Proposição 2.1 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K e (v1, v2, ..., vn) uma
base ordenada de V. Dada a sequência (w1, ..., wn) de vetores de W, existe
uma e uma única aplicação linear T : V → W tal que T (vi) = wi, 1 ≤ i ≤ n.
Dem. Seja v ∈ V . Então v se escreve, de modo único, como v = a1v1 +
...+ anvn. Definamos T : V → W por T (v) = a1w1+ ...+ anwn. É claro que
T (vi) = wi, 1 ≤ i ≤ n. Mostremos que T é linear. Se u = b1v1 + ... + bnvn,
então:
T (u+v) = T [(a1+b1)v1+ ...+(an+bn)vn] = (a1+b1)w1+ ...+(an+bn)wn =
= (a1w1 + ...+ anwn) + b1w1 + ...+ bnwn = T (v) + T (u).
Se c ∈ K, temos
T (cv) = T (ca1v1 + ...+ canvn) = ca1w1 + ...+ canwn =
= c(a1w1 + ...+ anwn) = c · T (v).
Logo, T é linear. Se L : V → W é aplicação linear tal que
L(vi) = wi, 1 ≤ i ≤ n,
então L(a1v1 + ... + anvn) = a1w1 + ... + anwn = T (v) para todo v ∈ V , ou
seja, T = L, o que mostra a unicidade de T.
Proposição 2.2 Seja T : V → W linear. Então:
(a) T (0) = 0 , T (−v) = −v.
(b) Se U ⊂ V é subespaço, então T (U) ⊂ W é subespaço.
(c) Se U ′ ⊂ W é subespaço, então T−1(U ′) ⊂ V é subespaço.
Dem. (a) Como T é linear, T (av) = aT (v) para todo a ∈ K e todo v ∈ V .
Fazendo a = 0, vem:
T (0 · v) = 0 · T (v), donde: T (0) = 0.
Fazendo a = −1, vem:
T (−v) = −T (v)
(b) T (U) ⊂ W é subespaço pois:
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 20
1. 0 = T (0) ∈ T (U)
2. Se T (u), T (v) ∈ T (U) então T (u) + T (v) = T (u+ v) ∈ T (U)
3. Se a ∈ K e T (v) ∈ T (U) então aT (v) = T (av) ∈ T (U)
(c) T−1(U ′) ⊂ V é subespaço pois:
1. 0 ∈ T−1(U ′) já que T (0) = 0 ∈ U ′
2. Se u, v ∈ T−1(U ′) então T (u), T (v) ∈ U ′, donde T (u) + T (v) = T (u +
v) ∈ U ′, donde u+ v ∈ T−1(U ′)
3. Se a ∈ K e v ∈ T−1(U ′) então aT (v) = T (av) ∈ U ′ e, portanto,
av ∈ T−1(U ′).Definição 2.2 Seja T : V → W linear. O subespaço T (V ) ⊂ W é chamado
de imagem de T e anotado Im T . O subespaço T−1(0) ⊂ V é chamado de
núcleo de T e anotado N (T ). Assim,
Im T = {T (v) ∈ W ; v ∈ V }
N (T ) = {v ∈ V ; T (v) = 0}
Obs.: Por definição T é sobrejetora se Im T = W e T é injetora se
u 6= v implica T (u) 6= T (v).
Proposição 2.3 Seja T : V → W linear. São equivalentes:
(a) N (T ) = {0}
(b) T é injetora
(c) T transforma cada conjunto LI de vetores de V em conjunto LI de vetores
de W.
Dem. (a)⇔ (b): N (T ) = {0} ⇔ T (w) = 0 implica w = 0 ⇔ T (u− v) = 0
implica u− v = 0⇔ T (u) = T (v) implica u = v ⇔ T é injetora.
(b)⇒ (c): Seja X ⊂ V um conjunto LI e seja Y = T (X). Vamos provar
que Y é LI. De fato, se a1y1+ ...+aryr = 0 onde r ∈ N e yi = T (xi), 1 ≤ i ≤
r, xi ∈ X, ai ∈ K, então a1T (x1)+...+arT (xr) = 0 ∴ T (a1x1+...+arxr) = 0,
donde a1x1+...+arxr = 0 (pois N (T ) = {0}), o que implica a1 = ... = ar = 0
(pois X é LI), resultando Y ser LI.
(c) ⇒ (a): Todo vetor v 6= 0 é LI, donde T (v) é LI, ou seja, T (v) 6= 0.
Portanto: N (T ) = {0}.
Obs.: Se T : V → W é linear e v1, ..., vn geram V , então é claro que
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 21
T (v1), ..., T (vn) geram Im T pois todo w ∈ Im T é da forma w = T (v) para
algum v ∈ V e v = a1v1 + ...+ anvn. Resulta que, se V tem dimensão finita,
então dim Im T ≤ dim V .
Definição 2.3 Seja T : V → W linear, V de dimensão finita. O posto de T
é a dimensão de Im T :
r = posto(T ) = dim Im T , donde r ≤ dim V.
Proposição 2.4 Seja T : V → W linear. São equivalentes:
(a) T é sobrejetora
(b) T transforma conjunto de geradores de V em conjunto de geradores de
W.
Dem. (a)⇒ (b):
Sejam X um conjunto de geradores de V e Y = T (X). Vamos provar que
Y gera W. Se w ∈ W e T é sobrejetora, existe v ∈ V tal que w = T (v).
Mas v =
m∑
i=1
aixi, ai ∈ K, xi ∈ X. Logo, T (v) =
m∑
i=1
aiT (xi) =
m∑
i=1
aiyi com
yi ∈ Y , ou seja, Y gera W.
(b)⇒ (a):
Sejam X um conjunto de geradores de V e Y = T (X). Então Y gera W.
Se w ∈ W , temos w =
p∑
i=1
aiyi, ai ∈ K, yi ∈ Y, yi = T (xi), xi ∈ X. Logo,
w =
p∑
i=1
aiT (xi) = T
(
p∑
i=1
aixi
)
= T (v) com v ∈ V , isto é, T é sobrejetora.
Exemplo 2.1.6 Seja T : C3 → C3, T (x1, x2, x3) = (x1 − x2, 2x1 + x2 +
3x3,−x1−2x2−3x3). T é linear e Im T é gerada por T (1, 0, 0) = (1, 2,−1) =
w1, T (0, 1, 0) = (−1, 1,−2) = w2 e T (0, 0, 1) = (0, 3,−3) = w3. É fácil ver
que w1 e w2 são LI e que w3 = w1 +w2. Portanto, {w1, w2} é base de Im T
e posto(T ) = r = 2. O núcleo de T é definido pelas equações:
x1 − x2 = 0
2x1 + x2 + 3x3 = 0
−x1 − 2x2 − 3x3 = 0
A solução deste sistema é dada por x1 = x2 = −x3. Logo: N (T ) =
{(−t,−t, t) ∈ C3; t ∈ C} e, por exemplo, (−1,−1, 1) é base de N (T ).
Observemos que dim C3 = 3 = dim N (T ) + dim Im T , o que ilustra o
teorema seguinte.
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 22
Proposição 2.5 (Teorema do núcleo e da imagem)
Sejam V, W espaços vetoriais sobre K e T : V → W linear. Se V tem
dimensão finita, então:
dim V = dim N (T ) + dim Im T.
Dem. Seja {v1, ..., vs} base de N (T ) e sejam vs+1, ..., vn ∈ V tais que
{v1, ..., vs, vs+1, ..., vn} seja base de V. Se w = T (v) ∈ Im T e v = a1v1+ ...+
anvn, então w = as+1T (vs+1) + ...+ anT (vn) já que T (v1) = ... = T (vs) = 0;
logo T (vs+1), ..., T (vn) geram Im T .
Além disso, esses vetores são LI; de fato, se bs+1T (vs+1)+ ....+bnT (vn) =
0, então T (bs+1vs+1 + ...+ bnvn) = 0, ou seja, bs+1vs+1 + ...+ bnvn ∈ N (T ).
Portanto, podemos escrever bs+1vs+1 + ...+ bnvn = b1v1 + ...+ bsvs.
Como v1, ..., vs, vs+1, ..., vn são LI, resulta bs+1 = ... = bn = 0 (e também
b1 = ... = bs = 0). Resulta que {T (vs+1), ..., T (vn)} é base de Im T e
dim Im T = n− s = dim V − dim N (T ), donde a tese.
Corolário 2.5.1 Sejam T : V → W linear, dim V = n, dim W = p.
Então:
(a) T é injetora ⇔ r = posto(T ) = n. Neste caso, dim V ≤ dim W .
(b) T é sobrejetora ⇔ r = posto(T ) = p. Neste caso, dim V ≥ dim W .
Corolário 2.5.2 Seja T : V → W linear, com dim V = dim W < ∞. São
equivalentes:
(a) T é bijetora;
(b) T é injetora;
(c) T é sobrejetora;
(d) se {v1, ..., vn} é base de V, então {Tv1, ..., T vn} é base de W;
(e) existe base {v1, ..., vn} de V tal que {Tv1, ..., T vn} seja base de W.
Dem. (a)⇒ (b): É óbvio.
(b) ⇒ (c): Como T é injetora, temos posto(T ) = dim V = dim W = n,
donde Im T = W .
(c) ⇒ (d): Tv1, ..., T vn geram Im T = W . Como dim W = n, resulta
que {Tv1, ..., T vn} é base de W.
(d)⇒ (e): É óbvio.
(e) ⇒ (a): Seja {v1, ..., vn} base de V tal que {Tv1, ..., T vn} seja base de
W. Como Tv1, ..., T vn ∈ Im T e geram W resulta que W ⊂ Im T , donde
Im T = W , ou seja, T é sobrejetora.
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 23
Se v = a1v1 + ...+ anvn é tal que T (v) = 0, então
a1T (v1) + ...+ anT (vn) = 0,
donde a1 = ... = an = 0 pois Tv1, ..., T vn são LI. Logo, v = 0 e T é injetora.
Portanto, T é bijetora.
Exercícios
1. Seja T : V → W linear. Prove que são equivalentes:
(a) T é injetora;
(b) para toda decomposição V = V1⊕V2 tem-se T (V ) = T (V1)⊕T (V2)
2. Ache T : R2 → R linear tal que T (1, 1) = −1 e T (1, 0) = 3.
3. Seja T : V → W linear. Prove que se T (v1), ..., T (vn) são LI, então
v1, ..., vn são LI.
4. Ache T : R3 → R4 linear cuja imagem seja gerada por (1,0,2,-4) e
(0,2,-1,3).
5. Seja T : V → V linear. Prove que se Tv1, ..., T vn geram V, então
v1, ..., vn geram V.
6. Seja T : R2 → R2 definido por T (x, y) = (ax + by, cx + dy), com
ad− bc 6= 0. Prove:
(a) v 6= 0⇒ Tv 6= 0.
(b) Toda reta l ⊂ R2 é transformada por T numa reta.
(c) T transforma retas paralelas em retas paralelas.
2.2 Composição e Inversão de Aplicações Lin-
eares
Proposição 2.6 Sejam U, V, W espaços vetoriais sobre o corpo K e T :
U → V, L : V → W aplicações lineares. Então a composta L ◦ T : U → W
é linear.
Dem. Se u, v ∈ U , então
(L ◦ T )(u+ v) = L(T (u+ v)) = L(Tu+ Tv) = L ◦ T (u) + L ◦ T (v).
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 24
Se a ∈ K e u ∈ U , então
(L ◦ T )(au) = L(T (au)) = L(aT (u)) = aL(T (u)) = a(L ◦ T )(u).
Resulta que L ◦ T é linear.
Proposição 2.7 Seja T : V → W linear bijetora. Então a aplicação inversa
T−1 : W → V também é linear (e bijetora).
Dem. Sejam w1 = T (v1) e w2 = T (v2) elementos arbitrários de W. Então:
T−1(w1+w2) = T−1(Tv1+Tv2) = T−1(T (v1+v2)) = v1+v2 = T−1(w1)+T−1(w2).
Se a ∈ K e w = T (v) ∈W , então: T−1(aw) = T−1(aT (v)) = T−1(T (av)) =
av = aT−1(w).
Resulta que T−1 : W → V é linear.
Definição 2.4 Uma aplicação linear T : V → W é um isomorfismo de V
sobre W se T é bijetora. Se, além disso, V = W então diremos que T é um
automorfismo de V. Se existe um isomorfismo de V sobre W dizemos que V
e W são isomorfos.
Corolário 2.7.1 A composta de dois isomorfismos é um isomorfismo. A
inversa de um isomorfismo é um isomorfismo.
Obs.: Representamos por L(V,W ) o conjunto das aplicações lineares de V
em W. No caso em que V = W é usual chamar uma aplicação linear T :
V → V de operador linear em V e representar L(V, V ) simplesmente por
L(V ) e por GL(V ) o conjunto dos automorfismos de V.
Proposição 2.8 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Se T, L ∈
GL(V ) então T ◦ L ∈ GL(V ) e (T ◦ L)−1 = L−1 ◦ T−1.
Dem. Já vimos que a composta de automorfismos é automorfismo. Basta
então verificar que
(T ◦ L) ◦ (L−1 ◦ T−1) = (L−1 ◦ T−1) ◦ (T ◦ L) = I,
operador identidade de V, o que é imediato.
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 25
Proposição 2.9 Se T : V → W é linear sobrejetora, então W é isomorfo
ao espaço quociente
V
N (T ) .
Dem. Seja pi : V → VN (T ) a aplicação quociente, isto é, pi(v) = v +
N (T ), v ∈ V . É imediato que pi é linear.
Seja L :
V
N (T ) → W definida por L(v+N (T )) = T (v), ou seja, L◦pi = T
(dizemos então que o diagrama abaixo comuta). Mostremos que L está bem
definida e é injetora:
L(u+N (T )) = L(v +N (T ))⇔ T (u) = T (v)⇔ T (u− v) = 0⇔
⇔ u−v ∈ N (T )⇔ u+N (T ) = v +N (T ).
Além disso, L é sobrejetora pois, dado w ∈ W , existe v ∈ V tal que
T (v) = w (já que T é sobrejetora) e, portanto, L(v + N (T )) = w. Logo,
L é bijetora. Resta provar que L é linear. Sejam u, v ∈ V , então: L(u +
N (T ) + v + N (T )) = L(u + v + N (T )) = T (u + v) = T (u) + T (v) =
L(u+N (T )) + L(v +N (T )). Se a ∈ K e v ∈ V , então: L(a(v +N (T ))) =
(av+N (T )) = T (av) = aT (v) = aL(v+N (T )). Resulta que L : VN (T ) → W
é um isomorfismo.
V
N (T )
µ
L
WV -
T
?
pi >
Corolário 2.9.1 Sejam V um espaço vetorial sobre K, U e W subespaços de
V tais que V = U ⊕W . Então, V
U
é isomorfo a W.
Dem. Seja p : V → W definida por p(v) = w, onde v = u+w com u ∈ U e
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 26
w ∈ W . É imediato que p é linear sobrejetora e
N (p) = {v ∈ V ; p(v) = 0} = U.
Portanto, pela proposição 2.9, temos que
V
U
é isomorfo a W.
Corolário 2.9.2 Sejam T : V → W linear e U ⊂ V subespaço tal que
V = N (T )⊕ U . Então U é isomorfo a Im T .
Dem. Decorre da proposiçã 2.9 que
V
N (T ) é isomorfo a Im T . Pelo corolário
2.9.1 temos que
V
N (T ) é isomorfo a U. Resulta que U e Im T são isomorfos.
Proposição 2.10 Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V de dimen-
são finita sobre o corpo K. Então:
dim U + dim W = dim (U +W ) + dim (U ∩W ).
Dem. Seja T : U ×W → V, T (u,w) = u − w. É imediato que T é linear.
Além disso,
Im T = {v = u− w; u ∈ U, w ∈W} = U +W
N (T ) = {(u,w) ∈ U ×W ; u = w} = {(u, u) ∈ U ×W, u ∈ U ∩W}.
É fácil ver que a aplicação u ∈ U ∩W 7−→ (u, u) ∈ N (T ) é um isomor-
fismo. Portanto, dim N (T ) = dim (U ∩W ). Pela proposição 2.5, temos:
dim (U ×W ) = dim (U +W ) + dim (U ∩W ), ou seja,
dim U + dim W = dim (U +W ) + dim(U ∩W ).
Proposição 2.11 Todo espaço vetorial de dimensão n sobre K é isomorfo a
Kn.
Dem. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. Seja {v1, ..., vn}
uma base de V. Se v ∈ V , então v = a1v1+...+anvn, onde ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ n.
Seja T : V → Kn definida por T (v) = T (a1v1+ ...+anvn) = (a1, ..., an) ∈
Kn. É fácil verificar que T é um isomorfismo.
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 27
Corolário 2.11.1 Todos os espaços vetoriais de mesma dimensão finita n
sobre K são isomorfos entre si.
Exemplo 2.2.1 Seja T : V → V linear tal que T 3 = 0. Prove que I − T é
um automorfismo de V.
A igualdade formal
1
1− x = 1+x+x
2+x3+... nos sugere que (I−T )−1 =
I + T + T 2 + T 3 + ... = I + T + T 2 já que T 3 = 0, donde T n = 0 para n ≥ 3.
De fato, temos:
(I − T )(I + T + T 2) = I + T + T 2 − T − T 2 − T 3 = I
(I + T + T 2)(I − T ) = I − T + T − T 2 + T 2 − T 3 = I
Portanto, I − T é um automorfismo de V e (I − T )−1 = I + T + T 2.
Exemplo 2.2.2 U e W sendo dois subespaços suplementares do espaço ve-
torial V, isto é, V = U⊕W , todo v ∈ V se escreve, de modo único, na forma
v = u + w, onde u ∈ U e w ∈ W . Consideremos T : U ×W → U ⊕W
definida por T (u,w) = u+ w. É fácil ver que T é linear bijetora, ou seja, T
é um isomorfismo de U ×W sobre U ⊕W .
Reciprocamente, dados dois espaços vetoriais U e W sobre K, para todo
v = (u,w) de V = U ×W temos, de modo único: (u,w) = (u, 0) + (0, w).
Se U ′ e W ′ são, respectivamente, os subespaços de V descritos por (u, 0)
e (0, w), então é claro que U ′ é isomorfo a U e que W ′ é isomorfo a W.
Então, V = U ×W = U ′ ⊕W ′. Se identificarmos U com U ′ bem como W
com W ′, então poderemos considerar U e W como subespaços suplementares
de U × W , o que significa identificar os dois espaços isomorfos U × W e
U ⊕W . Nestas condições, a aplicação de U ⊕W sobre U dada por u+w 7−→
u, se identifica com p1 : U × W → U, p1(u,w) = u, e é a projeção de
V = U ⊕W sobre o subespaço U, paralelamente ao subespaço suplementar
W. Analogamente, a aplicação u + w 7−→ w se identifica com a projeção
p2 : U ×W → W, p2(u,w) = w de V sobre o subespaço W paralelamente a
U.
Em particular, se V = U⊕W tem dimensão finita, então: dim (U×W ) =
dim (U ⊕W ) = dim U + dim W , já visto anteriormente.
Exercícios
1. Sejam T, L ∈ L(V ) tais que L ◦ T = T ◦ L. Prove:
(a) L(N (T ) ⊂ N (T );
(b) L(Im T ) ⊂ Im T .
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 28
2. Sejam L : V → U, T : U → W lineares. Se U, V e W têm dimensão
finita, prove que:
(a) posto(T ◦ L) ≤ posto(T );
(b) posto(T ◦ L) ≤ posto(L).
3. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K, L e T elementos
de L(V ) tais que L ◦ T = I. Mostre que L é invertível e que T = L−1.
4. Sejam T : V → U linear e W ⊂ V subespaço. Seja T |W = L : W → U
a restrição de T a W, isto é, T (w) = L(w) para todo w ∈ W . Prove:
(a) L é linear;
(b) N (L) = N (T ) ∩W ;
(c) Im L = T (W ).
5. Seja V = Pn+1 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual
a n, com coeficientes reais. Ache um suplementar do subespaço W de
V formado pelos polinômios p(t) tais que p(1) = 0 e prove que
V
W
é
isomorfo a R.
2.3 Álgebra das Aplicações Lineares
Se V eW são espaços vetoriais sobre o corpo K, vimos que L(V,W ) representa
o conjunto das aplicações lineares de V em W. Se L, T ∈ L(V,W ) e a ∈ K,
definimos L+ T e aT , aplicações de V em W, por:
(L+ T )(v) = L(v) + T (v)
(aT )(v) = aT (v),
para todo v ∈ V . É fácil verificar que L+T e aT são lineares, isto é, elementos
de L(V,W ). Assim, no conjunto L(V,W ) temos duas leis, (L, T ) 7−→ L+T e
(a, T ) 7−→ aT , e deixamos aos cuidados do leitor provar que são satisfeitos os
oito postulados que definem uma estrutura vetorial. Lembramos apenas que
a aplicação linear zero é a aplicação 0(v) = 0 para todo v ∈ V e que a oposta
de T ∈ L(V,W ) é a aplicação (−T ) tal que (−T )(v) = −T (v) para todo
v ∈ V . Concluímos que L(V,W ), munido das leis de adição (L, T ) 7−→ L+T
e de multiplicação por escalar (a, T ) 7−→ aT , é um espaço vetorial sobre K.
Estrutura de Anel de L(V )
Se L, T ∈ L(V ), vimos que L+ T e L ◦ T são elementos de L(V ). Assim,
L(V ) está munido de duas leis, (L, T ) 7−→ L + T e (L, T ) 7−→ L ◦ T , que
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 29
tornam L(V ) um anel com identidade, isto é:
(a) para a adição L(V ) é um grupo abeliano:
1. L+ T = T + L;
2. (L+ T ) + S = L+ (T + S);
3. existe 0 ∈ L(V ) tal que T + 0 = T ;
4. dado T ∈ L(V ) existe (−T ) ∈ L(V ) tal que T + (−T ) = 0, quaisquer
que sejam L, T, S ∈ L(V ).
(b) o “produto” (L, T ) 7−→ L ◦ T tem as propriedades:
1. (L ◦ T ) ◦ S = L ◦ (T ◦ S);
2. existe I ∈ L(V ) tal que I ◦ T = T ◦ I = T ;
3. (L+ T ) ◦ S = L ◦ S + T ◦ S e L ◦ (T + S) = L ◦ T + L ◦ S, quaisquer
que sejam L, T, S ∈ L(V ).
Estrutura de Grupo de GL(V )
O conjunto GL(V ) dos automorfismos do espaço vetorial V é um subcon-
junto de L(V ); se L, T ∈ GL(V ) vimos que L◦T e T−1 pertencem a GL(V ) e
a identidade I de V também pertence a GL(V ). Portanto, GL(V ) munido da
operação (L, T ) 7−→ L ◦ T é um grupo, chamado grupo linear de V. GL(V )
é o grupo dos elementos invertíveis do anel L(V ).
Estrutura de Álgebra de L(V )
Se V é um espaço vetorial sobre K, L(V ) está munido das leis:
(1) adição: (L, T ) 7−→ L+ T ;
(2) multiplicação por escalar: (a, T ) 7−→ aT ;
(3) produto: (L, T ) 7−→ L ◦ T .
Para as leis (1) e (2), L(V ) tem uma estrutura de espaço vetorial sobre
K. Para as leis (1) e (3), L(V ) tem uma estrutura de anel. Além disso, é fácil
ver que a(L ◦ T ) = (aL) ◦ T = L ◦ (aT ), quaisquer que sejam L, T ∈ L(V ) e
a ∈ K. Vemos assim que L(V ) tem uma estrutura de álgebra (linear) sobre
K, de acordo com a seguinte definição.
Definição 2.5 Sejam K um corpo a A um conjunto munido de uma adição,
de uma multiplicação por escalar e de um produto. Dizemos que A é uma
álgebra sobre K se:
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 30
(1) A, munido da adição e da multiplicação por escalar, é um espaço vetorial
sobre K.
(2) A, munido da adição e do produto, é um anel.
(3) a(L · T ) = (aL) · T = L · (aT ), quaisquer que sejam L, T ∈ A e a ∈ K.
Exemplo 2.3.1 O corpo C dos complexos éuma álgebra sobre R.
Exemplo 2.3.2 F(R,R) munido das leis f+g, f ·g, af é uma álgebra sobre
R.
Exemplo 2.3.3 No espaço vetorial L(V ) consideremos o produto (L, T ) 7−→
[L, T ] = L ◦ T − T ◦ L (colchete de Lie de L e T). É imediato que:
(1)
[
[L, T ], S
]
=
[
L, [T, S]
]
(2) [L+ T, S] = [L, S] + [T, S] e [L, T + S] = [L, T ] + [L, S]
(3) [aL, T ] = [L, aT ] = a[L, T ], quaisquer que sejam L, T, S ∈ L(V ) e a ∈ K.
Portanto o espaço L(V ), munido do produto (L, T ) 7−→ [L, T ], é uma álgebra
sobre K, anotada gl(V ).
2.4 Exercícios do Capítulo 2
1. Sejam V1, V2 espaços vetoriais isomorfos entre si, bem como W1 e W2.
Prove que L(V1,W1) é isomorfo a L(V2,W2).
2. Sejam V, M espaços vetoriais sobre K, V = V1⊕ V2. Prove que L(V1⊕
V2,W ) é isomorfo a L(V1,W )× L(V2,W ).
3. Seja V o espaço vetorial real das funções t 7−→ x(t) de [0, 1] em R,
de classe C∞. Consideremos em V os operadores x 7−→ f(x) = dx
dt
e
x 7−→ g(x) com g(x)(t) =
∫ t
0
x(u)du. Prove que se x(0) 6= 0 então
(g ◦ f)(x) 6= (f ◦ g)(x).
4. Sejam V um espaço vetorial e {v1, ..., vn} uma base de V. Prove que r
vetores u1, ..., ur ∈ V , r ≤ n, são LI se, e só se, existe um automorfismo
T de V tal que T (vj) = uj, 1 ≤ j ≤ r.
5. Sejam f : V → W linear e ϕ : V ×W → V ×W tal que ϕ(v, w) =
(v, w − f(v)). Prove que ϕ é um automorfismo de V ×W .
6. Dois operadores lineares S, T ∈ L(V ) são semelhantes se existe oper-
ador invertível P ∈ GL(V ) tal que S = P−1TP . Se V tem dimensão
finita, prove que operadores semelhantes têm o mesmo posto.
CAPÍTULO 2. APLICAÇÕES LINEARES 31
7. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre K. Para k = 1, 2, ..., n,
exiba T : V → V linear tal que T k = 0 mas T j 6= 0 se j < k.
8. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita e T : V → W linear.
Prove:
(a) T é injetora ⇔ existe S : W → V linear tal que S ◦ T = idV
(b) T é sobrejetora ⇔ existe S : W → V linear tal que T ◦ S = idW
9. Seja V um espaço vetorial de dimensão infinita enumerável de base
(v1, v2, ..., vn, ...). Seja T : V → V o operador linear definido por
T (v2k+1) = 0, T (v2k) = vk, k ∈ N.
(a) Prove que T é sobrejetora mas não injetora.
(b) Prove que existe S : V → V linear injetora, mas não sobrejetora,
tal que T ◦ S = id.
10. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, V ′ ⊂ V um subespaço,
W um espaço vetorial, W ′ ⊂ W um subespaço, e T : V → W linear.
Prove:
(a) dim
(
T (V ′)
)
= dim V ′ − dim (N (T ) ∩ V ′)
(b) dim T−1(W ′) = dim N (T ) + dim (Im T ∩W ′).
11. E0, E1, ..., En sendo espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K (n ≥ 2)
dizemos que o diagrama
E0
f0−→ E1 −→ ... −→ Ek−1 fk−1−−→ Ek fk−→ Ek+1 −→ ... −→ En−1 fn−1−−→ En
é uma sequência exata se para 0 ≤ k ≤ n− 2 tem-se N fk+1 = Im fk,
as aplicações fk sendo lineares (0 ≤ k ≤ n − 1). Se E0 (resp. En) é
igual a {0}, que escrevemos 0, não escreveremos f0 (resp. fn−1) pois só
existe uma aplicação linear de 0 em E1 (resp. de En−1 em 0).
(a) Prove:
[0→ E f−→ F é uma sequência exata ]⇔ f é injetora
[E
f−→ F → 0 é uma sequência exata ]⇔ f é sobrejetora.
(b) Prove que os diagramas seguintes são sequências exatas:
0→ F i−→ E j−→ E
F
→ 0
0→ N f i−→ E f−→ F j−→ F
Im f
→ 0
(f aplicação linear, i injeção canônica, j sobrejeção canônica).
Capítulo 3
Matrizes
3.1 Definições
Definição 3.1 Sejam K um corpo, m e n inteiros positivos e In = {1, 2, ..., n}.
Uma matriz m× n sobre K é uma função (i, j) ∈ Im × In 7−→ aij ∈ K. Em
geral os escalares aij são dispostos em m linhas e n colunas, o primeiro índice
indicando a linha e o segundo a coluna ocupadas por aij:
A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
 = (aij), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
Os escalares aij são os elementos da matriz A = (aij). Observemos que
duas matrizes, A = (aij) e B = (bij), ambas m × n, são iguais se, e só se,
aij = bij para todo par (i, j).
A matriz zero, m× n, é a que tem todos seus elementos iguais a zero.
A matriz A é quadrada quando o número de linhas é igual ao de colunas,
isto é, quando ela é do tipo n × n; n é a ordem da matriz quadrada A.
Numa matriz quadrada os elementos aii, que têm os índices iguais, formam
a diagonal principal.
A matriz identidade (ou unidade) de ordem n é a matriz quadrada In
na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais
iguais a zero. Por exemplo, I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
. O elemento genérico de In é o
32
CAPÍTULO 3. MATRIZES 33
símbolo de Kronecker, definido por:
δij =
{
1 se i = j
0 se i 6= j .
Assim, In = (δij)1≤i,j≤n.
Vamos introduzir no conjunto Mm×n(K), das matrizes m × n sobre K,
uma estrutura vetorial. Para isto precisamos definir a adição de matrizes e
o produto de uma matriz por um escalar.
Definição 3.2 Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m × n. A soma C =
= A + B é a matriz m × n, C = (cij), tal que cij = aij + bij para todo par
(i, j).
A adição matricial goza das seguintes propriedades de verificação imedi-
ata:
(1) A+B = B + A
(2) A+ (B + C) = (A+B) + C
(3) A+ 0 = A, onde 0 é a matriz zero m× n
(4) A+ (−A) = 0 onde, sendo A = (aij), temos (−A) = (−aij).
Definição 3.3 Sejam c ∈ K e A = (aij) ∈ Mm×n(K). A matriz B = (bij),
onde bij = c·aij para todo par (i, j), é o produto de c por A, anotado B = c·A.
É claro que B ∈Mm×n(K).
A multiplicação de matriz por escalar tem as seguintes propriedades, de
fácil verificação:
(1) 1 · A = A
(2) c · (A+B) = c · A+ c ·B
(3) (c+ d) · A = c · A+ d · A
(4) c(d · A) = (cd) · A,
quaisquer que sejam A,B ∈Mm×n(K) e c, d ∈ K.
Vemos assim que Mm×n, munido das leis de adição e de multiplicação
por escalar, é um espaço vetorial sobre K. Quando m = n escrevemos apenas
Mn(K) ou simplesmente Mn.
Vamos achar uma base para Mm×n(K). Para isso, consideremos as ma-
trizes Eij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, onde cada Eij é m × n e tem todos os
elementos iguais a zero, exceto o situado na linha i e na coluna j, que é igual
a um:
CAPÍTULO 3. MATRIZES 34
Eij =

0 ... 0 ... 0
... . . .
... . . .
...
0 ... 1 ... 0
... . . .
... . . .
...
0 ... 0 ... 0
↑
coluna j

← linha i
Proposição 3.1 O conjunto {E11, ..., E1n, ..., Em1, ..., Emn} é uma base de
Mm×n(K).
Dem. Se A = (aij) é m× n é claro que A =
m∑
i=1
n∑
j=1
aijEij, ou seja, as ma-
trizes Eij geram Mm×n(K). Além disso, elas são LI, pois se
m∑
i=1
n∑
j=1
aijEij =
0, então A = (aij) = 0, donde aij = 0 para todo par (i, j).
Corolário 3.1.1 dim Mm×n(K) = m · n.
3.2 Produto de Matrizes
Definição 3.4 Sejam A = (aij) – m × n – e B = (bij) – n × p, ou seja,
o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto
C = A ·B é a matriz m× p, C = (cij), tal que cij =
n∑
k=1
aikbkj.
Exemplo 3.2.1 (
1 0
0 2
)(
1 2
3 4
)
=
(
1 2
6 8
)
(
1 2
3 4
)(
1 0
0 2
)
=
(
1 4
3 8
)
o que mostra que o produto não é comutativo.
Proposição 3.2 (a) (AB)C = A(BC)
(b) A(B1 +B2) = AB1 + AB2; (A1 + A2)B = A1B + A2B
CAPÍTULO 3. MATRIZES 35
(c) InA = AIn = A,
onde se supõem definidos os produtos e somas (das matrizes) indicados, e em
(c) A é m× n.
Dem. (a) Sejam: A = (aij) do tipo m× n
B = (bij) do tipo n× p
C = (cij) do tipo p× q
.
Então: AB = (dij) é m× p e (AB)C = (eij) é m× q
BC = (fij) é n× q e A(BC) = (gij) é m× q,
ou seja, se o primeiro membro está definido, então o segundo também, e
é do mesmo tipo.
Temos: eij =
p∑
k=1
dikckj =
p∑
k=1
ckj
n∑
r=1
airbrk
gij =
n∑
r=1
airfrj =
n∑
r=1
air
p∑
k=1
brkckj,
o que mostra que eij = gij para todo i e todo j. As demonstrações de (b)
e (c) são deixadas a cargo do leitor.
3.3 Aplicação Linear × Matriz
Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K, E = (v1, ..., vn) e F =
(w1, ..., wm) bases ordenadas de V e W, respectivamente, e T : V −→ W
linear.
Se v = x1v1+ ...+ vnvn =
n∑
j=1
xjvj, T (v) = y1w1 + ...+ ymwm =
m∑
i=1
yiwi
e T (vj) =
m∑
i=1
aijwi, então:
T (v) =
n∑
j=1
xjT (vj) =
n∑
j=1
m∑
i=1
aijxjwi.
CAPÍTULO 3. MATRIZES 36
Portanto:
yi =
n∑
j=1
aijxj (i = 1, 2, ...,m)
Pondo:
[
v
]
E =

x1
x2
...
xn
 , [Tv]F =

y1
y2
...
ym
 e [T ]EF = (aij) 1 ≤ i ≤ m
1 ≤ j ≤ n
,
o sistema acima pode ser escrito na forma matricial[
T (v)
]
F =
[
T
]E
F ·
[
v
]
E .
Assim, fixadas as bases ordenadas E e F , a toda aplicação linear T : V −→
W podemos associar uma matriz
[
T
]E
F = (aij) definida por T (vj) =
m∑
i=1
aijwi,
ou seja,
[
T
]E
F =
a11 a12 ... ain... ... ... ...
am1 am2 ... amn
 .
[
T
]E
F é a matrix de T em relação às bases E de V e F de W. Ela é do tipo
m× n e, para cada j, as componentes de T (vj) na base F formam a coluna
j dessa matriz.
Reciprocamente, dada uma matriz m × n, A = (aij), consideremos os
vetores uj, 1 ≤ j ≤ n, definidos por uj =
m∑
i=1
aijwi. Seja T : V −→ W a
única aplicação linear tal que T (vj) = uj, 1 ≤ j ≤ n. Então é claro que[
T
]E
F = A. Existe, pois, uma bijeção entre L(V,W ) e Mm×n(K), bijeção esta
que depende da escolha das bases ordenadas E de V e F de W.
Exemplo 3.3.1 Sejam V um espaço vetorial sobre K e B = {v1, ..., vn} uma
base de V. Sejam os operadores lineares I(v) = v e 0(v) = 0 para todo v ∈ V .
É claro que
[
I
]B
B
= In e
[
0
]B
B
= 0.
Exemplo 3.3.2 Seja V = Pn o espaço vetorial dos polinômios a uma var-
iável e de grau menor que n, com coeficientes em K, juntamente com o
CAPÍTULO 3. MATRIZES 37
polinômio zero. Sejam B = {1, t, ..., tn−1} base de V e D : V −→ V a
aplicação derivada:
D(a0 + a1t+ ...+ an−1tn−1) = a1 + 2a2t+ ...+ (n− 1)an−1tn−2.
Então:
[
D
]B
B
=

0 1 0 ... 0
0 0 2 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... n− 1
0 0 0 ... 0

Exemplo 3.3.3 Sejam I : R3 −→ R3 a identidade, E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
e F = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} bases de R3. Vamos achar [I]EF .
Temos:
I(1, 0, 0) = (1, 0, 0); I(0, 1, 0) = (1, 1, 0)−(1, 0, 0); I(0, 0, 1) = (1, 1, 1)−(1, 1, 0).
Portanto: [
I
]E
F =
1 −1 00 1 −1
0 0 1

Exemplo 3.3.4 Seja T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (x+ y+ z, y+
z, z). É claro que T é linear. Sejam E e F as bases do exemplo 3.3.3. Vamos
achar
[
T
]E
F e
[
T
]E
E .
Temos: T (1, 0, 0) = (1, 0, 0); T (0, 1, 0) = (1, 1, 0); T (0, 0, 1) = (1, 1, 1).
Portanto:
[
T
]E
F =
1 0 00 1 0
0 0 1
 = I3
E:
[
T
]E
E =
1 1 10 1 1
0 0 1

Exemplo 3.3.5 Seja A = (aij) m×n sobre K. Seja TA : Kn −→ Km tal que
TA(X) = A ·X, onde X =
x1...
xn
. É claro que TA é linear e que [T ]EF = A,
onde E e F são as bases canônicas de Kn e Km, respectivamente.
CAPÍTULO 3. MATRIZES 38
Exemplo 3.3.6 (Rotação)
Sejam E = (e1, e2) a base canônica do R2 e F = (f1, f2) onde
f1 = cosα · e1 + sen α · e2
f2 = −sen α · e1 + cosα · e2, α ∈ R .
-
e1
µ
e26
f1I
f2
α
I
α
ª
Definamos T : R2 −→ R2 linear por meio de:
Te1 = f1
Te2 = f2
Então:
[
T
]E
E =
[
cos α −sen α
senα cos α
]
A imagem de
(
x
y
)
∈ R2 por T é o vetor[
cos α −sen α
senα cos α
](
x
y
)
=
[
x · cos α− y · sen α
x · senα + y · cos α
]
∈ R2.
A transformação linear T é a rotação de α em torno da origem.
Proposição 3.3 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K, E = (v1, ..., vn) e
F = (w1, ..., wm) bases ordenadas de V e W, respectivamente. A aplicação
T 7−→ [T ]EF , que a cada elemento de L(V,W ) associa sua matriz em relação
às bases dadas, é um isomorfismo de L(V,W ) sobre Mm×n(K).
Dem. Sejam T e S elementos de
L(V,W ), T (vj) =
m∑
i=1
aijwi, S(vj) =
m∑
i=1
bijwi,
CAPÍTULO 3. MATRIZES 39
isto é,
[
T
]E
F = (aij) e
[
S
]E
F = (bij).
Como (T + S)(vj) =
m∑
i=1
(aij + bij)wi resulta que
[
T + S
]E
F = (aij + bij) 1 ≤ i ≤ m
1 ≤ j ≤ n
=
[
T
]E
F +
[
S
]E
F .
Se c ∈ K temos (cT )(vj) =
m∑
i=1
caijwi, isto é,
[
cT
]E
F = (caij) = c ·
[
T
]E
F .
Portanto, a aplicação T 7−→ [T ]EF é linear (e bijetora), ou seja, um
isomorfismo.
Corolário 3.3.1 dim L(V,W ) = dim V · dim W .
Proposição 3.4 Sejam U, V, W espaços vetoriais sobre K, E = (u1, ..., um),
F = (v1, ..., vn) e G = (w1, ..., wp) bases ordenadas de U, V, W, respectiva-
mente. Se U S−→ V T−→W são lineares, então:[
T ◦ S]EG = [T ]FG · [S]EF .
Dem. Sejam: [
T
]F
G = (aij) – p× n[
S
]E
F = (bij) – n×m[
T ◦ S]EG = (cij) – p×m
Então:
T (vk) =
p∑
i=1
aikwi
S(uj) =
n∑
k=1
bkjvk
(T ◦ S)(uj) =
p∑
i=1
cijwi
CAPÍTULO 3. MATRIZES 40
Portanto:
T
(
S(uj)
)
=
n∑
k=1
bkjT (vk) =
n∑
k=1
p∑
i=1
aikbkjwi,
donde:
cij =
n∑
k=1
aikbkj,
que é a tese.
O conjunto Mn(K) das matrizes de ordem n, munido das leis de adição
e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre K de dimensão n2.
Mn(K), munido das operações de adição e multiplicação matriciais, é um
anel (com unidade). Além disso, é fácil verificar que
c(AB) = (cA)B = A(cB)
quaisquer que sejam A,B ∈ Mn(K) e c ∈ K. Resulta que Mn(K) tem uma
estrutura de álgebra sobre K. Vimos que o anel Mn(K) não é comutativo; o
exemplo [
1 0
0 0
] [
0 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
mostra que ele tem divisores de zero.
Seja V um espaço vetorial sobre K, de dimensão n. Vimos que L(V )
e Mn(K) são duas álgebras sobre K. Fixada uma base B de V, a aplicação
bijetora T ∈ L(V ) φ7−→ [T ]B
B
∈Mn(K) goza das seguintes propriedades:
(1)
[
L+ T
]B
B
=
[
L
]B
B
+
[
T
]B
B
, isto é, φ(L+ T ) = φ(L) + φ(T )
(2)
[
aT
]B
B
= a
[
T
]B
B
, isto é, φ(aT ) = a · φ(T )
(3)
[
L ◦ T ]B
B
=
[
L
]B
B
· [T ]B
B
, isto é, φ(L ◦ T ) = φ(L) · φ(T ), quaisquer que
sejam L, T ∈ L(V ) e a ∈ K.
Uma tal φ chama-se um isomorfismo de álgebras, ou seja, L(V ) e Mn(K)
são álgebras isomorfas.
Exemplo 3.3.7 Vamos achar o centro do anel Mn(K), isto é, vamos de-
terminar as matrizes A = (aij) de Mn(K) que comutam com toda ma-
triz P = (pij) de Mn(K), ou seja, tais que AP = PA. Devemos ter
n∑
k=1
aikpkj =
n∑
k=1
pikakj para todo par (i, j). Se P = Eii, isto é, pii = 1 e
prs = 0 para r 6= i ou s 6= i, então i 6= j implica aij = 0. Se P = Eij com
i 6= j, isto é, pij = 1 e prs = 0 para r 6= i ou s 6= j, então aii = ajj. Logo, se
CAPÍTULO 3. MATRIZES 41
A comuta com toda matriz de Mn(K) ela é da forma A = a · In, e é evidente
que toda matriz a · In, a ∈ K, comuta com toda matriz de Mn(K). Estas
matrizes têm o nome de matrizes escalares.
Definição 3.5 Uma matriz quadrada A, n×n, é invertível se existe matriz
quadrada B, de mesma ordem, tal que AB = BA = In.
Se uma tal matriz B existe, ela é única, pois se AC = In e BA = In,
temos: B = B · In = B(AC) = (BA)C = In · C = C. esta matriz B, caso
exista, chama-se a inversa de A, e é anotada B = A−1. Assim,
A · A−1 = A−1 · A = In,
o que mostra também que (A−1)−1 = A.
Se A e B, ambas n× n, são invertíveis, então AB é invertível e
(AB)−1 = B−1A−1.
De fato, (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = A ·A−1 = In e (B−1A−1)(AB) =
B−1(A−1 · A)B = B−1B = In. É claro que I−1n = In.
Vemos assim que o conjunto das matrizes invertíveis de Mn(K), com
a operação de multiplicação matricial, é um grupo. O isomorfismo φ :
L(Kn) −→ Mn(K) visto acima, transforma o grupo GL(Kn) = GL(n,K)
isomorficamente sobre o grupo das matrizes invertíveis de Mn(K). Em par-
ticular, [
T−1
]B
B
=
([
T
]B
B
)−1
.
Exemplo 3.3.8 Seja A, de ordem n, tal que a0In + a1A + ... + anAn = 0
com a0 6= 0. Então A é invertível.
De fato, temos:(
−a1
a0
In − ...− an
a0
An−1
)
· A = A ·
(
−a1
a0
In − ...− an
a0
An−1
)
= In.
Logo, A−1 = −a1
a0
· In− ...− an
a0
· An−1
Proposição 3.5 Seja A ∈ Mn(K). Se existe B ∈ Mn(K) tal que BA = In
(ou AB = In), então A é invertível e B = A−1.
Dem. Sejam TA : Kn −→ Kn e TB : Kn −→ Kn as aplicações lineares
associadas a A e B, respectivamente. BA = In equivale a TB · TA = idKn,
que implica ser TA injetora e TB sobrejetora e, portanto, ambas são bijetoras
e TB = T−1A , donde A
−1 = B.
CAPÍTULO 3. MATRIZES 42
Exercícios
1. Dê uma base para M3(K).
2. Seja W o subespaço de Mn(K) formado pelas matrizes cujos elemen-
tos são iguais a zero, exceto talvez os da diagonal principal. Qual a
dimensão de W?
3. Seja A ∈ Mn(R). A = (aij) é simétrica (resp. antissimétrica) se aij =
aji (resp. aij = −aji) para todo (i, j). Ache uma base para o espaço
das matrizes simétricas (resp. antissimétricas) 3× 3.
4. Seja T : R4 −→ R2 dada por T (x1, x2, x3, x4) = (x2, x4). Ache uma
matriz associada a T.
5. Sejam E = ((1, 1, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 2)) e F = ((2, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 1))
bases de C3. Ache
[
I
]E
F , onde I : C
3 −→ C3 é a identidade.
6. Seja V o subespaço de F(R,R) = {f : R −→ R} gerado pelas funções
1, t, et, e2t, te2t e seja D : V −→ V o operador de derivação. Se
B = (1, t, et, e2t, te2t) é base de V, ache
[
D
]B
B
.
7. Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial real das matrizes
simétricas n × n e o espaço das matrizes reais triangulares inferiores
(aij = 0 se i < j). Idem entre as matrizes antissimétricas e as triangu-
lares inferiores com a diagonal principal nula.
3.4 Mudança de Bases
Sejam V um espaço vetorial sobre K, E = (v1, ..., vn) e F = (w1, ..., wn) bases
ordenadas de V. Se v ∈ V , então [v]E = P · [v]F , onde P = [I]FE = (pij) é
tal que wj =
n∑
i=1
pijvi.
Definição 3.6 P =
[
I
]F
E é a matriz de passagem da base E para a base F .
Exemplo 3.4.1 Sejam V = R3, E = (e1, e2, e3) – base canônica, F =(
(1,−1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)) = (f1, f2, f3). Então:
P =
[
I
]F
E =
 1 1 1−1 0 1
1 0 1
 .
CAPÍTULO 3. MATRIZES 43
Se v = 2f1 + f2 + 3f3, então
[
v
]
E =
 1 1 1−1 0 1
1 0 1
21
3
 =
61
5
, isto é,
v = 6e1 + e2 + 5e3.
Proposição 3.6 Sejam V e W espaços vetoriais sobre K,
E = (v1, ..., vn), E ′ = (v′1, ..., v′n)
bases ordenadas de V,
F = (w1, ..., wm), F ′ = (w′1, ..., w′m)
bases ordenadas de W,
P =
[
idv
]E ′
E
a matriz de passagem de E para E ′, Q = [idW ]F ′F a matriz de passagem de F
para F ′.
Se T : V −→W é linear, então:[
T
]E ′
F ′ = Q
−1 · [T ]EF · P.
Dem. Temos T = idW · T · idV . Pela proposição 3.4, vem:[
T
]E ′
F ′ =
[
idW
]F
F ′ ·
[
T
]E
F ·
[
idV
]E ′
E
Mas:
In =
[
idW
]F ′
F ′ =
[
idW
]F
F ′ ·
[
idW
]F ′
F
e
In =
[
idW
]F
F =
[
idW
]F ′
F ·
[
idW
]F
F ′ ,
o que mostra que
[
idW
]F
F ′ = Q
−1. Resulta:[
T
]E ′
F ′ = Q
−1 · [T ]EF · P
Corolário 3.6.1 Sejam V um espaço vetorial sobre K, E e E ′ bases de V e
P =
[
idV
]E ′
E a matriz de passagem de E para E ′. Se T : V −→ V é linear,
então: [
T
]E ′
E ′ = P
−1 · [T ]EE · P
CAPÍTULO 3. MATRIZES 44
Definição 3.7 Dizemos que as matrizes A,B ∈ Mm×n(K) são equivalentes
se existem matrizes Q ∈ GL(m,K) e P ∈ GL(n,K) tais que B = QAP .
Obs.: A proposição 3.6 nos diz que se A e B são matrizes associadas à
mesma aplicação linear T : V −→ W , então A e B são equivalentes. Re-
ciprocamente, suponhamos A e B equivalentes, isto é, B = QAP onde
A,B ∈Mm×n(K), P ∈ GL(n,K) e Q ∈ GL(m,K).
Sejam E = (v1, ..., vn) e F = (w1, ..., wm) bases ordenadas dos espaços ve-
toriais V e W e T : V −→ W linear tal que A = [T ]EF . Definamos
E ′ = (v′1, ..., v′n) e F ′ = (w′1, ..., w′m) por v′j =
n∑
i=1
pijvi e w′j =
m∑
i=1
qijwi,
onde P = (pij) e Q−1 = (qij).
Como P e Q são invertíveis, E ′ e F ′ são bases de V e W, respectivamente,
P =
[
idV
]E ′
E e Q
−1 =
[
idW
]F ′
F .
Pela proposição 3.6, temos:[
T
]E ′
F ′ = QAP, isto é, B =
[
T
]E ′
F ′ ,
o que mostra que A e B representam a mesma aplicação linear T : V −→W .
Definição 3.8 Dizemos que as matrizes A,B ∈ Mn(K) são semelhantes se
existe P ∈ GL(n,K) tal que B = P−1 · A · P . Como na observação, acima
é fácil ver que A,B ∈ Mn(K) são semelhantes se, e só se, elas representam
um mesmo operador linear T : V −→ V , onde dimK V = n.
Obs.: É fácil verificar que as relações “A e B são equivalentes” e “A e B
são semelhantes”, são relações de equivalência (isto é, reflexivas, simétricas
e transitivas).
Exemplo 3.4.2 Seja T : R3 −→ R3, T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x3, 3x1 + 2x2 +
x3, x2+4x3) e sejam E = (e1, e2, e3) – base canônica e F =
(
(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)
)
bases de R3.
Temos:
T (1, 0, 0) = (1, 3, 0)
T (0, 1, 0) = (0, 2, 1)
T (0, 0, 1) = (2, 1, 4)
CAPÍTULO 3. MATRIZES 45
Portanto:
[
T
]E
E =
1 0 23 2 1
0 1 4
 = A.
Por outro lado, se F = (f1, f2, f3), temos:
T (f1) = (1, 3, 0) = −2f1 + 3f2
T (f2) = (1, 5, 1) = −4f1 + 4f2 + f3
T (f3) = (3, 6, 5) = −3f1 + f2 + 5f3
Portanto: [
T
]F
F =
−2 −4 −33 4 1
0 1 5
 = B.
A matriz de passagem de E para F é P = [I]FE , ou seja, P =
1 1 10 1 1
0 0 1
, e
é imediato verificar que
AP = PB =
1 1 33 5 6
0 1 5
 , isto é, B = P−1 · A · P.
Posto de uma Matriz
Seja A = (aij) matriz m × n sobre K. Os vetores-coluna de A são os
vetores A1, ..., An ∈ Km definidos por
Aj =

aij
a2j
...
amj
 (1 ≤ j ≤ n)
Definição 3.9 O posto de uma matriz A é a dimensão do subespaço de Km
gerado pelos vetores-coluna de A, ou seja, o posto de A é o número máximo
de vetores-coluna de A linearmente independentes.
Proposição 3.7 Sejam V, W espaços vetoriais sobre K, E = (v1, ..., vn) e
F = (w1, ..., wm) bases ordenadas de V e W, respectivamente, e T : V −→ W
linear. Se A =
[
T
]E
F , então:
posto(A) = posto(T ).
CAPÍTULO 3. MATRIZES 46
Dem. Seja A = (aij). Dizer que A =
[
T
]E
F significa dizer que T (vj) =
m∑
i=1
aijwi, ou seja, Aj =
[
T (vj)
]
F (j = 1, ..., n), e o isomorfismo de K
m
sobre W que leva a base canônica de Km na base F de W, transforma o
espaço gerado pelos vetores-coluna A1, ..., An de A sobre o espaço gerado pelos
vetores T (v1), ..., T (vn) de W, ou seja, estes espaços têm a mesma dimensão
e, portanto, posto(A) = posto(T ).
Proposição 3.8 Seja A ∈ Mm×n(K) de posto r. Então r ≤ m, r ≤ n e A
é equivalente à matriz m× n:
Ir 0
0 0
r
m− r
r n− r
Dem. Seja T : Kn −→ Km linear tal que A = [T ]EF , onde E e F são as
bases canônicas de Kn e Km, respectivamente.
Como n = dim N (T ) + dim Im T temos que dim N (T ) = n − r ≥ 0.
Podemos, então, escolher uma base E ′ = (v1, ..., vn) de Kn de modo que
(vr+1, ..., vn) seja base de N (T ). É claro que os vetores T (v1), ..., T (vr) são
LI em Km (verifique!), donde r ≤ m e podemos considerar uma base de Km
da forma F ′ = (Tv1, ..., T vr, wr+1, ..., wm). Obtemos:[
T
]E ′
F ′ = matriz da figura 3.8.
Resulta que A =
[
T
]E
F é equivalente a B = matriz da figura 3.8 :
B = QAP, Q =
[
id
]F
F ′ , P =
[
id
]E ′
E .
CAPÍTULO 3. MATRIZES 47
Corolário 3.8.1 Duas matrizes A,B ∈ Mm×n(K) são equivalentes se, e só
se, elas têm o mesmo posto.
Dem. Se A e B são equivalentes, elas representam, em relação a bases
diferentes, a mesma aplicação linear T : Kn −→ Km. Portanto,
posto(A) = posto(T ) = posto(B).
Reciprocamente, se posto(A) = posto(B) = r, então A e B são equiva-
lentes à matriz da figura 3.8 e, portanto, elas são equivalentes.
Corolário 3.8.2 A matriz A ∈Mm×n(K) é invertível se, e só se,
posto(A) = n.
Dem. A matriz A representa um operador linear
T : Kn −→ Km e posto(T ) = posto(A) = n
se, e só se, T é sobrejetora (donde bijetora), isto é, se, e só se, T ∈ GL(n,K)
e, portanto, se, e só se, A é invertível.
3.5 Exercícios do Capítulo 31. Obtenha bases E de R2 e F de R3 de modo que [T ]EF =
1 00 1
0 0
, onde
T
(
x
y
)
=
 2x+ y3x− 2y
x+ 3y
.
2. Calcule o posto das matrizes:
A =
1 2 34 5 6
7 8 9
 ; B =
1 2 34 5 6
2 1 0
 .
Mostre que os espaços gerados pelas linhas e colunas de A coincidem,
o que não ocorre com B.
CAPÍTULO 3. MATRIZES 48
3. Seja a matriz n× n cujas linhas são os vetores
v1 = (1, 2, ..., n), v2 = (2, 3, ..., n, n+ 1), etc.
Prove que o posto da matriz é 2 e que o espaço-linha coincide com o
espaço-coluna.
4. Ache reais a, b, c tais que ax + by + cz = 0 seja o plano gerado pelas
linhas da matriz
1 1 21 2 3
1 3 4
.
5. Prove que toda matriz antissimétrica 3 × 3 não-nula tem posto 2. Dê
exemplo de uma matriz antissimétrica invertível 4× 4.
6. Sejam V um espaço vetorial de dimensão n sobre K e T : V −→ V
linear. T é nilpotente de índice p se existe p ∈ N tal que T p−1 6= 0 e
T p = 0.
(a) Prove que se T é nilpotente e existem λ ∈ K, x ∈ V, x 6= 0 tais
que T (x) = λx, então λ = 0.
(b) Prove que se T é nilpotente de índice p e T p−1(x) 6= 0, então os
vetores x, T (x), ..., T p−1(x) são LI.
(c) T é nilpotente de índice n ⇔ existe base E de V tal que na matriz
A =
[
T
]E
E = (aij) – n× n – se tenha aij = 0 exceto ai,i+1 = 1 (1 ≤ i ≤
n− 1).
7. Seja A =
1 1 00 1 1
0 0 1
; ache An, n ∈ N.
8. Prove que
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
e
[
eiθ 0
0 e−iθ
]
são semelhantes sobre C.
9. Seja A = (aij) − n × n. O traço de A é o número tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Prove que tr : Mn(K) −→ K é linear, que tr(AB) = tr(BA), e
que tr(P−1AP ) = tr(A), quaisquer que sejam A,B ∈ Mn(K) e P ∈
GL(n,K).
10. Sejam T : M2(R) −→ M2(R) tal que T (A) = PA, onde P ∈ M2(R) é
fixa. Prove que tr(T ) = 2tr(P ).
Capítulo 4
Formas Lineares. Dualidade
4.1 Definição
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Considerando K um espaço
vetorial sobre si mesmo, L(V,K) é um espaço vetorial sobre K, designado
por V ∗ e chamado de dual de V; seus elementos são chamados de formas (ou
funcionais) lineares em V. O dual de V ∗ é o bidual de V, anotado V ∗∗. Os
elementos de V ∗ serão designados por letras gregas tais como α, β, ω, etc.
Assim, uma forma linear ω ∈ V ∗ é uma aplicação linear ω : V −→ K.
Se E = {v1, ..., vn} é uma base de V e se v = x1v1+...+xnvn, então ω(v) =
x1ω(v1) + ... + xnω(vn). Pondo ω(vi) = ai, temos: ω(v) = a1x1 + ... + anxn,
que é a representação de ω na base E .
Exemplo 4.1.1 Se V = Kn, a aplicação pii(x1, ..., xn) 7−→ xi (1 ≤ i ≤ n) é
uma forma linear em Kn, chamada a i-ésima forma coordenada.
Exemplo 4.1.2 Se V = C0([0, 1],R) é o espaço vetorial real das funções
contínuas f : [0, 1] −→ R a função f ∈ V 7−→
∫ 1
0
f(t)dt ∈ R é uma forma
linear em V.
Proposição 4.1 Sejam V um espaço vetorial sobre K e (v1, ..., vn) uma base
ordenada de V. Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, seja ωi : V −→ K a forma linear
definida por ωi(vj) = δij =
{
1 se i = j
0 se i ≤ j (1 ≤ i ≤ n).
Então, (ω1, ..., ωn) é uma base de V ∗ e as coordenadas de ω ∈ V ∗ nesta
base, são ω(v1), ..., ω(vn).
Dem. Sabemos que dim V ∗ = dim L(V,K) = n e que as condições ωi(vj) =
δij (j = 1, ..., n) determinam univocamente a forma ωi. Basta então provar
49
CAPÍTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 50
que ω1, ..., ωn são LI. Para isso, suponhamos que ω = a1ω1 + ...+ anωn = 0.
Então, para j = 1, ..., n, temos ω(vj) = 0, ou seja,
n∑
i=1
aiωi(vj) = 0, ou
n∑
i=1
aiδij = 0, donde aj = 0. Este cálculo mostra também que se
ω = a1ω1 + ...+ anωn, então aj = ω(vj)
.
Definição 4.1 Se (v1, ..., vn) é base ordenada de V, a base (ω1, ..., ωn) de V ∗,
tal que ω(vj) = δij (1 ≤ j ≤ n), chama-se base dual da base (v1, ..., vn).
Exemplo 4.1.3 Sejam V = Kn e (e1, ..., en) a base canônica de Kn. Seja
pii : K
n −→ K a i-ésima forma coordenada, isto é, pii(x1, ..., xn) = xi. É
claro que pii(ej) = δij, de modo que a base dual da base canônica de Kn é a
base (pi1, ..., pin) de (Kn)∗.
Obs. Se V e W têm a mesma dimensão finita sobre K, a escolha de bases
E de V e F de W nos permite definir um isomorfismo que leva E sobre F ,
e todo isomorfismo entre V e W é obtido dessa forma. Assim, em geral, há
mais de um isomorfismo entre V e W e não temos uma maneira natural para
preferir um ou outro desses isomorfismos. Entretanto, no caso de V e V ∗∗,
podemos distinguir um isomorfismo J : V −→ V ∗∗ definido independente da
escolha de bases, isto é, um isomorfismo canônico, que nos permite identificar
V a V ∗∗.
Proposição 4.2 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre K.
A aplicação canônica
J : V −→ V ∗∗
v 7−→ Jv : V ∗ −→ K
ω 7−→ ω(v)
é um isomorfismo entre V e V ∗∗.
Dem. É fácil verificar que Jv = J(v) é um elemento de V ∗∗, bem como que J
é linear. Basta então provar que J é injetora, já que dim V = dim V ∗∗ = n.
Para isto, seja v 6= 0; tomemos uma base de V da forma (v, v1, ..., vn−1) e
CAPÍTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 51
consideremos a base dual correspondente (ω, ω1, ..., ωn−1). Então, ω(v) = 1 =
Jv(ω), ou seja, Jv 6= 0. Assim, v 6= 0 implica Jv 6= 0, o que mostra ser J
injetora.
Obs. (1) Identificando-se v ∈ V a Jv ∈ V ∗∗, a igualdade Jv(ω) = ω(v) se
escreve v(ω) = ω(v), e é usual usar-se a notação < v, ω > para este escalar.
(2) No caso em que V é de dimensão infinita, prova-se que J : V −→ V ∗∗ é
injetora, mas nunca sobrejetora, ou seja, J não é um isomorfismo neste caso.
Exercícios
1. Sejam B1 = (v1, ..., vn), B2 = (u1, ..., un) bases do espaço vetorial V,
B∗1 = (α1, ..., αn) e B
∗
2 = (β1, ..., βn) as bases duais correspondentes.
Se vj =
n∑
i=1
aijui e αj =
n∑
i=1
bijβi, i ≤ j ≤ n, qual a relação entre as
matrizes A = (aij)eB = (bij)?
2. Estude a independência linear das formas lineares sobre R4, onde ab 6=
0:
f1(x1, x2, x3, x4) = x1 − ax3,
f2(x1, x2, x3, x4) = x2 − 1
a
x4,
f3(x1, x2, x3, x4) = x1 − bx4,
f4(x1, x2, x3, x4) = x2 − 1
b
x4.
3. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita eW ⊂ V um subespaço.
Se f ∈W ∗ mostre que existe g ∈ V ∗ tal que g|W = f .
4. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita, e v1, v2, ..., vp ve-
tores não nulos de V. Prove que existe f ∈ V ∗ tal que f(vi) 6= 0, i =
1, 2, ..., p.
5. Seja f : V −→ R uma forma linear não-nula. Prove que existe v0 ∈ V
tal que f(v0) = 1. Seja W = Rv0 a reta gerada por v0. Prove que
V = W ⊕N (f).
6. Sejam f, g : V −→ R formas lineares não-nulas e dim V = n. Prove
que N (f) = N (g)⇔ f é múltiplo de g.
CAPÍTULO 4. FORMAS LINEARES. DUALIDADE 52
4.2 Anulador de um Subespaço
Definição 4.2 Sejam V um espaço vetorial sobre K e U ⊂ V um subespaço.
Chama-se anulador de U ao conjunto U0 = {ω ∈ V ∗; ω(u) = 0 para todo
u ∈ U}. É fácil ver que U0 ⊂ V ∗ é um subespaço.
Se ω ∈ V ∗ pode-se mostrar sem dificuldade que ω ∈ U0 se, e só se, ω se
anula numa base de U.
Proposição 4.3 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K e
U ⊂ V um subespaço. Então:
dim U + dim U0 = dim V.
Dem. Como o caso U = {0} é trivial, vamos supor U 6= {0}. Seja (v1, ..., vn)
base de V tal que (v1, ..., vp) seja base de U. Se (ω1, .., ωn) é a base dual, então
< vj, ωi >= ωi(vj) = 0 para i = 1, ..., p e i = p + 1, ..., n, ou seja, as formas
ωp+1, ..., ωn pertencem a U0. Vamos provar que elas formam uma base de U0.
Como elas são LI, basta provar que elas geram U0. Para isto, seja ω ∈ U0.
Se ω = a1ω1 + ...+ anωn, então, para j = 1, ..., p temos:
0 = ω(vj) =
n∑
i=1
aiωi(vj) =
n∑
i=1
aiδij = aj,
ou seja, ω = ap+1ωp+1 + ...+ anωn, como queríamos.
Corolário 4.3.1 Nas hipóteses da proposição 4.3, temos (U0)0 = U (supondo-
se identificados V e V ∗∗).
Dem. (U0)0 = {v ∈ V ;< ω, v >= 0 ∀ω ∈ U0}. Portanto, se u ∈ U , então
u ∈ (U0)0, isto é, U ⊂ (U0)0.
Por outro lado,
dim (U0)0 = dim V ∗ − dim U0 = dim V − dim U0 = dim U,
donde U=(U0)0.
Obs. Se ω ∈ V ∗, ω 6= 0, o subespaço de V, H =