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2. HIPÓTESES DE SEGURANÇA – VALORES DE CÁLCULO 
 
 
2.1. HIPÓTESES BÁSICAS DE SEGURANÇA 
 
A atual norma brasileira para o “Projeto de Estruturas de Madeira”, da ABNT (1997), adota para 
o cálculo de estruturas de madeira, seguindo tendência mundial, o método probabilista dos 
Estados Limites. 
 
2.1.1. ESTADOS LIMITES 
 
São os estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenhos inadequados às finalidades 
da construção (NBR 7190/1997 – item 4.2.1). 
 
a) Estados limites últimos 
 
São os estados que por sua simples ocorrência determinam a paralisação, no todo ou em parte, do 
uso da construção (NBR 7190/1997 – item 4.2.2). 
 
Usualmente são caracterizados por: 
 
• Perda de equilíbrio, global ou parcial; 
• Ruptura ou deformação plástica excessiva do material; 
• Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em um sistema hipostático; 
• Instabilidade; 
• Instabilidade dinâmica (ressonância). 
 
b) Estados limites de utilização 
 
São os estados que por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não 
respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de 
comprometimento da durabilidade da construção (NBR 7190/1997 – item 4.2.3). 
 
Usualmente são caracterizados por: 
 
• Deformações excessivas, que: 
• afetem a utilização normal da construção; 
• comprometam seu aspecto estético; 
• prejudiquem o funcionamento de equipamentos ou instalações; 
• causem danos aos materiais de acabamento ou às partes não estruturais da 
construção. 
• Vibrações de amplitude excessiva, que; 
• causem desconforto aos usuários; 
• causem danos à construção ou seu conteúdo. 
 
 
 15
2.1.2. CONDIÇÃO DE SEGURANÇA 
 
A segurança em relação a possíveis estados limites pode ser expressa por (NBR 7190/1997 – 
item 4..3): 
 
dd RS ≤ 
 
Onde: 
 
Sd = solicitação de cálculo; 
Rd = resistência de cálculo. 
 
 
2.2. SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO 
 
2.2.1. AÇÕES 
 
As solicitações de cálculo são definidas pelas ações. Ações, segundo a ABNT (1984), são as 
causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas (NBR 8681/1984 – item 3.4). 
 
As ações podem ser de três tipos: 
 
• Permanentes: são aquelas que apresentam pequena variação durante praticamente 
toda a vida da construção. 
• Variáveis: ao contrário das ações permanentes as ações variáveis apresentam variação 
significativa durante a vida da construção. 
• Excepcionais: são aquelas que apresentam duração extremamente curta, e com baixa 
probabilidade de ocorrência, durante a vida da construção. 
 
Durante o cálculo de estruturas deve-se fazer uma combinação das ações, com a aplicação de 
coeficientes sobre cada uma delas, para levar em conta a probabilidade de ocorrência simultânea. 
A combinação das ações deve ser feita de modo a se conseguirem as situações mais críticas para 
a estrutura. 
 
a) Classes de carregamento 
 
Um carregamento, segundo a ABNT (1997), é especificado pelo conjunto de ações que tem 
probabilidade não desprezível de atuação simultânea (NBR 7190/1997 – item 5.1.4). Conforme a 
duração da atuação simultânea das ações pode-se definir uma classe para o carregamento. 
 
As classes de carregamento de qualquer combinação de ações é definida pela duração acumulada 
prevista para a ação variável tomada como principal na combinação. As classe de carregamento 
estão especificadas na tabela 05. 
 
b) Carregamentos 
 
Conforme o tipo de ações envolvidas no carregamento pode-se subdividir os carregamentos em: 
normal, especial, excepcional e de construção. 
 16
TAB. 05 – CLASSES DE CARREGAMENTO 
 
AÇÃO VARIÁVEL PRINCIPAL DA COMBINAÇÃO 
 
 
CLASSE DE 
CARREGAMENTO 
 
Duração acumulada
 
Ordem de grandeza da duração acumulada 
da ação característica 
 
Permanente 
Longa duração 
Média duração 
Curta duração 
Duração instantânea 
Permanente 
Longa duração 
Média duração 
Curta duração 
Duração instantânea 
vida útil da construção 
mais de 6 meses 
1 semana a 6 meses 
menos de 1 semana 
muito curta 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 
 
 
• Carregamento normal 
 
Um carregamento normal inclui apenas as ações decorrentes do uso previsto para a construção, é 
considerado de longa duração e deve ser verificado nos estados limites último e de utilização. 
As eventuais ações de curta ou média duração, contidas no carregamento normal, terão reduzidos 
seus valores atuantes (NBR 7190/1997 – item 5.2.1). No caso de um telhado, por exemplo, o 
carregamento normal incluiria a ação permanente devidas ao peso próprio da estrutura e das 
telhas e as ações variáveis correspondentes ao peso da água embebida pelas telhas e à ação do 
vento. No caso de uma ponte, o carregamento normal incluiria a ação permanente devida ao 
peso da estrutura e as ações variáveis devidas ao trem-tipo e ao impacto vertical. 
 
• Carregamento especial 
 
Um carregamento especial inclui as ações variáveis de natureza ou intensidade especiais, cujos 
efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos pelas ações consideradas no carregamento 
normal (NBR 7190/1997 – item 5.2.2). Um exemplo típico é o carregamento provocado pelo 
transporte de um equipamento especial (como uma turbina para uma hidroelétrica) sobre uma 
ponte, cujo efeito supere o carregamento normal produzido pelo trem-tipo considerado no 
dimensionamento da ponte. 
 
A classe de carregamento é definida pela duração acumulada prevista para a ação variável 
especial. 
 
• Carregamento excepcional 
 
Na existência de ações com efeitos catastróficos, o carregamento é definido como excepcional, e 
corresponde à classe de carregamento de duração instantânea (NBR 7190/1997 – item 5.2.3). 
Um exemplo típico, normalmente considerado no projeto de uma usina nuclear, é o efeito 
provocado pela queda de um avião. Outro exemplo é a ação de um terremoto. 
 
• Carregamento de construção 
 
Um carregamento de construção é transitório e deve ser definido em cada situação particular 
onde exista risco de ocorrência de estados limites últimos durante a construção (NBR 7190/1997 
 17
– item 5.2.4). Erguer e posicionar uma treliça pré-fabricada, para a montagem de uma cobertura, 
é um exemplo típico deste tipo de carregamento. 
 
A classe de carregamento é definida pela duração acumulada da situação de risco. 
 
c) Situações de projeto 
 
São três as situações de projeto, que segundo a ABNT (1997) devem ser consideradas: 
duradouras, transitórias e excepcionais. 
 
• Situações duradouras 
 
Nas situações duradouras, que podem ter duração igual ao período de referência da estrutura, 
devem ser verificados os estados limites últimos e de utilização e devem ser consideradas em 
todos os projetos (NBR 7190/1997 – 5.3.2). Nas verificações de segurança a estados limites 
últimos consideram-se combinações normais de carregamento, enquanto que nas de estados 
limites de utilização consideram-se combinações de longa ou média duração. 
 
• Situações transitórias 
 
Quando a duração for muito menor que o período de vida da construção tem-se uma situação 
transitória (NBR 7190/1997 – item 5.3.3). As situações transitórias são consideradas somente se 
existir um carregamento especial, que deve ser explicitamente especificado para o projeto da 
construção, e na maioria dos casos pode-se verificar apenas estados limites últimos. Caso seja 
necessária a verificação dos estados limites de utilização, ela deve ser feita considerando 
combinações de média (combinações especiais) ou curta duração (combinações raras). 
 
• Situações excepcionais 
 
As situações com duração extremamente curta são consideradas excepcionais e verificadas 
apenas quanto aos estados limites últimos (NBR 7190/1997 – item 5.3.4). As situações 
excepcionais devem ser explicitamente especificadas para o projeto de construções em que haja 
necessidade dessa consideração. 
 
2.2.2. COMBINAÇÕES DE AÇÕES EM ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
 
a) Combinações últimas normais 
 
No caso de combinações, para verificação de estados limites últimos causados por um 
carregamento normal, segundo a ABNT (1997),as ações variáveis, afetadas pelo coeficiente de 
ponderação γQ, são divididas em dois grupos, as principais (FQ1,k) e as secundárias (FQj,k) com 
seus valores reduzidos pelo coeficiente ψ0j, que considera a baixa probabilidade de ocorrência 
simultânea das ações variáveis. Para as ações permanentes (Fgi,k) , com a aplicação adequada do 
coeficiente de ponderação γg, devem ser feitas duas verificações: a favorável, na qual as cargas 
permanentes aliviam o efeito da atuação simultânea das ações; e a desfavorável, na qual as 
cargas permanentes aumentam o efeito da atuação simultânea das ações. Assim, para este caso, a 
ação, ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-se a expressão dada abaixo (NBR 
7190/1997 – item 5.7.1), na qual os coeficientes γg, γQ e ψ0, entre outros, são apresentados nas 
tabelas 07, 08, 09 e 10. 
 18
 
 
∑ ∑
= =






++=
m
i
n
j
k,Qjjk,QQk,gigid FFFF
1 2
01 ψγγ 
 
OBS.: Para considerar a maior resistência da madeira às cargas de curta duração as ações 
variáveis FQ1,k e/ou FQj,k deverão ser reduzidas pelos fatores apresentados na 
tabela 06. 
 
 
TAB. 06 – FATORES DE REDUÇÃO DE FQ1,k E/OU FQj,k 
 AÇÃO DEVIDA A: 
 
FATOR DE REDUÇÃO 
 
• Impacto vertical 
 
0,75 
 • Impacto lateral 0,75 
 • Força longitudinal 0,75 
 • Força centrífuga 0,75 
 • Vento (se variável principal) 0,75 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 – item 5.5. 
 
 
TAB. 07 – COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO γg 
AÇÕES PERMANENTES (1) DE: 
 
Pequena variabilidade 
 
Grande variabilidade 
 
Para efeitos: 
 
Para efeitos: 
 
 
 
 
COMBINAÇÕES 
 
Desfavoráveis 
 
Favoráveis 
 
Desfavoráveis 
 
Favoráveis 
 
Normais gγ = 1,3 gγ = 1,0 gγ = 1,4 gγ = 0,9 
Especiais ou de Construção gγ = 1,2 gγ = 1,0 gγ = 1,3 gγ = 0,9 
Excepcionais gγ = 1,1 gγ = 1,0 gγ = 1,2 gγ = 0,9 
 
(1) Podem ser usados indiferentemente os símbolos γg ou γG. 
OBS.: 1 – Considera-se de pequena variabilidade o peso da madeira classificada estruturalmente 
cujo peso específico tenha coeficiente de variação não superior a 10%; 
2 – Considera-se de grande variabilidade sempre que o peso próprio da estrutura não 
supere 75% da totalidade dos pesos permanentes; 
3 – Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
 
 
 19
TAB. 08 – COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO γε 
AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS (1) 
 
Para efeitos: 
 
 
 
COMBINAÇÕES 
 
Desfavoráveis 
 
Favoráveis 
 
Normais εγ = 1,2 εγ = 0 
Especiais ou de Construção εγ = 1,2 εγ = 0 
Excepcionais εγ = 0 εγ = 0 
 
(1) Tem o mesmo comportamento de γg na aplicação da expressão para combinação das ações. 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 
 
 
TAB. 09 – COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO γQ 
AÇÕES VARIÁVEIS, DEVIDAS ÀS (AOS): 
COMBINAÇÕES ações variáveis em geral incluídas 
as cargas acidentais móveis 
 
 
efeitos da temperatura 
 
Normais 
 
Qγ = 1,4 
 
εγ = 1,2 
Especiais ou de Construção Qγ = 1,2 εγ = 1,0 
Excepcionais Qγ = 1,0 εγ = 0 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
b) Combinações últimas especiais ou de construção 
 
No caso de combinações, para verificação de estados limites últimos causados por um 
carregamento especial ou de construção, segundo a ABNT (1997), a combinação é a mesma 
utilizada para o carregamento normal, com ψ0j,ef = ψ0j, salvo quando ação variável principal FQ1 
tenha um tempo de atuação muito pequeno, neste caso ψ0j,ef = ψ2j. Assim, para este caso, a ação, 
ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-se a seguinte expressão (NBR 7190/1997 – 
item 5.7.2): 
 
∑ ∑
= =






++=
m
i
n
j
k,Qjef,jk,QQk,gigid FFFF
1 2
01 ψγγ 
 
c) Combinações últimas excepcionais 
 
No caso de combinações, para verificação de estados limites últimos causados por um 
carregamento excepcional, segundo a ABNT (1997), não se aplica o coeficiente de ponderação 
γQ à ação excepcional e se mantém o coeficiente ψ0j,ef definido para as combinações especiais ou 
 20
de construção. Assim, para este caso, a ação, ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-
se a seguinte expressão (NBR 7190/1997 – item 5.7.3): 
 
∑ ∑
= =
++=
m
i
n
j
k,Qjef,jQexc,Qk,gigid FFFF
1 1
0ψγγ 
 
 
TAB. 10 – FATORES DE COMBINAÇÃO E DE UTILIZAÇÃO ψ0, ψ1 e ψ2 
AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES 
 
Ψ0 
 
Ψ1 
 
Ψ2 
• Variações uniformes de temperatura em relação à 
média anual local 
• Pressão dinâmica do vento 
 
0,6 
0,5 
 
0,5 
0,2 
 
0,3 
0 
 
CARGAS ACIDENTAIS DOS EDIFÍCIOS 
 
Ψ0 
 
Ψ1 
 
Ψ2 
• Locais em que não há predominância de pesos de 
equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações 
de pessoas 
• Locais onde há predominância de pesos de 
equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de 
pessoas 
• Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 
 
 
0,4 
 
 
0,7 
0,8 
 
 
0,3 
 
 
0,6 
0,7 
 
 
0,2 
 
 
0,4 
0,6 
 
CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS 
 
Ψ0 
 
Ψ1 
 
Ψ2 
 
• Pontes de pedestres 
• Pontes rodoviárias 
• Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 
 
0,4 
0,6 
0,8 
 
0,3 
0,4 
0,6 
0,2* 
0,2* 
0,4* 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
2.2.3. COMBINAÇÕES DE AÇÕES EM ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
 
a) Combinações de longa duração 
 
No controle usual de deformações das estruturas são consideradas as combinações de longa 
duração. Nestas combinações, definidas pela expressão abaixo, todas as ações variáveis atuam 
com seus valores correspondentes à classe de longa duração (NBR 7190/1997 – item 5.8.1). 
 
∑ ∑
= =
+=
m
i
n
j
k,Qjjk,giuti,d FFF
1 1
2ψ 
 
b) Combinações de média duração 
 
Utiliza-se esta combinação no caso de existirem materiais frágeis, não estruturais, ligados à 
estrutura. Nestas condições a ação variável principal atua com valores de média duração e as 
demais com os valores de longa duração (NBR 7190/1997 – item 5.8.2). 
 21
 
∑ ∑
= =
++=
m
i
n
j
k,Qjjk,Qk,giuti,d FFFF
1 2
211 ψψ 
 
c) Combinações de curta duração (ou combinações raras) 
 
São utilizadas quando for importante impedir defeitos decorrentes das deformações da estrutura. 
Neste caso a ação variável principal atua com seu valor característico e as demais com seus 
valores correspondentes à classe de média duração (NBR 7190/1997 – item 5.8.3). 
 
∑ ∑
= =
++=
m
i
n
j
k,Qjjk,Qk,giuti,d FFFF
1 2
11 ψ 
 
d) Combinações de duração instantânea 
 
Neste caso considera-se a existência de uma ação variável especial (FQ,esp) da classe de duração 
instantânea. As demais ações variáveis, na falta de outro critério, podem ser consideradas agindo 
com seus valores referentes a combinações de longa duração (NBR 7190/1997 – item 5.8.4). 
 
∑ ∑
= =
++=
m
i
n
j
k,Qjjesp,Qk,giuti,d FFFF
1 1
2ψ 
 
 
2.3. RESISTÊNCIAS E RIGIDEZES DE CÁLCULO 
 
2.3.1. PROPRIEDADES DA MADEIRA A SEREM CONSIDERADAS 
 
São, segundo CALIL JÚNIOR & BARALDI (1998), quatro as propriedades da madeira a serem 
consideradas no dimensionamento de elementos estruturais: densidade, resistência, rigidez ou 
módulo de elasticidade e umidade. 
 
A densidade é utilizada na determinação do peso específico, para, em seguida, se obter o peso 
próprio do madeiramento da estrutura. 
 
Esta operação é usualmente feita somando-se o peso próprio de cada elemento estrutural, obtido 
através das expressões abaixo, e acrescentando-se, segundo a ABNT (1997), 3% do peso próprio 
da madeira como estimativa do peso próprio das peças metálicas (pregos e parafusos) utilizadas 
nas ligações. Além disso, o peso próprio real, avaliado após o dimensionamento final da 
estrutura, não deve diferir mais de 10% do peso próprio inicialmente admitido no cálculo (NBR 
7190/1997 – item 5.5.2). 
 
g.ργ = e V.G γ= 
 
Onde: 
 
γ = peso específico (peso por unidade de volume); 
 22
ρ = densidade ou massa específica (massa por unidade de volume); 
g = aceleração da gravidade, g ≅ 10 m/s2; 
G = peso próprio do elemento em questão; 
V = volume do elemento em questão. 
 
 
A resistência é a aptidão da matéria suportar tensões (NBR 7190/1997 – item 6.1.3). 
 
No cálculo de uma estrutura de madeira, segundo CALIL JÚNIOR & BARALDI (1998),podem 
ser utilizados valores de resistências; obtidos em ensaios, para caracterização de espécies, 
realizados em laboratório; ou fornecidos pela norma brasileira para o projeto de estruturas de 
madeira, que apresenta o resultado de ensaios de caracterização de diversas espécies; ou valores 
definidos pela norma brasileira de acordo com a classe de resistência que a espécie pertence. 
 
Os valores de resistência, obtidos em ensaios, são determinados convencionalmente pela máxima 
tensão que pode ser aplicada a corpos-de-prova normalizados e isentos de defeitos até o 
aparecimento de fenômenos particulares de comportamento além dos quais há restrição de 
emprego do material em elementos estruturais. 
 
O módulo de elasticidade da madeira determina o seu comportamento na fase elástico-linear. 
Devem ser conhecidos os módulos nas direções paralela (E0) e normal (E90) às fibras. Na falta da 
determinação experimental do módulo de elasticidade na direção normal às fibras, pode ser 
utilizada a seguinte relação (NBR 7190/1997 – item 6.1.4): 
 
090 20
1 EE = 
 
O teor de umidade, ou simplesmente umidade, da madeira pode alterar suas propriedades de 
resistência e elasticidade. 
 
Segundo LOGSDON (1998), de maneira geral, dentro do intervalo higroscópico (teor de 
umidade inferior ao ponto de saturação), um aumento do teor de umidade da madeira 
corresponde a uma diminuição de sua resistência e rigidez. Para variações de umidade fora do 
intervalo higroscópico (acima do ponto de saturação das fibras), a resistência e a rigidez da 
madeira praticamente não são afetadas por uma variação no teor de umidade. 
 
Assim, as propriedades de resistência e de rigidez da madeira precisam ser ajustadas em função 
das condições ambientais onde permanecerão as estruturas. Este ajuste, segundo a ABNT (1997), 
é feito em função das classes de umidade apresentadas na tabela 11 (NBR 7190/1997 – item 
6.1.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
TAB. 11 – CLASSES DE UMIDADE 
 
CLASSES DE 
UMIDADE 
 
 
UMIDADE RELATIVA 
DO AMBIENTE U amb
 
UMIDADE DE EQUILÍBRIO 
DA MADEIRA U eq
 
1 ≤ 65% 12% 
2 65% < U ≤ 75% amb 15% 
3 75% < U ≤ 85% amb 18% 
4 ambU > 85% durante longos períodos ≥ 25% 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
A norma brasileira para o projeto de estruturas de madeira define como condição-padrão de 
referência o teor de umidade de 12%. Assim os resultados de ensaios devem ser fornecidos para 
este teor de umidade. Na prática não é possível condicionar a madeira a exatamente 12% de 
umidade, portanto os resultados do ensaio precisam ser ajustados para este teor de umidade. Este 
ajuste pode ser feito utilizando as seguintes expressões (NBR 7190/1997 – item 6.2.1): 
 
• Resistência: 
( )



 −+=
100
123112
%Uff %U 
 
• Elasticidade: 
( )



 −+=
100
122112
%UEE %U 
 
• Para valores de umidade superior a 20% e temperaturas entre 10°C e 60°C, a ABNT 
(1997), admite como desprezível as variações nas propriedades da madeira (NBR 
7190/1997 – item 6.2.1). 
 
 
OBS.: LOGSDON (1998), estudando especificamente este assunto sugere utilizar: 
 
( )



 −+=
100
12%.1.%12
Uff U
α
 
 
( )



 −α+=
100
12%U.1.EE %U12 
 
Onde: 
 
12f = resistência, à determinada solicitação, a um teor de umidade de 12%; 
%Uf = resistência, à determinada solicitação, a um teor de umidade de U%; 
12E = módulo de elasticidade longitudinal, a um teor de umidade de 12%; 
%UE = módulo de elasticidade longitudinal, a um teor de umidade de U%; 
U% = teor de umidade da madeira, em %, e 
α = coeficiente de correção, fornecido na tabela 12. 
 24
TAB. 12 – VALORES DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO, α 
 
PROPRIEDADE DE RESISTÊNCIA OU RIGIDEZ 
 
COEFICIENTE DE 
CORREÇÃO, α 
 
 Resistência à compressão paralela às fibras, fc0 3,5 
 Resistência à tração paralela às fibras, ft0 2,0 
 Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0 2,5 
 Módulo de elasticidade longitudinal, Ec0 2,5 
OBS.: Fonte: LOGSDON (1998) 
 
 
Para densidade aparente a norma brasileira não apresentou modelo para o ajuste ao teor 
de umidade de referência, segundo LOGSDON (1998), pode-se utilizar a seguinte 
expressão: 
 
( ) ( )


 −δ−ρ+ρ=ρ
100
%U12.1. V%U%U12 , com %U
V
V
∆
=δ e 100.
sec
sec%
a
aU
V
VVV −=∆ 
 
Onde: 
 
ρ12 = densidade aparente ao teor de umidade de 12%; 
ρU% = densidade aparente ao teor de umidade U%; 
U% = teor de umidade da madeira, no instante do ensaio, em %; 
δV = coeficiente de retratibilidade volumétrica; 
∆V = retração volumétrica, para a variação de umidade entre U% e 0%; 
VU% = volume, do corpo-de-prova, ao teor de umidade U%, e 
Vseca = volume, do corpo-de-prova, para a madeira seca U=0%. 
 
 
2.3.2. CARACTERIZAÇÃO DA MADEIRA 
 
Para a caracterização de um lote de madeira para utilização estrutural, segundo a ABNT (1997), 
podem ser utilizados três procedimentos distintos para a caracterizar as propriedades de 
resistência e um procedimento para as propriedades de elasticidade (NBR 7190/1997 – item 6.3). 
 
a) Caracterização completa da resistência da madeira serrada 
 
Esta caracterização é recomendada para espécies de madeira não conhecidas, e consiste da 
determinação, através de ensaios em laboratório, das seguintes propriedades (NBR 7190/1997 – 
item 6.3.1): 
 
• Resistência à compressão paralela às fibras (fc,0); 
• Resistência à tração paralela às fibras (ft,0); 
• Resistência à compressão normal às fibras (fc,90); 
• Resistência à tração normal às fibras (ft,90); 
• Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv,0); 
 25
• Resistência de embutimento paralelo às fibras (fe,0); 
• Resistência de embutimento normal às fibras (fe,90); 
• Densidade básica (ρbas), e 
• Densidade aparente (ρap). 
 
OBS.: 1 - Todas as características da madeira, obtidas em ensaio, devem ser ajustadas 
para o teor de umidade de 12%. 
2 - Para efeito de projeto estrutural, considera-se nula a resistência à tração normal 
às fibras. 
3 - Os procedimentos para a realização dos ensaios de classificação estão descritos 
no anexo B da norma brasileira para o projeto de estruturas de madeira. 
 
b) Caracterização mínima da resistência da madeira serrada 
 
Esta caracterização é recomendada, para espécies de madeira pouco conhecidas, e consiste da 
determinação das seguintes propriedades (NBR 7190/1997 – item 6.3.2): 
 
• Resistência à compressão paralela às fibras (fc,0). 
• Resistência à tração paralela às fibras (ft,0). 
• Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv,0). 
• Densidade básica (ρbas), e 
• Densidade aparente (ρap). 
 
OBS.: Na impossibilidade da execução dos ensaios de tração pode-se admitir que o valor 
da resistência à tração paralela às fibras (ft,0) seja igual ao da resistência à tração 
na flexão (fM). 
 
c) Caracterização simplificada da resistência da madeira serrada 
 
Para espécies de madeira usuais, pode-se fazer a classificação simplificada a partir dos ensaios 
de compressão paralela às fibras, adotando-se as seguintes relações para os valores 
característicos das resistências (NBR 7190/1997 – item 6.3.3): 
 
• 77000 ,ff k,tk,c = 
• 0010 ,ff k,tk,tM = 
• 250090 ,ff k,ck,c = 
• 00100 ,ff k,ck,e = 
• 250090 ,ff k,ck,e = 
 
• Para coníferas: 15000 ,ff k,ck,v = 
• Para dicotiledôneas: 12000 ,ff k,ck,v = 
 
Onde: 
 
fc0,k = resistência característica à compressão paralela às fibras; 
ft0,k = resistência característica à tração paralela às fibras; 
 26
ftM,k = resistência característica à tração na flexão; 
fc90,k = resistência característica à compressão normal às fibras; 
fe0,k = resistência característica ao embutimento paralelo às fibras; 
fe90,k = resistência característica ao embutimento normal às fibras; 
fv0,k = resistência característica ao cisalhamento paralelo às fibras; 
 
 
d) Caracterização completa da rigidez da madeira 
 
A caracterização completa da rigidez da madeira é feita por meio da determinação dos seguintes 
valores, que devem ser referidos à condição padrão de umidade(U=12%), com a realização de 
pelo menos dois ensaios (NBR 7190/1997 – item 6.3.4): 
 
• Valor médio do módulo de elasticidade na compressão paralela (Ec0,m). 
• Valor médio do módulo de elasticidade na compressão normal (Ec90,m). 
 
Os valores dos módulos de elasticidade na compressão e tração são considerados equivalentes. 
 
e) Caracterização simplificada da rigidez da madeira 
 
Admitindo-se uma relação entre os módulos de elasticidade à compressão paralela (Ec0) e normal 
(Ec90) às fibras, a caracterização simplificada da rigidez da madeira pode ser feita apenas na 
compressão paralela às fibras (NBR 7190/1997 – item 6.3.4): 
 
• Valor médio do módulo de elasticidade na compressão paralela (Ec0,m). 
• Na direção normal vale a relação: 090 20
1
cc E.E = 
 
Na impossibilidade da realização de ensaios de compressão paralela, segundo a ABNT (1997), 
pode-se obter o módulo de elasticidade em ensaios de flexão (EM), de acordo com o anexo B da 
norma brasileira, e utilizar as seguintes correlações (NBR 7190/1997 – item 6.3.4): 
 
• Coníferas: 0850 cM E.,E =
• Dicotiledôneas: 0900 cM E.,E =
 
2.3.3. CLASSES DE RESISTÊNCIA 
 
Visando a padronização das propriedades da madeira, segundo CALIL JÚNIOR & BARALDI 
(1998), a norma adota o conceito de classes de resistência, propiciando, assim, a utilização de 
várias espécies com propriedades similares em um mesmo projeto. Para isto, o lote de madeira 
deve ter sido classificado e o revendedor deve apresentar certificados de laboratórios idôneos, 
que comprovem as propriedades do lote dentro de uma das classes de resistência. 
 
Nas tabelas 13 e 14 são definidas as classes de resistência. 
 
No caso da utilização de uma espécie em particular, com a sua identificação correta, e não sendo 
possível a classificação do lote para a obtenção das propriedades, pode-se utilizar os valores 
presentados nas tabelas 15, 16 e 17. a 
 27
TAB. 13 – CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS CONÍFERAS 
 
CONÍFERAS 
(Valores na condição-padrão de referência U = 12%) 
 
CLASSES k,cf 0 
(MPa) 
k,vf 
(MPa) 
m,cE 0 
(MPa) 
m,basρ (1) 
(kg/m3) 
aparenteρ 
(kg/m3) 
 
C 20 
C 25 
C 30 
20 
25 
30 
4 
5 
6 
3 500 
8 500 
14.500 
400 
450 
500 
500 
550 
600 
 
(1) Massa específica convencional, definida por: saturadoasecbas VM=ρ . 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 
 
 
TAB. 14 – CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS DICOTILEDÔNEAS 
 
DICOTILEDÔNEAS 
(Valores na condição-padrão de referência U = 12%) 
 
CLASSES k,cf 0 
(MPa) 
k,vf 
(MPa) 
m,cE 0 
(MPa) 
m,basρ (1) 
(kg/m3) 
aparenteρ 
(kg/m3) 
 
C 20 
C 30 
C 40 
C 60 
20 
30 
40 
60 
4 
5 
6 
8 
9 500 
14.500 
19.500 
24.500 
500 
650 
750 
800 
650 
800 
950 
1000 
 
(1) Massa específica convencional, definida por: saturadoasecbas VM=ρ . 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 
 
 
TAB. 15 – PROPRIEDADES DE ALGUMAS DICOTILEDÔNEAS NATIVAS E DE 
FLORESTAMENTO (Valores médios para U = 12%) 
 
NOME COMUM 
 
NOME CIENTÍFICO ρap(12%) 
(kg/m3) 
fc0 
(MPa) 
ft0 
(MPa) 
ft90 
(MPa) 
fv 
(MPa) 
Ec0 
(MPa) 
n 
 
Angelim Araroba Votaireopsis araroba 688 50,5 69,2 3,1 7,1 12876 15 
Angelim Ferro Hymenolobium spp 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827 20 
Angelim Pedra Hymenolobium petraeum 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912 39 
Angelim Pedra Verdadeiro Dinizia excelsa 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694 12 
Branquilho Termilalia spp 803 48,1 87,9 3,2 9,8 13481 10 
Cafearana Andira spp 677 59,1 79,7 3,0 5,9 14098 11 
Canafístula Cassia ferruginea 871 52,0 84,9 6,2 11,1 14613 12 
Casca Grossa Vochysia spp 801 56,0 120,2 4,1 8,2 16224 31 
Castelo Gossypiospermum praecox 759 54,8 99,5 7,5 12,8 11105 12 
Cedro Amargo Cedrella odorata 504 39,0 58,1 3,0 6,1 9839 21 
Cedro Doce Cedrella spp 500 31,5 71,4 3,0 5,6 8058 10 
 
 28
TAB. 15 – PROPRIEDADES DE ALGUMAS DICOTILEDÔNEAS NATIVAS E DE 
FLORESTAMENTO (Valores médios para U = 12%) – CONTINUAÇÃO. 
 
NOME COMUM 
 
NOME CIENTÍFICO ρap(12%) 
(kg/m3) 
fc0 
(MPa) 
ft0 
(MPa) 
ft90 
(MPa) 
fv 
(MPa) 
Ec0 
(MPa) 
n 
 
Champagne Dipterys odorata 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002 12 
Cupiúba Goupia glabra 838 54,4 62,1 3,3 10,4 13627 33 
Catiúba Qualea paraensis 1221 83,8 86,2 3,3 11,1 19426 13 
E. Alba Eucalyptus alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409 24 
E. Camaldulensis Eucalyptus camaldulensis 899 48,0 78,1 4,6 9,0 13286 18 
E. Citriodora Eucalyptus citriodora 999 62,0 123,6 3,9 10,7 18421 68 
E. Cloeziana Eucalyptus cloeziana 822 51,8 90,8 4,0 10,5 13963 21 
E. Dunnii Eucalyptus dunnii 690 48,9 139,2 6,9 9,8 18029 15 
E. Grandis Eucalyptus grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813 103 
E. Maculata Eucalyptus maculata 931 63,5 115,6 4,1 10,6 18099 53 
E. Maidene Eucalyptus maidene 924 48,3 83,7 4,8 10,3 14431 10 
E. Microcorys Eucalyptus microcorys 929 54,9 118,6 4,5 10,3 16782 31 
E. Paniculata Eucalyptus paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881 29 
E. Propinqua Eucalyptus propinqua 952 51,6 89,1 4,7 9,7 15561 63 
E. Punctata Eucalyptus punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360 70 
E. Saligna Eucalyptus saligna 731 46,8 95,5 4,0 8,2 14933 67 
E. Tereticornis Eucalyptus tereticornis 899 57,7 115,9 4,6 9,7 17198 29 
E. Triantha Eucalyptus triantha 755 53,9 100,9 2,7 9,2 14617 08 
E. Umbra Eucalyptus umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577 08 
E. Urophylla Eucalyptus urophylla 739 46,0 85,1 4,1 8,3 13166 86 
Garapa Roraima Apuleia leiocarpa 892 78,4 108,0 6,9 11,9 18359 12 
Guaiçara Luetzelburgia spp 825 71,4 115,6 4,2 12,5 14624 11 
Guarucaia Peltophorum vogelianum 919 62,4 70,9 5,5 15,5 17212 13 
Ipê Tabebuia serratifolia 1068 76,0 96,8 3,1 13,1 18011 22 
Jatobá Hymenaea spp 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607 20 
Louro Preto Ocotea spp 684 56,5 111,9 3,3 9,0 14185 24 
Maçaranduba Manilkara spp 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733 12 
Mandioqueira Qualea spp 856 71,4 89,1 2,7 10,6 18971 16 
Oiticica Amarela Clarisia racemosa 756 69,9 82,5 3,9 10,6 14719 12 
Quarubarana Erisma uncinatum 544 37,8 58,1 2,6 5,8 9067 11 
Sucupira Diplotropis spp 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724 12 
Tatajuba Bagassa guianensis 940 79,5 78,8 3,9 12,2 19583 10 
 
As propriedades de resistência e rigidez acima foram determinadas pelos ensaios realizados no Laboratório de 
Madeiras e de Estruturas de Madeiras (LaMEM) da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) da Universidade de 
São Paulo. 
NOTAÇÃO: 
ρap(12%) = densidade aparente (massa específica aparente) a 12% de umidade; 
fc0 = resistência à compressão paralela às fibras; 
ft0 = resistência à tração paralela às fibras; 
ft90 = resistência à tração normal às fibras; 
fv = resistência ao cisalhamento; 
Ec0 = módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras, e 
n = número de corpos-de-prova ensaiados 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 
 
 
 
 
 29
TAB. 16 – PROPRIEDADES DE ALGUMAS CONÍFERAS NATIVAS E DE 
FLORESTAMENTO (Valores médios para U = 12%). 
 
NOME COMUM 
 
NOME CIENTÍFICO ρap(12%) 
(kg/m3) 
fc0 
(MPa) 
ft0 
(MPa) 
ft90 
(MPa) 
fv 
(MPa) 
Ec0 
(MPa) 
n 
 
Pinho do Paraná Araucaria angustifolia 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225 15 
Pinus caribea Pinus caribea var.caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431 28 
Pinus bahamensis Pinus caribea var.bahamensis 537 32,6 52,7 2,4 6,8 7110 32 
Pinus hondurensis Pinus caribea var.hondurensis 535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868 99 
Pinus elliottii Pinus elliottii var. elliottii 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889 21 
Pinus oocarpa Pinus oocarpa shiede 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904 71 
Pinus taeda Pinus taeda L. 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304 15 
 
As propriedades de resistência e rigidez acima foram determinadas pelos ensaios realizados no Laboratório de 
Madeiras e de Estruturas de Madeiras (LaMEM) da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) da Universidade de 
São Paulo. 
NOTAÇÃO: 
ρap(12%) = densidade aparente (massa específica aparente) a 12% de umidade; 
fc0 = resistência à compressão paralela às fibras; 
ft0 = resistência à tração paralela às fibras; 
ft90 = resistência à tração normal às fibras; 
fv = resistência ao cisalhamento; 
Ec0 = módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras, e 
n = número de corpos-de-prova ensaiados 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997 
 
 
TAB. 17 – PROPRIEDADES DE ALGUMAS DICOTILEDÔNEAS NATIVAS DO ESTADO 
DE MATO GROSSO E DA AMAZÔNIA (Valores médios para U = 12%). 
 
NOME COMUM 
 
 
NOME CIENTÍFICO 
 
ρap(12%) 
(kg/m3)
 
fc0 
(MPa)
 
ft0 
(MPa) 
 
fv 
(MPa)
 
Ec0 
(MPa)
 
Açacu 
 
Hura crepitans 
 
401 
 
19,9 
 
34,4 
 
4,6 
 
6955 
Andiroba Carga guianensis 801 50,9 92,7 8,9 18091
Angelim Araroba Vataireopsis araroba 701 46,7 73,5 5,8 15923
Angelim Rosa Platycyamus regnellii 902 68,2 140,7 11,9 22505
Angico Branco Piptadenia colubrina 779 46,8 101,4 11,6 16656
Angico Preto Piptadenia macrocarpa 1169 96,8 183,9 18,0 26013
Angico Vermelho Piptadenia rigida 991 56,7 109,3 13,3 15980
Aroeira do Sertão Astronium urundeuva 1347 101,7 158,9 17,2 23393
Canela Nectandra sp. 735 48,7 94,1 9,6 17592
Cedro Cedrella fissilis 590 38,8 75,1 6,6 13259
Cerejeira Torresia cearensis 668 44,6 81,7 7,9 14753
Cupiuba Goupia glabra 902 66,7 106,9 10,7 20382
Freijó Cordia goeldiana 657 50,5 95,7 7,7 17654
Guariuba Clarisia racemosa 623 50,9 86,2 9,1 12662
Ipê Tabebuia sp, 1069 89,5 165,2 13,4 23052
Itauba Mezilaurus itauba 1069 78,9 137,3 11,0 22613
 
 30
TAB. 17 – PROPRIEDADES DE ALGUMAS DICOTILEDÔNEAS NATIVAS DO ESTADO 
DE MATO GROSSO E DA AMAZÔNIA (Valores médios para U = 12%) - 
CONTINUAÇÃO. 
 
NOME COMUM 
 
 
NOME CIENTÍFICO 
 
ρap(12%) 
(kg/m3)
 
fc0 
(MPa)
 
ft0 
(MPa) 
 
fv 
(MPa)
 
Ec0 
(MPa)
 
Jacarandá Caviuna 
 
Machaerium scleroxylon 
 
980 
 
56,7 
 
112,3 
 
12,4 
 
14670
Jacarandá Pardo Machaerium vilosum 946 54,0 117,5 12,2 17295
Jacarandá do Brejo Plathymiscum floribundum 991 70,8 123,7 12,0 20344
Jacarandá Branco Plathypodium elegans 635 27,1 53,9 7,1 8950 
Jacarandá Mimoso Jacaranda acutifolia 579 29,3 56,3 7,8 7564 
Jacareuba Calophyllum brasiliense 690 44,2 74,6 8,4 14753
Jarana Holopyxidium jarana 1035 56,1 127,4 10,4 21676
Jatobá Hymenaea stilbocarpa 1069 92,5 157,6 26,4 23598
Jutai-Açu Hymenaea courbaril 1057 94,9 152,6 16,3 23393
Louro Vermelho Ocotea rubra 801 49,1 85,5 7,9 15953
Maçaranduba Manilkara sp. 1291 87,4 175,3 15,1 28539
Mandioqueira Lisa Qualea albiflora 723 43,9 73,1 7,2 17529
Mogno Swietenia macrophylla 701 53,6 96,4 10,0 14487
Muiracatiara Astronium lecointei 773 71,9 120,4 9,1 17934
Pau Amarelo Euxylophora paraensis 701 56,7 111,4 10,7 14659
Piquia Caryocar villosum 1035 76,3 135,9 12,0 22441
Quaruba Vochysia sp. 757 55,3 105,2 8,2 23673
Sucupira Bowdichia nitida 793 76,7 136,1 10,8 17778
Tachi Sclerolobium sp. 634 30,5 67,4 8,4 14348
Ucuuba Virola surinamensis 534 14,7 44,6 6,2 13052
 
As propriedades de resistência e rigidez acima foram estimadas a partir de resultados de ensaios em 
madeira verde realizados em diversos laboratórios no país. 
NOTAÇÃO: 
ρap(12%) = densidade aparente (massa específica aparente) a 12% de umidade; 
fc0 = resistência à compressão paralela às fibras; 
ft0 = resistência à tração paralela às fibras; 
fv = resistência ao cisalhamento; 
Ec0 = módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras, e 
n = número de corpos-de-prova ensaiados 
 
 
2.3.4. VALORES REPRESENTATIVOS 
 
Nas tabelas 13 e 14, nas quais foram definidas as classes de resistência são fornecidos valores 
característicos de resistência (Xk), já nas tabelas 15, 16 e 17, são apresentados valores médios de 
resistência (Xm), determinados a partir da análise estatística dos resultados de ensaios. 
 
Para a utilização destas propriedades em cálculos de estruturas de madeira os valores médios 
(Xm), obtidos a partir de ensaios, devem ser transformados em valores característicos (Xk), para, 
na seqüência, serem obtidos os valores de cálculo (Xd). 
 
 31
A obtenção de valores característicos (Xk,12) para resistência de espécies de madeira já 
investigadas por laboratórios idôneos, segundo a ABNT (1997), pode ser feita a partir dos 
valores médios dos ensaios, já ajustados para o teor de umidade de referência de 12% (Xm,12), 
pela seguinte relação (NBR 7190/1997 – item 6.4.7): 
 
1212 700 ,m,k X.,X = 
 
Caso seja feita uma investigação direta da resistência para uma dada espécie de madeira, 
segundo a ABNT (1997), os valores devem ser obtidos de acordo com o tipo de caracterização 
adotada. Para a caracterização simplificada de espécies usuais deve-se extrair uma amostra 
composta por pelo menos 6 exemplares, retirados de modo aleatório do lote, que serão ensaiados 
à compressão paralela às fibras. Já para a caracterização mínima de espécies pouco conhecidas, 
de cada lote serão ensaiados no mínimo 12 corpos-de-prova, para cada uma das resistências a 
determinar (NBR 7190/1997 – item 6.4.8). 
 
Cada lote ensaiado não deve ter volume superior a 12 m3 e todos os valores devem ser expressos 
para o teor de umidade padrão de 12% (NBR 7190/1997 – item 6.4.8). 
 
Mantidas estas recomendações o valor característico da resistência deve ser estimado pela 
expressão (NBR 7190/1997 – item 6.4.8): 
 
11
1
2
2
2
1
2
21
,Xn
X.....XX
X n
n
k ⋅












−
−
+++
=
−
 
 
Onde: 
 
Xk = valor característico da resistência em análise; 
Xi = valor da resistência, obtido em ensaio, do exemplar i; 
n = número de corpos-de-prova ensaiados. 
 
 
Os resultados devem ser colocados em ordem crescente X1 ≤ X2 ≤ .... ≤ Xn, desprezando-se o 
valor mais alto se o número de corpos-de-prova for ímpar e, não se tomando para Xk valor 
inferior a X1 e nem a 0,7 do valor médio (NBR 7190/1997 – item 6.4.8). 
 
Obtidos os valores característicos das propriedades da madeira pode-se obter valores de cálculo 
por (NBR (7190/1997 – itens 6.4.3 e 6.4.9): 
 
X K
X
d
k
w
= mod γ m,cmodef,c
E.kE 00 =
20
0 ef,c
ef
E
G =
 
Onde: 
 
Xd = resistência de cálculo; 
Xk = resistência característica; 
 32
Ec0,ef = módulo de elasticidade efetivo (de cálculo); 
Ec0,m = módulo de elasticidade médio; 
Gef = módulo de elasticidade transversal efetivo (de cálculo); 
γw = coeficiente de minoração das propriedades da madeira, e 
kmod = coeficiente de modificação. 
 
Os coeficientes de modificação afetam os valores de cálculo de propriedades da madeira em 
função da classe de carregamento da estrutura, da classe de umidade e da qualidade da madeira 
utilizada e é determinado pela expressão a seguir (NBR 7190/1997 – item 6.4.4): 
 
321 mod,mod,mod,mod k.k.kk = 
 
O coeficiente de modificação kmod,1, que considera a classe de carregamento e o tipo de material 
empregado, é fornecido na tabela 18. O coeficiente de modificação kmod,2, que leva em conta a 
classe de umidade e o tipo de material empregado, é dado pela tabela 19. Já, o coeficiente de 
modificação kmod,3, leva em conta a categoria da madeira utilizada, e é fornecido na tabela 20. 
 
 
TAB. 18 – VALORES DE kmod,1 
TIPOS DE MADEIRA 
 
 
CLASSES DE 
CARREGAMENTO 
 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
 
Madeira 
recompostaPermanente 0,60 0,30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média duração 0,80 0,65 
Curta duração 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
TAB. 19 – VALORES DE kmod,2 
 
CLASSES DE UMIDADE 
 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
 
Madeira 
recomposta 
(1) e (2) 
(3) e (4) 
1,0 
0,8 
1,0 
0,9 
OBS.: 1 – Para madeira submersa, deve-se adotar kmod,2 = 0,65; 
2 – Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
 
 33
TAB. 20 – VALORES DE kmod,3 
CATEGORIA DA MADEIRA 
 
CATEGORIA 
 
DEFINIÇÃO 
 
kmod.3 
Primeira Todas as peças são classificadas como isentas de defeitos, por meio 
de um método visual normalizado, e submetidas à classificação 
mecânica que garanta a homogeneidade da rigidez das peças que 
compõem o lote. 
1,00 
Segunda Madeira não classificada ou de classificação inferior a descrita para 
madeira de primeira categoria. 
0,80 
OBS.: 1 – Para considerar o risco da presença de nós não detectáveis pela inspeção visual, para 
coníferas, utilizadas em peças estruturais maciças de madeira serrada, deve-se utilizar 
kmod.3 = 0,80. 
2 – Fonte: ABNT (1997). 
 
 
Os coeficientes de ponderação (γw), de minoração das propriedades da madeira, são apresentados 
na tabela 21. 
 
 
TAB. 21 – COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO γw 
 
SITUAÇÃO COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO γw 
PARA ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
• Compressão paralela às fibras 41,wc =γ 
• Tração paralela às fibras 81,wt =γ 
• Cisalhamento paralelo às fibras 81,wv =γ 
PARA ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
• Adota-se o valor básico 01,w =γ 
OBS.: Fonte: NBR 7190/1997. 
 
 
2.3.5. VALORES DE CÁLCULO PARA AS DIVERSAS CLASSES DE RESISTÊNCIA 
 
No bojo da atual norma brasileira está a utilização de madeira por classe de resistência. Os 
valores de cálculo, de resistências e rigidezes, dependem da classe de resistência, da situação de 
uso da estrutura e da categoria da madeira. Definidos estes parâmetros, as resistências e rigidezes 
de cálculo podem ser obtidas, utilizando-se as informações deste capítulo 2. 
 
Seja, por exemplo, uma estrutura construída em Cuiabá, utilizando madeira serrada de uma 
conífera, adquirida no comércio local, da classe de resistência C 20. 
 
 34
Estas informações já seriam suficientes para a obtenção das resistências e rigidezes de cálculo 
desta madeira, pois: o comércio local não classifica mecanicamente a madeira, portanto deve-se 
considerar madeira de segunda categoria com kmod,3 = 0,80 (tabela 20); a umidade relativa do 
ambiente, na região de Cuiabá, tem uma média de aproximadamente 70%, portanto deve-se 
considerar madeira da classe de umidade 2 (tabela 11), acarretando kmod,2 = 1,00 (tabela 19); a 
estrutura deve ser compatível com o uso previsto da construção, portanto pelas definições 
apresentadas anteriormente, deve-se prever uma situação duradoura e um carregamento normal, 
o que indica um carregamento de longa duração e kmod,1 = 0,70. Assim, para o problema em 
pauta, tem-se: 
 
560800001700321 ,,.,.,k.k.kk mod,mod,mod,mod === 
 
A definição das classes de resistências, tabelas 13 e 14, fornecem algumas resistências 
(rigidezes) características (médias) para as diversas classes de resistência. Para o problema em 
pauta, da tabela 13, tem-se: 
 
MPaf k,c 200 = 
MPaf k,v 4= 
MPaE m,c 35000 = 
3400 m/kgm,bas =ρ 
3500 m/kgaparente =ρ 
 
Para as madeiras usuais pode-se utilizar de uma caracterização simplificada. Neste caso, no item 
2.3.3 (alíneas c e e), são fornecidas expressões que permitem obter as demais resistências 
(rigidezes) características (médias). Para o problema em pauta, obtém-se: 
 
MPa,f
,
f
,
f
f,ff k,tk,t
k,c
k,tk,tk,c 9725770
20
770
770 00
0
000 =⇒=⇒=⇒= 
MPa,fff,ff k,tMk,tk,tMk,tk,tM 9725001 00 =⇒=⇒= 
MPaf.,ff.,f,ff k,ck,ck,ck,ck,ck,c 520250250250 9090090090 =⇒=⇒=⇒= 
MPafff,ff k,ek,ck,ek,ck,e 20001 00000 =⇒=⇒= 
MPaf.,ff.,f,ff k,ek,ek,ck,ek,ck,e 520250250250 9090090090 =⇒=⇒=⇒= 
MPaEEE.E m,cm,cm,cm,c 17520
3500
20
1
00090 =⇒=⇒= 
MPaE.,EE.,E m,Mm,Mm,cm,M 29753500850850 0 =⇒=⇒= 
 
Finalmente, utilizando-se os valores de γw fornecidos na tabela 21 e o kmod obtido anteriormente, 
obtém-se as resistências (rigidezes) de cálculo (efetivas) através das expressões definidas em 
2.3.4. Para o problema em pauta, tem-se: 
 
MPa,f
,
.,f
f
Kf d,cd,c
wc
k,c
modd,c 00841
20560 00
0
0 =⇒=⇒= γ
 
 35
MPa,f
,
.,f
f
Kf d,cd,c
wc
k,c
modd,c 00241
5560 090
90
90 =⇒=⇒= γ
 
MPa,ffMPa,f
,
,.,f
f
Kf d,td,cd,td,t
cwt
k,t
modd,t 00808881
9725560 0000
0
0 =⇒≅=⇒=⇒= γ
 
MPa,f
,
.,f
f
Kf d,vd,v
wv
k,v
modd,v 24181
4560 =⇒=⇒=
γ
 
MPa,f
,
.,f
f
Kf d,ed,e
wc
k,e
modd,e 00841
20560 00
0
0 =⇒=⇒= γ
 
MPa,f
,
.,f
f
Kf d,ed,e
wc
k,e
modd,e 00241
5560 090
90
90 =⇒=⇒= γ
 
MPaE.,EE.kE ef,cef,cm,cmodef,c 19603500560 0000 =⇒=⇒= 
MPaGG
E
G efef
ef,c
ef 9820
1960
20
0 =⇒=⇒= 
 
Repetindo-se a resolução apresentada acima, para as outras classes de resistência, constroem-se 
as tabelas 22 e 23, que fornecem os valores de cálculo para as madeiras comerciais (2a 
categoria) utilizadas em estruturas construídas na região de Cuiabá (classe 2 de umidade), 
considerando uma ação variável principal de longa duração (situação duradoura e carregamento 
normal) . 
 
 
2.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
2.4.1. Uma determinada barra de uma tesoura, de um telhado convencional de madeira, apresenta 
os esforços característicos listados a seguir. Sabendo-se que o carregamento é de longa 
duração, as cargas permanentes são de grande variabilidade, e, em princípio, não se sabe 
qual a ação variável principal, pede-se: 
 
a) O esforço de cálculo máximo de compressão na barra, 
 
b) O esforço de cálculo máximo de tração na barra. 
 
Esforços nas barras (valores negativos indicam compressão, positivos tração), devidos a: 
 
• Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação)
• Peso de água absorvida pelas telhas 
• Vento de pressão 
• Vento de sucção 
 -16400 N 
 -2100 N 
 -14900 N 
 900 N 
 
 
 36
TAB. 22 – VALORES DE CÁLCULO PARA AS CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS 
CONÍFERAS 
CONÍFERAS 
(Valores na condição-padrão de referência U = 12%) 
CLASSE 
fc0,d 
(MPa) 
fc90,d 
(MPa) 
ft0,d 
(MPa) 
fv,d 
(MPa)
fe0,d 
(MPa)
fe90,d 
(MPa)
Ec0,ef 
(MPa)
Gef 
(MPa) 
ρbas,m 
(kg/m3) 
ρap (12%)
(kg/m3) 
C-20 8,00 2,00 8,00 1,24 8,00 2,00 1960 98 400 500 
C-25 10,00 2,50 10,00 1,56 10,00 2,50 4760 238 450 550 
C-30 12,00 3,00 12,00 1,87 12,00 3,00 8120 406 500 600 
 
Os valores de cálculo acima consideram: carregamento de longa duração; classe de umidade (1) ou (2); 
madeira usual de segunda categoria, que possam ser enquadradas nas classes de resistência e 
caracterizadas de maneira simplificada em acordo com a NBR 7190/1997. 
NOTAÇÃO: 
fc0,d = resistência, de cálculo, à compressão paralela às fibras; 
fc90,d = resistência, de cálculo, à compressão normal às fibras; 
ft0,d = resistência, de cálculo, à tração paralela às fibras; 
fv,d = resistência, de cálculo, ao cisalhamento; 
fe0,d = resistência, de cálculo, ao embutimento paralelo às fibras; 
fe90,d = resistência, de cálculo, ao embutimento normal às fibras; 
Ec0,ef = módulo de elasticidade longitudinal, efetivo (de cálculo) obtido no ensaio de compressão 
paralela às fibras; 
Gef = módulo de elasticidade transversal efetivo (de cálculo); 
ρbas,m = densidade básica (massa específica convencional, definida por saturadosacabas VM=ρ ); 
Mseca = massa seca, do corpo-de-prova, e 
Vsaturado = volume, do corpo-de-prova, saturado em água. 
ρap (12%) = densidade aparente (massa específica aparente) a 12% de umidade; 
 
 
2.4.2. Uma tesoura, de um telhado convencional de madeira, apresenta os deslocamentos 
verticais (flechas), no centro da tesoura, listados a seguir. Sabendo-se que o carregamento 
é de longa duração, as cargas permanentes são de grande variabilidade, e, em princípio, 
não se sabe qual a açãovariável principal, pede-se: 
 
a) O deslocamento vertical de utilização, para baixo, máximo na tesoura, 
 
b) O deslocamento vertical de utilização, para cima, máximo na tesoura. 
 
Deslocamentos verticais no centro da tesoura (valores positivos indicam deslocamentos 
verticais para baixo, negativos para cima), devidos a: 
 
• Peso próprio (telha, madeiramento e elementos de ligação)
• Peso de água absorvida pelas telhas 
• Vento de pressão 
• Vento de sucção 
 4,8 mm 
 0,6 mm 
 3,7 mm 
 - 0,3 mm 
 37
TAB. 23 – VALORES DE CÁLCULO PARA AS CLASSES DE RESISTÊNCIA DAS 
DICOTILEDÔNEAS 
DICOTILEDÔNEAS 
(Valores na condição-padrão de referência U = 12%) 
CLASSE fc0,d 
(MPa) 
fc90,d 
(MPa) 
ft0,d 
(MPa) 
fv,d 
(MPa)
fe0,d 
(MPa)
fe90,d 
(MPa)
Ec0,ef 
(MPa)
Gef 
(MPa) 
ρbas,m 
(kg/m3) 
ρap (12%)
(kg/m3) 
C-20 8,00 2,00 8,00 1,24 8,00 2,00 5320 266 500 650 
C-30 12,00 3,00 12,00 1,56 12,00 3,00 8120 406 650 800 
C-40 16,00 4,00 16,00 1,87 16,00 4,00 10920 546 750 950 
C-60 24,00 6,00 24,00 2,49 24,00 6,00 13720 686 800 1000 
 
Os valores de cálculo acima consideram: carregamento de longa duração; classe de umidade (1) ou (2); 
madeira usual de segunda categoria, que possam ser enquadradas nas classes de resistência e 
caracterizadas de maneira simplificada em acordo com a NBR 7190/1997. 
NOTAÇÃO: 
fc0,d = resistência, de cálculo, à compressão paralela às fibras; 
fc90,d = resistência, de cálculo, à compressão normal às fibras; 
ft0,d = resistência, de cálculo, à tração paralela às fibras; 
fv,d = resistência, de cálculo, ao cisalhamento; 
fe0,d = resistência, de cálculo, ao embutimento paralelo às fibras; 
fe90,d = resistência, de cálculo, ao embutimento normal às fibras; 
Ec0,ef = módulo de elasticidade longitudinal, efetivo (de cálculo) obtido no ensaio de compressão 
paralela às fibras; 
Gef = módulo de elasticidade transversal efetivo (de cálculo); 
ρbas,m = densidade básica (massa específica convencional, definida por saturadosacabas VM=ρ ); 
Mseca = massa seca, do corpo-de-prova, e 
Vsaturado = volume, do corpo-de-prova, saturado em água. 
ρap (12%) = densidade aparente (massa específica aparente) a 12% de umidade; 
 
 
2.4.3. Na figura 15 estão representados os carregamentos típicos de uma ponte rodoviária de 
madeira, aplicados à uma das vigas principais. Considerando uma combinação normal de 
carregamento (longa duração), que as cargas permanentes são de grande variabilidade, e, 
em princípio, não se sabe qual a ação variável principal, pede-se: 
 
a) O momento fletor, a força cortante e o deslocamento verticais máximo (flecha) 
característicos para cada um dos carregamentos; 
 
b) O momento fletor e a força cortante de cálculo; 
 
c) O deslocamento vertical (flecha) de cálculo, considerando-se um produto de 
rigidez efetivo de . 29,0 .10.25,1. mmNIE efefc =
 
 38
 
FIG. 15 – Carregamentos típicos em uma viga de uma ponte rodoviária de madeira 
(exercício 2.4.3). 
 
 
2.4.4. Para o problema do exercício anterior, considere um carregamento especial ocasionado por 
caminhão muito mais pesado que o usual, que eleve a carga de cada roda, devida à carga 
móvel (trem-tipo) para 7,50 kN, e em conseqüência a carga de cada roda, devido ao 
impacto vertical, para 1,80 kN. Para este carregamento especial, pede-se: 
 
a) O momento fletor, a força cortante e o deslocamento verticais máximo (flecha) 
característicos para cada um dos carregamentos; 
 
b) O momento fletor e a força cortante de cálculo; 
 
c) O deslocamento vertical (flecha) de cálculo, considerando-se um produto de 
rigidez efetivo de . 29,0 .10.25,1. mmNIE efefc =
 
2.4.5. Obtenha as resistências de cálculo de uma dicotiledônea da classe C-60, considerando 
carregamento de longa duração, madeira de segunda categoria, classe de umidade 1, as 
classes de resistências e as relações definidas na NBR 7190/1997 para a caracterização 
simplificada. 
 
2.4.6. Identifique, na tabela 17, quatro espécies de dicotiledôneas, se existir, para cada classe de 
resistência definida pela NBR 7190/1997. 
 
2.4.7. Identifique, na tabela 16, três espécies de coníferas, se existir, para cada classe de 
resistência definida pela NBR 7190/1997. 
 
 39