lista de exercicios probabilidade

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Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 1 
Probabilidade 
1) Forneça uma descrição razoável do espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios 
a) Cada uma das três peças usinadas é classificada como acima ou abaixo da especificação padrão 
para a peça. 
b) Numa inspeção final de suprimento eletrônicos de potência, três tipos de não- conformidade 
podem ocorrer: funcional, menor ou cosmético. Suprimentos de potência que sejam defeituosos serão 
classificados futuramente de acordo com o tipo de não-conformidade. 
c) Um pedido de um automóvel pode especificar se a transmissão é automática ou manual, com ou sem 
ar condicionado e qualquer uma das quatro cores: vermelha, azul, preta ou branca. 
2)O tempo de enchimento de um reator é medido em minutos (e frações de minutos). Faça o espaço 
amostral ser formado por números reais e positivos. Defina os eventos A e B como: A = { x _ x < 72,5} e 
B = { x _ x > 52,5}. Descreva cada um dos seguintes eventos: 
a)A` b)B` c)A ˆ B d)A ‰ B 
Resp.a) Ac ={x | x t 72,5} b) Bc = {x | x d 52,5} c) A ˆ B = {x | 52,5 < x < 72,5} 
d) A ‰ B = {x | x > 0} 
3) Pedidos de acessórios de iluminação são resumidos pelas características opcionais que são 
requeridas. 
Tipo Proporção de pedidos 
Nenhum opcional 0,3 
Um opcional 0,5 
Mais de um opcional 0,2 
a) Qual é a probabilidade de que um pedido requeira no mínimo uma característica opcional? 
b) Qual é a probabilidade de que um pedido não requeira mais de uma característica opcional? 
Resposta: a) 0,7 b) 0,8 
4)Uma cidade tem 1000 indústrias no seu parque industrial. Destas, 600 utilizam a rede pública de 
água, 400 utilizam poços privados e 200 utilizam ambos os recursos. 
a)Qual a probabilidade de que uma indústria selecionada nesta cidade utilize ao menos um dos 
recursos indicados? b)Qual a probabilidade de que uma indústria selecionada nesta cidade utilize 
poços privados e não utilize a rede pública? Resposta: a)0,8 b)0,2 
5) Amostras de uma espuma, proveniente de três fornecedores, são classificadas com relação a 
satisfazer ou não as especificações. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir: 
 Obedece 
sim B Não B’ total 
Fornecedor 
 
1 A 18 2 20 
2 17 3 20 
3 50 10 60 
 total 85 15 100 
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor 1 e B o evento em que uma 
amostra atenda às especificações. Se uma amostra de espuma for selecionada ao acaso, determine as 
seguintes probabilidades; a) P(A) b) P(B) c) P(AˆB) d) P(AUB) e) P(A'UB) 
Resposta:a) 0,2 b) 0,85 c) 0,18 d) 0,87 e) 0,98 
6) Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em 
micropolegadas) da superfície e medidas de comprimento. O resultado de 100 peças é resumido a 
seguir: 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 2 
 
 Comprimento 
Excelente B Bom B’ total 
Acabamento 
na superfície 
Excelente A 75 7 82 
Bom A’ 10 8 18 
 total 85 15 100 
a) Seja A o evento em que uma amostra tem excelente acabamento superficial e B o evento em que 
uma amostra tem excelente comprimento. Determine o número de amostras que (A'ˆB); B'e (AUB) 
b) P(A) c) P(B) d) P(AˆB) e) P(A‰B) f) P(A'‰B) g) P(AµB) h) P(BµA) 
i) se a peça selecionada tiver excelente acabamento na superfície, qual será a probabilidade do 
comprimento ser excelente? j) se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual será a 
probabilidade de que o acabamento na superfície seja excelente? 
k) Os eventos A e B são independentes? Resp. a) n(A'ˆB)=10; n(B‘)=15 e n(AUB)=82+85-75=92 
b) P(A)=82/100 c) P(B)=85/100 d) P(AˆB)=75/100=0,75 e) P(A‰B)= 92/100 
f) P(A'‰B)= 93/100g)75/85 h)75/82 i)75/82 j)7/15 
7) Sendo P(A) = 0,5 e P(A‰B) = 0,7 determine: a) P(B) sendo A e B independentes; b) P(B) sendo A e B 
mutuamente excludentes. Resp. a) 0,4; b) 0,2. 
8) As falhas na fundação de um grande edifício podem ser de dois tipos A (capacidade de suportar) e 
B (fundação excessiva). Sabendo que P (A)= 0,001, P (B) = 0,008 P (A/B)= 0,02. 
Determine a probabilidade: a) de haver falha na fundação b) de ocorrer A e não B. 
Resp. a) 0,00884 b) 0,00084 
9) O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de equipamento funcionais, da 
esquerda para a direita. A probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrada abaixo. Suponha 
que a probabilidade de que um equipamento seja funcional não dependa de serem ou não os outros 
equipamentos funcionais. Qual será a probabilidade de que o circuito opere? Resp.0,9702 
 
 
10) O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de equipamento funcionais, da 
esquerda para a direita. A probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrada abaixo. Suponha 
que a probabilidade de que um equipamento seja funcional não dependa de serem ou não os outros 
equipamentos funcionais. Qual será a probabilidade de que o circuito opere? Resp. 0,93391 
 
 
11) Um sistema particular possui seis subsistemas, com cada sistema possuindo probabilidade de falha 
q, independente de qualquer outro componente. O sistema opera corretamente se: 
Os subsistemas 1,2 e 3 todos funcionarem, ou se o subsistema 4 funcionar e; 
0,9 0,9 
0,95 0,95 
0,8 
0,9 
0,9 0,9 0,8 
0,9 0,95 0,95 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 3 
Também, o subsistema 5 ou o subsistema 6 funcionarem. 
Represente o diagrama de blocos do sistema, onde cada bloco equivale a um subsistema. Qual a 
probabilidade de que o sistema vai funcionar corretamente? Adote p=0,9 Resp. 0,9632 
12) Trabalha-se uma peça destinada a entrar num conjunto. Essa peça é um paralelepípedo retângulo. 
Considera-se boa quando a dimensão de cada aresta não difere por mais de 0,01 mm das dimensões 
prescritas. As probabilidades de que apareçam dimensões fora da especificação são: no comprimento 
0,08; na largura 0,012; na altura 0,01 (eventos independentes). Qual a probabilidade da peça ser 
rejeitada? Resp 0,1001 
13) No projeto de construção de um edifício temos uma série de atividades. Definem-se os eventos 
(X ) escavação executada no tempo programado, (Y) fundações terminadas no tempo programado e (Z) 
estrutura executada no tempo programado; com probabilidades respectivamente iguais 0,8; 0,7 e 0,9. 
Supor que existe a independência estatística entre esses eventos. a) Calcule a probabilidade do 
projeto terminar na época programada. b) Definir o evento: G = a escavação terminou no tempo 
programado e ao menos uma das outras duas atividades não terminou no tempo programado. Calcular 
P(G). c) Definir o evento: H = somente uma das três atividades terminou no tempo programado. 
Resp a)0,504 b) 0,296 c) 0,092 
Solução: 
X: Escavação terminou na época programada 
Y: Fundação terminou na época programada 
Z: Estrutura terminou na época programada 
X ˆ Y ˆ Z 
0,8.0,7.0,9= 
=0,504 
X ˆ Y ˆ Z´ 
0,8.0,7.0,1 
=0,056 
X ˆ Y´ ˆ Z 
0,8.0,3 . 0,9 
=0, 168 
X´ ˆ Y ˆ Z 
0,2.0,7.0,9 
=0,126 
X ˆ Y´ ˆ Z´ 
0,8.0,3.0,1 
=0,024 
X´ ˆ Y´ ˆ Z 
0,2 0,3 . 0,9 
=0,054 
X´ ˆ Y ˆ Z´ 
0,2.0,7.0,1 
=0,014 
X´ ˆ Y´ ˆ Z´ 
0,2.0,3. 0,1= 
0,006 
a) P(terminar na época programada ) =P( X ˆ Y ˆ Z ) =0,8.0,7.0,9=0,504 
b) P(G)=P( X ˆ Y ˆ Z´)+ P(X ˆ Y´ ˆ Z ) +P(X ˆ Y´ ˆ Z´)= 
0,8.0,7.0,1+0,8.0,3 . 0,9+0,8.0,3. 0,1=0,296 
c) P(H)=P( X ˆ Y´ ˆ Z´)+P(X´ ˆ Y´ ˆ Z ) +P(X´ ˆ Y ˆ Z´)= 
=0,8.0,3.0,10 + 0,2 0,3 . 0,9+ 0,2.0,7.0,1=0,024+0,054+0,014=0,092 
 
14) Uma rede farmacêutica encomendou uma pesquisa onde os clientes foram classificados de acordo 
com a frequência das suas visitas: ocasionais (O) ou frequentes (F) – e com que adquirem produtos 
genéricos – “regularmente” (R), “irregularmente” (I) e nunca (N). A pesquisa produziu os seguintes 
resultados:
Visitas 
 
Compras 
R I N Total 
O 0,07 0,06 0,08 0,21 
F 0,12 0,48 0,19 0,79 
Total 0,19 0,54 0,27 1 
S1 S2 S3
S4
S5
S6
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 4 
a) Qual a probabilidade de um cliente ir frequentemente a rede farmacêutica e ser um comprador 
regular de genéricos? b) Qual a probabilidade de um cliente ir frequentemente a rede farmacêutica 
sabendo que ele nunca compra genéricos? c) Qual a probabilidade do cliente ser comprador regular de 
genéricos dado que apenas vai ocasionalmente a farmácia. Resp. a) 0,12 b) 0,704 c)0,333 
15) Tomou-se uma amostra de pessoas num shopping center com o objetivo de verificar a relação 
entre o número de cartões de crédito e a renda familiar. Os resultados obtidos estão na tabela a 
seguir. 
 Número de cartões 
Renda Não tem cartão de crédito 1 cartão de crédito mais de 1 cartão de crédito Total 
< 10 s.m. 0,24 0,1 0,02 0,36 
10 a < 20 s.m. 0,1 0,2 0,04 0,34 
20 a < 30 s.m. 0,04 0,05 0,06 0,15 
≥30 s.m. 0,03 0,04 0,08 0,15 
Total 0,41 0,39 0,2 1 
Uma pessoa é escolhida ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: a) De que a pessoa tenha renda 
maior ou igual a 10 s.m. b) De uma pessoa ter um ou mais cartões de crédito? c) Dado que a pessoa tem 
renda entre 10 e < 20 s.m., qual a probabilidade de que ela não tenha cartão de crédito? d) Dado que 
uma pessoa tem mais de 1 cartão de crédito, qual a probabilidade da sua renda familiar ≥30 s.m .e) 
Existe independência entre faixa de renda e o número de cartões de crédito? Por que? 
Resp a) 64%. b) 59%. c) 29,41%. d) 40%. 
e) Para que haja independência, cada probabilidade conjunta deve ser igual ao produto das 
probabilidades marginais. Basta um contraexemplo para mostrar que os eventos são dependentes. 
Assim: P(Até 10 s.m.) = 36% P(não ter cartão) = 41%. 
Produto = P(Até 10 S.M.) * P(não ter cartão) = 0,36 * 0,41 = 0,1476 = 14,76%. 
Conjunta = P(Até 10 S.M. e não ter cartão) = 0,24 ≠0,1476 
e) Para que haja independência, cada probabilidade conjunta deve ser igual ao produto das 
probabilidades marginais. Basta um contraexemplo para mostrar que os eventos são dependentes. 
Assim: P(Até 10 s.m.) = 36% P(não ter cartão) = 41%. 
Produto = P(Até 10 S.M.) * P(não ter cartão) = 0,36 * 0,41 = 0,1476 = 14,76%. 
Conjunta = P(Até 10 S.M. e não ter cartão) = 0,24 ≠0,1476 
16) Um empreiteiro apresentou orçamento separado para a execução da parte elétrica e da parte de 
hidráulica de um edifício. Ela acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de 
1/2. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte hidráulica é de 3/4; se ele perdeu a 
parte elétrica a probabilidade de ganhar a parte hidráulica é de 1/3. Qual é a probabilidade de ele: 
a) ganhar os dois contratos; b) ganhar apenas um; c) não ganhar nada? 
Resposta: a) 3 / 8 b) 0,2917 c) 1/3 
Solução: P( E ) =1 / 2 P( E’ ) =1 / 2 
P( H ~ E)=3 /4 P( H ~ E’)=1 /3 
a) P(Ganhar os dois contratos)= P( E ˆ H)= P( E ) P( H ~ E)=(1 / 2) .(3 / 4)= 3 / 8 
b) P(Ganhar apenas um contrato)= P( E ˆ H’)+ P(E’ ˆ H)= 
 =P( E ) P(H’ ~ E)+ P(E’ ) P( H ~ E’) 
=(1 / 2).(1 / 4) +(1 / 2).(1 / 3) =7 / 24 =0,2917 
c) P( não ganhar nada)= P(E’ ˆ H’)= P(E’) P(H’~E’)=(1 / 2 ). (2 / 3)= 1/3 
 
 
 
 
 
P(E)=1/2
= 
P(E’)=1/2 
P(H|E)=3/4 
P(H|E’)=1/3 
 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 5 
17) Quatro máquinas I, II, III e IV de uma certa fábrica fazem respectivamente 10%, 20%, 60% e 
10% da produção. Sabe-se por outro lado que se um artigo foi feito na máquina I, II, III e IV tem 
probabilidades respectivamente 0,02; 0,03; 0,04 e 0,01 de ser defeituoso. Determine a probabilidade 
de um artigo ser feito pela máquina II sabendo que o mesmo é defeituoso. Resp.0,1818 
18) Na fábrica de limas LUSA S.C, o aço é destemperado para sofrer o “picote” e posteriormente é 
novamente temperado. Um teste para verificar a qualidade do aço, é quanto à resistência à força de 
tensão na fase do “picote”. A fábrica compra 2 tipos de aço: 80% da compra sendo de primeira, e o 
restante de segunda. Para análise do aço, é feito um teste. O teste dá positivo em 99% das vezes 
em que o aço é de primeira, e é negativo em 95% das vezes em que o aço é de segunda. Calcule a 
probabilidade condicional de um aço ser primeira dado que o teste é positivo. Resp.0,9875 
Solução: 
9875,0
05,0.20,099,0.80,0
99,0.80,0)Pº1(P 
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Um certo programa pode ser usado com uma entre duas sub-rotinas A e B, dependendo do 
problema. A experiência tem mostrado que a sub-rotina A é usada 40% das vezes e B é usada 60% das 
vezes. Se A é usada, existe 75% de chance de que programa chegue a um resultado dentro do limite 
de tempo. Se B é usada, a chance é de 50%. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, 
qual a probabilidade de que a sub-rotina A tenha sido a escolhida? Resp. 0,50 
20) Das peças fornecidas por duas máquinas automáticas 60% e 84%, respectivamente, são de alta 
qualidade. A produtividade da primeira máquina é o dobro do que a da segunda máquina. Retirada uma 
peça ao acaso de um lote produzido pelas duas máquinas verificou-se que ela era de alta qualidade. 
Determinar a probabilidade de que tenha sido produzida pela primeira máquina. 
Resposta: 10/17 = 58,82% 
21) Cada objeto manufaturado é examinado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com probabilidade 
0,45 por outro fiscal. A probabilidade de passar no exame de acordo com os fiscais é de 0,90 e de 
0,98 respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito, tenha sido examinado pelo 
segundo fiscal. Resposta: 49/104 = 47,12% 
22) Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratórios de química de uma 
universidade. Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou 
superestimação das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento 
produzido em cada fábrica: 
 
Fábrica I Subestima Exata Superestima 
Probabilidade 0,01 0,98 0,01 
Fábrica II Subestima Exata Superestima 
Probabilidade 0,005 0,98 0,015 
Fábrica III Subestima Exata Superestima 
Probabilidade 0,00 0,99 0,01 
0,8 
0,2 
0,99 
0,05 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 6 
As fábricas I , II e III fornecem respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. 
Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: 
a) Haver superestimação de medidas? 
b) Não haver subestimação das medidas efetuadas? 
c) Dando medidas exatas, ter sido fabricado em III? 
d) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas? 
Resposta: a)0,0115 b)0,9965 c)0,5025 d)0,1987 
23) Três máquinas I, II e III de uma certa fábrica fazem respectivamente 30%, 20%, 50% da 
produção. Sabe-se por outro lado que se um artigo foi feito na máquina I, II e III tem probabilidades 
respectivamente 0,05; 0,08; e 0,01 de ser defeituoso. Determine a probabilidade de um artigo ser 
feito pela máquina II sabendo que o mesmo é defeituoso. 
Resposta: 0,444 
24) Uma companhia produz circuitos integrados em três fábricas I, II e III. A fábrica I produz 40% 
dos circuitos, enquanto II e III produz 30% cada uma. A probabilidade que um circuito integrado 
produzido por estas fábricas não funcione são 0,01; 0,04 e 0,03 respectivamente. 
a) Escolhidos um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade do mesmo não 
funcionar?b) Tendo sido retirado um circuito da produção e constatado que o mesmo funciona, qual a 
probabilidade de ter sido fabricado por II.? Resp. a) 0,025 b) 0,2954 
25) Considere a probabilidade de falha de um sistema de transporte no atendimento à demanda do 
público na hora do “rush“.
São conhecidas as seguintes probabilidades: 
Nível de demanda P ( Nível ) P ( Falha do sistema / Nível ) 
Baixa 0,6 0,10 
Média 0,3 0,20 
Alta 0,1 0,70 
a) Determine a probabilidade de falha no sistema; b) Observada uma falha no sistema, determine a 
probabilidade de ter sido causada pelo nível Alto. Resp. a) 0,19 b) 0,3684 
26) Numa determinada localidade 60% dos utilizadores da Internet nos seus computadores pessoais 
fazem-no através da ligação à empresa A, enquanto que os restantes são clientes da empresa B. Após 
um estudo de opinião de mercado conclui-se que 70% dos utilizadores estão satisfeitos com o serviço. 
Dos clientes da empresa A, 80% afirmaram estar satisfeitos com o seu serviço. a) Qual a 
percentagem de clientes satisfeitos em relação aos clientes da empresa B? b) Determine a 
percentagem de utilizadores que são clientes da empresa A em relação aos clientes satisfeitos com o 
seu serviço. c) Determine a percentagem de utilizadores que são clientes da empresa A e clientes 
satisfeitos com o seu serviço. Resp. a) 0,55; b) 0,6857; c)0,48 
27) Num certo restaurante, se paga pelo almoço uma quantia fixa dependendo da escolha feita do 
prato e bebida. A carne de peixe tem 10% de preferência. Enquanto frango tem 40% e carne bovina 
50%. As três escolhas de bebida estão condicionadas a tabela: 
 
Opção: Peixe Cerveja Água Vinho 
P(Bebida/Peixe) 0,4 0,3 0,3 
Opção: Frango 
P(Bebida/Frango) 0,3 0,5 0,2 
Opção: Bovina 
P(Bebida/Bovina) 0,6 0,3 0,1 
a) Dado que alguém escolhe cerveja, qual a probabilidade de que escolha peixe? b) Se escolhe vinho, 
qual a probabilidade de escolher carne bovina? 
Resp a) 0,087 b)0,3125 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 7 
28) Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para laboratórios de uma universidade. Apesar 
de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação A, superestimação C ou 
exato B. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica: 
Fábrica I A B C 
Probabilidade 0,01 0,98 0,01 
Fábrica II A B C 
Probabilidade 0,005 0,98 0,015 
Fábrica III A B C 
Probabilidade 0,00 0,99 0,01 
As fábricas I, II e III fornecem respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. 
Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: 
a) Ocorrer o erro C de medidas? b) Não ocorrer o erro A das medidas efetuadas? c) Dando erro B, 
ter sido fabricado em III? d) Ter sido produzido por I, dado que não ocorreu o erro A as medidas? 
Resposta: a)0,0115 b)0,9965 c)0,5025 d)0,1987 
29) Um tipo de aparelho produzido pôr uma indústria pode apresentar três tipos de defeitos: A, B e 
C. aparelho é considerado defeituoso se apresentar ambos os defeitos A e B e/ou se apresentar o 
defeito C. Sabe-se pela experiência que as probabilidades de ocorrerem os defeitos A, B e C são, 
respectivamente: 0,15; 0,25 e 0,30. Sabe-se também que , havendo defeito tipo C ,a probabilidade 
de haver defeito tipo A fica aumentada em 30% e havendo o defeito tipo C ,a probabilidade de 
haver defeito tipo B dobra. Por sua vez, os defeitos A e B são independentes, e P(A ˆ B ˆ C )= 0. 
Nestas condições, pede-se a probabilidade: a) de haver pelo menos um entre os defeitos A e B; 
b) de um aparelho ser considerado defeituoso; c) de um aparelho apresentar apenas defeito C. 
Resp. a) 0,3625 b) 0,3375 c) 0,0915 
Solução: 
P(A)=0,15 P(B) =0,25 P(C) =0,30 P( A / C) =1,3P(A)=0,195 
P( B / C) =2P(B)=0,50 A e B são independentes 
P( A ˆB ˆC )=0 
a) P( A ‰ B ) = P(A) + P(B) - P( A ˆB )= 0,15 + 0,25 - 0,15. 0,25=0,3625 
P( A ˆB )= 0,15. 0,25=0,0375 A e B são independentes 
b) P > ( A ˆ B ) ‰ C @= P( A ˆ B ) + P(C ) - P( A ˆ B ˆC )=0,15 + 0,25 - 0 = 0,3375 
c) P(apenas o defeito C)= P( C ) - P( C ˆ A ) - P( C ˆ B ) 
P( C ˆ A )=P( C ).P(A _ C) = 0,3.0,195 = 0,0585 
P( C ˆ B )=P( C ).P(B _ C) = 0,3.0, 50= 0,15 
P(apenas o defeito C)= 0,30 - 0,0585 - 0,15=0,0915 
 
30) Um aparelho é considerado “bom” se não existem defeitos do tipo: mecânico (M), elétrico (E) e de 
acabamento (A). Sabe-se que P(M)= 0,05 P(E)=0,02 P (A)=0,10 
P( M ˆ E)=0,01 P(M ˆ A)=0,008 P(E ˆ A)=0,002 P (M ˆ A ˆ E)=0,0005. Determine a probabilidade 
de um aparelho: a)seja bom; b) tenha apenas um defeito. 
P(A ‰ B ‰ C) =P(A) + P(B) + P(C) - P(A ˆ B) - P(A ˆ C) - P(B ˆ C)+ P(A ˆ B ˆ C) 
P(A ‰ B ‰ C) = 1-P(A’ˆ B’ˆ C’) 
P(Aˆ B’ˆ C’)=P( A ) -P(A ˆ B) - P(A ˆ C) + P(A ˆ B ˆ C) 
P(A’ˆ Bˆ C’) =P(B ) -P(A ˆ B) - P(B ˆ C) + P(A ˆ B ˆ C) 
P(A’ˆ B’ˆ C )=P( C ) -P(A ˆ C) - P(B ˆ C) + P(A ˆ B ˆ C) 
P(Aˆ Bˆ C’)=P(A ˆ B) - P(A ˆ B ˆ C) 
P(Aˆ B’ˆ C)=P(A ˆ C) - P(A ˆ B ˆ C) 
P(A’ˆ Bˆ C)=P(B ˆ C) - P(A ˆ B ˆ C) 
Resposta a) 0,8495 b) 0,1315 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 8 
Solução: 
a) P(Bom)=1-P(Defeito)=1-0,1505=0,8495 
P(M ‰ E ‰ A)= P(M)+ P(E)+ P(A)- P( M ˆ E)- P(M ˆ A)- P(E ˆ A)+ P(M ˆ A ˆ E)= 
=0,10+0,02+0,05 - 0,01-0,008-0,002+0,0005=0,1505 
b) P(apenas um defeito)=0,0325+0,0085+0,0905=0,1315 
P(apenas M)= )´´( EAMP ˆˆ = P(M)- P(M ˆ A)- P( M ˆ E) + P(M ˆ A ˆ E) 
P(apenas A )= )´´( EAMP ˆˆ = P(A)- P(M ˆ A)- P( A ˆ E) + P(M ˆ A ˆ E) 
P(apenas E)= )´´( EAMP ˆˆ = P(E)- P(A ˆ E)- P( M ˆ E) + P(M ˆ A ˆ E) 
31) Uma água é contaminada se forem encontrados bacilos tipo A e/ou bacilos tipo B e C 
simultaneamente 
 A ‰ (B ˆ C). As probabilidades de se encontrarem bacilos tipos A, B e C são respectivamente 0,38; 
0,27; 0,84. Existindo bacilos tipo B, a probabilidade de existirem bacilos tipo C é reduzida à metade. 
Sabe-se que existindo bacilos tipo A não aparecerão bacilos tipo B. Supor que 
 P(A ˆ B ˆ C )=0. Qual a probabilidade: a) de aparecerem bacilos B ou C; b) da água estar 
contaminada? Resp. a) 0,9966 b) 0,4934 
Solução: 
P( A) =0,38 P(B) =0,27 P(C) =0,84 P(C~ B)= P(C) / 2 =0,42 P(B~A)=0 
a ) P( B ‰C) =P(B) +P( C) - P(B ˆ C)= P(B) +P( C) - P(B) . P(C~ B)= 
=0,27+0,84 -0,27 . 0,42 =0,9966 
b ) P [A ‰ (B ˆ C) ]= P( A) + P(B ˆ C)- P(A ˆ B ˆ C )=0,38+0,27. 0,42=0,4934 
32) A fabricação de copos plásticos é constituída de duas operações. Primeiro os copos são moldados 
na máquina M e em seguida, todos os copos moldados passam por uma única de duas impressoras (I1 e 
I2). A probabilidade de um copo apresentar defeito de moldagem é 0,40 e 70% dos copos são 
impressos na máquina I1. A probabilidade de aparecer defeito na impressão é 0,05 se o copo foi 
impresso na máquina I1 e a probabilidade de aparecer defeito de impressão é 0,20 se o copo foi 
impresso na máquina I2. Defeitos de moldagem e de impressão são independentes entre si. 
a) Qual a probabilidade de um copo apresentar defeito de impressão? 
b) Qual a probabilidade de um copo ter sido impresso na máquina I2 sabendo-se que apresenta defeito 
de impressão? 
c) Qual a probabilidade de um copo apresentar algum tipo de defeito (seja de moldagem, seja de 
impressão ou ambos)? Resp. a) 0,095 b) 0,6315 d) 0,457 
Solução: 
a) P(DI)=P(I1) P(DI ¸I1)+ P(I2) P(DI ¸I2)=0,7.0,05+0,3.0,2=0,095 
b) P(I2 I DI)= 095,0
2,0.3,0
)(
)( 2 ˆ
I
I
DP
DIP
=0,6315 
P(DI ‰ D M)= P(DI)+ P(DM) - P(DI ˆD M)=0,4+0,095-0,4.0,095=0,457 
33) Um muro de retenção por gravidade pode “ falhar”, ou devido ao efeito de deslizar, ou devido ao 
efeito de virar, ou devido a ambos. Supondo que probabilidade de falhar por deslizamento é duas 
vezes daquela de falha devido ao efeito de virar; a probabilidade de que o muro falhe por 
deslizamento dado que já falhou quanto ao efeito de virar é 0,8 e a probabilidade de falha no muro é 
0,001. Determine: a) ache a probabilidade de que ocorra o deslizamento. 
b) se o muro não resistiu, qual é a probabilidade que tenha ocorrido apenas o deslizamento? 
 a) 0,00091 b )0,546 
Solução: 
8,0)VD(P Ÿ P(V ˆ D)=0,8.P(V) 
P(F)=P(V
‰ D) =P(V) + P(D) - P(V ˆ D) Ÿ2.P(V) +P(V)- 0,8.P(V)=0,001 
Ÿ2,2.P(V)=0,001 Ÿ P(V)=0,00045 Ÿ P(D)=0,0009 
 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 9 
54,0
001,0
00054,0
001,0
00036,00009,0
)VD(P
)Dapenas(P
)VD(P
)]VD(DAPENAS[P
)VDDAPENAS(P
 � 
‰
 
‰
‰ˆ ‰
 
34) Um inspetor trabalhando para uma companhia de manufatura tem uma probabilidade de 99% de 
identificar corretamente um item com defeito e 0,5% de chance de classificar incorretamente um 
produto bom como defeituoso. A companhia tem evidências de que sua linha produz 0,9% de itens 
defeituosos. 
(a) Qual a probabilidade de que um item selecionado para inspeção seja classificado como defeituoso? 
(b) Se um item selecionado aleatoriamente é classificado como não-defeituoso, qual a probabilidade de 
que ele seja realmente bom? Resp. a)0,01387 b) 0,9999 
Solução 
D: componente tem defeito 
C: o inspetor identifica o item com defeituoso 
P(C│D)=0,99 P(C│D´)=0,005 P(D)=0,009 
a) P( C )= P( D). P(C│D)+ P( D´). P(C│D´)=0,009*0,99+0,991*0,005=0,01387 
b) 9999,0
9861,0
986,0
986,00001,0
986,0
995,0*991,001,0*009,0
995,0*991,0
)´(
)´´()´´( � � 
ˆ 
CP
DCPCDP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Os principais defeitos que causam problemas em um computador são: Mau-contato nas memórias 
(D1); Mau-contato nas placas de expansão: vídeo, som, rede (D2); Aquecimento, devido ao excesso de 
poeira (D3); e Outros (D4). Uma manutenção preventiva diminui o risco de seu computador apresentar 
esses defeitos. Ela consiste em se fazer uma limpeza geral do computador e procurar falhas de 
hardware e de 
software. Admita que: sem manutenção preventiva, seu computador pode apresentar os defeitos D1, 
D2, D3 e D4 ao longo de um ano com probabilidades 4%, 4%, 6% e 6%, respectivamente. Se for feita 
uma manutenção preventiva, as probabilidades do seu computador apresentar os defeitos D1, D2, D3 e 
D4 ao longo de um ano caem para 1,2%; 1,2%, 1,8% e 1,8%, respectivamente. As eventuais ocorrências 
dos problemas D1, D2, D3 e D4 são eventos independentes, com ou sem manutenção preventiva. 
(a) Qual é a probabilidade de que o seu computador apresente algum defeito ao longo de um ano, se 
você não fizer manutenção preventiva? (b) E se você fizer manutenção preventiva? Resp. a) 0,1857 b) 
5,9%. 
Solução: 
(a) Sem manutenção preventiva temos P(D1) = P(D2) = 0,04 e P(D3) = P(D4) =0,06. 
Portanto, P(D1~C) = 0,96, P(D2~C) = 0,96, P(D3~C) = 0,94, P(D4~C) = 0,94 
Como os Di’s são independentes entre si, temos: 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 10 
P(algum defeito) = P(D1 ‰D2 ‰D3 ‰D4) 
= 1-P(D1’ ˆD2’ˆD3 ‘ˆD4 ‘) =1-P(D1’ )P(D2’ )P(D3’ )P(D4’ ) = 
 1 -0,96* 0,96* 0,94*0,94= 0,1857ou 18,6%. 
(b) Com manutenção preventiva, P(D1) = P(D2) = 0,012 e P(D3) = P(D4) = 0,018. 
Portanto, P(D1~C) = 0,988, P(D2~C) = 0,988, P(D3~C) = 0,982, P(D4~C) = 0,982. 
Como os Di’s são independentes entre si, temos: 
P(algum defeito) = P(D1 ‰D2 ‰D3 ‰D4) 
= 1-P(D1 ´ˆD2´ ˆD3´ ˆD4´ ) =1-P(D1 ´ˆD2´ ˆD3´ ˆD4´ ) 
=1- 0,988 0,988*0,982 *0,982=1-0,9413=0,0587 ou 5,9%. 
36) No design preliminar de produtos são utilizadas avaliações de clientes. No passado, 95% dos 
produtos de alto sucesso receberam boas avaliações, 60% dos produtos de sucesso moderado 
receberam boas avaliações, e 10% dos produto de pobre desempenho receberam boas avaliações. Além 
disso, 40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveram sucesso moderado e 25% tiveram 
desempenho pobre. 
(a) Qual é a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliação? 
(b) Se um novo design obtém uma boa avaliação, qual a probabilidade de que ele tenha alto sucesso? 
(c) Se um produto não recebe uma boa avaliação, qual é a probabilidade de que ele tenha alto sucesso? 
Resp. a) 0,615 b) 0,6179 c) 0,0519 
Solução. 
Eventos: 
A - produto recebe boa avaliação S - produto tem alto sucesso 
M - produto tem médio sucesso N - produto não faz sucesso 
P(S)=0,4: P(M):=0,35: P(N):=0,25: 
P(A~S)=0,95 P(A~M)=0,6 P(A~N)=0,1 
a) P(A)=P(AˆS)+P(MˆS)+P(NˆS)=P(S)*P(AlS)+P(M)*P(AlM)+P(N)*P(AlN) 
P (A)= 0,4*0,95+0,35*0,6+0,25*0,10=0,615 
(b) Usando as fórmulas para probabilidade condicional temos 
 P(SlA)=P(A∩S)/P(A)= (0,4*0,95)/0,615=0,6179 
(c) P(SlA’)=P(A’∩S)/P(A’)= (0,4*0,05)/0,385=0,0519 
37) Um software que detecta fraudes em cartões telefônicos detecta o número de das áreas 
metropolitanas onde as chamadas são originadas a cada dia. São obtidos os seguintes dados: 
- 1% dos usuários legítimos chama de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia. 
- 30% dos usuários fraudulentos chamam de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia. 
- A proporção de usuários fraudulentos é de 0,01%. 
Se um mesmo usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia, qual é a 
probabilidade de que o usuário seja fraudulento? Resp. 0,00299 
Solução. 
Eventos: 
M - usuário faz chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um mesmo dia 
F´ - usuário é legítimo 
F - usuário é fraudulento 
Note que L e F são eventos mutuamente exclusivos e exaustivos. 
Solução 
a) P(M)=P(F).P(M|F)+ P(F´).P(M|F´)=0,0001*0,3+0,9999*0,01=0,01003 
b) P(F|M)= P(F ∩ M)/P(M)= 0,00003/0,01003=0,00299 
P(F´|M)= P(F´ ∩ M)/P(M)= 0,01/0,01003=0,9970 
 
38) Quando a operação automatizada de enchimento de moldes é efetuada à velocidade normal, a 
probabilidade de u m molde, selecionado casualmente da fabricação diário, ter sido enchido 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 11 
corretamente é igual a 0,95. Caso se opere a grande velocidade, esta probabilidade será igual a 0,9. 
Sabe-se também que 80% dos moldes são cheios à velocidade normal, sendo os restantes enchidos a 
grande velocidade. 
Uma vez selecionado um molde enchido incorretamente, qual a probabilidade de a operação de 
enchimento ter sido efetuada à velocidade normal? Resp. 0,667 
Resolução: 
N _ enchimento realizado à velocidade normal 
G _ enchimento realizado a grande velocidade 
C _ enchimento efetuada de forma correta 
667,0
06,0
04,0
94,01
8,0.95,08,0
)]/().()/().([1
)()(
)'(
)'()'( �
� ��
ˆ� ˆ 
GCPGPNCPNP
CNPNP
CP
CNPCNP 
P(C) =P(CˆN)+ P(C ˆG) =0,95*0,8+0,2*0,9=0,94 
 
39) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 
30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam 
somente de esporte e 5 gostam somente de leitura. Calcule a probabilidade de escolher, ao acaso, um 
desses jovens: a ) ele gostar de música; b) ele não gostar de nenhuma dessas atividades. 
Solução: n(:) = 75 
gostam de música: 6 + 8 + 16 + 14 = 44 
não gostam de nenhuma dessas atividades: 75 – (6 + 9 + 5 + 8 + 6 + 14 + 16) = 75 – 64 = 11 
a) a probabilidade de gostar de música: %58
75
44
)(
)()( # : n
AnAP 
b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades: %14
75
11
)(
)()( # : n
BnBP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40) Uma empresa de construção apresenta suas propostas de três projetos. Represente por 
Ai={projeto i fechado} para i=1,2,3 e suponha que P(A1)=0,22 P(A2)= 0,25 e P( A3) =0,28 
P(A1 ˆ A2)=0,11 P(A1 ˆ A3)=0,05 P(A2 ˆ A3)=0,07 P(A12 ˆ A2 ˆ A3)=0,01 
Calcule a probabilidade para cada evento 
a) A1‰ A2 b) A’1 ˆ A’2 c) A1‰ A2 ‰ A3 d) A’1ˆ A’2 ˆ A’3 e) A’1ˆ A’2 ˆ A3 f) (A’1ˆ A’2) ‰A3 
Resp. a) 0,36 b) 0,64 c) 0,53 d) 0,47 e ) 0,17 f ) 0,75 
M 
L 
E 
6 
8 
16 
 6 14 
5 
9 
11 
Exercícios Profª Josefa A . Alvarez 12 
Solução 
A probabilidade de que A1 ou A2 ocorre : 
a) P(A1‰ A2)= P ( A1 ) + P ( A2 ) - P ( A1 ∩ A2 ) = 0,22
+ 0,25-0,11 = 0,36 
 
 
b)P( A’1 ˆ A’2)=1- P(A1‰ A2)= 1-0,36=0,64 
A probabilidade de que ocorra A1 ou A2 ou A3: 
c) P(A1‰ A2 ‰ A3 )= P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) - P ( A1 ∩ A2 ) - P ( A2 ∩ A3 ) - P ( A1 ∩ A3 ) 
 + P ( A1 ∩ A2∩ A3 ) 
= 0,22 +0,25 +0,28-0,11-0,07-0,05 +0,01 = 0,53 
d) P(A’1ˆ A’2 ˆ A’3 )=1- P(A1‰ A2 ‰ A3 )=1-0,53=0,47 
A probabilidade de que ocorra nem A1 ou A2 ou A3 : 
e) P(A'1 ∩ A'2 ∩ A3)= P( A3)- P ( A2 ∩ A3 ) - P ( A1 ∩ A3 ) + P ( A1 ∩ A2∩ A3 ) 
0,28—0,05-0,07+0,01=0,17 
f) P [( A'1 ∩ A'2 )‰A3] 
P ( A'1 ∩ A'2 ) + P ( A3) - P ( A'1 ∩ A'2 ∩ A3) = 0,64 + 0,28-0,17 = 0,75