Calculo 1_prova1

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Universidade Federal de Goiás
Regional Catalão
Unidade Acadêmica Especial de Matemática e
Tecnologia
Curso de Matemática Industrial
Disciplina: Cálculo I
Professor(a): Vaston Gonçalves da Costa
Aluno(a):
1a Avaliação
30/5/2015
Questão 1: [20 pontos]
Sobre conceito de limites:
(a) [5 pontos] Defina lim
x→a
f(x) = L, usando a representa-
ção de módulo, com � e com δ
Solução: ∀� > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − a| <
δ ⇒ |f(x)− L| < �
(b) [5 pontos] Prove, utilizando a definição de limite, que
lim
x→3
(4x− 5) = 7
Solução: Seja � > 0. Tome δ =
�
4
. Daí, 0 <
|x−a| < δ ⇒ 0 < |x−3| < δ ⇒ 0 < |x−3| < �
4
⇒
|4x−12| < �⇒ |4x−5−7| < �⇒ |f(x)−L| < �
(c) [5 pontos] Utilizando o sistema cartesiano abaixo.
Esboce o gráfico de uma função crescente que não
tenha limite em algum valor de seu domínio.
(d) [5 pontos] Apresente a regra que define a função es-
boçada no item anterior.
Solução: f(x) =
{
1 se x ≥ 0
−1 se x < 0
Questão 2: [20 pontos]
Se diz que é possível desenhar o gráfico de uma função con-
tínua no plano cartesiano sem que o lápis perca o contato
com papel.
O dito acima é válido como forma de se assimilar o conceito
de continuidade. Contudo, não é formal.
(a) [5 pontos] Apresente a definição formal de função
contínua em um intervalo.
Solução: Uma função f é dita contínua num in-
tervalo I se lim
x→a
f(x) = f(a), ∀x ∈ I
(b) Determine em que valores do domínio as seguintes
funções são descontínuas. Se em nenhum responda
"nenhum valor".
(a) [2 pontos] f(x) =
{
x2 se x < 1√
x se x ≥ 1
Solução: Nenhum valor
(b) [3 pontos] f(x) =

1 + x2 se x ≤ 0
2− x se 0 < x ≤ 2
(x− 2)2 se x > 2
Solução: Em x = 0
(c) [10 pontos] Prove que a resposta dada no item ante-
rior está correta, usando a definição de continuidade.
Solução: No item a), a função x2 é continua em
todos os reais, o mesmo vale para
√
x para reais
positivos. O possível valor de descontinuidade
seria em x = 1. No entanto, lim
x→1
f(x) = f(1).
No item b), a função é definida por tres funções
contínuas. No entanto, lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x).
Logo, lim
x→0
f(x) não existe. Ou seja, a função não
é contínua em x = 0
Questão 3: [20 pontos]
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada
curva.
(a) [10 pontos] y =
2x+ 1
x− 2
Solução: Vertical: x = 2, pois lim
x→2+
y = ∞ e
lim
x→2−
y = −∞.
Horizontal: y = 2, pois lim
x→∞
2x+ 1
x− 2 =
lim
x→∞
2 +
1
x
1− 2
x
= 2
(b) [10 pontos] y =
x2 + 1
2x2 − 3x− 2
Solução: Para x = 2 e x = −1
2
(raí-
zes do denominador) são assintotas verti-
cais, temos que lim
x→2−
x2 + 1
2x2 − 3x− 2 = −∞ e
lim
x→− 1
2
−
x2 + 1
2x2 − 3x− 2 =∞
Pág. 1 de 2
y =
1
2
é assintota horizontal. Pois,
lim
x→∞
x2 + 1
2x2 − 3x− 2 = limx→∞
1 +
1
x2
2− 3
x
− 2
x2
=
1
2
Questão 4: [30 pontos]
Determine os seguintes limites:
(a) [7 pontos] lim
x→∞
sen2 x
x2 + 1
Dica: Teorema do confronto.
Solução: 0 ≤ sen2 x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sen
2 x
x2 + 1
≤
1
x2 + 1
≤ 1
x2
.
Como lim
x→∞
1
x2
= lim
x→∞
0 = 0 tem-se que
lim
x→∞
sen2 x
x2 + 1
= 0, pelo teorema do Confronto.
(b) [5 pontos] lim
x→−4
x2 + 5x+ 4
x2 + 3x− 4
Solução: lim
x→−4
x2 + 5x+ 4
x2 + 3x− 4 =
lim
x→−4
(x+ 4)(x+ 1)
(x+ 4)(x− 1) = limx→−4
x+ 1
x− 1 =
3
5
(c) [6 pontos] lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
Solução: lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1 = limx→1
(x− 1)(x2 − x+ 1)
(x+ 1)(x− 1) =
lim
x→1
x2 − x+ 1
x+ 1
=
1
2
(d) [6 pontos] lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
Solução: lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
=
lim
h→0
8 + 6h2 + 12h+ h3 − 8
h
=
lim
h→0
6h2 + 12h+ h3
h
= lim
h→0
h(6h+ 12 + h2)
h
=
lim
h→0
6h+ 12 + h2 = 12
(e) [6 pontos] lim
h→0
√
1 + h− 1
h
Solução: lim
h→0
√
1 + h− 1
h
=
lim
h→0
(
√
1 + h− 1).(
√
1 + h+ 1)
h.(
√
1 + h+ 1)
=
lim
h→0
1 + h− 1
h.(
√
1 + h+ 1)
=
1
3
Questão 5: [10 pontos]
De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de
um objeto depende de sua velocidade v. Einstein também
provou que a massa m de um objeto está relacionada com
v pela fórmula.
m =
m0√
1− (v
2
c2
)
, onde m0 é a massa do objeto em repouso.
Investigue o lim
v→c−
m
Solução: A massa m tende a infinito quando v tende
a c. Pois teríamos o denominador tendendo a zero.
Evidente que só pode se aplicar limite à esquerda para
que não aconteça de o radical ser negativo.
Questões 1 2 3 4 5 Total
Pontos 20 20 20 30 10 100
Obtido:
Pág. 2 de 2 Fim da Avaliação Boa Sorte!