Lista 7

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7ª Lista de Exercícios
1 - Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Qual a
probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha:
a) nenhum defeituoso?
b) exatamente um defeituoso?
c) exatamente dois defeituosos?
d) não mais do que dois defeituosos?
2 - Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo,
duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo
de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça
a garantia?
3 - Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários
em 80% dos casos. Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre:
a) a probabilidade de exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade;
b) a probabilidade de não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade;
c) a probabilidade de pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade;
d) o número médio de funcionários que aumentaram a produtividade dentre os 10 que parti-
ciparam do curso de treinamento.
4 - Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas com 1.000 peças. É uma característica da
fabricação produzir 10% com defeito. Normalmente, cada caixa é vendida por R$ 13,50. Um
comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a
caixa não tiver parafusos defeituosos, ele paga R$ 20,00; um ou dois defeituosos, ele paga R$
10,00; três ou mais defeituosos, ele paga R$ 8,00. Qual alternativa é a mais vantajosa para o
fabricante? Justi�que.
5 - Uma fábrica produz válvulas, das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas em
caixas com dez peças. Se uma caixa não tiver nenhuma defeituosa, seu preço de venda é R$
10,00; tendo uma, o preço é R$ 8,00; duas ou três, o preço é R$ 6,00; mais do que três, o preço
é R$ 2,00. Qual o preço médio de uma caixa?
6 - Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores A e B, classi�-
caram as partidas adquiridas em categorias I e II, pagando R$ 1,20 e R$ 0,80 respectivamente
do seguinte modo:
Comprador A: retira uma amostra de cinco peças; se encontrar mais que uma defeituosa,
classi�ca como II.
Comprador B: retira amostra de dez peças; se encontrar mais que duas defeituosas, classi�ca
como II.
Em média, qual comprador oferece maior lucro?
7 - Num teste tipo certo/errado, com 10 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte
70% das questões, supondo que ele as responda ao acaso?
8 - Repita o problema anterior, considerando cinco alternativas para cada questão.
9 - Overbooking é uma prática realizada na aviação no mundo todo. Consiste na empresa aérea
vender mais bilhetes do que o disponível no voo com base na média de desistências dos voos
anteriores. Uma empresa aérea possui um avião com capacidade para 100 lugares, se para
um certo voo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um
passageiro não comparecer para embarque é de 7%, qual a probabilidade de algum passageiro
não conseguir embarcar?
10 - Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com peças boas formando um lote de 12 peças
no total. Escolhendo, ao acaso, 4 dessas peças, sem reposição, determine a probabilidade de
encontrar:
a) Pelo menos 2 defeituosas.
b) No máximo 1 defeituosa.
c) No mínimo uma boa.
11 - Uma fábrica produz peças que são embaladas em caixas com 25 unidades. Para aceitar o lote
enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa procede da seguinte forma.
Sorteia uma caixa do lote e, em seguida, sorteia 5 peças, sem reposição, dessa mesma caixa. Se
constatar no máximo duas defeituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Se a caixa sorteada
tivesse 4 peças defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?
12 - Em um estudo sobre crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exemplares da espécie
A e 5 da espécie B. A evolução do peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos
pesquisadores através de capturas periódicas. Determine a probabilidade de, em três jacarés
capturados de uma vez, obtermos:
a) Todos da espécie A.
b) Nem todos serem da espécie B.
c) A maioria ser da espécie A.
13 - Distribuição Geométrica. Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A
com probabilidade p ou não ocorra A, ou seja, ocorre Ac com probabilidade (1 − p). Re-
petimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez.
Seja X = número de repetições até que se obtenha A pela primeira vez. Então a função de
probabilidade de X é dada por
P (X = k) = (1− p)k−1. p, k = 1, 2, 3, . . . ,
pois se X = k, nas k − 1 repetições A não ocorre, ocorrendo na k-ésima. Neste caso, dizemos
que a variável aleatória X segue uma distribuição geométrica com parâmetro p e denotamos
da seguinte maneira: X ∼ G(p). Além disso, pode-se mostrar que E(X) = 1/p e Var(X) =
(1− p)/p2. A partir dessas informações, resolva o problema a seguir.
Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de ocorrer cara é p = 2/3. Suponha que
essa moeda seja lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara.
Considerando a variável aleatória X que conta o número de lançamentos até a ocorrência de
cara pela 1a vez, determine:
a) a probabilidade de serem necessários exatamente 3 lançamentos.
b) a probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos.
c) a probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes.
d) quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara
com pelo menos 0,8 de probabilidade.
14 - Uma empresa de extração de petróleo se arrisca em vários locais, e seu sucesso ou fracasso varia
de um local para outro. Suponha que a probabilidade de um sucesso em um local especí�co seja
de 0,3. A empresa sente que vai falir se tiver que perfurar dez vezes para conseguir o primeiro
sucesso. Qual é a perspectiva de falência para esta empresa?
15 - Uma estatística precisa consultar informações públicas disponibilizadas em um site governa-
mental que é protegido com um sistema de CAPTCHA. Para isso, ela programou um algoritmo
baseado em OCR (optical character recognition) que resolve corretamente os CAPTCHAS com
p = 0, 5.
a) Qual a probabilidade de resolver corretamente o CAPTCHA na segunda tentativa?
b) Se o site tiver uma regra de bloquear o acesso após 7 ou mais tentativas erradas, para
evitar ação de robô, qual a chance dela ser bloqueada?
16 - Suponha que o custo de realização de um ensaio de um experimento seja R$ 1000,00. Se o
experimento falhar, ocorrerá um custo adicional de R$ 300,00 em virtude de serem necessárias
algumas alterações antes que a próxima tentativa seja executada. Se a probabilidade de sucesso
em uma tentativa qualquer é de 20%; se os ensaios forem independentes e se o experimento
prossegue até que o primeiro sucesso seja alcançado, determine:
a) a probabilidade do custo ser exatamente R$ 3600,00;
b) a probabilidade do custo ser no máximo R$ 3600,00;
c) a probabilidade do custo ser maior do que R$ 2300,00;
d) o custo esperado para realização do experimento.
17 - Distribuição de Poisson. Experimentos que geram valores da variável aleatória X que
representa o número de resultados que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou
volume, são chamados de experimentos de Poisson. A v.a. X é denominada de variável de
Poisson e tem função de probabilidade dada por
P (X = k) =
e−λ. λk
k!
, k = 0, 1, 2, . . .
Neste caso, dizemos que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson com
parâmetro λ e denotamos da seguinte maneira: X ∼ Poisson(λ). Além disso, pode-se mostrar
que E(X) = Var(X) = λ. Logo, λ representa o número médio de resultados que ocorrem no
intervalo de tempo, ou superfície ou volume considerado. A partir dessas informações, resolva
o problema a seguir.
A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param num posto
de combustível para colocar gasolina.a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou mais pararem em qualquer intervalo de 1 hora?
c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão para esta distribuição?
18 - O número de acidentes pequenos durante uma partida de futebol é uma variável aleatória de
Poisson com média λ = 4, 5. Qual a probabilidade de ocorrerem, no máximo, dois acidentes
durante uma partida.
19 - Um departamento de polícia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade
desse departamento receber 15 solicitações no período de 8h às 12h?
20 - O número de petroleiros que chegam a uma re�naria ocorre segundo uma distribuição de
Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, qual a probabilidade da re�naria
receber menos de quatro petroleiros em dois dias?
Bom Trabalho!
RESPOSTAS
Questão 01: (a) 0,6561; (b) 0,2916; (c) 0,0486; (d) 0,9963.
Questão 02: 0,94187.
Questão 03: (a) 0,20133; (b) 0,62419; (c) 0,32220; (d) 8.
Questão 04: Vender por R$ 13,50.
Questão 05: R$ 6,48.
Questão 06: O comprador A.
Questão 07: 0,11719.
Questão 08: 0,00079.
Questão 09: 0,02184.
Questão 10: (a) 0,23636; (b) 0,76364; (c) 1.
Questão 11: 0,01621.
Questão 12: (a) 0,04762; (b) 0,88095; (c) 0,40476.
Questão 13: (a) 0,07407; (b) 0,96296; (c) 0,33333; (d) 2.
Questão 14: 0,01211.
Questão 15: (a) 0,25; (b) 0,00781.
Questão 16: (a) 0,128; (b) 0,488; (c) 0,64; (d) R$ 6200,00.
Questão 17: (a) 0,08924; (b) 0,93803; (c) E(X) = Var(X) = 6 e DP(X) ≃ 2,44949.
Questão 18: 0,17358.
Questão 19: 0,05165.
Questão 20: 0,43347.