Princípio de Hamilton

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Princ´ıpio de Hamilton
Joa˜o Fernandes da Silva
Sejam v1, v2, . . . , vn as coordenadas para um sistema de mu´ltiplos graus de liberdade. Seja r o vetor
posic¸a˜o de uma part´ıcula de massa m medido a partir da origem do sistema de coordenadas, tal que
r = x(t)̂i+ y(t)ĵ + z(t)k̂, (1)
r = r(v1, v2, · · · , vn).
De acordo com a Segunda Lei de Newton,
F + Σf = mu¨, (2)
onde a soma de F e Σf e´ a resultante das forc¸as conservativas e na˜o conservativas atuando no sistema.
Integrando os dois lados da equac¸a˜o (2) de r1 a r2, temos∫ r2
r1
Fdr +
∫ r2
r1
Σfdr =
∫ r2
r1
mr¨dr. (3)
Sabemos que
W1→2 =
∫ r2
r1
Fdr. (4)
O termo do lado direito da equac¸a˜o (3) pode ser reescrito como segue
∫ r2
r1
mr¨dr =
∫ t2
t1
mr¨
dr
dt
dt =
∫ r2
r1
mr¨r˙dt. (5)
Integrando a equac¸a˜o (5) por partes, obtemos
∫ r2
r1
mr¨r˙dt =
[
1
2
r˙2
]t2
t1
. (6)
Como a energia cine´tica de um corpo e´ dada por
T =
1
2
m (r˙)
2
, (7)
a equac¸a˜o (2) e´ reescrita como ∫ r2
r1
Fdr +
∫ r2
r1
Σfdr = T2 − T1. (8)
Levando em conta que cada coordenada generalizada e´ func¸a˜o do tempo, enta˜o cada uma das variac¸o˜es
nas coordenadas podem ser definidas em func¸a˜o do tempo. Desse modo, as variac¸o˜es δv1, δv2, . . . , δvn
satisfazem
δvk(t1) = vk(t2) = 0, k = 1 : n. (9)
1
Logo, a variac¸a˜o do vetor posic¸a˜o e´
δr = r(v1 + δv1, v2 + δv2, . . . , vn + δvn) + r(v1, v2, . . . , vn) =
∂r
∂v1
δv1 +
∂r
∂v2
δv2 + · · · + ∂r
∂vn
δvn. (10)
Aplicando a variac¸a˜o do vetor posic¸a˜o a equac¸a˜o (2), temos
Fδr + Σfδ(∆r) = mr¨δr, (11)
sendo
δW = Fδr (12)
o trabalho virtual.
O termo da direita da expressa˜o (11) pode ser arranjado como segue abaixo
d
dt
(r˙δr) = r¨δr + r˙
d
dt
(δr) (13)
r¨δr =
d
dt
(r˙δr) − r˙δr˙ (14)
δ(r˙ · r˙) = (δr˙)r˙ + r˙δr˙ = 2r˙δr˙ (15)
r¨δr =
d
dt
(r˙δr) − r˙δr˙
r¨δr =
d
dt
(r˙δr) − δ
(
1
2
r˙2
)
. (16)
Em seguida, substitu´ımos a expressa˜o (16) na (11):
δW + Σfδ(∆r) = m
d
dt
(r˙δr) − δ
(
1
2
r˙2
)
(17)
δW + Σfδ(∆r) = m
d
dt
(r˙δr) − δT. (18)
Ainda e´ poss´ıvel generalizar a equac¸a˜o (18) para cada part´ıcula do sistema. Desse modo,
δW + (Σf)δ∆r + δT = Σmi
d
dt
(r˙iδri). (19)
0
2
−→r2
−→r0
−→r1
1
Figura 1: Deslocamento tomado por um corpo de massa m.
2
O trabalho virtual total e´ dado por
δW = δWc + δWnc, (20)
sendo Wc o trabalho realizado pelas forc¸as na˜o conservativas e Wnc, pelas na˜o-conservativas.
O trabalho conservativo de uma forc¸a ~F pode ser obtido ao analisar a energia potencial de uma massa
m, quando desejamos desloca´-la de uma posic¸a˜o ~r ate´ uma posic¸a˜o ~r0 de refereˆncia, tal que
V (~r) =
∫ ~r0
~r
~Fd~r. (21)
O trabalho feito por uma forc¸a conservativa ~F para mover um corpo de massa m da posic¸a˜o ~r1 ate´
~r2 na figura 1 e´:
W =
∫ ~r2
~r1
~Fd~r
=
∫ ~r0
~r1
~Fd~r +
∫ ~r2
~r0
~Fd~r
=
∫ ~r2
~r1
~Fd~r −
∫ ~r0
~r2
~Fd~r
= V (~r1) − V (~r2)
= −[V (~r2) − V (~r1)]. (22)
Logo,
W = −δV. (23)
Substituindo a expressa˜o (23) na (20) e, em seguida, na (19), conseguimos
δT − δV + δWnc = m d
dt
(r˙iδri). (24)
Integrando a equac¸a˜o (24) em t, variando de t1 a t2, obtemos∫ t2
t1
(δT − δV + δWnc)dt =
∫ t2
t1
[
m
d
dt
(r˙iδri)
]
dt = [mrδr]t2t1 . (25)
O termo a direita e´ igual a zero, pois as variac¸o˜es nas coordenadas generalizadas sa˜o definidas de
modo que sejam iguais a zero nos tempos t1 e t2. Portanto,∫ t2
t1
(δT − δV + δWnc)dt = 0. (26)
A expressa˜o acima e´ conhecida como Princ´ıpio de Hamilton. Utilizando o funcional Lagrangiano
(L = T − V ), podemos ainda reescrever a equac¸a˜o (26) de modo a obter o Princ´ıpio Estendido de
Hamilton: ∫ t2
t1
(δL+ δWnc)dt = 0. (27)
3