Mackenzie EM 2 Série - Matemática (Caderno de Atividades) - Livro do Professor - Livro 4 - Capítulo 10

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PRIMEIRAS IDEIAS
452. Considere um sistema axiomático com os seguintes postulados para resolver as questões que seguem.
• Postulado 1 – Um curso tem alunos.
• Postulado 2 – Quaisquer dois cursos distintos têm 
exatamente um aluno em comum.
• Postulado 3 – Cada aluno faz exatamente dois cursos.
• Postulado 4 – Existem exatamente quatro cursos.
a. Quais são os elementos primitivos desse sistema axiomático?
b. Preencha a seguinte tabela colocando alunos (A, B, C, D...) 
em cada curso, de acordo com os postulados, e responda 
às questões C e D.
ALUNOS DE CADA CURSO
Curso 1 Curso 2 Curso 3 Curso 4
c. O Teorema 1 deste sistema axiomático afi rma: 
“Existem exatamente x alunos”. Qual o valor de 𝑥?
I. 4
II. 5
III. 6
IV. 7
V. 8
A, B, C A, D, E B, D, F C, E, F
Curso e aluno.
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d. Os toremas a seguir são verdadeiros (V) ou falsos (F)?
Teorema 2 – Existem exatamente 4 alunos em cada curso.
Teorema 3 – Para cada aluno, existe um e somente um aluno 
que não faz nenhum curso com ele. 
Teorema 4 – Se tomarmos 3 três alunos distintos quaisquer, 
os quatro cursos estarão representados.
Teorema 5 – Se tomarmos a união de quaisquer dois cursos 
distintos, teremos um conjunto com cinco alunos.
Teorema 6 – Alunos de um mesmo curso fazem um, e so-
mente um, curso em comum.
Teorema 7 – Seja P a união de dois cursos quaisquer e Q a 
união dos outros dois cursos. Então, a interseção de P e Q 
tem exatamente quatro alunos. 
( F )
( V )
( F )
( V )
( V )
( V )
453. Considere o enunciado abaixo para resolver as questões que seguem.
Um skatista marcou quatro pontos no quintal de sua casa e pediu que 
um pedreiro construísse uma rampa plana passando por estes quatro 
pontos. O pedreiro verificou que os quatro pontos não eram coplana-
res e, portanto, havia mais de um plano possível de ser construído.
a. Quantos planos são determinados 
por 4 pontos não coplanares?
b. Uma pessoa que ouvia a conversa uniu os pontos, dois a dois, for-
mando duas retas distintas e perguntou por que as duas retas dadas 
não determinavam um único plano. O skatista explicou que, para que 
as duas retas determinassem um único plano, elas teriam que ser:
I. 4
II. 5
III. 6
IV. 8
V. 10
I. reversas ou paralelas.
II. paralelas ou coincidentes.
III. coincidentes ou reversas.
IV. concorrentes ou paralelas.
V. concorrentes ou reversas.
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A B
CD
GH
FE
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c. Como as duas retas distintas não determinaram 
um único plano, podemos concluir que eram:
I. perpendiculares.
II. reversas
III. secantes.
IV. concorrentes.
V. coincidentes.
454. Observe o tronco de uma pirâmide regular quadrada a seguir e responda às questões.
a. Classifi que as retas de acordo 
com a sua posição relativa.
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
Paralelas
Concorrentes
Reversas
Concorrentes (se encontrarão no vértice da pirâmide)
Reversas
Concorrentes (se encontrarão no vértice da pirâmide)
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Secante
Paralela
Paralela
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b. Classifique os planos de acordo 
com a sua posição relativa. 
I. (A, B, C) e (E, F, G)
II. (B, C, F) e (B, F, G)
III. (B, C, F) e (E, H, G)
IV. (A, D, H) e (B, C, F)
c. Classifique a reta de acordo com 
a sua posição relativa ao plano.
I. 
II. 
III. 
IV. 
Paralelos
Coincidentes
Secantes
Secantes
Contida
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Diomedia / Corbis RF
A
B
C
D
E
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455. Considere a foto e as informa-ções a seguir para responder 
às próximas questões.
As estradas A e B são 
paralelas e estão no 
mesmo plano .
As estradas C e D são 
coplanares (plano ) e são 
paralelas ao plano .
A estrada E está situada num 
plano γ que forma um ângu-
lo de 30º com o plano . 
a. Falso ou Verdadeiro. Justifique.
I. Qualquer reta situada nas estradas 
A e B será paralela ao plano .
II. Duas retas distintas do plano que são 
paralelas ao plano são paralelas entre si.
III. Todas as retas do plano γ serão secantes ao plano .
Verdadeiro. O plano β é paralelo ao plano . Logo, todas as retas do pla-
no α serão paralelas ao plano β. Veja a Propriedade 1 de Paralelismo.
Falso. As duas retas distintas podem ser concorrentes também.
Falso. Haverá também retas paralelas ao plano no plano γ.
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P' Q
P
P''
h
b
d P’P’’ m
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b. Qual a distância da interseção dos planos e γ a um ponto P na 
estrada E, sabendo-se que a distância de P’ (projeção de P 
sobre ) ao plano γ é de m? Qual a distância de P ao plano ?
O desenho mostra uma seção transversal dos dois planos, passando pelo ponto P.
No triângulo P’QP’’, temos:
No triângulo PP’Q, temos:
E, fi nalmente, no triângulo PP’Q, temos:
Resposta:
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A A'
B
C
B'
C'
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456. Usando as propriedades de paralelismo é possível deduzir que um feixe de planos paralelos determina segmentos proporcionais sobre duas retas se-
cantes quaisquer. Esta propriedade é conhecida como o Teorema de Tales 
para o espaço. Considere que a reta corta 3 planos paralelos nos pontos A, 
B e C, e a reta ’ corta os mesmos planos nos pontos A’, B’, C’. Sabendo-se 
que AB = 18 cm e BC = 27 e B’C’ = 21,6 cm. Calcule o valor de A’B’.
457. Quais as visões frontal, lateral e superior dos seguintes sólidos?
a. 
frontal lateral superior
Solução sem escala
frontal lateral superior
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Solução sem escala
Solução sem escala
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b. 
c. 
458. Um quadrado ABCD de lado 10 cm está apoiado em uma superfície plana. Dois segmentos perpendiculares são traçados pelos vértices 
A e C: PA medindo 10 cm e QC medindo 15 cm. Calcule o valor da 
distância entre os pontos P e Q.
Solução sem escala
frontal lateral superior
frontal lateral superior
Inicialmente, calcula-se AC (diagonal do quadrado): AC = 
Com este valor, podemos usar Pitágoras e determinar PQ = 15 cm.
A B
C A
P
C
Q
D
frontal lateral superior
frontal lateral superior
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 203
459. O triângulo ABC é retângulo em B e está conti-do em um plano, com AB = 6 cm e BC = 8 cm. O 
segmento PA é perpendicular ao plano e mede 
24 cm. Calcule a distância dos pontos P e C.
460. Uma reta r é perpendicular ao plano (A, B, C) e passa pelo vértice A de um triângulo equilátero 
ABC de lado cm contido em um plano. Um 
ponto P, pertencente a r, está situado a cm de A. 
Qual a distância do ponto P ao ponto médio do seg-
mento BC? Qual é o ângulo da reta PM com o plano?
Usamos Pitágoras no triângulo ABC e calculamos o segmento AC = 10 cm.
Usamos Pitágoras novamente, agora no triângulo PAC, e encontramos o 
segmento PC = 26 cm.
A
A
P
B C C
A
B
B
C
C
A
P
M
MM
M
θ
3
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204 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE |UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
461. Um triângulo retângulo é isósceles. Qual o ângulo entre as alturas dos vértices B e C?
462. Seja o ângulo entre um plano e um plano . A proje-ção ortogonal de um quadrado de 6 m de lado situado 
no plano sobre o plano é um retângulo com 
de área. Calcule os lados do retângulo e o ângulo .
Calcula-se o valor de BM = CM = cm (ponto médio de BC).
Em seguida, usando Pitágoras, calcula-se o segmento AM (altura de ABC) = cm.
Usando Pitágoras novamente, calcula-se PM = cm.
Finalmente, calcula-se o ângulo :
Como o triângulo é isósceles e retângulo, temos que os 
ângulos são = 90º, 45º e = 45º.
Num triângulo isósceles, as alturas dos vértices B e C 
coincidirão com os lados b e c.
Assim, é fácil verifi car que as alturas são perpendiculares. 
Portanto, o ângulo entre as alturas será de 90º.
A
B C
ha
hch
45˚ 45˚
b
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463. Um triedro tem duas faces que medem respectiva-mente 105º e 140º. Qual a faixa de variação da 
terceira face? Complete a análise de cada uma das 
relações do triedro para encontrar o menor intervalo 
que contenha o valor da terceira face que chamare-
mos de .
• A soma das três faces deve ser menor que 
. Logo, deve ser menor que .
• Cada face é menor que a soma das outras duas. 
Desta relação, concluímos que deve ser maior 
que e deve ser menor que .
• A soma dos três diedros é maior que 180º e menor 
que 540º. Desta relação, concluímos que deve ser 
menor que .
Do resultado obtido nas três relações, conclu-
ímos que < x < .
Considere que um dos lados do quadrado se manterá sem alteração quando 
projetado no plano . Assim, restará calcular o outro lado do retângulo, utili-
zando-se a área. Sendo esse lado, temos:
Em seguida, tendo o lado do retângulo no plano e o lado do quadrado ori-
ginal, acha-se o ângulo .
Resposta: lados do retângulo medem 6 m e 3 , e o ângulo = 30º.
360°
35°
35°
115°
115°
145°
295°
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A
B
Pivô
A B
A B
A B
A B
A B
206 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
464. (Enem 2013) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tá-bua longa e estreita equilibrada e fi xada no seu ponto central 
(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremida-
des e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer 
a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangor-
ra. Considere a gangorra representada na fi gura, em que os 
pontos A e B são equidistantes do pivô:
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano 
do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
465. (Enem 2014) O acesso entre os dois an-dares de uma casa é feito através de uma 
escada circular (escada caracol), repre-
sentada na fi gura. Os cinco pontos A, B, 
C, D, E sobre o corrimão estão igualmen-
te espaçados, e os pontos P, A e E estão 
em uma mesma reta. Nessa escada, uma 
pessoa caminha deslizando a mão sobre 
o corrimão do ponto A até o ponto D.
A fi gura que melhor representa a projeção 
ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do 
caminho percorrido pela mão da pessoa é:
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D C
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D C
A B
D C
A B
D C
A B
D C
208 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
466. (Enem 2012) João propôs um desafi o a Bruno, seu colega de 
classe: ele iria descrever um des-
locamento pela pirâmide a 
seguir e Bruno deveria desenhar 
a projeção desse deslocamento 
no plano da base da pirâmide.
O deslocamento descrito por 
João foi: mova-se pela pirâmide, 
sempre em linha reta, do ponto 
A ao ponto E, a seguir do ponto 
E ao ponto M, e depois de M a C.
O desenho que Bruno deve fazer é:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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casa
1cm
escola
1cm
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467. (Enem 2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma es-
cola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto 
de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implanta-
ção do programa, o aluno que morava mais distante da 
escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na 
fi gura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.
Quantos quilômetros esse aluno percorreu 
na fase de implantação do programa?
a. 4
b. 8
c. 16
d. 20
e. 40
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H
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210 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
I. Se duas retas distintas não são paralelas, 
então elas são concorrentes.
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano.
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único 
plano α que contém r e é paralelo a s.
468. (UEL 2007) Sobre os conhecimen-tos de geometria tridimensional, 
considere as afi rmativas:
A alternativa que contém todas 
as afi rmativas corretas é:
a. I e II
b. I e IV
c. III e IV
d. I, II e III
e. II, III e IV
469. (EsPCEx-SP 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma re-
to, com uma face em comum. Na fi gura estão indicados 
os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 211
Considere os seguintes pares de retas defi nidas por pontos des-
sa fi gura: as retas e ; as retas e e as retas e As 
posições relativas desses pares de retas são, respectivamente,
a. concorrentes; reversas; reversas.
b. reversas; reversas; paralelas.
c. concorrentes, reversas; paralelas.
d. reversas; concorrentes; reversas.
e. concorrentes; concorrentes; reversas.
470. (Unifesp 2009) Considere o sólido geo-métrico exibido na fi gura, constituído de 
um paralelepípedo encimado por uma pi-
râmide. Seja r a reta suporte de uma das 
arestas do sólido, conforme mostrado.
Quantos pares de retas reversas 
é possível formar com as retas 
suportes das arestas do sólido, 
sendo r uma das retas do par?
a. 12.
b. 10.
c. 8.
d. 7.
e. 6.
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B
D
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B
212 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
A partir dos pontos dados, é correto 
afi rmar que os segmentos de retas
a. CD e EF são paralelos.
b. BD e FJ são concorrentes.
c. AC e CD são coincidentes.
d. AB e EI são perpendiculares.
472. (Unifesp 2003) Dois segmentos dizem-se re-versos quando não são coplanares. Neste 
caso, o número de pares de arestas reversas 
num tetraedro, como o da fi gura, é
a. 6.
b. 3.
c. 2.
d. 1.
e. 0.
471. (CEFET-MG 2014) A fi gura a seguir repre-senta uma cadeira onde o assento é um 
paralelogramo perpendicular ao encosto.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 213
a. r e s são perpendiculares entre si.
b. s e t são paralelas entre si.
c. r e t são concorrentes.
d. s e t são reversas.
e. r e t são ortogonais.
473. (Fatec 2007) A reta r é a intersecção dos planos α e β, perpendiculares entre si. A reta s, contida em 
α, intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a 
β, intercepta-o no ponto Q,não pertencente a r. 
Nessas condições, é verdade que as retas
474. (UEM 2014) Sobre as posições relativas entre pontos, retas e planos no espaço, 
assinale o que for correto.
01. Duas retas r e s são ortogonais quando são reversas e 
existe uma reta t paralela a s e perpendicular a r.
02. Se um plano é paralelo a uma reta r, então 
todas as retas do plano são paralelas a r.
04. É possível ter retas paralelas contidas em planos 
que não sejam paralelos.
08. Se um plano intercepta os planos β e γ formando 
um ângulo de 90°, então os planos β e γ são paralelos.
16. Considere as retas r, s e t. Se r é reversa a s e a reta s é 
concorrente a t, então r e t são reversas.
475. (Fuvest 1997) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, 
seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, per-
correu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em 
seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, final-
mente, completou seu passeio percorrendo a aresta 
reversa a CG. A formiga chegou ao vértice
 01 + 04 = 05
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ED
A B
C
214 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
a. A
b. B
c. C
d. D
e. E
476. (UPE 2016) Analise as afi rmativas a seguir, relativas à geometria espacial e coloque V 
nas Verdadeiras e F nas Falsas.
( ) Se uma reta está contida em um plano, então toda 
reta perpendicular a ela será perpendicular ao plano.
( ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda 
reta perpendicular a um deles é paralela ao outro.
( ) Se dois planos distintos são paralelos a uma reta 
fora deles, então eles são paralelos entre si.
( ) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer 
reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro.
a. F – F – V – V
b. F – V – V – F
c. F – F – F – F
d. V – F – F – V
e. V – V – F – F
Assinale a alternativa que apre-
senta a sequência CORRETA.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 215
477. (UEPG 2010) Considerando dois planos e β e uma reta r, assinale o que for correto.
01. Se é perpendicular a e a �, então é 
paralelo a qualquer plano que contenha .
02. Se é perpendicular a e a �, então 
 e � são paralelos entre si.
04. Se e � são perpendiculares e a reta está conti-
da em , então é também perpendicular a �.
08. Se é paralelo a , então todo plano contendo 
 é paralelo a .
16. Se , então e são paralelos.
478. (UFMS 2010) A seguir foram feitas algumas afirmações sobre geometria espacial. Assinale 
a(s) correta(s) e indique a sua soma.
01. Toda reta paralela a dois planos não para-
lelos, é paralela à interseção deles.
02. Toda reta que contém dois pontos de um 
plano pertence a esse plano.
04. A partir de 4 pontos não coplanares, são 
definidos exatamente 4 planos distintos.
08. Três retas concorrentes num único ponto 
definem um único plano.
16. Toda reta perpendicular a duas retas não 
paralelas pertence ao plano definido por 
essas duas retas não paralelas.
Somatória das proposições corretas: 02 + 16 = 18
Somatória das proposições corretas: 001 + 002 + 004 = 007.
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â1
â2
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S
216 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
01. Pelo ponto A existe uma única reta paralela a .
02. Por qualquer ponto P de , é possível traçar uma 
reta paralela a s inteiramente contida em �2.
04. A reta perpendicular ao plano �2 pelo 
ponto B é ortogonal à .
08. Existe ao menos um ponto C em 
, tal que o triângulo ABC é isósceles.
16. Existe um plano perpendicular a 
�1 e a �2 simultaneamente.
480. (UEPG 2006) Considerando a fi gura abaixo, onde a reta r é perpendicular ao plano α e s é uma reta 
desse mesmo plano, assinale o que for correto.
01. r e s são perpendiculares.
02. r e s determinam um plano perpendicular a .
04. O triângulo PMN é equilátero.
08. r pertence a .
16. A soma dos ângulos â1 e â2 é 90º.
479. (UEM 2014) Sejam �1 e �2 dois planos que se interceptam, de-terminando uma reta . Seja s uma reta que intercepta �1 em 
um único ponto A ∉ e intercepta �2 em um único ponto B ∉ . 
Considerando esses dados, assinale o que for correto.
Somatória das proposições corretas: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.
Somatória das proposições corretas: 01 + 02 + 16 = 19.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 217
481. (EsPCEx-SP 2012) Considere as seguintes afirmações:
I. Se dois planos e � são paralelos distintos, então 
as retas e � são sempre paralelas.
II. Se e � são planos não paralelos distintos, existem 
as retas e � tal que e são paralelas.
III. Se uma reta é perpendicular a um plano no ponto P, en-
tão qualquer reta de que passa por P é perpendicular a .
Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s)
a. Somente II
b. I e II
c. I e III
d. II e III
e. I, II e III
482. (EsPCEx-SP 2013) Considere as seguintes afirmações:
I. Se uma reta é perpendicular a um plano , então todas 
as retas de são perpendiculares ou ortogonais a ;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB 
sobre um plano é a metade da medida do segmento 
AB, então a reta AB faz com α um ângulo de 60°;
III. Dados dois planos paralelos e β, se um terceiro plano 
γ intercepta e β as interseções entre esses planos 
serão retas reversas;
IV. Se e β são dois planos secantes, todas as retas 
de também interceptam β.
Estão corretas as afirmações
a. apenas I e II
b. apenas II e III
c. I, II e III
d. I, II e IV
e. II, III e IV
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218 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
483. (IME 2016) Sejam dois quadrados de lado a situados em pla-nos distintos que são paralelos entre si e situados a uma 
distância d um do outro. A reta que liga os centros dos qua-
drados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um 
quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se 
cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próxi-
mos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, 
conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S. Qual 
a distância entre estes planos distintos em função de a, de 
modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?
a. 
b. 
c. 
d. 
484. (Esc. Naval 2013) Um quadrado ABCD de lado 4 cm tem os vértices num plano �. Pelos vérti-
ces A e C são traçados dois segmentos, AP e CQ, 
perpendiculares a α, medindo respectivamen-
te, 3 cm e 7 cm. A distância PQ tem medida, em 
cm, igual a
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
e. 
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485. (Fuvest 2009) O ângulo formado por dois planos 
 e � é tal que tg . O ponto P pertence a 
e a distância de P a � vale 1. Então, a distância 
de P à reta intersecção de e β é igual a:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
– O segmento AB tem 6 cm de comprimento 
e está contido em .
– O segmento BC tem 24 cm de comprimen-
to, está contido em e é perpendicular a AB.
– O segmento AD tem 8 cm de comprimento 
e é perpendicular a .
486. (EsPCEx-SP 2012) Considere um plano e os pontos A, B, C e D tais que
a. 26 cm
b. 28 cm
Nessas condições, a medida do segmento CD é
c. 30 cm
d. 32 cm
e. 34 cm
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E
C
F
4 cm
4 cm
D
A B
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A
B
C
220 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
a. 6 cm
b. 5 cm
c. cm
d. cm
e. cm
488. (Fuvest 2010) No triângulo ABC da fi gura, a mediana , relati-va ao lado , é perpendicular ao lado . Sabe-se também que 
BC= 4 e AM = 1. Se é a medida do ângulo , determine
487. (ESPM 2012) Na fi gura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. 
Essa fi gura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazen-
do com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do 
espaço. A distância desse ponto P ao ponto A é igual a:
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 221
a. sen 
Solução:
Observe a fi gura com as medidas colocadas.
C
A
1
2
2
M
B
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222 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
b. o comprimento AC.
c. a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB.
489. (Fuvest 2013) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um 
plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, 
os pontos O, P1e P2 representam, respectivamente, a articu-
lação de um dos braços com a base, a articulação dos dois 
braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 
tem comprimento 6 e o braço tem comprimento 2. 
Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura 
menor do que P1 e a distância de O a P2 é . Sendo Q o 
pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine
d. a área do triângulo AMC.
Por Pitágoras, calculamos .
Podemos, então, calcular AC, usando a lei dos cossenos:
A área do triângulo AMC é a metade da área do triângulo ABC.
Logo,
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P1
P2
O Q
MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 223
a. o seno e o cosseno do ângulo 
entre a reta e o plano do chão;
Observe a fi gura ilustrando a situação descrita, com as medidas colocadas.
Por Pitágoras, achamos que OQ = 6.
6
0
2
2
102
P1 
Q
P2 
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224 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10
b. a medida do ângulo 
entre os braços do guindaste;
c. o seno do ângulo entre o braço e o plano do chão.
Os triângulos e são congruentes (caso LLL), logo .
Os triângulos e são congruentes (caso LLL), logo 
os ângulos são congruentes.
Então, .
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P'' 
45o
P' P 
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490. (Fuvest 1996) Sejam �’ e �’’ as faces de um ân-gulo diedro de 45° e P um ponto interior a esse 
diedro. Sejam P’ e P” as projeções ortogonais de 
P sobre �’ e �’’ respectivamente. Então a medi-
da, em graus, do ângulo P’PP” é:
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 135
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