apostila de derivadas 2013.2

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C U R S O D E E N G E N H A R I A Q U I M I C A 
APOSTILA DERIVADAS 
Disciplina: Cálculo I Professor(a): Andréa Lacerda 
Aluno(a): Data: Turma: 
 
 
Derivadas 
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já 
estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no 
plano. 
 
Taxa de Variação Média e Instantânea 
Exemplos de aplicação: 
• Um microbiologista pode estar interessado na taxa segundo a qual o número de bactérias em uma colônia 
varia com o tempo; 
• Um economista pode estar interessado na taxa segundo a qual o custo de produção varia com a quantidade 
de produtos manufaturados; 
• Um pesquisador em medicina pode estar interessado na taxa segundo a qual o raio de uma artéria varia com 
a concentração de álcool na correntes sanguínea. 
 
Definição: Se y = f ( x ) , então a taxa de variação média de y em relação à x no intervalo [x0 ,x] é a inclinação 
m sec da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos P= (x0 , f ( x0 )) e Q = (x , f ( x )), isto é: 
0
0
sec
)()(
xx
xfxf
m



 (Ver figura abaixo) 
 
Equação da reta tangente 
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu domínio. Seja y = f 
(x) uma curva definida num intervalo aberto I. Considere P=( xo , yo) , sendo y o = f( xo) , um ponto fixo e Q(x, y) 
um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q e considere β o 
ângulo de inclinação de s. 
Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P e considere α o ângulo de inclinação de t. 
 
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta s se 
aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg(β ) se aproximará da tg(α ). Usando a 
notação de limites, é fácil perceber que 
)()(lim  tgtg
PQ


 pois quando Q → P temos que x → xo logo, 
 
)(
)()(
limlim)(lim
00
00
 tg
xx
xfxf
xx
yy
tg o
xx
o
xxPQ








 
 
Considerando o triângulo retângulo PTQ, assim podemos obter o 
coeficiente angular da reta s . 
 
 
 
 
Poderemos agora definir o coeficiente (m) da reta tangente ao gráfico de f no ponto P como o limite, 
 
,
)()(
lim
0
0 xx
xfxf
m o
xx 



 caso este limite exista. 
Podemos agora determinar a equação da reta tangente (t), pois já conhecemos o seu coeficiente angular e um 
ponto do seu gráfico P=( xo , yo). 
 
A equação da reta tangente t é: 
a) ( y − yo) = m ( x − xo) , se o limite que determina (m) existir (conhecida por equação dado um ponto e o 
coeficiente angular) ; 
b) A reta vertical o x = xo se 
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
m o
xx 



 for infinito, isto é 
o90
 logo a 
)(tg
 não está definida. 
 
 
Equação da reta normal 
 
Definição: Seja y = f (x) uma curva e P=( xo , yo) um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n) ao gráfico de f 
no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t), cujo coeficiente angular é o inverso simétrico da reta t, 
isto é 
t
n
m
m
1

 . 
 
 
Derivada de uma função num ponto 
Seja y = f (x) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto xo e denota-
se f ' (xo) (lê-se f linha de o x ), o limite f ' (xo) = 
0
)()(
lim
0 xx
xfxf o
xx 


, quando este existe. 
Outra forma de se representar a derivada é dada pelo limite abaixo, onde 
oxxx 
 
 f ' (x) =
x
xfxxf oo
x 


)()(
lim
0
 
Outras notações para a derivada da função y = f (x): 
)(',, xyfD
dx
dy
x
 
Derivadas laterais 
Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais existem e são iguais. 
Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada somente existirá em condições análogas. 
 
Definição: Seja y = f (x) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f em xo , denotada 
por f+'( xo ) é definida por f +'( xo ) = 
0
)()(
lim
0 xx
xfxf o
xx 


. 
Analogamente se define derivada à esquerda como sendo f −'( xo ) = 
0
)()(
lim
0 xx
xfxf o
xx 


. 
Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) existem e são iguais 
neste ponto. 
 
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. 
 
 A equação da reta normal é 
0, ) x- x ( 
m
1-
 )y -y ( o
t
o  tm
 
 Se mt = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = xo . 
 Se 
0
)()(
lim
0 xx
xfxf o
xx 


 for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação 
y = yo 
Derivadas de funções elementares: 
1. 
0)(')(  xfcxf
 , c
IR
 
 
2. 
cxfcxxf  )(')(
 
3. 
1)(')0(,)(  nn xnxfnxxf
 
4. 
e
x
xfxxf aa log
1
)('log)( 
 
*
x
xfxxf
1
)('ln)( 
 
5. 
aaxfaaxf xx ln)(')10()( 
 
*
xxx eeexfexf  ln)(')(
 
6. 
senxxfxxf  )('cos)(
 
7. 
xxfsenxxf cos)(')( 
 
 
8. 
xxftgxxf 2sec)(')( 
 
 
Regras de derivação: 
 
1. 
)(')(')()( xcfxhxcfxh 
 
2.
)(')(')(')()()( xgxfxhxgxfxh 
 
3. 
)(')()().(')(')().()( xgxfxgxfxhxgxfxh 
 
4.
)(
)(').()()('
)('
)(
)(
)(
2 xg
xgxfxgxf
xf
xg
xf
xh


 
 
 
Derivadas Sucessivas ou de ordem superior 
Seja 
f 
a derivada de uma função f num intervalo aberto I. Se 
f 
 e derivável em I podemos considerar 
f 
 a 
derivada de 
f 
em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I . De modo análogo podemos 
definir as derivadas terceira, quarta, etc., de f em I. Estas derivadas serão indicadas por uma das notações: 
 df dy
f y
dx dx
   
 - derivada de primeira (ou derivada de primeira ordem). 
 2 2
(2)
2 2
d f d y
f f y
dx dx
    
 - derivada segunda (ou derivada de segunda ordem). 
 3 3
(3)
3 3
d f d y
f f y
dx dx
    
 - derivada terceira (ou derivada de terceira ordem). 
 
)()( n
n
n
n
n
n y
dx
yd
dx
fd
f 
 - derivada de ordem n (ou n - ésima derivada) . 
 
Derivada na forma implícita 
Percebemos que até agora as funções eram expressas na forma y = f (x) e assim calculávamos a derivada y’. 
Agora estudaremos uma maneira de derivar expressões que não tenham a variável y isolada (explicitada) em 
um dos membros. São exemplos dessas expressões x2 + y2 = 1, xy2 + log(y) = 4 , etc. Em algumas situações é 
inconveniente ou até mesmo impossível de explicitar a variável y nessas expressões. 
O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma expressão desta forma, sem a 
necessidade de explicitá-la. 
Uma função na forma y = f (x), onde a variável y aparece isolada no primeiro membro é chamada de função 
explícita. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas por equações nas quais a variável y não está 
isolada chamada de função implícita. 
Por exemplo 2y + x2 y + 1 = x não está na forma explícita y = f (x) está na forma implícita. Mesmo assim, esta 
equação ainda define y como uma função de x, pois podemos escrevê-la na forma explícita como 
2
22
2
1
1-x)xy(2 x 1 y x2y 
x
x
y



, eassim poderíamos calcular y’. 
 
] 
 
 
Definção: Função implícita é a função definida por uma equação da forma F( x, y) = 0. 
 
A derivada 
dx
dy
 é obtida do seguinte modo: 
1. Derivamos F( x, y ) em relação a x, tomando y como função de x; 
2. Igualamos 
dx
d
 F( x, y ) = 0 
3. Isolamos 
dx
dy
 na igualdade anterior. 
 
Exemplo: 2y + x2 y + 1 = x 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Aplicando a definição, calcule a derivada da função f(x) = x
2
 + x no ponto de abscissa: 
 
a) x = 3 b) x = –2 
 
2. Dada a função f(x) = x
2
 – 5x + 6. Calcule: 
a) f ’(1) b) f ’(– 4) 
 
3. Ache a derivada f’(x) das seguintes funções: 
a) 
473)( 2  xxxf
 
b) 
234 2510)( xxxxf 
 
c) 
42 4310)( tttf 
 
d) 
12)( 23  ssssf
 
e) 
127)( 23  xxxxf
 
f) 
4
1
2
1
3
2
2
1
)( 234  xxxxf
 
g) 
xxxf  2)(
 
h) 
xxxf cos32)( 
 
i) 
xxxxf  cossen)(
 
j) f(x) = 3x . sen x 
k) f(x) = sen x . cos x 
 
4. Calcule a derivada das funções: 
a) f(x) = cos 6x 
b) f(x) = sen (3x + 1) 
c) f(x) = sen 3x – cos 2x 
d) f(x) = sen 2x + sen 4x