APOSTILA FUNÇÃO 1 CALCULO

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1 
 A B 
 
 
C U R S O D E E N G E N H A R I A 
APOSTILA TEÓRICA I 
Disciplina: Cálculo I Professor(a): Andréa Lacerda 
Aluno(a): Data: Turma: 
"O pessimista queixa-se do vento. O otimista espera que ele mude. O realista ajusta as velas". 
Willian George Ward (1812-1992) - Teólogo inglês 
 
Função 
O estudo de funções é um dos mais importantes da matemática, onde se preocupa em estabelecer uma 
relação entre duas grandezas variáveis, sendo aplicado também a diversas ciências. 
Par ordenado. 
 Dado dois elementos x e y de um conjunto e estabelecido entre eles uma determinada disposição (ou 
ordem), isto é, x sendo o primeiro e y o segundo elemento, formamos o par ordenado (x,y). 
 A igualdade entre dois pares ordenados será atendida se os primeiros termos estiverem iguais entre si e 
os segundos termos também iguais entre si: (a,b) = (c,d) <-> (a = c e b = d). 
 Todo par ordenado de números reais é representado no plano cartesiano por um ponto, tal plano é 
caracterizado por dois eixos perpendiculares entre si; o eixo das abscissas (eixo x) e o eixo das ordenadas 
(eixo y), tendo a origem do sistema como o ponto O (0,0). 
 Dados dois conjuntos, podemos formar pares ordenados através de uma relação entre eles, o conjunto 
formado por estes pares ordenados é denominado produto cartesiano definido por: A x B = { (x,y) / x  A 
e Y  B}. Quando A ou B são vazios, temos que o produto cartesiano A x B será vazio. 
Definição. 
Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por 
f : A → B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um único elemento de B. 
 
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x  A esteja associado 
um único y  B , podendo entretanto existir y  B que não esteja associado a nenhum elemento 
pertencente ao conjunto A. 
 Notação: f: A  B 
 x  y = f(x) 
 
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja, y está associado a x 
através da função f. 
 
Observe alguns diagramas que representam ou não uma função: 
 
Ex. 01: Esse diagrama não representa uma função, pois o elemento do conjunto A está associado a dois 
elementos de B. 
 
 
 
 
 1 
 
 2 
 
 
 1 
 2 
 A B 
 A B 
 A B 
 
 
Ex. 02: É uma relação, mas não é uma função, pois existe elemento no conjunto A que não está relacionado 
com elemento no conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 03: É uma função, pois todos os elementos de A estão relacionados com um único elemento em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 04: É uma função, pois todos os elementos de A estão relacionados com um único elemento em B, 
independente do conjunto B ter todos seus elementos associados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio, Contra-Domínio e Imagem de uma Função 
 
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula 
ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio . 
 
 
Nos exemplos anteriores,falamos de elementos do conjunto A, elementos do conjunto B e elementos do 
conjunto B que estão associados aos elementos do conjunto A. 
- O conjunto A é o domínio da função. 
- O conjunto B é o contradomínio da função. 
- O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x. 
- O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é denominado 
conjunto imagem ou apenas imagem da função. 
Quando D(f)  IR e CD(f)  IR , sendo IR o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma 
função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como 
sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de 
domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por 
 
 
 -1 
 0 
 1 
 2 
 
 
 
 -1 
 -2 
 0 
 
 
 
 
 0 
 1 
 2 
 
 
 
 -2 
 -3 
 5 
 
 
 
 -2 
 -3 
 5 
 8 
 
 
 
 0 
 1 
 2 
 
 3 
 A B 
exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = IR* , ou seja o conjunto dos 
reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também 
IR*, já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero . 
Dada uma função f : A → B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y)  f onde 
x  A e y  B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f . 
 
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que: 
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função . 
 
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função . 
c ) toda reta vertical “r” que passa por um ponto do domínio da função , interceptará o gráfico da função em 
no máximo um ponto . 
Veja a figura abaixo: 
 
Exemplo: 
 
Dados os conjuntos A={ 2,3,4 } e B={ 4,5,6,7,8 } e a função f : A  B, definida por f(x) = x + 2. 
 
O domínio da função é D(f) = { 2,3,4 } = A e o contra-domínio é CD(f) = { 4,5,6,7,8 } = B; 
 
A lei é f(x) = x + 2. Entretanto, na apresentação não vem especificado quais são os pares da função. Isto 
pode ser conseguido com facilidade mediante o cálculo do valor numérico de f(x), para x assumindo os 
valores de A. 
Assim: 
 No diagrama: 
 
Se f(x) = x + 2, então 
 f(2) = 2 + 2 = 4 ( 4 é imagem de 2) 
 f(3) = 3 + 2 = 5 ( 5 é imagem de 3) 
 f(4) = 4 + 2 = 6 ( 6 é imagem de 4) 
 
 
O conjunto imagem da função é Im(f) = { 4 , 5, 6 } 
 
Exercícios: 
 
01. Sendo A = { -1,0,1,2} e B = IR , identifique o conjunto imagem das seguintes funções: 
a) F(x) = {(x,y)  A X B; y = x²} b) G(x) = {(x,y)  A X B; y = x + 1} 
 
c) H(x)={(x,y)  A X B; y = 2x + 1} 
02. Considere a função: 
 f : A  B, definida por f(x) =
x
, sendo A = {1, 4, 9, 16} e B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
 
 
 2 
 3 
 4 
 
 
 
 
 4 
 5 7 
 6 
 8 
 
 4 
 
 4 
 
 
 1 
 
 
 1/2 
 a 
 
 a 
 
 a 
 
 
 x 
y 
 a 
 
a) Faça um diagrama da função; 
b) Determine a imagem do número 1, isto é, f(1);e determine f(4), f(9) e f(16); 
c) Determine o domínio e a imagem da função. 
 
Aplicações 
 
1. Escreva as funções, descrevendo os seguintes fatos: 
2. a)Receita de um comerciante que vende a quantidade variável q de mercadorias ao preço unitário de 
R$ 0,50. Resp: R(q) = 0,50q 
 
b) Juros (simples) “J”, ganhos por um investidor que emprega R$ 50.000,00 à taxa de 8% ao mês, durante 
um tempo determinado de n meses. Resp: J = 0,08.50000.n 
 
c) Salário mensal y de um operário que ganha R$ 330,00 fixos mais R$ 150,00 por hora extra, sabendo 
que o número x de horas extras varia todo mês. Resp: y = 330 + 150 x . 
 
Domínio de umaFunção Real 
 
Vamos determinar os domínios de algumas funções. 
 
a) y = x² + 3x 
 Para qualquer valor real de x que for atribuído, obteremos também um valor real para y. Logo, o domínio 
da função são todos os números reais. E representamos por: D(f )= IR. 
 
b) f(x) = 
x
1
 
 A função acima só tem sentido se x  0,já que não existe divisão por zero. Logo o domínio da função é 
D(f ) = R* (todos os reais exceto o zero) 
 
c) f(x) = 
23 x
 
 Neste caso, a função só tem valores reais para 3x – 2 > 0, isto é x ≥ 
3
2
, pois não existe raiz de números 
negativos. Logo o domínio da função é D(f ) = [ 
3
2
, + [ = {x  R, x ≥ 
3
2
} 
 
Gráficos de uma Função 
 
Para construirmos um gráfico de uma função devemos estar atentos ao seu domínio, em seguida podemos 
atribuir valores a x ou a y para marcamos os pontos no plano cartesiano. 
Exemplos: 
01. faça o gráfico da função f : A B, definida por f(x) = 
x
2
1
, onde A = {x  N; 0  x  4} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 4 
 5 
 x 
 
 
 
 
 2 
 
 
 1 
 
 1/2 
 a 
 
 x 
 
y 
y 
 a 
 
 a 
 
y 
 x 
 a 
 
 a 
 
 y 
02. Faça o gráfico da função f : A B, definida por f(x) = 
x
2
1
, onde A = {x  R; 0  x  4} 
 
 
 
 
Apesar da lei ser a mesma, f(x) = 
x
2
1
, as funções tem diferentes gráficos, pois o domínio é diferente em 
cada situação. 
Análise de Gráficos 
 
Agora aprenderemos a analisar alguns gráficos. 
Todos os pares de números (x,y) de uma função têm a propriedade de x  A e y  B. Assim, os valores do 
domínio (D(f )) serão marcados ou identificados no eixo das abscissas (eixo x) e os valores das imagens 
serão marcados ou identificados no eixo das ordenadas (eixo y). 
 
 
 
 
Pela representação gráfica, determinamos o D(f ) 
projetando os pontos do gráfico no eixo das 
abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do mesmo modo, determinamos Im(f ) projetando 
os pontos do gráfico no eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
Funções Usuais 
 
I – Função Constante 
 f : IR  IR 
 x  f(x) = k, onde k é constante. 
 2 
 Exemplo: f : IR  IR 
 x  f(x) = 2 
D(f )= R e Im(f ) = 2 
 1 2 4 
 Domínio 
 Im
a
g
e
m
 
 6 
 y 
 y 
 x 
 x 
 y 
 x 
II – Função do Afim (ou do 1º grau) 
 
 f : IR  IR 
 x  f(x) = ax + b; a e b  IR, a  0 
 
 Exemplos: 
 
 a) f : IR  IR 
 x  f(x) = x + 1 
 
D(f )= IR 
Im(f ) = IR 
 
 b) f : IR  IR 
 x  f(x) = -x + 1 
 
D(f ) = IR 
Im(f ) = IR 
 
III – Função linear (caso particular para b=0) 
 
 f : IR  IR 
 x  f(x) = ax, a ≠ 0 
 D(f )= IR 
 Im(f ) = IR 
 
 
Obs: Um caso particular da função linear (para a = 1) é a função identidade dada por f(x) = x. 
 
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ≠0 f é dita função afim . 
 
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a . 
 
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear . 
 
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 
 
6) se a > 0 , então f é crescente . 
 
7) se a < 0 , então f é decrescente . 
 
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 
 
Os exemplos a) e b) são exemplos de função do 1º grau, a diferença está no crescimento da função, isto é, 
a função do exemplo a) cresce e a do exemplo b) decresce, esta diferença é dada pelo valor de “a” na 
 7 
expressão da função do 1º grau f(x) = ax+ b, que é chamado de coeficiente angular. Quando a > 0, a função 
é crescente e quando a < 0 a função é decrescente. 
O “b” é chamado de coeficiente linear, isto é, ele determina onde o gráfico da função corta o eixo OY. 
 
 
FUNÇÃO: PAR, ÍMPAR; CRESCENTE, DECRESCENTE E CONSTANTE 
Seja y = f(x) uma função real de variável real. Dizemos que f é uma 
 
FUNÇÃO PAR: 
( )x D f 
 , tem-se que 
)()( xfxf 
 
FUNÇÃO ÍMPAR: 
( )x D f 
 , tem-se que 
)()( xfxf 
 
FUNÇÃO CRESCENTE: 
1 2 1 2 1 2, ( ), ( ) ( )x x D f x x f x f x    
 
FUNÇÃO DECRESCENTE: 
1 2 1 2 1 2, ( ), ( ) ( )x x D f x x f x f x    
 
FUNÇÃO CONSTANTE: 
1 2, ( )x x D f 
 , tem-se que 
)()( 21 xfxf 
 
 
Exercício 2: Identifique como par ou ímpar cada função f(x) dada a seguir e dê o domínio de 
 cada uma delas. 
2
) ( )
1
x
a f x
x


 
) ( )b f x x
 
3 3) ( ) ( 1) ( 1)c f x x x   
 2
3
) ( )
1
x
d f x
x


 
) ( ) 0e f x 
 
 
Exercício 3: Identifique como crescente, decrescente ou constante a função 
a) 
3
)(
x
xf 
 b) 
3
)(
x
xf 
 
c) 
3)( xxf 
 d) 
5)( xf
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA: 
Dadas as funções f(x) e g(x), a função composta de f com g é uma função indicada por f o g , definida por 
(f o g)(x)= f(g(x)), e cujo domínio é o conjunto 
 
(( )) ( ) / ( ) ( )D f g x D g g x D f  
. 
Observe que o D(f) = Im(g). 
Visualização gráfica 
 
f g
 
g
 
f
 
A 
B 
C 
 8 
Exemplo: Se f(x) = x2 e g(x) = x
3, então (f o g) (x)= f (g(x)) = f (x 3) = (x 3) 2 = x6 . 
A composição de funções é um processo que permite obter uma função a partir de duas ou mais 
funções conhecidas. Pode-se, inclusive, compor uma função com ela mesma seguidas vezes. 
 
Exercício 4: Obtenha f o g e g o f e descreva seus respectivos domínios quando: 
 
a) 
12)(  xxf
 e 
xxg )(
 b) 
1)( 2  xxf
 e 
xxg )(
 
 
Respostas: a) 
12))((  xxgf 
 , D
Rgf )( 
 b) 
xxgf ))(( 
 , D
Rgf )( 
 
 
))(( xfg  12 x
 , D
Rfg )( 
 
1))((  xxfg 
,D
  ,0)( fg 
 
 
 
Exercício 5: Dadas as funções f1(x) = x + 8 , f2(x) = x
2 e f3(x) = xe , obtenha a função 
))(()( 321 xfffxf 
. Resposta: f(x) = 
2xe
 + 8 
 
 
Exercício 6: Determine o domínio das funções 
x
xf
1
)( 
 e 
1)(  xxg
. 
 
Translação horizontal 
 
Sejam 
  Rbaf ,:
e 
g
 funções reais tais que 
)(,);()( fDxRxfxg  .Então o gráfico de g 
pode ser obtido a partir do gráfico de 
f
 por translação de 

 unidades,para a direita se 
0
 e para a 
esquerda se 
0
.O 
   bagD ,)(
 e a 
)()( fIgI 
. 
 
 
Exercício 7: Seja 
2)( xxf 
. Construir o gráfico de f e os gráficos de 
)2()(1  xfxg
 e 
)2()(2  xfxg
. 
 
 
Translação vertical 
 
Seja f(x) uma função real e seja g(x) = f(x) + 

 , 
IR
. 
Como o 
)()( fDgD 
 e cada ponto (x , f(x)) do gráfico de f irá corresponder a um ponto (x , f(x) + 

) do gráfico de g(x), então o gráfico de g(x) pode ser obtido a partir do gráfico de f por translaçãovertical 
de 

 unidades para cima ou para baixo conforme 

 seja positivo ou negativo.Observe que os pontos 
dos gráficos de f e g têm as mesmas abscissas. 
 
Exercício 8: Construir os gráficos de 
1( ) ( ) 1g x f x 
 e 
2( ) ( ) 1g x f x 
 a partir do gráfico de 
2( )f x x
. 
 
Exercício 9: Construir o gráfico 
( ) ( 1) 1g x f x  
 a partir do gráfico de 
2( )f x x
 
 
Exercício 10: Discutir e esboçar o gráfico das curvas: a) y = x3 b) y = 1/x