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apostila limites

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C U R S O : 
APOSTILA DE CÁLCULO I 
Curso: Professora Andréa Lacerda 
LIMITES 2013 Aluno: 
 
 
Um pouco sobre a história do Cálculo e limites 
 
As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa 
ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. 
Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. 
A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu 
com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. 
O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às 
integrais, ou Cálculo Integral. 
As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às 
mais antigas civilizações. 
As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos do tipo: 
 Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? 
 Como calcular o volume de um silo de forma cônica? 
Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo? 
Levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, 
cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração. 
 Uma preocupação já presente entre os gregos antigos por exemplo, consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas 
de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos 
dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras 
conhecidas. 
 Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou 
indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva 
(método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a sequencia de figuras apresentada a 
seguir. 
 
 
 
 
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases 
coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da seqüência em questão. 
 
O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes 
dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo 
Infinitesimal. 
Noção intuitiva de limite 
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda 
(valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: 
x y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
 
... 
 
 Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x  1), y tende para 3 (y 3), ou 
seja: 
312lim
1


x
x
 
 Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. 
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 
(f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. 
 De forma geral, escrevemos: 
bxf
ax


)(lim
 ( quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x)  b)). 
 
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: 
 Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que 
procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. 
Escrevemos: 
 
 Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 
 
De acordo com o exemplo apresentado anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função f, quando x tende para a, depende 
somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é irrelevante. 
 
Limites Laterais 
 Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: 
bf(x)lim
 ax


 ( Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a) 
 Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: 
 
cf(x)lim
 ax


 (Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.) 
 
Existência do limite 
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, além existirem os limites laterais à direita a esquerda eles forem iguais, ou seja: 
 Se 
 Se 
OBS: Utilizamos os limites laterais para calcular limites onde a função é definida por várias sentenças ou em pontos de descontinuidade 
para verificar a existência do limite 
Definição informal de limite. 
 
Seja f uma função definida num intervalo contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x 
se aproxima de a é intervalo , e escrevemos 
 lim
x a
 f x L


, se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são 
iguais à L, isto é, 
   lim lim
x a x a
 f x f x L
  
 
. Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em símbolo 

 
 lim
x a
 f x

. 
Propriedades dos Limites 
1ª) Exemplo: 
2ª) Exemplo: 
3ª) Exemplo: 
4ª) Exemplo: 
5ª) 
 Exemplo: 
6ª) Exemplo: 
7ª) Exemplo: 
8ª) Exemplo: 
 
Exemplos de cálculos de limites usando as propriedades 
a) 
2 2
3
lim ( 5 2) ( 3) 5( 3) 2 22
x
x x

       
 
b) 3 3
2 22
6 6(2)
lim 6
4 3 4 3(2)a
a
a
 
 
 
 
 
c) 2 1 21 1 3
2 2 2
1
3 1 3 1 1 1
lim log log log 3
4 4 2
z
z
z
  

        
         
       
 
 
 
Exemplo de cálculos de limites usando as os limites laterais: 
Considere a função dada pela seguinte lei de formação 
2
2 se 2
( )
3 se 2
x x
f x
x x x
 
 
 
. 
 
a) o limite de f(x) quando 
2x 
 
 
Para x= 2 devemos calcular: 
 
0222
22

 
xf(x) limlim
 x x
 
246)2(2.33 22
22

 
xxf(x) limlim
 x x
 
Como 
f(x)f(x) limlim
 x x 

 22
 dizemos que não existe o 
2
lim ( )
x
f x

. 
 
b) Calcule o limite de f(x) quando 
1x  
 e 
7x 
. 
 
Exemplo de cálculos de limites usando a interpretação gráfica 
 
1) O gráfico a seguir representa uma função 
f
 de 
]9 ,6[
 em 

. Determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
3)2( f
 
 
b) 


)(lim
2
xf
x
2 
 
c) 


)(lim
2
xf
x
5 
 
d) Não existe o limite para x = 2, pois: 
)(lim
2
xf
x 
 

 
)(lim
2
xf
x 
 
 
e) 
0)2( f
 
 
f)
0)7( f
 
Observeque -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. 
2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atin ja 
uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: 
 
a) 
V
p 100
lim
= 0,8 
 
 
b) 
V
p 100
lim
= 0,4 
 
 
c) Não existe o limite para x = 100, pois: 
 
V
p 100
lim

V
p 100
lim
 
 
Exercícios: 
 
1– De acordo com fontes industriais, o faturamento de vendas por telefone ao longo dos anos desde sua criação pode ser aproximado 
pela função 3 20,03 0,25 0,12 se 0 3
( )
0,57 0,63 se 3 11
t t t t
R t
t t
    
 
  
 
Onde R(t) mede o faturamento em milhões de reais e t é medido em anos, com t=0 correspondendo ao início de 1984. 
 
 
a) Calcule o faturamento nos anos de 1986, 1990 e 1994; 
 
b) Utilizando a função R(t), determine os limites: 
3
lim ( )
t
R t

, 
3
lim ( )
t
R t

, 
0
lim ( )
t
R t

 e 
11
lim ( )
t
R t

. 
 
 
2 – A função que fornece o custo de um certo bem é definida por 
2
3
5 1 0 10
( ) 40 3 10 30
7 200 100 30
p se p
C p p se p
p p se p
  

    

  
 
 
 
 
onde p é o peso total em quilogramas do bem vendido e C(p) é medido em reais. 
 
 
a) Quanto custa um objeto que tem 21 kg ? e um objeto de exatamente 10 kg ? 
 
b) Calcule os limites: 
10
lim ( )
p
C p

, 
10
lim ( )
p
C p

, 
30
lim ( )
p
C p

, 
lim ( )
p
C p

. 
Limites infinitos e no infinito 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico da função 
x
xf
1
)( 
 indicado pela figura acima, notamos que quando 
x
 cresce ilimitadamente através de valores 
positivos ( )( lê-se x tende para infinito), os valores da função 
)(xf
 aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, 
simbolicamente podemos escrever ou 
0
1
lim 
 xx
. 
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando 
x
 
decresce ilimitadamente através de valores negativos ( )( lê-se x tende para menos infinitos), os valores da função 
)(xf
 
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: 
0)(lim 

xf
x
ou 
0
1
lim 
 xx
. 
Vamos estudar o limite 
xx
1
lim
0
. Para tanto devemos analisar os limites laterais. Usaremos às tabelas de aproximações: 
Aproximação do zero pela direita (notação x  0 ) 
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000 
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), 
x
xf
1
)( 
 cresce indefinidamente. 
Simbolizamos esta situação assim: 

 xx
1
lim
0
 
Aproximação do zero pela esquerda (notação x  0 ) 
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 
f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000 
Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), 
x
xf
1
)( 
 decresce indefinidamente. Simbolizamos esta 
situação assim 

 xx
1
lim
0
 
Conclusão: Como os limites laterais existem mais são distintos, então 
xx
1
lim
0

. 
Propriedades dos Limites no Infinito 
Limite de uma função Polinomial: 
 Seja a função polinomial . Então: 
 Demonstração: 
 
x
0)(lim 

xf
x
x
Exemplo: Calcule o limite da função polinomial 
13764)( 23  xxxxP
, quando x tende ao infinito. 
Podemos reescrever a função polinomial como:







32
3
4
13
4
7
4
6
14)(
xxx
xxP
 
Assim, 







 32
3
4
13
4
7
4
6
1lim)4(lim)(lim
xxx
xxP
xxx
 
De fato percebemos que : 

























 3232 4
13
lim
4
7
lim
4
6
lim1lim
4
13
4
7
4
6
1lim
xxxxxx xxxxx
 
 
Logo, 
1
4
13
4
7
4
6
1lim
32







 xxxx
 
Podemos concluir que 
)4(lim)(lim 3xxP
xx


 
Assim, temos dois casos possíveis :


)4(lim)(lim 3xxP
xx
 e 


)4(lim)(lim 3xxP
xx
 
Limite de uma função racional 
 
Dada a função racional 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf 
, onde 
P
 e 
Q
 são funções polinomiais em 
x
 com: 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


 e 
01
2
2
1
1 ...)( bxbxbxbxbxQ
m
m
m
m 


 
 
Sendo 
0na
 e 
.0mb
 Tem-se então que: 
 
mn
x
m
n
m
m
n
n
xm
m
x
n
n
x
x
x
xx
x
b
a
xb
xa
xb
xa
xQ
xP
xQ
xP
xf 






 limlim
lim
lim
)(lim
)(lim
)(
)(
lim)(lim
 
 
 
Resumindo: 
Considere os polinômios 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


 e 
01
2
2
1
1 ...)( bxbxbxbxbxQ
m
m
m
m 


 . 
Então 
 
(i) 
][lim]...lim[)](lim[ 01
2
2
1
1
n
n
x
n
n
n
n
xx
xaaxaxaxaxaxP





 
 
(ii) 
























 m
m
n
n
xm
m
m
m
n
n
n
n
xx xb
xa
bxbxbxbxb
axaxaxaxa
xQ
xP
lim
...
...
lim
)(
)(
lim
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
 
 
Dependendo do valor de 
n
 e 
m
 (grau de P(x) e Q(x) respectivamente ), três casos podem ser considerados: 
 
1
o
) 


)(lim xfmn
x
 
2
o
) 
0)(lim 

xfmn
x
 
3
o
) 
m
n
x b
a
xfmn 

)(lim
 
 
Exemplos: 
a)) 3 2 3
2
- - -
4 2 9 4
lim lim 2 lim 2( )
2 8 2x x x
x x x
x
x x     
 
      

 
 
b) 3 3 3
5 3 5 5 2
2 1 2 2 2 1 2
lim lim lim lim 0 0
3 2 3 3 3 3q q q x
q q q q
q q q q q x   
      
       
 
 
 
c) 2 2
2 2
5 3 1 5 5
4 2 4 4
lim lim
t t
t t t
t t 
 
 

 
 
 
d) Calcule 
1
lim
2  x
x
x
 
Para calcularmos este limite, escrevemos 
2xx 
 (
,0x
 pois 
)x
 e então dividimos o numerador e o denominador, sob o 
sinal do radical, por 
.2x
 
 
1
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
222
2
2
2
2
2
2







 
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
e) Calcule 
xxx
x


43lim 2
 
Multiplicando, numerador e denominador, por xxx  432 , temos: 
 
     
  xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxxx 








 43
43
lim
43
43
lim
43
43
43lim43lim
22
22
2
2
22
 
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 
 
 
2
3
11
3
1
43
1
4
3
lim
43
43
lim43lim
2222
2
2 









xx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
 
 
Limites trigonométricos 
 
 
 
 
 Demonstração: Para , temos senx < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: 
 
 Invertendo, temos: 
 Mas: 
 
 g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, 
 
Limites exponenciais 
 
 Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 
2,7182818. 
 Veja a tabela com valores de x e de . 
x 1 2 3 10 100 1 000 10 000 100 000 
 
2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182 
 Notamos que à medida que . 
 
 De forma análoga, efetuando a substituição , temos: 
 Ainda de forma mais geral, temos : ou 
 As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. 
 
 Se ,então . Mas logo, 
 
 Como x 0 , então u 0. Portanto: 
 Generalizando a propriedade acima, temos . 
BIBLIOGRAFIA E REFERENCIAS 
1. Anton, H. Cálculo – Um novo horizonte, vol 1, 6ª edição. Editora Bookman, 2002. 
2. Fleming, D. M. Cálculo A. 5a edição. São Paulo. Makron Books, 1992. 
3. Leithold, L. Cálculo com geometria analítica. Harbra, 1994. 
4. Stewart, J. Cálculo, vol. 1. Ed. Pioneira. 4a edição. 
5. Munem, M. Cálculo, vol. 1. Rio de Janeiro. Guanabara Dois Editora, 1978. 
6. Thomas, G. B. Cálculo vol I. Pearson Education, 2005. 
7. Edwards Jr., C. H. Penney, David E. Cálculo com geometria analítica, Prentice-Hall, 1994. 
8. Hoffman, L. D. Cálculo – um curso moderno e suas aplicações, LTC. 
9. Guidorizzi, H. L. Um curso de cálculo, vol 1. Rio de Janeiro. LTC Editora, 1994. 
10. Piskounov. Cálculo Diferencial e Integral, vol 1. Editora Lopes da Silva. 
11. Ayres, F.J. Cálculo diferencial e integral I. 2a edição. 
12. Boulos, P. Introdução ao Cálculo, vol 1. São Paulo, Edgard Blücher. 
13. Guidorizzi, H. L. Um curso de cálculo, vol 1. Rio de Janeiro. LTC Editora, 1994. 
14. Iezzi, G. Fundamentos de matemática elementar, vol 8. São Paulo. Atual Editora, 1998. 
15. Lima, E. L. Análise real, vol 1. 3ª. edição, Col Matemática Universitária. IMPA, 1997. 
16. Vilches, M. A.; Corrêa, M. L. Cálculo, vol 1. UERJ. 
17. Ifrah, G. Os números – a história de uma grande invenção, 2ª edição. Globo, 1989. 
18. Eves, H. Introdução à história da Matemática, 3ª Edição. Unicamp, 2002. 
19. Boyer, C. B. História da Matemática, 2ª Edição. Edgard Blücher, 1998. 
20. Maor, E. e: A história de um número. Editora Record, 2003. 
21. Apostila da UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
22. Apostila do Prof. Eronildo de Jesus Souza

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