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C U R S O : APOSTILA DE CÁLCULO I Curso: Professora Andréa Lacerda LIMITES 2013 Aluno: Um pouco sobre a história do Cálculo e limites As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral. As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações. As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos do tipo: Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cônica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo? Levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração. Uma preocupação já presente entre os gregos antigos por exemplo, consistia na busca de procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número cada vez maior de lados, de acordo com a sequencia de figuras apresentada a seguir. Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da seqüência em questão. O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal. Noção intuitiva de limite Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: x y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02 x y = 2x + 1 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98 ... Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: 312lim 1 x x Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos: bxf ax )(lim ( quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b)). Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. De acordo com o exemplo apresentado anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é irrelevante. Limites Laterais Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: bf(x)lim ax ( Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a) Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: cf(x)lim ax (Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.) Existência do limite O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, além existirem os limites laterais à direita a esquerda eles forem iguais, ou seja: Se Se OBS: Utilizamos os limites laterais para calcular limites onde a função é definida por várias sentenças ou em pontos de descontinuidade para verificar a existência do limite Definição informal de limite. Seja f uma função definida num intervalo contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é intervalo , e escrevemos lim x a f x L , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L, isto é, lim lim x a x a f x f x L . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em símbolo lim x a f x . Propriedades dos Limites 1ª) Exemplo: 2ª) Exemplo: 3ª) Exemplo: 4ª) Exemplo: 5ª) Exemplo: 6ª) Exemplo: 7ª) Exemplo: 8ª) Exemplo: Exemplos de cálculos de limites usando as propriedades a) 2 2 3 lim ( 5 2) ( 3) 5( 3) 2 22 x x x b) 3 3 2 22 6 6(2) lim 6 4 3 4 3(2)a a a c) 2 1 21 1 3 2 2 2 1 3 1 3 1 1 1 lim log log log 3 4 4 2 z z z Exemplo de cálculos de limites usando as os limites laterais: Considere a função dada pela seguinte lei de formação 2 2 se 2 ( ) 3 se 2 x x f x x x x . a) o limite de f(x) quando 2x Para x= 2 devemos calcular: 0222 22 xf(x) limlim x x 246)2(2.33 22 22 xxf(x) limlim x x Como f(x)f(x) limlim x x 22 dizemos que não existe o 2 lim ( ) x f x . b) Calcule o limite de f(x) quando 1x e 7x . Exemplo de cálculos de limites usando a interpretação gráfica 1) O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[ em . Determine: a) 3)2( f b) )(lim 2 xf x 2 c) )(lim 2 xf x 5 d) Não existe o limite para x = 2, pois: )(lim 2 xf x )(lim 2 xf x e) 0)2( f f) 0)7( f Observeque -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f. 2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atin ja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: a) V p 100 lim = 0,8 b) V p 100 lim = 0,4 c) Não existe o limite para x = 100, pois: V p 100 lim V p 100 lim Exercícios: 1– De acordo com fontes industriais, o faturamento de vendas por telefone ao longo dos anos desde sua criação pode ser aproximado pela função 3 20,03 0,25 0,12 se 0 3 ( ) 0,57 0,63 se 3 11 t t t t R t t t Onde R(t) mede o faturamento em milhões de reais e t é medido em anos, com t=0 correspondendo ao início de 1984. a) Calcule o faturamento nos anos de 1986, 1990 e 1994; b) Utilizando a função R(t), determine os limites: 3 lim ( ) t R t , 3 lim ( ) t R t , 0 lim ( ) t R t e 11 lim ( ) t R t . 2 – A função que fornece o custo de um certo bem é definida por 2 3 5 1 0 10 ( ) 40 3 10 30 7 200 100 30 p se p C p p se p p p se p onde p é o peso total em quilogramas do bem vendido e C(p) é medido em reais. a) Quanto custa um objeto que tem 21 kg ? e um objeto de exatamente 10 kg ? b) Calcule os limites: 10 lim ( ) p C p , 10 lim ( ) p C p , 30 lim ( ) p C p , lim ( ) p C p . Limites infinitos e no infinito Pelo gráfico da função x xf 1 )( indicado pela figura acima, notamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos ( )( lê-se x tende para infinito), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto, simbolicamente podemos escrever ou 0 1 lim xx . Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores negativos ( )( lê-se x tende para menos infinitos), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim xf x ou 0 1 lim xx . Vamos estudar o limite xx 1 lim 0 . Para tanto devemos analisar os limites laterais. Usaremos às tabelas de aproximações: Aproximação do zero pela direita (notação x 0 ) x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 1000 10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), x xf 1 )( cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim: xx 1 lim 0 Aproximação do zero pela esquerda (notação x 0 ) x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -1000 -10.000 Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), x xf 1 )( decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim xx 1 lim 0 Conclusão: Como os limites laterais existem mais são distintos, então xx 1 lim 0 . Propriedades dos Limites no Infinito Limite de uma função Polinomial: Seja a função polinomial . Então: Demonstração: x 0)(lim xf x x Exemplo: Calcule o limite da função polinomial 13764)( 23 xxxxP , quando x tende ao infinito. Podemos reescrever a função polinomial como: 32 3 4 13 4 7 4 6 14)( xxx xxP Assim, 32 3 4 13 4 7 4 6 1lim)4(lim)(lim xxx xxP xxx De fato percebemos que : 3232 4 13 lim 4 7 lim 4 6 lim1lim 4 13 4 7 4 6 1lim xxxxxx xxxxx Logo, 1 4 13 4 7 4 6 1lim 32 xxxx Podemos concluir que )4(lim)(lim 3xxP xx Assim, temos dois casos possíveis : )4(lim)(lim 3xxP xx e )4(lim)(lim 3xxP xx Limite de uma função racional Dada a função racional )( )( )( xQ xP xf , onde P e Q são funções polinomiais em x com: 01 2 2 1 1 ...)( axaxaxaxaxP n n n n e 01 2 2 1 1 ...)( bxbxbxbxbxQ m m m m Sendo 0na e .0mb Tem-se então que: mn x m n m m n n xm m x n n x x x xx x b a xb xa xb xa xQ xP xQ xP xf limlim lim lim )(lim )(lim )( )( lim)(lim Resumindo: Considere os polinômios 01 2 2 1 1 ...)( axaxaxaxaxP n n n n e 01 2 2 1 1 ...)( bxbxbxbxbxQ m m m m . Então (i) ][lim]...lim[)](lim[ 01 2 2 1 1 n n x n n n n xx xaaxaxaxaxaxP (ii) m m n n xm m m m n n n n xx xb xa bxbxbxbxb axaxaxaxa xQ xP lim ... ... lim )( )( lim 01 2 2 1 1 01 2 2 1 1 Dependendo do valor de n e m (grau de P(x) e Q(x) respectivamente ), três casos podem ser considerados: 1 o ) )(lim xfmn x 2 o ) 0)(lim xfmn x 3 o ) m n x b a xfmn )(lim Exemplos: a)) 3 2 3 2 - - - 4 2 9 4 lim lim 2 lim 2( ) 2 8 2x x x x x x x x x b) 3 3 3 5 3 5 5 2 2 1 2 2 2 1 2 lim lim lim lim 0 0 3 2 3 3 3 3q q q x q q q q q q q q q x c) 2 2 2 2 5 3 1 5 5 4 2 4 4 lim lim t t t t t t t d) Calcule 1 lim 2 x x x Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx ( ,0x pois )x e então dividimos o numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x 1 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 222 2 2 2 2 2 2 xxx x x x x x x x xxxx e) Calcule xxx x 43lim 2 Multiplicando, numerador e denominador, por xxx 432 , temos: xxx x xxx xxx xxx xxx xxxxxx xxxx 43 43 lim 43 43 lim 43 43 43lim43lim 22 22 2 2 22 Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem: 2 3 11 3 1 43 1 4 3 lim 43 43 lim43lim 2222 2 2 xx x x x xx x x x xx x xxx xxx Limites trigonométricos Demonstração: Para , temos senx < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: Invertendo, temos: Mas: g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, Limites exponenciais Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de . x 1 2 3 10 100 1 000 10 000 100 000 2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182 Notamos que à medida que . De forma análoga, efetuando a substituição , temos: Ainda de forma mais geral, temos : ou As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. Se ,então . Mas logo, Como x 0 , então u 0. Portanto: Generalizando a propriedade acima, temos . BIBLIOGRAFIA E REFERENCIAS 1. Anton, H. Cálculo – Um novo horizonte, vol 1, 6ª edição. Editora Bookman, 2002. 2. Fleming, D. M. Cálculo A. 5a edição. São Paulo. Makron Books, 1992. 3. Leithold, L. Cálculo com geometria analítica. Harbra, 1994. 4. Stewart, J. 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