Questão resolvida - Determine o volume do objeto gerado ao girarmos a funcao f(x) 4 x 2 em torno do eixo x com x variando entre zero e 2 - Volume de sólido de revolução - ESTÁCIO - Cálculo II

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• Determine o volume do objeto gerado ao girarmos a funcao em torno f x =( ) 4− x2
do eixo x com x variando entre zero e 2.
 
Resolução:
 
 A fórmula genérica de uma circuferência de raio r é;
 
x + y = r2 2 2
Fazendo e isolando , temos;r = 2 y
 
x + y = 2 y = 2 - x y = ±2 2 ( )2 → 2 ( )2 2 → 4- x2
 
Se excluirmos o valor negativo e fizermos ; temos;f x = y( )
 
f x =( ) 4- x2
 
Essa é a fórmula da metade superior de um círculo de raio 2, como queremos apenas o 
volume de 0 a 2 no eixo x, a área de devemos rotacionar em torno do eixo x é vista na 
sequência;
 
 
 
 
0
r
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução é;
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
 O limite de integração vai de 0 a 2, para encontrar o volume desejado, fazemos;
V = 𝜋 dx = 2𝜋 4- x dx = 2𝜋 4- x dx
2
0
∫ 4- x2
2 2
0
∫ 2
1
2
2
r
0
∫ 2
2
2
= 𝜋 4- x dx = 𝜋 4- x dx = 𝜋 4x - = 𝜋 4 ⋅ 2- -𝜋 4 ⋅ 0-
2
0
∫ 2 1
2
0
∫ 2 x
3
3 2
0
2
3
( )3 0
3
( )3
 
= 𝜋 8- = 𝜋 = 𝜋
8
3
24- 8
3
16
3
 
V = u. v.
16𝜋
3
 
 
(Resposta )