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apostila 1 - Conjuntos e Funções

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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Introdução 
 
O homem primitivo não conhecia número e não sabia contar. Naquela época 
ele vivia da caça, da pesca e da coleta de sementes e frutas. Mas lentamente 
esta maneira de viver foi se modificando. A população aumentava, o alimento 
ficava mais escasso e o homem sentiu a necessidade de plantar e criar 
animais. 
 
Para controlar a quantidade de cabeças de seu rebanho, o homem começou a 
fazer correspondência entre conjuntos. Para cada ovelha havia em 
correspondência uma pedra. Mas ossos, riscos em pedaços de paus, riscos 
nas paredes das cavernas e os próprios dedos das mãos eram utilizados para 
fazer a contagem. A partir desse momento o homem começou a ter a noção de 
numero, surgindo então os conjuntos numéricos. O primeiro foi o conjunto dos 
Naturais, e depois na seqüência os Inteiros, os Racionais, os Irracionais, os 
Reais e os Complexos 
. 
 
 
Conjunto dos Números Naturais 
 
A seqüência de números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....forma o conjunto dos números 
naturais que é representado por N, portanto: 
 
 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} 
 
Os números naturais recebem esse nome porque o homem primitivo usava-os 
para contar coisas da natureza. Se quisermos excluir o zero, temos um 
subconjunto de N representado por N*. 
Então: 
 N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. 
 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
 
Certas operações não são possíveis no conjunto dos números naturais, como 
por exemplo: 3 – 5. 
 
Houve necessidade então de se criar um novo conjunto numérico, que é 
representado pela letra Z, chamado de conjunto dos números inteiros. Ele é 
formado pelos números naturais com os sinais + e –, temos então: 
 
 Z = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4, ...} 
 
 
 
 
Podemos destacar alguns subconjuntos de Z. 
 
a) Conjunto dos números inteiros não nulos: 
 
 Z
* = Z – {0} = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, + 1, +2, +3, +4, ...} 
 
b) Conjunto dos números inteiros negativos: 
 
 Z
*
- = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 } 
 
c) Conjunto dos números inteiros não positivos: 
 
 Z- = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0 } 
 
d) Conjunto dos números inteiros positivos: 
 
 Z
*
+ = { + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, ...} 
 
e) Conjunto dos números inteiros não negativos: 
 
 Z+ = { 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6 } 
 
Observação.: Z+ = N 
 
 
Conjuntos dos Números Racionais 
 
Nem sempre o quociente de dois números inteiros é um número inteiro, como 
por exemplo: 
5
2
+
+
. 
 
Para resolver o problema criou-se um novo conjunto, chamado de conjunto de 
números racionais, representado pela letra Q. É formado por todos os números 
que podem ser colocados na forma de razão onde numerador e denominador 
são inteiros, com denominador diferente de zero, então: 
 
 Q = { *,/ ZbeZaonde
b
a
xx ÎÎ= } 
 
Exemplos: 
 
a) ...
6
0
2
0
1
0
0 =
-
=
-
=
+
= 
b) ...
3
15
2
10
1
5
5 =
+
+
=
-
-
=
+
+
=+ 
 
 
 
c) ...
3
9
2
6
1
3
3 =
+
-
=
-
+
=
+
-
=- 
d) ...
200
70
100
35
35,0 =
-
-
=
+
+
=+ 
e) ...
18
6
9
3
...333,0 =
+
-
=
-
+
=- 
f) ...
6
13
6
13
6
112
6
1
2
90
15
2
90
116
2...1666,2 =+=
+
+
=
+
++
=
+
+
++=
+
+
++=
+
-+
++=+ 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
 
Vamos calcular a medida da diagonal do quadrado cujo lado mede 1. 
Usando o teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
 
A medida da diagonal desse quadrado é um número que tem infinitas casas 
decimais, que não se repetem, portanto não é exato e também não é uma 
dízima periódica. Esse número não pode ser colocado na forma de razão, 
então ele não é um número racional. Neste caso dizemos que é um número 
irracional. Os números irracionais são representados pela letra Q’. 
 
Observe outros exemplos de números irracionais: 
 
· ....236067978,25 ±=± 
· ...141592654,3±=±p 
· ...57182818284,2±=±e 
· ...817120593,163 ±=± 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
1 
d 
...41421352,1
2
2
11
11
2
2
222
=
=
=
+=
+=
d
d
d
d
d
 
 
 
 
Conjunto dos Números Reais 
 
Reunindo os números racionais e os irracionais, formamos o conjunto dos 
números reais que representamos pela letra R, temos então: 
 
 R = Q U Q’ 
 
 
No conjunto dos números reais podemos destacar alguns subconjuntos: 
 
· Números reais não-nulos: R* = R – { 0 } 
· Números reais não-negativos: R+ = { xÎR / x ³ 0 } 
· Números reais positivos: R*+ = { xÎR / x > 0 } 
· Números reais não-positivos: R- = { xÎR / x £ 0 } 
· Números reais negativos: R*- = { xÎR / x < 0 } 
 
 
Observações.: 
 
 
1) N Ì Z Ì Q Ì R 
 
Em diagrama temos: 
 
 
 
 
2) Raiz de índice par de número negativo não é número real 
 
Exemplos 
 
2- ; 4- ; 4 4- ; 4 5- ; 6 8- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q Z N R 
 
 
 
Representação Gráfica dos Números Reais 
 
Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da 
reta (chamada reta real). Isto significa que a cada ponto da reta corresponde 
um único número real e, reciprocamente, a cada número real associamos um 
único ponto sobre a reta. 
 
Exemplos 
 
 
 
Ordenação dos Reais 
 
Um numero real a é maior do que um número real b )( ba > , quando a 
diferença ba- for positiva. 
 
Assim ba > então 0>-ba 
 
Geometricamente se ba > então a está a direita de .b 
 
 
 
 
 
INTERVALOS 
 
São subconjuntos de números reais compreendidos entre dois números. Esses 
dois números são os extremos do intervalo. Os extremos podem pertencer ou 
não ao intervalo. 
 
 
 
Classificação dos Intervalos 
 
a) INTERVALO FECHADO: os dois extremos pertencem ao intervalo. 
 
 
 
b) INTERVALO ABERTO: os dois extremos não pertencem ao intervalo. 
 
 
 
2 5 
{ Îx R / [5,2]}52 =<< x 
R 
2 5 
{ Îx R / ]5,2[}52 =££ x 
 -pi -1/ 2 + 2 
 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
 
 
 
c) INTERVALO MISTO: um extremo pertence e o outro não pertence ao 
intervalo. 
 
 
 
 
 
 
d) INTERVALO INFINITO: pelo menos um dos extremos tende ao infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operações com Intervalos 
 
a) Reunião de Intervalos 
 
A reunião dos intervalos A e B é um intervalo formado pelos números que 
pertencem a A ou a B. 
 
Em símbolos: A U B = { x / xÎA ou xÎB } 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dados A = ] – 2, 3 [ e B = ] 2, 5 ], obter A U B. 
 
 
A 
B 
BA U 
2- 3 
2 5 
2- 5 
] ]5,2-=BAU 
 [,] ¥+¥- = R 
2 
{ Îx R / [,2]}2 ¥+=>x 
{ Îx R / ]5,]}5 ¥-=£x 
2 5 
{ Îx R / [5,2[}52 =<£ x 
2 5 
{ Îx R / ]5,2]}52 =£< x 
5 
 
 
 
 
2) Sendo A = { xÎR / – 2 < x 
£
 1 } e B = { xÎR / 3 
£
 x 
£
 5 }, 
 obter A U B. 
 
 
 
3) Dados A = ] – 2, 3 ] e B = ] 3, 5 ], obter A U B. 
 
 
 
 
b) Interseção de intervalos 
 
A interseção dos intervalos A e B, é o intervalo formado pelos números que 
pertencem a A e a B. 
 
Em símbolos: A I B = { x / xÎA e xÎB } 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Sendo A = ] – 2, 3 [ e B = ] 2, 5 ], obter A I B. 
 
 
 
A 
BBAI 
2- 3 
2 5 
] ]3,2=BAI 
2 3 
2 
A 
B 
BA U 
2- 3 
5 
2- 5 
] ]5,2-=BAU 
A 
B 
BA U 
2- 1 
3 5 
2- 
5 
] ] [ ]5,31,2 UU -=BA 
1 3 
 
 
 
 2) Dados A = ] – 2, 3 [ e B = ] 3, 5 ], obter A I B. 
 
 
 
 
c) Diferença de Intervalos 
 
A diferença de intervalos A – B, é formada pelos números de A que não 
pertencem a B. 
 
Em símbolos: A – B = { x / xÎA e x
Ï
B }. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dados A = ] – 2, 3 ] e B = ] 2, 5 ], obter A – B. 
 
 
 
2) Dados A = { xÎ R / 0 
£
 x < 3 } e B = { xÎR / – 2 
£
 x 
£
 2 }, obter A – B. 
 
 
 
 
 
A 
B 
BA- 
0 3 
] [3,2=- BA 
2 
2 2- 
3 
A 
B 
BA- 
2- 3 
2 5 
] ]2,2-=- BA 
2 
2 
2- 
A 
B 
BAI 
2- 3 
5 
Æ=BAI 
3 
 
 
 
Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real 
 
O valor Absoluto de um número real ,x que é representado por x , é definido 
por: 
î
í
ì
<-
³
=
0,
0,
xsex
xsex
x 
 
Exemplos 
 
1) 55 = 
 
2) 3)3(3 =--=- 
 
Geometricamente x é distância de x até a origem ,O na reta real. 
 
Exemplo 
 
1) 333 =-= 
 
 
A distância entre os números a e b na reta real indicaremos por: 
 
ab- , que é a distância de a até .b 
 
ba- , que é distância de b até .a 
 
Observação: abba -=- 
 
Exercício resolvido 
 
Calcular: 
 
453 --+--= xxxW , sendo 31 << x 
 
Solução 
Se 31 << x então:
ï
î
ï
í
ì
--=-Þ<-
+=+Þ>+
--=-Þ<-
)4(404
5505
)3(303
xxx
xxx
xxx
 
 
Portanto: )]4([)5()3( ---+---= xxxW 
 66453 --=Þ--=-+--+-= xWxxxxW 
R 
O 3 3- 
..3 cu ..3 cu 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Calcule: 
 
1) 13227 --++-= xxxP para .62 << x R.: 42 -= xP 
 
2) yyyQ -----= 31474 para 22 <<- y R.: 137 -= yQ 
 
3) 432 -+--+= xxxT para 31 << x R.: 3+= xT 
 
Propriedades 
 
Sejam a e b números reais. 
 
P1) 
22 aa = 
 
P2) aa =
2 
 
P3) baba ×=× 
 
Demonstração 
 
bababababa ×=×=×=×=× 22222)( 
 
P4) 
b
a
b
a
= 
 
Demonstração 
 
b
a
b
a
b
a
b
a
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
22
 
 
P5) baba +£+ 
 
Demonstração 
 
( )
222222 22 babababababa ++=++=+=+ 
Mas bababa ×=×£× então temos 
( )
22222
22 babbaabbaa +=+××+£+××+ . 
Então baba +£+ 
 
 
 
 
P7) baba -³- 
 
P7) ax £ e 0>a axa ££-Û 
 
P8) ax ³ e 0>a axax ³Ú-£Û 
 
 
 
Equações Modulares 
 
Equações modulares são aquelas onde a incógnita aparece dentro de módulo. 
 
 
Exercício resolvido 
 
Resolver as equações: 
 
1) 14 =-x 
 
Solução 
 
ï
î
ï
í
ì
=Þ-=-
=Þ=-
Þ=-
314
514
14
xx
xx
x 
Þ
 S = { 5,3 } 
 
 
2) 2252 =+- xx 
 
Solução 
 
ï
î
ï
í
ì
==Þ=+-Þ-=+-
==Þ=-Þ=+-
Þ=+-
41045225
5005225
225
21
22
21
22
2
xouxxxxx
xouxxxxx
xx 
 
S = { 5,4,1,0 } 
 
3) 122 +=- xx 
 
Solução 
 
Devemos ter 012 ³+x , pois o módulo é sempre um número não negativo. 
Portanto 
2
1
12012 -³Þ-³Þ³+ xxx 
 
 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
Þ->=Þ=Þ--=-
Þ-<-=Þ=-Þ+=-
Þ+=-
Verificaxxxx
verificaNãoxxxx
xx
2
1
3
1
13122
2
1
33122
122 
 
S = { 
3
1
 } 
4) 232 -=- xx 
 
Solução 
 
ï
î
ï
í
ì
=Þ=Þ+-=-
=Þ-=-
Þ-=-
3
5
53232
1232
232
xxxx
xxx
xx 
Þ
 S = { 
3
5
,1 } 
 
 
5) 032
2
=-- xx 
 
Solução 
 
Fazendo yx = , sendo 0³y , temos: 
 
î
í
ì
Þ-=
Þ=
Þ=--
verificaNãoy
Verificay
yy
1
3
032
2
12 
 
Então 
ï
î
ï
í
ì
=
-=
Þ=
3
3
3
2
1
x
x
x 
Þ
 }3,3{-=S 
 
 
6) 5352 =-+- xx 
 
Solução 
 
0531025352 =--+-Þ=-+- xxxx 
 
î
í
ì
<+-
³-
=-
5,102
5,102
102
xsex
xsex
x e 
î
í
ì
<+-
³-
=-
3,3
3,3
3
xsex
xsex
x 
 
Vamos efetuar a soma acima, no quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Para Verificaxxxx ®=Þ=Þ=+-Þ<
3
8
830833 
Para VerificaNãoxxx ®=Þ=+-Þ<£ 20253 
þ
ý
ü
î
í
ì
= 6,
3
8
S 
Para Verificaxxxx ®=Þ=Þ=-Þ³ 618301835 
 
Exercícios propostos 
 
Resolver as equações: 
 
1) 1572 =-x { }11,4-=S 
 
2) 24 =+- x f=S 
 
3) 3643
2
=-x 
þ
ý
ü
î
í
ì
-=
3
10
,
3
2
S 
 
4) xx 1535 =-- 
þ
ý
ü
î
í
ì
=
10
3
S 
 
5) 10253 =-- xx { }25,1=S 
 
6) 3
42
=
-
x
x
 { }4,1 ±±=S 
 
7) 3
42
=
-
x
x
 { }4,1=S 
 
8) 4423 =--- xx 
þ
ý
ü
î
í
ì
-=
2
7
,1S 
 
 
 
 
3 5 
102 -x 
3-x 
5- 
102 +- x 102 +- x 102 -x 
3+- x 3-x 3-x 
5- 5- 5- 
Soma = 83 +- x 183 -x 2+- x 
 
 
 
Inequações Modulares 
 
Inequações modulares são aquelas onde a incógnita aparece dentro de 
módulo. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
Resolver as inequações.: 
 
1) 432 ³-x 
 
Solução 
 
 
432 -£-x 
2
1
12342 -£Þ-£Þ+-£Þ xxx 
 ou 
þ
ý
ü
î
í
ì
³-£Î=
2
7
2
1
/ xouxRxS 
432 ³-x 
2
7
72342 ³Þ³Þ+³Þ xxx 
 
 
2) 242 <-x 
 
Solução 
 
 
31622422422422 <<Þ<<Þ+<<+-Þ<-<- xxxx 
 
 
 { }31/ <<Î= xRxS 
3) 11 +<- xx 
 
Solução 
 
 
î
í
ì
<+-
³-
=-
1,1
1,1
1
xsex
xsex
x e 
î
í
ì
-<--
-³+
=+
1,1
1,1
1
xsex
xsex
x 
 
01111 <+--Þ+<- xxxx 
 
Vamos efetuar a subtração acima usando o quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
Þ>Þ>Þ<- 00202 xxx { }0/ >Î= xRxS ou *
+
= RS 
 
Observação: Para 1-<x a soma é igual a 2, portanto não é negativa e para 
01 <£- x a soma é positiva. 
 
 
Exercícios propostos: Resolver as inequações 
 
1) 23 >-x { }51/ >Ú<Î= xxRxS 
 
2) 58 £-x { }133/ ££Î= xRxS 
 
3) 1
3
4
5
3
>-x 
þ
ý
ü
î
í
ì
><Î=
9
35
9
5
/ xouxRxS 
 
4) 13 ->- xx { }2/ <Î= xRxS 
 
 
 
FUNÇÕES 
 
Par 
 
Par é todo conjunto com dois elementos. 
 
Exemplos 
 
1) { }3,1 
2) { }2,5 - 
3) { }ba, 
 
Observação: { } { }abba ,, = ® (Igualdade de conjuntos) 
 
 
 
 
1- 1 
1-x 1+- x 1+- x 1-x 
1-- x 1-- x 1+x 1+- x 
2 x2- 2- Soma = 
0 
 
 
 
Par Ordenado 
 
É um par onde existe uma ordem. 
 
Exemplos 
 
1) ( )5,2 , onde 2 é o primeiro e 5 é o segundo elementodo par ordenado. 
2) ( )2,3- , onde 3- é o primeiro e 2 é o segundo elemento do par ordenado. 
3) ( )ba, 
 
Observação: ( ) ( )abba ,, ¹ 
 
 
Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
É um sistema de eixos perpendiculares x e y , que se cruzam no ponto O , 
chamado de origem do sistema. Os dois eixos dividem o plano em quatro 
regiões chamadas quadrantes, conforme figura: 
 
 
 
 
O eixo x é o das abscissas e o eixo y é o das ordenadas. Cada par 
ordenado ),( ba determina um ponto no plano, onde a é a abscissa e b é a 
ordenada, sendo a e b as coordenadas do ponto. Para localizar o ponto, 
devemos traçar pelo ponto de abscissa a uma reta paralela ao eixo y e pelo 
ponto de ordenada b uma paralela ao eixo x . Na interseção das retas teremos 
o ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
x 
2º. Q 1º. Q 
3º. Q 4º. Q 
y 
 
 
 
Na figura abaixo, temos a localização dos pontos )1,3(A , )2,1(-B , )2,3( --C , 
)2,3( -D , )0,2(E , )2,0(F e )0,0(O . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produto Cartesiano 
 
 
Consideremos A e B dois conjuntos não vazios. O Produto Cartesiano de 
A por B , que é representado por BA´ , é formado por todos os pares 
ordenados ( )yx, onde AxÎ e .ByÎ 
 
 
 
Em símbolos: ( ){ }ByeAxyxBA ÎÎ=´ /, 
 
 
 
Observação: O símbolo BA´ , lê-se “ A cartesiano B ” ou “produto 
cartesiano de A por B ”. 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
1) Dados { }3,2,1=A e { }4,3=B então: 
 
· ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3,3,3,4,2,3,2,4,1,3,1=´BA 
· ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,2,4,1,4,3,3,2,3,1,3=´ AB 
 
x 
A 
B 
C D 
E 
F 
O 
y 
 
 
 
 Gráficos 
 
 
 
Observação: Cada par ordenado representa um ponto no plano cartesiano e 
cada ponto está associado a um par ordenado. 
 
 
2) Dado { }3,1=A então: 
 
· ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,1,3,3,1,1,12 ==´ AAA 
 
 Gráfico 
 
 
 
Observação: O símbolo 2A , lê-se “ A dois”. 
 
 
3) Dados { }41/ £<Î= xRxA e { }21/ £<Î= yRyB 
 
· ( ){ }2141/, 2 £<£<Î=´ yexRyxBA 
· ( ){ }4121/, 2 £<£<Î=´ yexRyxAB 
 
1 
2 
1 
2 3 
3 
3 4 
3 
4 
O O 
y y 
x x 
BA´ 
AB´ 
O 
y 
x 
1 
1 
2 
2 
 
 
 
 
Gráficos 
 
 
Observação: Os dois produtos cartesianos são representados por retângulos. 
 
 
Relação 
Dados os conjuntos A e B , denomina-se Relação de A em B (denotada 
por BAR ®: ) todo subconjunto R de .BA´ 
 
 
Se os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de AA´ denomina-se 
Relação em .A 
 
 
Exemplos 
 
1) Dados { }3,2,1=A e { }5,4,3=B , encontre os elementos da relação 
( ){ }yxyxR <= /, de A em B ? 
 
 
Solução 
 
A relação é formada por todos os pares ordenados de BA´ , onde o primeiro 
elemento de cada par é menor do que o segundo elemento. Portanto: 
 
{ })5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1(=R 
 
 
2) Dados os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B e a relação 
{ }1/),( +=´Î= xyBAyxR . Escrever os pares ordenados, representar a 
relação por meio de flechas e construir o gráfico cartesiano. 
 
.Re BARBemAdelaçãoéR ´ÌÛ 
O O 
y y 
x x 
BA´ AB´ 
1 
1 1 
1 2 
2 
4 
4 
 
 
 
 
Solução 
 
A relação é formada por todos os pares ordenados ),( yx BA´Î que 
satisfazem a lei de correspondência .1+= xy 
 
 
 
3) Dado { }2,1,0,1,2 --=A e a relação { }1/),( 22 +=Î= xyAyxR . Escrever 
os pares ordenados, representar a relação por meio de flechas e construir o 
gráfico cartesiano. 
 
Solução 
 
 
A B 
4
3
2
1
 
5
4
3
2
1
 
Diagrama 
( ){ })5,4(),4,3(,3,2),2,1(=R 
O x 
y 
1 3 
1 
3 
5 
Gráfico 
A 
B 
2
1
0
1
2
-
-
 
2
1
0
1
2
-
-
 
Diagrama 
x 
y 
2- 
2- 
1- O 
1 
1 2 
Gráfico 
{ })2,1(),1,0(),2,1(-=R 
 
 
 
Noção Intuitiva de Função 
 
 
O conceito de função aparece quando necessitamos relacionar duas 
grandezas. Podemos relacionar a quantidade de laranjas vendidas na feira com 
o respectivo preço, ou o consumo de combustível de um automóvel e a 
distância percorrida. 
 
Pode-se calcular a área de um quadrado em função do lado, usando a fórmula 
2lA = . Se variarmos a medida do seu lado sua área também variará. A medida 
do lado é a variável independente e a área a variável dependente. 
 
 
Noção Matemática de Função 
 
Consideremos a relação que existe entre a intensidade de corrente elétrica e 
a diferença de potencial num fio condutor. 
Ao medir a corrente elétrica i que passa pelo fio, cuja resistência é 100 Ω, 
verifica-se que a mesma depende da diferença de potencial v aplicada em suas 
extremidades, conforme vemos na tabela: 
 
 
)( voltsemv 
 
)(
1
amperesemv
R
i = 
100 1 
200 2 
300 3 
400 4 
500 5 
 
Observa-se que existe uma relação entre as grandezas variáveis, diferença de 
potencial v e intensidade de corrente elétrica i . Nesta relação, v é a variável 
independente e i é a variável dependente. Observamos que para cada valor 
da variável v existe em correspondência um único valor para a variável i . 
Neste caso dizemos que a relação dada é uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando duas grandezas variam, relacionando-se entre si, e se representarmos 
por x a variável independente e por y a variável dependente e se para cada 
valor de x corresponder um único valor para y , dizemos que y é uma função 
de x, e escrevemos y = f(x). 
 
Exemplo: 
 
Dados os conjuntos { }4,2,0=A e { }5,4,3,2,1,0=B e a relação de A em B 
definida por 1+= xy , com x Î A e y Î B . 
 
Observamos que todos os elementos de A estão associados a um único 
elemento de B . 
 
Contra-exemplos: 
 
1) Dados os conjuntos A = { – 2, – 1, 0, 1, 2 } e B = { – 3, – 1, 1, 3 } e a 
relação de A em B definida por 12 += xy , onde xÎA e yÎB. 
 
Existe um elemento de A que não tem correspondência em B, então a relação 
não é função de A em B. 
 
 
4
2
0
 
45
32
01
 
B R 
5144
3122
1100
=+=Þ=
=+=Þ=
=+=Þ=
yx
yx
yx
 
2
1
0
1
2
-
-
 
3
1
1
3
-
-
 
A B 
Byx
yx
yx
yx
yx
Ï=+=Þ=
=+=Þ=
=+=Þ=
-=+-=Þ-=
-=+-=Þ-=
6242
3121
1100
1121
3142
 
R 
A 
 
 
 
2) Sendo }16,9,4{=A e { }4,3,2,1,0,1,2 --=B e a relação de A em B 
definida por xy =2 , com x Î A e y Î B . 
 
Neste caso existe um elemento de A que possui dois correspondentes em B , 
portanto não é função. 
 
Definição de Função 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é uma 
função, se para cada x ÎA existir em correspondência um único y ÎB. 
 
Podemos indicar uma função usando a seguinte notação: 
 
)(
:
xfyx
BAf
=®
®
 
( f é uma função de A em B , que associa a todo elemento x Î A um único 
y BÎ . 
 
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem 
 
Seja a função f de { }2,1,0,1-=A em { }4,2,0,1,2 --=B definida por 
22 -= xy , conforme diagrama. 
 
-1 
 
 0 
 
 1 
 
 2 
-2 
 
-1 
 
 2 
 
0 
 
 
 
4 
A 
 
 
B
 
16
9
4
 
4
103
12
2
-
-
 
A B R 
41616
399
244
±=±=Þ=
±=±=Þ=
±=±=Þ=
yx
yx
yx
 
 
 
 
 
O domínio da função é formado pelo conjunto de partida, no caso o conjunto 
A , o conjunto de chegadaB é chamado de contradomínio e o conjunto 
formado pelos elementos de B , que são imagens dos elementos de A , 
formam o conjunto-imagem da função, portanto: 
 
{ }2,1,0,1-== AD 
 
{ }4,2,0,1,2 --== BCD 
 
{ }2,1,2Im --= 
 
OBS.: Vemos que para definir uma função, necessitamos uma lei de 
correspondência, um conjunto de partida A e um conjunto de chegada B . 
Mas é usual definir função sem indicar os dois conjuntos. Neste caso 
subentende-se que A e B são subconjuntos dos números reais. 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Nas relações abaixo, faça o diagrama e verifique se elas são funções ou 
não, justificando a resposta. 
 
a) f é uma relação de A = { 0, 1, 2, 3 } em B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } definida por 
12)( += xxf . 
 
R.: Sim é função, pois todo elemento do conjunto A tem uma imagem em B. 
 
 
b) g é uma relação de A = { – 1, 0, 1 } em B = { – 2 ,– 1, 0, 1, 2 } definida por 
2-= xy . 
 
R.: Não é função, pois existe um elemento de A que não tem imagem em B. 
 
 
2) Se nmxxxf ++= 2)( , 9)1( =-f e 3)2( =f calcule m e n . 
 
 R: 3-=m e 5=n 
 
 
 
Determinação do Domínio de uma Função 
 
Vimos que é comum definir função sem indicar domínio e contradomínio. Mas 
algumas vezes é necessário explicitar o domínio da função. Para isso, 
devemos verificar na lei )(xfy = , os valores reais de x que tornam y também 
real. 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) O domínio da função 234)( 2 +-= xxxf é D = R, pois para todo x real 
existe y real. 
2) O domínio da função 
2
1
)(
-
=
x
xf é D = R – { 2 }, pois a função será 
real para 2¹x . 
3) O domínio da função 1-= xy é D = { Îx R / 1³x }, pois y será real 
quando 101 ³Þ³- xx . 
 
 
Exercícios 
 
Nos exercícios seguintes, determine o domínio das funções dadas pelas 
seguintes leis de correspondência: 
 
1) 652 +-= xxy R.: D = R 
 
2) 3 25 -= xy D = R 
3) 
4
1
)(
2
-
=
x
xf D = R – { -- 2, 2 } 
 
4) 
13
2
)(
-
=
x
x
xf D = { Îx R / 
3
1
>x } 
 
5) 
3
65
)(
2
-
+-
=
x
xx
xf D = { Îx R / 32 >£ xoux } 
 
6) 
3
5
+
+
=
x
x
y D = [ [¥+- ,3 
 
7) 
1
4
)(
2
-
-
=
x
x
xf D = [ [1,2- ou [ [¥+,2 
 
8) 
1
4
)(
2
-
-
=
x
x
xf D = [ [¥+,2 
 
9) 
3
55
22
3 -
-
+
=
x
x
x
y D = [ [¥+,1 
 
10) 
1
1
56)(
2
2
-
++-=
x
xxxf D = { Îx R }511/ ³-¹< xouxex
 
 
 
 
Gráfico de uma Função 
 
O gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano que satisfazem 
a lei de correspondência )(xfy = da função, onde Îx D e 
Îy Im. 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Construir o gráfico da função ®Af : R, dada por 12 -= xy , sendo 
{ }3,2,1,0=A 
 
 
Os pontos P, Q, R e S formam o gráfico, pois o domínio da função é 
formado por um conjunto de quatro números naturais. 
 
2) Construir o gráfico da função 12)( += xxf . 
 
Como não é dado o domínio, subentende-se que D = R. Podemos usar 
qualquer valor real para x . Vamos construir uma tabela. 
 
Neste caso o gráfico é uma linha contínua, pois o domínio é formado por um 
conjunto infinito de números reais. 
x 
y 
5 
3 
1 
1- 
1 2 3 
x 12 -= xy ),( yx 
0 2.0 – 1 = – 1 (0, – 1) 
1 2.1 – 1 = 1 (1, 1) 
2 2.2 – 1 = 3 (2, 3) 
3 2.3 – 1 = 5 (3, 5) 
 
P 
Q 
R 
S 
x 
y 
1 
3 
1- 
1- 
 
 
 
x 
 
12 += xy 
 
( )yx, 
 
1- 
 
11)1(2 -=+-×=y 
 
)1,1( -- 
 
1 
 
3112 =+×=y 
 
)3,1( 
 
 D = R e Im = R 
12)( += xxf 
}3,2,1,0{== AD e }5,3,1,1{Im -= 
 
 
 
 
3) Seja a função 22 -= xy , construir seu gráfico. 
 
Como não é dado o domínio, subentende-se que é o conjunto dos números 
reais. Portanto podemos atribuir a x qualquer valor real. Vamos atribuir 
valores a x , próximos a zero. 
Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2- D = R e Im = ],2[ ¥+- 
Neste caso o gráfico também é uma linha contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 22 -= xy ),( yx 
2- 2242)2( 2 =-=-- )2,2(- 
1- 1212)1( 2 -=-=-- )1,1( -- 
0 2202)0( 2 -=-=- )2,0( - 
1 1212)1( 2 -=-=- )1,1( - 
2 2242)2( 2 =-=- )2,2( 
 
y 
x 
2- 2 
1 
2 
1- 
22 -= xy 
O 
 
 
 
Função Composta 
 
Dadas as funções BAg ®: e CBf ®: , é possível obter a função CAh ®: , 
que é a função composta de f e g . 
 
Representação 
 
Para indicar a função h , composta das funções f e g usamos xgf )( o ou 
))(( xgf . 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Dadas as funções 2)( 2 -= xxf e 3)( -= xxg , determine: 
 
a) 762962)3()3())(( 222 +-=-+-=--=-= xxxxxxfxgf . 
 
b) 532)2())(( 222 -=--=-= xxxgxfg 
 
 
2) Sejam as funções 53)( -= xxf e 3))(( 2 -= xxgf . Determinar ).(xg 
 
Solução 
 
Se 35)(35)(3))((53)( 2 -=-×Þ-×=Þ-= xxgxgxgfxxf 
 
3
2
)(2)(353)(3
2
22 +
=Þ+=×Þ+-=×
x
xgxxgxxg 
3) Sejam as funções 23)( -= xxg e 139))(( 2 +-= xxxgf . Determine )(xf . 
 
Solução 
 
Sendo 
3
2)(
23)(
+
=Þ-=
xg
xxxg 
x )(xg ))(( xgf 
A 
B C 
g f 
h 
 
 
 
Mas 1
3
2)(
3
3
2)(
9))((139))((
2
2
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=Þ+-=
xgxg
xgfxxxgf 
 [ ] [ ] 3)(3)(12)(4)(4)())(( 22 ++=+--++= xgxgxgxgxgxgf 
Então 33)( 2 ++= xxxf 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Sejam as funções 2)( -= xxf e 13)( -= xxg . Pede-se: 
 
a) ))(( xgf R.: 33))(( -= xxgf . 
 
b) ))(( xfg R.: 73))(( -= xxfg . 
 
c) Calcular ))2((gf R.: 3))2(( =gf . 
 
d) Calcular ))2(( fg R.: 1))2(( -=fg . 
 
2) Sendo 1)( -= xxf e xxgf 2))(( = , determine )(xg . 
 
 R.: 12)( += xxg . 
3) Se xxxgf 44))(( 2 += e 1)( -= xxf , determine )(xg . 
 
 R.: 144)( 2 ++= xxxg 
4) Sejam 72)( += xxf e 32))(( 2 +-= xxxgf . Determinar )(xg . 
 
 R.: 
2
42
)(
2
--
=
xx
xg 
5) Sejam 32)( -= xxg e 142))(( 2 +-= xxxgf . Determinar )(xf . 
 
 R.: 
2
12
)(
2
-+
=
xx
xf 
Função Sobrejetora 
 
Uma função f é sobrejetora se a )()Im( fCDf = ou se todo )( fCDyÎ é 
imagem de pelo menos um ).( fDxÎ 
 
Exemplo 
 
A função f de { }2,1,0,1-=A em { }4,1,0=B definidapor 2)( xxf = é 
sobrejetora. 
 
 
 
 
 
 
 
Função Injetora 
 
Uma função f é injetora se todo elemento )Im( fyÎ é imagem de um único 
elemento ).( fDxÎ 
 
Exemplo 
 
A função f de { }3,2,1,0=A em { }9,7,5,3,1=B definida por 12)( += xxf é 
injetora. 
 
 
 
 
Função Bijetora 
 
Uma função f é bijetora quando for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
Exemplo 
 
A função f de { }3,2,1,0=A em { }7,5,3,1=B definida por 12)( += xxf é 
bijetora. 
 
2
1
0
1-
 
4
1
0
 
A B 
Observar que para todo 
ByÎ , existe AxÎ tal 
que .2xy = Para todo 
elemento de B , conver- 
ge pelo menos uma 
flecha. 
A B 
3
2
1
0
 
9
7
5
3
1
 
Todo elemento ByÎ 
é imagem de um 
único elemento .AxÎ 
 
 
 
 
 
 
Função Inversa 
 
Dada a função bijetora BAf ®: , a função inversa de f , é a função 
ABf ®- :1 , de modo que se fba Î),( então 1),( -Î fab . 
 
Exemplo 
 
Sejam os conjuntos A = }3,2,1,0{ e B = }6,4,2,0{ e as funções :f A ® B 
definida por xy 2= e :g B ® A definida por 
2
x
y = . Construindo os diagramas 
temos: 
 
 
 
Vemos que os pares ordenados da função g estão invertidos em relação aos 
pares ordenados da função f . Dizemos então que g é a função inversa de f 
e representamos por )()( 1 xfxg -= . 
 
Na função f podemos destacar que seu contradomínio é igual ao seu 
conjunto-imagem e todo elemento do contradomínio é imagem de um único 
elemento do seu domínio. As funções que têm essas características são ditas 
bijetoras e somente essas funções possuem inversa. 
 
Determinação da Função Inversa 
 
Na função :f A ® B, Îx A e 
Îy B, já na função :1-f B ® A, Îx B e 
Îy A, logo para obtermos a função inversa devemos permutar as variáveis x 
e y , depois isolar y . 
 
 
A B 
3
2
1
0
 
7
5
3
1
 
De todo elemento de A 
parte uma única flecha 
para B e todo elemento 
ByÎ é imagem de 
um único elemento .AxÎ 
3
2
1
0
 
A 
6
4
2
0
 
f 
6
4
2
0
 
3
2
1
0
 
B 
B 
A g 
 
 
 
Exemplos 
1) 
2
222
x
yxyyxxy =Þ=Þ=Þ= 
 
2) 3333 +=Þ=-Þ-=Þ-= xyxyyxxy 
 
3) Þ=-Þ=-Þ=-Þ
-
=Þ
-
= xxyxyxyyxxy
y
y
x
x
x
y )22(2222
12
2
12
2
 
22 -
=Þ
x
x
y 
 
Observação.: Os gráficos das funções f e 1-f são simétricos em relação à 
bissetriz dos quadrantes impares. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Vamos considerar os gráficos de f e 1-f definidos respectivamente por 
xy 2= e 
2
x
y = num mesmo sistema de eixos. 
 
 
 
 
 
2) Sejam as funções f e 1-f definidas respectivamente por 2-= xy e 
2+= xy num mesmo sistema de eixos. 
 
y 
x 
1 2 
2 
1 
2
x
y = 
xy 2= xy = 
O 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Nos exercícios seguintes obter a lei da função inversa. 
 
a) 5-= xy R.: 5+= xy 
 
b) 
2
3+
=
x
y R.: 32 -= xy 
 
c) 
23
13
-
-
=
x
x
y , com 
3
2
¹x . R.: 
23
12
-
-
=
x
x
y , com 
3
2
¹x 
 
d) 3 1+= xy R.: 13 -= xy 
 
e) 
1
23
-
+
=
x
x
y , com 1¹x R.: 
3
2
-
+
=
x
x
y , com 3¹x 
 
2) Na função 
2
12
)(
+
+
=
x
x
xf , com 2-¹x , determine: 
a) )(1 xf - R.: 
2
21
-
-
=
x
x
y , com 2¹x 
b) o domínio de 1-f R.: D = { Îx R / 2¹x } 
 
c) )1(1 --f R.: 1)1(1 -=--f 
 
 
 
 
 
y 
x O 
2-= xy 
2+= xy 
2 
2 
2- 
2- 
xy = 
 
 
 
Funções Pares e Funções Ímpares 
 
Se )()( xfxf =- dizemos que f é uma função par e se )()( xfxf -=- dizemos 
que f é uma função impar. 
 
Exemplos 
 
· A função xxf =)( é uma função par pois: )()( xfxxxf ==-=- 
· A função 2)( xxf = é uma função par pois: )()()()( 22 xfxxxf ==-=- 
 
· A função )0(
1
)( ¹= x
x
xf é uma função impar pois: 
)(
11
)( xf
xx
xf -=-=
-
=- 
· A função 3)( xxf = é uma função impar pois: 
)()()( 33 xfxxxf -=-=-=- 
 
 
O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y e o gráfico da 
função impar é simétrico em relação a origem O . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
y 
x 
xy = 
O x 
y 
xy = 
x
y
1
= 
 
 
 
FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
Função Constante 
 
O trabalhador de uma indústria recebe um salário fixo de R$ 700,00 por mês. 
Vemos que o salário desse trabalhador é uma quantidade fixa, temos aqui um 
exemplo de função constante. Podemos representar matematicamente esse 
exemplo de função através da equação: 
 
f(x) = 700 
Definição 
 
Função constante é a função :f R ® R, definida por kxf =)( , sendo 
Îk R. 
 
Seu gráfico é uma reta cujos pontos têm ordenada constante igual a k . O seu 
domínio é D = R e o seu conjunto-imagem é Im = { k }. 
 
Exemplos 
 
1) 5)( =xf 
 
Para qualquer valor de Îx R, a função é constante e igual a 5 . 
 
Gráfico 
 
 
2) 3-=y 
 
Para qualquer valor de Îx R, a função é constante e igual a 3- . 
 
Gráfico 
 
 
 
5)( =xf 
1 
3 
x 
y 
O 
D = R e Im = {5 } 
3-=y 
1- 
2- 
y 
x O 
 
D = R e Im = { 3- } 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Linear 
 
Uma companhia de energia elétrica cobra uma tarifa mínima de R$ 20,00 mais 
R$ 10,00 por kw/h que exceder esse mínimo. Nesse caso temos um exemplo 
de função linear. Podemos representar a função através da equação: 
 
 
f(x)= 10x+20 
 
 
onde 20 é uma constante e x a quantidade que pode variar, sendo no caso o 
número de quilowatts/horas gastos por mês. 
 
 
Definição 
 
Função Linear é a função :f R ® R, definida por baxxf +=)( , sendo a e 
Îb R e 0¹a . 
 
 
Coeficientes 
 
 
O coeficiente a e o termo independente b são chamados respectivamente 
coeficiente angular e coeficiente linear. 
 
 
Seu gráfico é uma reta que passa pelo ponto ),0( b e forma um ângulo a com 
o sentido positivo do eixo das abscissas, sendo atg =a . Se a é positivo então 
0900 <<a e a função é crescente, se a é negativo teremos 00 18090 <<a e 
a função é decrescente. O domínio da função é D = R e seu conjunto-imagem 
é Im = R. 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) 12)( -= xxf , onde: 
î
í
ì
-=
=
1:.
2:.
blinearcoef
aangularcoef
 
 
 
Gráfico: Sendo o gráfico uma reta, é necessário atribuir dois valores reais 
quaisquer para x , para obter os respectivos pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
A reta passa pelo ponto )1,0( - e forma um ângulo a )900( 0<<a , com o 
sentido positivo do eixo das abscissas, sendo Þ>== 02atga função 
crescente. 
 
 
 
 
 
 
2) 3+-= xy , onde: 
î
í
ì
=
-=
3:.
1:.
blinearcoef
aangularcoef
 
 
Gráfico: 
 
 
 
A reta passa pelo ponto )3,0( e forma um ângulo a )18090( 00 <<a , com o 
sentido positivo do eixo da abscissas, sendo Þ<-==01atga função 
decrescente. 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
12 -= xy 
 
x 12 -= xy ),( yx 
0 11010.2 -=-=- )1,0( - 
1 11211.2 =-=- )1,1( 
 
D = R e Im = R 
 
 
1- 
1 
1 
a 
x O 1 2 
2 
1 
x 3+-= xy ),( yx 
1 231 =+- )2,1( 
2 132 =+- )1,2( 
 
D = R e Im = R 
 
3 
a 
y 
 
 
 
3) xy 2= , onde: 
î
í
ì
=
=
0:.
2:.
bllinearcoef
aangularcoef
 
 
Gráfico 
 
 
 
 
 
Zero da Função Linear 
 
Denomina-se zero ou raiz da função baxxf +=)( , o valor de x que anula a 
função, isto é, torna 0)( =xf . Então para calcular o zero da função devemos 
resolver a equação 0=+bax . 
 
Exercício resolvido 
 
1) 0022)( =Þ=Þ= xxxxf ( O zero da função é 0 ) 
 
2) 12202222 =Þ=Þ=-Þ-= xxxxy ( O zero da função é 1) 
 
3) 
3
4
4304343)( -=Þ=-Þ=--Þ--= xxxxxf 
 
 
 
 
Interpretação Geométrica do Zero 
 
Geometricamente o zero da função indica a abscissa do ponto onde o gráfico 
da reta intercepta o eixo das abscissas, pois o zero da função torna 0=y e 
todo ponto do eixo das abscissas tem ordenada nula. 
 
 
 
 
x 
y 
O 1 
2 
x xy = ),( yx 
0 0 )0,0( 
1 1 )1,1( 
 
D = R e Im = R 
 
 
 
Exercício resolvido 
 
Determinar os coeficientes angular e linear, calcular o zero e construir o gráfico 
das funções: 
 
1) 22)( -= xxf 
 
Solução 
 
 Coeficientes: 
î
í
ì
-=
=
2
2
b
a
 
 
 
Zero da Função: 
 
122022 =Þ=Þ=- xxx 
 
 
 
2) 43 --= xy 
 
 
Solução 
 
Coeficientes: 
î
í
ì
-=
-=
4
3
b
a
 
 
 
 
 
 
 
Zero da Função: 
3
4
43043 -=Þ-=Þ=-- xxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- 
1 
Zero da 
Função 
A reta intercepta o eixo 
das abscissas no ponto 
)0,1( . 
 
Gráfico 
Coeficiente 
Linear 
x 
22 -= xy y 
y 
4- 
2- 
2- 
1- 
x 
Zero da 
Função Coeficiente 
Linear 
A reta intercepta o eixo das 
abscissas no ponto )0,
3
4
(- . 
 
43 --= xy 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Determinar os coeficientes angular e linear, calcular o zero e construir o gráfico 
das funções: 
 
1) 32)( -= xxf 
 
2) 42 +-= xy 
 
3) 1
2
)( -=
x
xf 
 
4) 13)( +-= xxf 
 
5) xxf 3)( = 
 
 
 
 
Sinal da Função Linear 
 
Para estudar os sinais da função linear, devemos verificar para que valores 
reais do domínio, a função baxxf +=)( tem valores positivos, negativos ou 
nulo. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
Verifique o sinal da funções dadas abaixo: 
 
 
1) 0212)( >=Þ-= axxf 
 
Resolução 
Zero da função: 
2
1
12012 =Þ=Þ=- xxx 
A reta intercepta o eixo x , no ponto )0,
2
1
( e sendo 0>a a função é 
crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esboço do Gráfico 
 
 
 
 
 
2) 0363)( <-=Þ+-= axxf 
 
Resolução 
 
Zero da função: 263063 =Þ-=-Þ=+- xxx 
 
A reta intercepta o eixo x no ponto )0,2( e sendo 0<a a função é 
decrescente. 
 
 
Esboço do Gráfico 
 
 
 
 
3) xy -= 3 
Þ
 01<-=a 
 
Resolução 
 
Zero da função: 303 =Þ=- xx 
 
x 
+ 
_ 
2 
Se 
ï
î
ï
í
ì
<Þ>
=Þ=
>Þ<
0)(2
0)(2
0)(2
xfx
xfx
xfx
 
 
x 
+ 
_ 
2
1
 
Se 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>Þ>
=Þ=
<Þ<
0)(
2
1
0)(
2
1
0)(
2
1
xfx
xfx
xfx
 
 
 
 
 
A reta intercepta o eixo x no ponto )0,3( e sendo 0<a a função é 
decrescente. 
 
Esboço do Gráfico 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Verifique o sinal das seguintes funções: 
 
1) xxf 3)( -= R.: 
ï
î
ï
í
ì
<Þ>
=Þ=
>Þ<
0)(0
0)(0
0)(0
xfx
xfx
xfx
 
2) 13)( +-= xxf R.: 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
<Þ>
=Þ=
>Þ<
0)(
3
1
0)(
3
1
0)(
3
1
xfx
xfx
xfx
 
 
3) 42 += xy R.: 
ï
î
ï
í
ì
>Þ->
=Þ-=
<Þ-<
0)(2
0)(2
0)(2
xfx
xfx
xfx
 
 
4) 2
3
)( -=
x
xf R.: 
ï
î
ï
í
ì
>Þ>
=Þ=
<Þ<
0)(6
0)(6
0)(6
xfx
xfx
xfx
 
 
5) xy 5= R.: 
ï
î
ï
í
ì
>Þ>
=Þ=
<Þ<
0)(0
0)(0
0)(0
xfx
xfx
xfx
 
 
x 
+ 
_ 
3 
Se 
ï
î
ï
í
ì
<Þ>
=Þ=
>Þ<
0)(3
0)(3
0)(3
xfx
xfx
xfx
 
 
 
 
 
Função do 2º. Grau ou Função Quadrática 
 
Quando lançamos um corpo obliquamente para cima, sua trajetória é 
parabólica e a função que representa uma curva parabólica é do 2º.grau. 
 
Definição: 
 
Função Quadrática ou do 2º. Grau é a função :f R ® R, definida por 
cbxaxxf ++= 2)( , com a , b e c Î R e 0¹a . 
 
Exemplos 
 
1) 653)( 2 +-= xxxf , onde 3=a , 5-=b e 6=c . 
2) x
x
y
3
2
3
2
+-= , onde 
3
1
-=a , 
3
2
=b e 0=c . 
3) 23)( xxf = , onde 3=a e 0== cb . 
 
O gráfico de uma função cbxaxxf ++= 2)( é uma figura chamada parábola. 
A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. 
 
 
Se 0>a , temos concavidade 
voltada para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 0<a , temos concavidade 
voltada para baixo 
 
 
 
 
V 
V 
 
 
 
 
Vértice 
 
O ponto mais inferior, quando a parábola está voltada para cima, ou o mais 
superior quando a concavidade está voltada para baixo é chamado de vértice. 
 
Para calcular as coordenadas do vértice ),( VV yxV usamos as fórmulas: 
 
 
a
b
xV
2
-
= e 
a
yV
4
D-
= 
 
 
Onde acb 42 -=D é chamado discriminante da equação. 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
Obter as coordenadas do vértice das funções: 
 
1) 342)( 2 +-= xxxf 
 
Resolução 
 
1
4
4
22
4
2
==
×
=
-
=
a
b
xV 
1
8
8
8
)2416(
8
)32416(
4
)4(
4
2
==
--
=
××--
=
--
=
D-
=
a
acb
a
yV Þ )1,1(V 
 
2) 822 ++-= xxy 
 
Resolução 
1
2
2
)1(2
2
2
=
-
-
=
-
-
=
-
=
a
b
xV 
9
4
36
4
)324(
)1(4
]8)1(44[
4
)4(
4
2
=
-
-
=
-
+-
=
-
---
=
--
=
D-
=
a
acb
a
yV Þ )9,1(V 
 
 
Zeros da Função Quadrática 
 
Os zeros ou raízes da função cbxaxxf ++= 2)( , são os valores do domínio 
para os quais 0)( =xf . Portanto os zeros da função são as raízes da equação 
02 =++ cbxax , que podem ser calculadas através da fórmula: 
 
a
b
x
2
D±-
= sendo acb 42 -=D 
 
 
 
 
O número de zeros vai depender do sinal do discriminante 
D
. 
 
· Se 0>D , existem duas raízes reais e diferentes. 
· Se 0=D , existem duas raízes reais e iguais. 
· Se 0<D , não existem raízes reais. 
 
 
 
Interpretação Geométricados Zeros: 
 
Os zeros, sendo valores que anulam a função, tornam a ordenada nula e 
indicam os pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas. Se 
considerarmos 1x e 2x os zeros reais da função quadrática, temos os 
seguintes gráficos. 
 
 
 
 
 
 
Construção do Gráfico da Função Quadrática 
 
Podemos atribuir a x qualquer valor real, pois D = R, mas para se obter uma 
boa representação gráfica e evitar um número muito grande de pontos, pode-
se começar calculando as coordenadas do vértice e depois atribuir valores a x 
próximos de Vx . Também podemos utilizar os zeros da função. 
 
 
 
 
 
 
1x 2x 
1x 2x 
21 xx = 
21 xx = 
0>a 0>a 0>a 
0<a 0<a 0<a 
0>D 0=D 0<D 
 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
Construir o gráfico da função, determinar o domínio e o conjunto-imagem: 
1) 
ï
î
ï
í
ì
-=
-=
Þ>=
Þ--=
3
2
01
32)( 2
c
b
cimaparaeconcavidada
xxxf 
Coordenadas do Vértice: 
 
16124)3(14)2(4 22 =+=-××--=DÞ-=D acb 
4
14
16
4
1
12
2
2
-=
×
-
=Þ
D-
=
=
×
=Þ
-
=
VV
VV
y
a
y
x
a
b
x
 )4,1( -ÞV 
 
Zeros da Função: 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
=
-=
-
=
Þ
±
=
×
±
=Þ
D±-
=
3
2
42
1
2
42
2
42
12
162
2
2
1
x
x
x
a
b
x 
 
 
 
2) 442 -+-= xxy 
Þ
 
ï
î
ï
í
ì
-=
=
Þ<-=
4
4
01
c
b
baixoparaeconcavidada
 
 
Coordenadas do Vértice: 
 
01616)4)(1(444 22 =-=---=DÞ-=D acb 
 
1- 
1 2 
3 
4- 
3- 
x 
y 
O 
Gráfico 
x 322 --= xxy 
-1 0 
0 3- 
1 4- 
2 3- 
3 0 
 
D = R 
Im = [,4[ ¥+- 
 
 
 
 
0
)1(4
0
4
2
)1(2
4
2
=
-
=Þ
D-
=
=
-
-
=Þ
-
=
VV
VV
y
a
y
x
a
b
x
 )0,2(VÞ 
 
Zeros da Função: 
 
2
2
4
)1(2
04
2
21 ==Þ
-
-
=
-
±-
=
D±-
= xx
a
b
xV 
 
 
3) 12 += xy 
Þ
 
ï
î
ï
í
ì
=
=
Þ>=
1
0
01
c
b
cimaparaeconcavidada
 
 
Coordenadas do Vértice: 
 
411404 22 -=××-=DÞ-=D acb 
1
14
4
4
0
12
0
2
=
×
=Þ
D-
=
=
×
=Þ
-
=
VV
VV
y
a
y
x
a
b
x
 )1,0(VÞ 
 
Zeros da função: 
 
Se 
Þ<-=D 04 Não existem zeros reais 
 
1- 
1 2 3 
4- 
x 
y 
O 
Gráfico 
x 442 -+-= xxy 
0 4- 
1 1- 
2 0 
3 1- 
4 4- 
 
 
D = R 
Im = R*- 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Construir o gráfico da função, determinar o domínio e o conjunto-imagem: 
 
1) 23)( 2 -+-= xxxf 
 
2) 9124)( 2 +-= xxxf 
 
3) 123)( 2 ++= xxxf 
 
 
 
 
 
 
Sinal da Função Quadrática 
 
Estudar o sinal da Função Quadrática, é verificar para que valores de seu 
domínio a função cbxaxxf ++= 2)( , é positiva, nula ou negativa. 
 
Exercícios resolvidos 
 
Estudar o sinal das funções abaixo: 
 
1) 6)( 2 --= xxxf 
ï
î
ï
í
ì
-=
-=
Þ>=
Þ
6
1
.01
c
b
cimaparaeconcavidada
 
Resolução 
 
Zeros da função 
x 
y 
2- 1- 1 2 
5 
4 
3 
1 
 
x 12 += xy 
2- 5 
1- 2 
0 1 
1 2 
2 5 
 
D = R 
Im = [ ¥+,1 [ 
 
Gráfico 
 
 
 
 
25241)6.(1.4)1(4 22 =+=---=-=D acb 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=Þ=
+
=
-=Þ
-
=
-
=
Þ
±
=
±
=
D±-
=
3
2
6
2
51
2
2
4
2
51
2
51
1.2
251
2
22
11
xx
xx
a
b
x 
 
Sinal da função 
 
 
 
 
 
2) 
ï
î
ï
í
ì
-=
=
Þ<-=
Þ-+-=
3
2
.03
323)( 2
c
b
baixoparaeconcavidada
xxxf 
Resolução 
 
Zeros da função 
 
.032364)3)(3(424 22 reaiszerosexistemnãoacb Þ<-=-=---=-=D 
 
Sinal da função 
 
 
 
_ _ 
x" Î R 0)( <Þ xf 
 
x _ 
_ 
+ + 
2- 3 
Se 
ï
î
ï
í
ì
<Þ<<-
=Þ=-=
>Þ>-<
0)(32
0)(32
0)(32
xfx
xfxoux
xfxoux
 
 
x 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
Estudar o sinal da Função Quadrática. 
 
1) 23)( 2 -+-= xxxf 
 
2) 9124)( 2 +-= xxxf 
 
3) 123)( 2 ++= xxxf 
 
 
Função Polinomial 
 
É a função f : R ® R, definida por nn
nnn axaxaxaxaxf +++++=
-
--
1
2
2
1
10)( K , 
onde naaaa ,,,, 210 K são chamados coeficientes e o expoente n é 
chamado grau da função. 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
Construir o gráfico das funções, determinar o domínio e o conjunto-imagem: 
 
1) 3)1()( -= xxf 
 
 
Gráfico 
 
 
 
 
2) 1)( 4 -= xxf 
x 3)1( -= xy ),( yx 
3 8)13( 3 =-=y )8,3( 
2 1)12( 3 =-=y )1,2( 
1 0)11( 3 =-=y )0,1( 
0 1)10( 3 -=-=y )1,0( - 
1-
 
8)11( 3 -=--=y )8,1( --
 
 
 D = R e Im = R 
x 
y 
O 2 
1 
1- 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Construir o gráfico das funções, determinar domínio e conjunto-imagem: 
 
1) 13 -= xy 
 
2) 4)1()( -= xxf 
 
3) xxy 43 -= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Racional Fracionária 
 
É a função definida por 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = , onde nn
nn axaxaxaxP ++++=
-
-
1
1
10)( K e 
mm
mm bxbxbxbxQ ++++=
-
-
1
1
10)( K . 
 
Seu domínio será { }0)(/)( ¹Î= xQRxfD 
 
Exercícios resolvidos 
 
Construir o gráfico das funções, determinar domínio e conjunto-imagem: 
x 14 -= xy ),( yx 
2- 151)2( 4 =-- )15,2(- 
1- 01)1( 4 =-- )0,1(- 
0 1104 -=- )1,0( - 
1 0114 =- )0,1( 
2 15124 =- )15,2( 
 
D = R e Im = [,1[ ¥+- 
x 
y 
O 1 
1- 
1- 
 
 
 
 
1) 
x
xf
1
)( = 
 
2)
x
x
xf
1
)(
+
=
x
xf
1
1)( +=Þ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
2
2
)(
-
+
-=
x
x
xf 
 
O x 
y 
x y 
2- 2/1- 
1- 1- 
2/1- 2- 
0 $/ 
2/1 2 
1 1 
2 2/1 
 
D = R* = R – {0 } 
 
Im = R* = R – {0 } 
 
1=y 
D = R* = R – {0 } 
 
Im = R – {1} x 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Exponencial 
 
Dado um número real )10( ¹< aa , a função :f R 
Þ
 R
*
+, definida por 
xaxf =)( é denominada função exponencial. 
 
Exemplos: 
 
· xxf 2)( = 
· 
x
y
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos: 
 
Temos dois casos a considerar 
x y 
2- 0 
1- 3/1 
0 1 
1 3 
2 $/ 
3 5- 
4 3- 
6 2- 
 
D = R* = R – { 2 } 
 
Im = R – { 1- } 
 
x 
y 
O 
2=x 
1-=y 
 
 
 
 
1º. Caso: 1>a 
Þ
 função crescente 
 
Seja a função xxf 2)( = 
 
 
 
2º. Caso: 10 << a 
Þ
 função decrescente 
 
Seja a função 
x
xf
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
1
)( 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
Construir o gráfico das funções: 
x xxf 2)( = 
2- 
4
1
2 2 =- 
1- 
2
1
2 1 =- 
0 120 = 
1 221 = 
2 422 = 
y 
x 
1 2 
2 
4 
O 
D = R 
 
Im = R*+ 
x x
xf
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
1
)( 
2- 
4
2
1
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
 
1- 
2
2
1
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
 
0 
1
2
1
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ 
1 
2
1
2
1
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ2 
4
1
2
1
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ 
 
1 
y 
x 
1 2 
2 
4 
O 
D = R 
 
Im = R*+ 
 
 
 
 
1) xxf 3)( = 
 
 
 
 
 
2) 12 -= xy 
 
 
 
 
y 
x 1 2 
3 
O 
1 
3 
2 
4 
D = R 
 
Im = R*+ 
y 
x 1 2 
3 
O 
D = R 
 
Im = R*+ 
x xxf 3)( = 
2- 
9
1
3 2 =- 
1- 
3
1
3 1 =- 
0 130 = 
1 331 = 
2 932 = 
 
1 
 
1-x
 
x 12 -= xy 
2- 1- 
4
1
2 2 =- 
1- 0 
2
1
2 1 =- 
0 1 120 = 
1 2 221 = 
2 3 422 = 
 
 
 
 
3) 
12
2
1
)(
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
x
xf 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) 
x
xf
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
1
)( 
 
2) 12 += xy 
 
3) 
13
2
1
)(
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
x
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Logarítmica 
12 +x x 12
2
1
)(
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
x
xf 
2- 
2
3
- 4
2
1
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
 
1- 1- 
2
2
1
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
 
0 
2
1
- 1
2
1
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
 
1 0 
2
1
2
1
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
 
2 
2
1
 
4
1
2
1
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
 
 
y 
x 2- 1- 1 
4 
2 
1 
O 
D = R 
 
Im = R*+ 
 
 
 
 
Dado um número real )10( ¹< aa , denomina-se função logarítmica a função 
:f R+
*
 
Þ
 R, definida por xxf alog)( = . 
 
Gráficos: Devemos considerar dois casos: 
 
1º. Caso: 
Þ<< 10 a função decrescente 
 
Seja a função: xxf
2
1log)( = 
 
 
 
2º. Caso: 
Þ>1a função crescente 
 
Seja a função: xxf 2log)( = 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
y 
x 
2 
1 
1- 
2- 
1 2 3 4 
y 
x 
2 
1 
1- 
2- 
1 2 3 4 
 
x )(xf 
 
4
1
 
2 
2
1
 
1 
1 0 
2 1- 
4 2- 
 
D = R*+ 
Im = R 
 
 
x )(xf 
 
4
1
 
2- 
2
1
 
1- 
1 0 
2 1 
4 2 
 
D = R*+ 
Im = R 
 
 
 
 
Construir o gráfico das funções: 
 
1) )12(log)(
2
1 -= xxf 
Observação: 
2
1
12012 >Þ>Þ>- xxx 
 
 
 
 
2) xxf 3log)( = 
 
 
Exercícios propostos 
12 -x x )(xf 
4
1
 
8
5
 
2 
2
1
 
4
3
 
1 
1 1 0 
2 
2
3
 
1- 
4 
2
5
 
2- 
 
D =
ê
ë
é
ú
û
ù
¥+,
2
1
 
 
Im= R 
 
2
1
=x 
x 
y 
2 3 4 
2 
1 
1- 
2- 
y 
x O 1 3 
1- 
1 
3
1
 
 
x )(xf 
9
1
 
2- 
3
1
 
1- 
1 0 
3 1 
9 2 
 D = R*+ 
 Im = R 
 
 
 
 
 
 
Construir o gráfico das funções e indicar conjuntos domínio e imagem: 
 
1) xy
3
1log= 
 
2) )1(log)(
2
1 += xxf 
 
3) )12(log 3 += xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Modular 
 
Função modular é a função :f R 
Þ
 R, definida por xxf =)( , portanto: 
 
î
í
ì
<-
³
=
0,
0,
)(
xsex
xsex
xf 
 
Exercícios resolvidos 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio e o conjunto-imagem das funções: 
 
1) xxf =)( 
 
Solução 
 
 
 
 
î
í
ì
<-
³
==
0,
0,
)(
xsex
xsex
xxf 
 
Vamos atribuir a x , valores igual e próximos a zero. 
 
 
 
2) 32)( +-= xxf 
 
 
Solução 
 
 
î
í
ì
<Þ<-+-
³Þ³--
=-
202,2
202,2
2
xxsex
xxsex
x 
 
 
î
í
ì
<+-=++-
³+=+-
=+-
2532
2132
32
xsexx
xsexx
x 
Vamos atribuir a x , valores igual e próximos de 2 . 
 
 
x 
y 
xxf =)( 
2- 1- 1 2 
2 
1 
 
x )(xf 
0 5 
1 4 
2 3 
3 4 
4 5 
 D = R 
Im = [ ¥+,3 [ 
x 
y 
1 
3 
5 
4 2 O 
x )(xf 
2- 2 
1- 1 
0 0 
1 1 
2 2 
D = R 
Im = R+ 
32)( +-= xxf 
 
 
 
3) 34)( 2 +-= xxxf 
 
Solução 
 
ï
î
ï
í
ì
<<Þ<+--+-
³£Þ³+-+-
=+-
31034,34
31034,34
34
22
22
2
xxxsexx
xouxxxsexx
xx 
 
Vamos atribuir a x , valores igual e próximos de 1 e de 3 . 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
Construir o gráfico, indicar domínio e conjunto-imagem das funções: 
 
1) 1)( += xxf 
 
2) 21)( -+-= xxf 
 
3) 222 +-= xy 
 
4) xxy -+= 1 
 
 
 
x 
y 
O 1 2 3 4 5 
1 
3 
8 
x )(xf 
1- 8 
0 3 
1 0 
2 1 
3 0 
4 3 
5 8 
D = R 
Im = R+ 
34)( 2 +-= xxxf 
 
1- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Ciclo Trigonométrico 
 
 
A cada ponto do Ciclo Trigonométrico associamos infinitos arcos, todos com 
origem no ponto A , cuja expressão geral em graus é k×+ 0360a e cuja 
expressão em radianos é 
pa k2+ , sendo k um número inteiro qualquer e a a 
menor medida positiva ou nula do arco. Exemplificando, para o ponto B no 
gráfico acima, a é igual a 090 ou rad
2
p
. Do mesmo modo para o ponto A¢ , 
a é igual 0180 ou radp , para o ponto B¢ , a é igual a 0270 ou rad
2
3p
. Para 
o ponto A , a é igual a 00 ou rad0 , 
 
 
Funções Circulares Diretas 
 
Seno de um arco 
 
O seno de um arco, no ciclo trigonométrico, é igual a ordenada da extremidade 
do arco. 
 
A 1=r 
+ 
_ 
u O A¢ 
B 
B¢ 
O Ciclo Trigonométrico é uma 
circunferência com raio unitário, 
associada a um sistema de eixos 
cartesianos, onde se considera um 
ponto A como origem de todos os 
arcos e o sentido anti-horário como 
sentido positivo de deslocamento. 
v 
 
 
 
 
Sinal do Seno 
 
 
Valores Notáveis 
 
Arco 0 030
6
=
p
 045
4
=
p
 060
3
=
p
 090
2
=
p
 
0180=p 0270
2
3
=
p
 
03602 =p 
 
seno 
 
0 
 
 
2
1
 
 
 
 
2
2
 
 
 
2
3
 
 
 1 
 
 0 
 
 1- 
 
 0 
 
 
 
 
Função Seno 
 
Função seno é a função :f R ® R definida por senxxf =)( . 
 
Gráfico 
 
A u O A¢ 
B 
B¢ 
M 
v 
 + + 
_ _ 
Sendo o seno uma ordenada 
o seu sinal é positivo acima 
do eixo das abscissas e 
negativo abaixo do mesmo 
eixo. 
 
A u O A¢ 
B 
B¢ 
M 
P 
v 
 
OPAMsen = 
 
 
 
O gráfico da função denomina-se senóide. 
 
 
Observar que sendo o domínio da função o conjunto R, o gráfico da função é 
ilimitado, isto é, continua para a esquerda de 0 e para a direita de p2 . Na 
figura está representado um período da função. 
Exercícios Resolvidos 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período das 
funções: 
 
1) xsenxf 2)( = 
 
2) xsenxf +=1)( 
 
 
x 
y 
O 23p
 
2
p
 
xseny 2= 
p p2 
2 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
1 
1- 
xseny = 
p p2 
D = R 
 
Im = ]1,1[- 
 
p2=p 
 
x 
 
xsen 
 
xseny 2= 
 
0 
 
0 
 
0 
2
p
 
 
1 
 
2 
 
p 
 
0 
 
0 
2
3p
 
 
1- 
 
2- 
 
p2 
 
0 
 
0 
 
2- 
D = R Im = ]2,2[- p2=p 
 
 
 
 
 
 
 
3) )()( p+= xsenxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) xsenxf 2)( = 
 
x 
y 
O 
2
p
 
2
p
- 
1 
1- 
)()( p+= xsenxf 
p- p 
D = R Im = ]1,1[- p2=p 
p+x 
x 
 
)( p+xsen 
 
0 
 
p- 
 
0 
2
p
 
2
p
- 
 
1 
 
p 
 
0 
 
0 
2
3p
 
2
p
 
 
1- 
 
p2 
 
p 
 
0 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
1 
2 
senxxf +=1)( 
p 
p2 
D = R Im = ]2,0[ p2=p 
x 
xsen 
 
xsen+1 
 
0 
 
0 
 
1 
2
p
 
 
1 
 
2 
 
p 
 
0 
 
1 
2
3p
 
 
1- 
 
0 
 
p2 
 
0 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cosseno de um arco 
 
O cosseno de um arco, no ciclo trigonométrico, é igual a abscissa da 
extremidade do arco. 
 
 
 
 
 
 
Sinal do cosseno 
 
x2 
 x 
 
xseny 2= 
 
 0 
 
 0 
 
 0 
 
2
p
 
4
p
 
 
 1 
 
 p 
 
2
p
 
 
 0 
 
2
3p
 
4
3p
 
 
 1- 
 
 
 
p2 
 
 p 
 
 0 
y 
x 
1 
1- 
p 4
3p
 
2
p
 
4
p
 
xseny 2= 
D = R Im = [ ]1,1- 
p=p 
A u O A¢ 
B 
B¢ 
M 
Q 
v 
 
OQAM =cos 
 
 
 
 
 
Valores Notáveis 
 
Arco 0 030
6
=
p
 045
4
=
p
 060
3
=
p
 090
2
=
p
 
0180=p 0270
2
3
=
p
 
03602 =p 
 
cos 
 
1 
 
 
2
3
 
 
 
 
2
2
 
 
 
2
1
 
 
 0 
 
 1- 
 
 0 
 
 1 
 
 
Função Cosseno 
 
Função cosseno é a função :f R ® R definida por xxf cos)( = . 
 
Gráfico 
 
O gráfico da função denomina-se cossenóide. 
 
 
Observar que sendo o domínio da função o conjunto R, o gráfico da função é 
ilimitado, isto é, continua para a esquerda de 0 e para a direita de p2 . Na 
figura está representado um período da função. 
 
A u O A¢ 
B 
B¢ 
M 
v 
 + 
_ 
_ 
 
+ 
 
Sendo o cosseno uma 
abscissa o seu sinal é 
positivo à direita do eixo das 
ordenadas e negativo à 
esquerda do mesmo eixo. 
 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
1 
1- 
xy cos= 
p 
p2 
D = R 
 
Im = ]1,1[- 
 
p2=p 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período das 
funções: 
 
1) xxf cos2)( = 
 
 
 
 
2) xxf cos1)( += 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
1 
2 
xxf cos1)( += 
p 
p2 
D = R Im = ]2,0[ p2=p 
x 
xcos 
 
xcos1+ 
 
0 
 
1 
 
2 
2
p
 
 
0 
 
1 
 
p 
 
-1 
 
0 
2
3p
 
 
0 
 
1 
 
p2 
 
1 
 
2 
 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
xy cos2= 
p 
p2 
2 
 
x 
 
xcos 
 
xy cos2= 
 
0 
 
1 
 
2 
2
p
 
 
0 
 
0 
 
p 
 
1- 
 
2- 
2
3p
 
 
0 
 
0 
 
p2 
 
1 
 
2 
2- 
D = R Im = ]2,2[- p2=p 
 
 
 
3) )cos()( p+= xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) xxf 2cos)( = 
 
 
 
 
Tangente de um arco 
x2 
 x 
 
xy 2cos= 
 
 0 
 
 0 
 
 1 
 
2
p
 
4
p
 
 
 0 
 
 p 
 
2
p
 
 
 1- 
 
2
3p
 
4
3p
 
 
 0 
 
 
 
p2 
 
 p 
 
 1 
y 
x 
1 
1- 
p 
4
3p
 
2
p
 
4
p
 
xy 2cos= 
D = R Im = [ ]1,1- 
p=p 
O 
x 
y 
O 
2
p
 
2
p
- 
1 
1- 
)cos()( p+= xxf 
p- 
p 
D = R Im = ]1,1[- p2=p 
p+x 
x 
 
)cos( p+x 
 
0 
 
p- 
 
1 
2
p
 
2
p
- 
 
0 
 
p 
 
0 
 
-1 
2
3p
 
2
p
 
 
0 
 
p2 
 
p 
 
1 
 
 
 
 
A tangente de um arco x pode ser definida pelo quociente entre o seno e o 
cosseno do mesmo arco x , sendo 0cos ¹x . 
 
 
Em símbolos: 
 
 
 
Função Tangente 
 
Função Tangente é a função xtgxf =)( definida para todo Îx R e 
2
p
p +¹ kx sendo 
Îk N. 
 
 
Sinal da tangente 
 
 
Valores Notáveis 
 
Arco 0 030
6
=
p
 045
4
=
p
 060
3
=
p
 090
2
=
p
 
0180=p 0270
2
3
=
p
 
03602 =p 
 
tg 
 
0 
 
 
3
3
 
 
 
 1 
 
 3 
 
 
$/
 
 
 0 
 
 
$/
 
 
 0 
 
 
 
 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 
A u O A¢ 
B 
M 
v 
 + 
_ 
+ 
 
 
_ 
 
A tangente é positiva onde 
seno e cosseno têm o 
mesmo sinal e negativa onde 
seno e cosseno têm sinais 
contrários. 
 
x
xsen
xtg
cos
= sendo 0cos ¹x 
B¢ 
 
 
 
 
xtgxf =)( . 
 
 
 
 
Cotangente de um arco 
 
A cotangente de um arco x pode ser definida pelo quociente entre o cosseno e 
o seno do mesmo arco x , sendo 0¹xsen . 
 
 
Em símbolos: 
 
 
 
 
Função Cotangente 
 
Função Cotangente é a função xgxf cot)( = definida para todo Îx R e 
pkx ¹ sendo Îk N. 
 
 
 
 
 
 
Sinal da cotangente 
xsen
x
xg
cos
cot = sendo 0¹xsen 
x 
y 
2
p
 
p 
p2 
2
3p
 
D = { Îx R / 
2
p
p +¹ kx } Im = R 
p=p 
xtgy = 
 
 
 
 
 
Valores Notáveis 
 
Arco 0 030
6
=
p
 045
4
=
p
 060
3
=
p
 090
2
=
p
 
0180=p 0270
2
3
=
p
 
03602 =p 
 
gcot 
 
$/
 
 
 3 
 
 
 1 
 
 
2
3
 
 
 0 
 
 
$/
 
 
 0 
 
 
$/
 
 
 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 
xgxf cot)( = . 
 
 
 
 
 
A u O A¢ 
B 
M 
v 
 + 
_ 
+ 
 
 
_ 
 
A cotangente é positiva onde 
seno e cosseno têm o 
mesmo sinal e negativa onde 
seno e cosseno têm sinais 
contrários. 
 
x 
y 
2
p
 
p 
p2 
2
3p
 
D = { Îx R / 
pkx ¹ } Im = R p=p 
xgy cot= 
B¢ 
 
 
 
 
Cossecante de um arco 
 
A cossecante de um arco x , pode ser definida como o inverso do seno de x , 
sendo 0¹xsen . 
 
Em símbolos: 
 
 
 
 
Função Cossecante 
 
Função Cossecante é a função xxf seccos)( = definida para todo Îx R e 
pkx ¹ sendo Îk N. 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal da Cossecante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores Notáveis 
A u O A¢ 
B 
B¢ 
M 
v 
 + + 
_ _ 
Sendo a cossecante o 
inverso do valor do seno 
possui então seu sinal. 
 
 
xsen
x
1
seccos = 0¹xsensendo 
 
 
 
 
 
Arco 0 030
6
=
p
 045
4
=
p
 060
3
=
p
 090
2
=
p
 
0180=p 0270
23
=
p
 
03602 =p 
 
seccos 
 
$/
 
 
 2 
 
 
 2 3
32
 
 
 1 
 
 
$/
 
 
 1- 
 
 
$/
 
 
 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 
xxf seccos)( = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Secante de um arco 
x 
y 
2
p
 
p 
p2 
2
3p
 
1 
1- 
xy seccos= 
D = { 
Îx R / pkx ¹ } Im = ] ] [ [¥+È-¥- ,11, p2=p 
 
 
 
 
A secante de um arco x , pode ser definida como o inverso do cosseno de x , 
sendo 0cos ¹x . 
 
Em símbolos: 
 
 
 
Função Secante 
Função Secante é a função xxf sec)( = definida para todo Îx R e 
2
p
p +¹ kx 
sendo 
Îk N. 
 
 
 
Sinal da Secante 
 
 
Valores Notáveis 
 
Arco 0 030
6
=
p
 045
4
=
p
 060
3
=
p
 090
2
=
p
 
0180=p 0270
2
3
=
p
 
03602 =p 
 
seccos 
 
1 3
32
 
 
 
 2 
 
 2 
 
 
$/
 
 
 1- 
 
 
$/
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função 
A u O A¢ 
B 
B¢ 
M 
v 
 + 
_ 
_ + 
Sendo a secante o inverso 
do valor do cosseno possui 
então seu sinal. 
 
 
x
x
cos
1
sec = 0cos ¹xsendo 
 
 
 
xy sec= 
 
 
 
 
 
Funções Circulares Inversas 
 
Função Arco Seno 
 
Nem toda função é inversível. A função :f R ® R, definida por xsenxf =)( , 
não possui inversa, mas a função [ ]1,1
2
,
2
: -®
ú
û
ù
ê
ë
é
-
pp
f definida por 
xsenxf =)( é inversível, sendo sua inversa denominada função arco-seno, 
definida por xarcsenxgxf ==- )()(1 , cujo domínio é [ ]1,1- e cujo conjunto 
imagem é 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
2
,
2
pp
, portanto [ ]
ú
û
ù
ê
ë
é
-®-
2
,
2
1,1:
pp
g . 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 
x 
y 
2
p
 
p 
p2 
2
3p
 
1 
1- 
xy sec= 
D = { Îx R / 
2
p
p +¹ kx } 
Im = ] ] [ [¥+È-¥- ,11, 
 
p2=p 
 
 
 
 
 
 
Função Arco Cosseno 
 
Para a função xxf cos)( = ser inversível considera-se [ ] [ ]1,1,0: -®pf . 
Sua inversa será a função [ ] [ ]p,01,1: ®-g definida por xxg arccos)( = . 
 
Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
Função Arco Tangente 
 
Para a função xtgxf =)( ser inversível considera-se ®
ê
ë
é
ú
û
ù
-
2
,
2
:
pp
f R e sua 
inversa será :g R 
ê
ë
é
ú
û
ù
-®
2
,
2
pp
 definida por xarctgxg =)( . 
 
Gráfico 
x 
y 
O 1- 
p 
1 
] [1,1-=D 
 
[ ]p,0Im = 
xy arccos= 
x 
y 
O 
1- 
1 
2
p
- 
2
p
 
[ ]1,1-=D 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
-=
2
,
2
Im
pp
 
xarcseny = 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
Hipérbole 
 
 
 
Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano a , cuja diferença das 
distâncias(em valor absoluto) a 1F e a 2F é constante e igual a a2 . 
 
Assim: aQFQF 212 =- e aPFPF 221 =- . (Observar que ca 220 << ) 
 
a a 
c c 
1F 2F 
X 
Y 
1A 2A 
O 
P 
Q 
Dados dois pontos 
distintos 1F e 2F , 
pertencentes a um 
plano a . Seja c2 a 
distância de 1F a 2F e 
a2 a distância de 1A a 
2A . 
x 
y 
D = R Im = 
ê
ë
é
ú
û
ù
-
2
,
2
pp
 
2
p
=y 
2
p
-=y 
O 
xarctgy = 
 
 
 
Elementos Principais da Hipérbole 
 
 
 
 
Funções Hiperbólicas 
 
As funções circulares são definidas a partir do círculo trigonométrico. As 
funções hiperbólicas são definidas tendo como referência a hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trigonometria Circular e Trigonometria Hiperbólica 
X 
Y 
 A O 
R 
N 
M 
q
 
q
q
q
q
htgRA
hsenMN
hNO
MOA
=
=
=
=
cos
ˆ
 
y 
x 
a 
1F 2F 
X 
Y 
1A 2A O 
c 
b 
222
21
21
21
:Re
2
2
2
cos
bacnotávellação
dadeexcentrici
a
c
imaginárioeixodomedidab
realeixodomedidaa
focaldistânciac
imaginárioeixoBB
realeixoAA
CentroO
FoFeF
+=
®
®
®
®
®
®
®
®
 
1B 
2B 
 
 
 
 
 
As relações existentes na trigonometria circular e na trigonometria hiperbólica 
são semelhantes, observando-se que entre elas, existe em alguns casos a 
troca de sinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Seno Hiperbólico 
 
Função seno hiperbólico é a função :f R®R definida por 
2
)(
xx ee
xhseny
-
-
==
. 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 
Trigonometria Circular Trigonometria Hiperbólica 
1)()(cos 22 =+ xsenx 1)()(cosh 22 =- xsenhx 
( )
( )x
xsen
xtg
cos
)( = 
)cosh(
)(
)(
x
xsenh
xtg = 
)(
)cos(
)(cot
xsen
x
xg = 
)(
)cosh(
)(cot
xsenh
x
xhg = 
)cos(
1)sec(
x
x = 
)cosh(
1)(sec
x
xh = 
)(
1)sec(cos
xsen
x = 
)(
1)(seccos
xsenh
xh = 
)cos()(2)2( xxsenxsen = )cosh()(2)2( xxsenhxsenh = 
)()(cos)2cos( 22 xsenxx -= )()(cosh)2cosh(
22 xsenhxx += 
)(1
)(2
)2( 2 xtg
xtg
xtg
-
= 
)(1
)(2
)2( 2 xtgh
xtgh
xtgh
+
= 
 
 
 
 
 
O gráfico da função seno hiperbólico é uma combinação de duas funções 
exponenciais: 
2
xe
y = e 
2
xe
y
-
-= . Observar que somando essas duas funções 
obtemos a função seno hiperbólico. 
 
 
 
Função Cosseno Hiperbólico 
 
Função cosseno hiperbólico é a função :f R ® [ ]¥+,1 definida por 
2
)(cos
xx ee
xhy
-
+
==
 . 
 
Gráfico 
x 
y 
2
xe
y = 
2
xe
y
-
-= 
xhseny = 
A função seno hiperbólico é 
uma função impar, pois : 
 
xhsen
eeee
ee
xhsen
xxxx
xx
-=
=
-
-=
+-
=
=
-
=-
--
---
22
2
)(
)(
 
D = R e Im = R 
 
 
 
 
O gráfico da função cosseno hiperbólico também é combinação de duas 
funções exponenciais. No caso a soma de: 
2
xe
y = e 
2
xe
y
-
= 
 
 
 
 
 
Observação: Se observarmos um fio de eletricidade entre dois postes, vemos 
que seu peso faz com que ele forme um arco, dando a impressão que o 
mesmo tem a forma de uma parábola. Na verdade tal arco tem a forma do 
gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como CATENÁRIA, palavra 
originária do Latim pois catena significa cadeia, pois foi através de uma 
corrente metálica formada por elos(cadeias) que primeiramente foi observada 
tal curva. 
 
 
 
 
 
 
Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicos 
 
x 
y 
O 
1 
D = R e Im = [ ]¥+,1 
A função cosseno hiperbólico é uma função par pois: 
 
)(
22
)(
)(
xf
eeee
xf
xxxx
=
+
=
+
=-
----
 
2
xe
y = 
2
xe
y
-
= 
xhy cos= 
 
 
 
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, podem 
ser definidas em função do seno e do cosseno hiperbólicos. Neste caso temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 
 
Função Arco Seno Hiperbólico 
 
É a função :f R ® R definida por 
( )1ln)( 21 ++== - xxxhseny . 
 
Gráfico 
 
O gráfico é simétrico da função )(xhseny = , em relação a bissetriz dos 
quadrantes impares, cuja equação é xy = , 
 
 
xx
xx
xx
xx
xx
xx
eexhsen
xh
eexh
xh
ee
ee
xhsen
xh
xhg
ee
ee
xh
xhsen
xhtg
-
-
-
-
-
-
-

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