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CONJUNTOS NUMÉRICOS Introdução O homem primitivo não conhecia número e não sabia contar. Naquela época ele vivia da caça, da pesca e da coleta de sementes e frutas. Mas lentamente esta maneira de viver foi se modificando. A população aumentava, o alimento ficava mais escasso e o homem sentiu a necessidade de plantar e criar animais. Para controlar a quantidade de cabeças de seu rebanho, o homem começou a fazer correspondência entre conjuntos. Para cada ovelha havia em correspondência uma pedra. Mas ossos, riscos em pedaços de paus, riscos nas paredes das cavernas e os próprios dedos das mãos eram utilizados para fazer a contagem. A partir desse momento o homem começou a ter a noção de numero, surgindo então os conjuntos numéricos. O primeiro foi o conjunto dos Naturais, e depois na seqüência os Inteiros, os Racionais, os Irracionais, os Reais e os Complexos . Conjunto dos Números Naturais A seqüência de números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....forma o conjunto dos números naturais que é representado por N, portanto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} Os números naturais recebem esse nome porque o homem primitivo usava-os para contar coisas da natureza. Se quisermos excluir o zero, temos um subconjunto de N representado por N*. Então: N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Conjunto dos Números Inteiros Certas operações não são possíveis no conjunto dos números naturais, como por exemplo: 3 – 5. Houve necessidade então de se criar um novo conjunto numérico, que é representado pela letra Z, chamado de conjunto dos números inteiros. Ele é formado pelos números naturais com os sinais + e –, temos então: Z = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4, ...} Podemos destacar alguns subconjuntos de Z. a) Conjunto dos números inteiros não nulos: Z * = Z – {0} = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, + 1, +2, +3, +4, ...} b) Conjunto dos números inteiros negativos: Z * - = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 } c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0 } d) Conjunto dos números inteiros positivos: Z * + = { + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, ...} e) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = { 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6 } Observação.: Z+ = N Conjuntos dos Números Racionais Nem sempre o quociente de dois números inteiros é um número inteiro, como por exemplo: 5 2 + + . Para resolver o problema criou-se um novo conjunto, chamado de conjunto de números racionais, representado pela letra Q. É formado por todos os números que podem ser colocados na forma de razão onde numerador e denominador são inteiros, com denominador diferente de zero, então: Q = { *,/ ZbeZaonde b a xx ÎÎ= } Exemplos: a) ... 6 0 2 0 1 0 0 = - = - = + = b) ... 3 15 2 10 1 5 5 = + + = - - = + + =+ c) ... 3 9 2 6 1 3 3 = + - = - + = + - =- d) ... 200 70 100 35 35,0 = - - = + + =+ e) ... 18 6 9 3 ...333,0 = + - = - + =- f) ... 6 13 6 13 6 112 6 1 2 90 15 2 90 116 2...1666,2 =+= + + = + ++ = + + ++= + + ++= + -+ ++=+ Conjunto dos Números Irracionais Vamos calcular a medida da diagonal do quadrado cujo lado mede 1. Usando o teorema de Pitágoras, temos: A medida da diagonal desse quadrado é um número que tem infinitas casas decimais, que não se repetem, portanto não é exato e também não é uma dízima periódica. Esse número não pode ser colocado na forma de razão, então ele não é um número racional. Neste caso dizemos que é um número irracional. Os números irracionais são representados pela letra Q’. Observe outros exemplos de números irracionais: · ....236067978,25 ±=± · ...141592654,3±=±p · ...57182818284,2±=±e · ...817120593,163 ±=± 1 1 d ...41421352,1 2 2 11 11 2 2 222 = = = += += d d d d d Conjunto dos Números Reais Reunindo os números racionais e os irracionais, formamos o conjunto dos números reais que representamos pela letra R, temos então: R = Q U Q’ No conjunto dos números reais podemos destacar alguns subconjuntos: · Números reais não-nulos: R* = R – { 0 } · Números reais não-negativos: R+ = { xÎR / x ³ 0 } · Números reais positivos: R*+ = { xÎR / x > 0 } · Números reais não-positivos: R- = { xÎR / x £ 0 } · Números reais negativos: R*- = { xÎR / x < 0 } Observações.: 1) N Ì Z Ì Q Ì R Em diagrama temos: 2) Raiz de índice par de número negativo não é número real Exemplos 2- ; 4- ; 4 4- ; 4 5- ; 6 8- Q Z N R Representação Gráfica dos Números Reais Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta (chamada reta real). Isto significa que a cada ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real associamos um único ponto sobre a reta. Exemplos Ordenação dos Reais Um numero real a é maior do que um número real b )( ba > , quando a diferença ba- for positiva. Assim ba > então 0>-ba Geometricamente se ba > então a está a direita de .b INTERVALOS São subconjuntos de números reais compreendidos entre dois números. Esses dois números são os extremos do intervalo. Os extremos podem pertencer ou não ao intervalo. Classificação dos Intervalos a) INTERVALO FECHADO: os dois extremos pertencem ao intervalo. b) INTERVALO ABERTO: os dois extremos não pertencem ao intervalo. 2 5 { Îx R / [5,2]}52 =<< x R 2 5 { Îx R / ]5,2[}52 =££ x -pi -1/ 2 + 2 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 c) INTERVALO MISTO: um extremo pertence e o outro não pertence ao intervalo. d) INTERVALO INFINITO: pelo menos um dos extremos tende ao infinito. Operações com Intervalos a) Reunião de Intervalos A reunião dos intervalos A e B é um intervalo formado pelos números que pertencem a A ou a B. Em símbolos: A U B = { x / xÎA ou xÎB } Exercícios resolvidos 1) Dados A = ] – 2, 3 [ e B = ] 2, 5 ], obter A U B. A B BA U 2- 3 2 5 2- 5 ] ]5,2-=BAU [,] ¥+¥- = R 2 { Îx R / [,2]}2 ¥+=>x { Îx R / ]5,]}5 ¥-=£x 2 5 { Îx R / [5,2[}52 =<£ x 2 5 { Îx R / ]5,2]}52 =£< x 5 2) Sendo A = { xÎR / – 2 < x £ 1 } e B = { xÎR / 3 £ x £ 5 }, obter A U B. 3) Dados A = ] – 2, 3 ] e B = ] 3, 5 ], obter A U B. b) Interseção de intervalos A interseção dos intervalos A e B, é o intervalo formado pelos números que pertencem a A e a B. Em símbolos: A I B = { x / xÎA e xÎB } Exercícios resolvidos: 1) Sendo A = ] – 2, 3 [ e B = ] 2, 5 ], obter A I B. A BBAI 2- 3 2 5 ] ]3,2=BAI 2 3 2 A B BA U 2- 3 5 2- 5 ] ]5,2-=BAU A B BA U 2- 1 3 5 2- 5 ] ] [ ]5,31,2 UU -=BA 1 3 2) Dados A = ] – 2, 3 [ e B = ] 3, 5 ], obter A I B. c) Diferença de Intervalos A diferença de intervalos A – B, é formada pelos números de A que não pertencem a B. Em símbolos: A – B = { x / xÎA e x Ï B }. Exercícios resolvidos 1) Dados A = ] – 2, 3 ] e B = ] 2, 5 ], obter A – B. 2) Dados A = { xÎ R / 0 £ x < 3 } e B = { xÎR / – 2 £ x £ 2 }, obter A – B. A B BA- 0 3 ] [3,2=- BA 2 2 2- 3 A B BA- 2- 3 2 5 ] ]2,2-=- BA 2 2 2- A B BAI 2- 3 5 Æ=BAI 3 Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real O valor Absoluto de um número real ,x que é representado por x , é definido por: î í ì <- ³ = 0, 0, xsex xsex x Exemplos 1) 55 = 2) 3)3(3 =--=- Geometricamente x é distância de x até a origem ,O na reta real. Exemplo 1) 333 =-= A distância entre os números a e b na reta real indicaremos por: ab- , que é a distância de a até .b ba- , que é distância de b até .a Observação: abba -=- Exercício resolvido Calcular: 453 --+--= xxxW , sendo 31 << x Solução Se 31 << x então: ï î ï í ì --=-Þ<- +=+Þ>+ --=-Þ<- )4(404 5505 )3(303 xxx xxx xxx Portanto: )]4([)5()3( ---+---= xxxW 66453 --=Þ--=-+--+-= xWxxxxW R O 3 3- ..3 cu ..3 cu Exercícios propostos Calcule: 1) 13227 --++-= xxxP para .62 << x R.: 42 -= xP 2) yyyQ -----= 31474 para 22 <<- y R.: 137 -= yQ 3) 432 -+--+= xxxT para 31 << x R.: 3+= xT Propriedades Sejam a e b números reais. P1) 22 aa = P2) aa = 2 P3) baba ×=× Demonstração bababababa ×=×=×=×=× 22222)( P4) b a b a = Demonstração b a b a b a b a == ÷ ø ö ç è æ = 2 22 P5) baba +£+ Demonstração ( ) 222222 22 babababababa ++=++=+=+ Mas bababa ×=×£× então temos ( ) 22222 22 babbaabbaa +=+××+£+××+ . Então baba +£+ P7) baba -³- P7) ax £ e 0>a axa ££-Û P8) ax ³ e 0>a axax ³Ú-£Û Equações Modulares Equações modulares são aquelas onde a incógnita aparece dentro de módulo. Exercício resolvido Resolver as equações: 1) 14 =-x Solução ï î ï í ì =Þ-=- =Þ=- Þ=- 314 514 14 xx xx x Þ S = { 5,3 } 2) 2252 =+- xx Solução ï î ï í ì ==Þ=+-Þ-=+- ==Þ=-Þ=+- Þ=+- 41045225 5005225 225 21 22 21 22 2 xouxxxxx xouxxxxx xx S = { 5,4,1,0 } 3) 122 +=- xx Solução Devemos ter 012 ³+x , pois o módulo é sempre um número não negativo. Portanto 2 1 12012 -³Þ-³Þ³+ xxx ï ï î ï ï í ì Þ->=Þ=Þ--=- Þ-<-=Þ=-Þ+=- Þ+=- Verificaxxxx verificaNãoxxxx xx 2 1 3 1 13122 2 1 33122 122 S = { 3 1 } 4) 232 -=- xx Solução ï î ï í ì =Þ=Þ+-=- =Þ-=- Þ-=- 3 5 53232 1232 232 xxxx xxx xx Þ S = { 3 5 ,1 } 5) 032 2 =-- xx Solução Fazendo yx = , sendo 0³y , temos: î í ì Þ-= Þ= Þ=-- verificaNãoy Verificay yy 1 3 032 2 12 Então ï î ï í ì = -= Þ= 3 3 3 2 1 x x x Þ }3,3{-=S 6) 5352 =-+- xx Solução 0531025352 =--+-Þ=-+- xxxx î í ì <+- ³- =- 5,102 5,102 102 xsex xsex x e î í ì <+- ³- =- 3,3 3,3 3 xsex xsex x Vamos efetuar a soma acima, no quadro abaixo: Para Verificaxxxx ®=Þ=Þ=+-Þ< 3 8 830833 Para VerificaNãoxxx ®=Þ=+-Þ<£ 20253 þ ý ü î í ì = 6, 3 8 S Para Verificaxxxx ®=Þ=Þ=-Þ³ 618301835 Exercícios propostos Resolver as equações: 1) 1572 =-x { }11,4-=S 2) 24 =+- x f=S 3) 3643 2 =-x þ ý ü î í ì -= 3 10 , 3 2 S 4) xx 1535 =-- þ ý ü î í ì = 10 3 S 5) 10253 =-- xx { }25,1=S 6) 3 42 = - x x { }4,1 ±±=S 7) 3 42 = - x x { }4,1=S 8) 4423 =--- xx þ ý ü î í ì -= 2 7 ,1S 3 5 102 -x 3-x 5- 102 +- x 102 +- x 102 -x 3+- x 3-x 3-x 5- 5- 5- Soma = 83 +- x 183 -x 2+- x Inequações Modulares Inequações modulares são aquelas onde a incógnita aparece dentro de módulo. Exercícios resolvidos Resolver as inequações.: 1) 432 ³-x Solução 432 -£-x 2 1 12342 -£Þ-£Þ+-£Þ xxx ou þ ý ü î í ì ³-£Î= 2 7 2 1 / xouxRxS 432 ³-x 2 7 72342 ³Þ³Þ+³Þ xxx 2) 242 <-x Solução 31622422422422 <<Þ<<Þ+<<+-Þ<-<- xxxx { }31/ <<Î= xRxS 3) 11 +<- xx Solução î í ì <+- ³- =- 1,1 1,1 1 xsex xsex x e î í ì -<-- -³+ =+ 1,1 1,1 1 xsex xsex x 01111 <+--Þ+<- xxxx Vamos efetuar a subtração acima usando o quadro abaixo: Þ>Þ>Þ<- 00202 xxx { }0/ >Î= xRxS ou * + = RS Observação: Para 1-<x a soma é igual a 2, portanto não é negativa e para 01 <£- x a soma é positiva. Exercícios propostos: Resolver as inequações 1) 23 >-x { }51/ >Ú<Î= xxRxS 2) 58 £-x { }133/ ££Î= xRxS 3) 1 3 4 5 3 >-x þ ý ü î í ì ><Î= 9 35 9 5 / xouxRxS 4) 13 ->- xx { }2/ <Î= xRxS FUNÇÕES Par Par é todo conjunto com dois elementos. Exemplos 1) { }3,1 2) { }2,5 - 3) { }ba, Observação: { } { }abba ,, = ® (Igualdade de conjuntos) 1- 1 1-x 1+- x 1+- x 1-x 1-- x 1-- x 1+x 1+- x 2 x2- 2- Soma = 0 Par Ordenado É um par onde existe uma ordem. Exemplos 1) ( )5,2 , onde 2 é o primeiro e 5 é o segundo elementodo par ordenado. 2) ( )2,3- , onde 3- é o primeiro e 2 é o segundo elemento do par ordenado. 3) ( )ba, Observação: ( ) ( )abba ,, ¹ Sistema Cartesiano Ortogonal É um sistema de eixos perpendiculares x e y , que se cruzam no ponto O , chamado de origem do sistema. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes, conforme figura: O eixo x é o das abscissas e o eixo y é o das ordenadas. Cada par ordenado ),( ba determina um ponto no plano, onde a é a abscissa e b é a ordenada, sendo a e b as coordenadas do ponto. Para localizar o ponto, devemos traçar pelo ponto de abscissa a uma reta paralela ao eixo y e pelo ponto de ordenada b uma paralela ao eixo x . Na interseção das retas teremos o ponto. O x 2º. Q 1º. Q 3º. Q 4º. Q y Na figura abaixo, temos a localização dos pontos )1,3(A , )2,1(-B , )2,3( --C , )2,3( -D , )0,2(E , )2,0(F e )0,0(O . Produto Cartesiano Consideremos A e B dois conjuntos não vazios. O Produto Cartesiano de A por B , que é representado por BA´ , é formado por todos os pares ordenados ( )yx, onde AxÎ e .ByÎ Em símbolos: ( ){ }ByeAxyxBA ÎÎ=´ /, Observação: O símbolo BA´ , lê-se “ A cartesiano B ” ou “produto cartesiano de A por B ”. Exemplos 1) Dados { }3,2,1=A e { }4,3=B então: · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3,3,3,4,2,3,2,4,1,3,1=´BA · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,2,4,1,4,3,3,2,3,1,3=´ AB x A B C D E F O y Gráficos Observação: Cada par ordenado representa um ponto no plano cartesiano e cada ponto está associado a um par ordenado. 2) Dado { }3,1=A então: · ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,1,3,3,1,1,12 ==´ AAA Gráfico Observação: O símbolo 2A , lê-se “ A dois”. 3) Dados { }41/ £<Î= xRxA e { }21/ £<Î= yRyB · ( ){ }2141/, 2 £<£<Î=´ yexRyxBA · ( ){ }4121/, 2 £<£<Î=´ yexRyxAB 1 2 1 2 3 3 3 4 3 4 O O y y x x BA´ AB´ O y x 1 1 2 2 Gráficos Observação: Os dois produtos cartesianos são representados por retângulos. Relação Dados os conjuntos A e B , denomina-se Relação de A em B (denotada por BAR ®: ) todo subconjunto R de .BA´ Se os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de AA´ denomina-se Relação em .A Exemplos 1) Dados { }3,2,1=A e { }5,4,3=B , encontre os elementos da relação ( ){ }yxyxR <= /, de A em B ? Solução A relação é formada por todos os pares ordenados de BA´ , onde o primeiro elemento de cada par é menor do que o segundo elemento. Portanto: { })5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1(=R 2) Dados os conjuntos { }4,3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B e a relação { }1/),( +=´Î= xyBAyxR . Escrever os pares ordenados, representar a relação por meio de flechas e construir o gráfico cartesiano. .Re BARBemAdelaçãoéR ´ÌÛ O O y y x x BA´ AB´ 1 1 1 1 2 2 4 4 Solução A relação é formada por todos os pares ordenados ),( yx BA´Î que satisfazem a lei de correspondência .1+= xy 3) Dado { }2,1,0,1,2 --=A e a relação { }1/),( 22 +=Î= xyAyxR . Escrever os pares ordenados, representar a relação por meio de flechas e construir o gráfico cartesiano. Solução A B 4 3 2 1 5 4 3 2 1 Diagrama ( ){ })5,4(),4,3(,3,2),2,1(=R O x y 1 3 1 3 5 Gráfico A B 2 1 0 1 2 - - 2 1 0 1 2 - - Diagrama x y 2- 2- 1- O 1 1 2 Gráfico { })2,1(),1,0(),2,1(-=R Noção Intuitiva de Função O conceito de função aparece quando necessitamos relacionar duas grandezas. Podemos relacionar a quantidade de laranjas vendidas na feira com o respectivo preço, ou o consumo de combustível de um automóvel e a distância percorrida. Pode-se calcular a área de um quadrado em função do lado, usando a fórmula 2lA = . Se variarmos a medida do seu lado sua área também variará. A medida do lado é a variável independente e a área a variável dependente. Noção Matemática de Função Consideremos a relação que existe entre a intensidade de corrente elétrica e a diferença de potencial num fio condutor. Ao medir a corrente elétrica i que passa pelo fio, cuja resistência é 100 Ω, verifica-se que a mesma depende da diferença de potencial v aplicada em suas extremidades, conforme vemos na tabela: )( voltsemv )( 1 amperesemv R i = 100 1 200 2 300 3 400 4 500 5 Observa-se que existe uma relação entre as grandezas variáveis, diferença de potencial v e intensidade de corrente elétrica i . Nesta relação, v é a variável independente e i é a variável dependente. Observamos que para cada valor da variável v existe em correspondência um único valor para a variável i . Neste caso dizemos que a relação dada é uma função. Quando duas grandezas variam, relacionando-se entre si, e se representarmos por x a variável independente e por y a variável dependente e se para cada valor de x corresponder um único valor para y , dizemos que y é uma função de x, e escrevemos y = f(x). Exemplo: Dados os conjuntos { }4,2,0=A e { }5,4,3,2,1,0=B e a relação de A em B definida por 1+= xy , com x Î A e y Î B . Observamos que todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B . Contra-exemplos: 1) Dados os conjuntos A = { – 2, – 1, 0, 1, 2 } e B = { – 3, – 1, 1, 3 } e a relação de A em B definida por 12 += xy , onde xÎA e yÎB. Existe um elemento de A que não tem correspondência em B, então a relação não é função de A em B. 4 2 0 45 32 01 B R 5144 3122 1100 =+=Þ= =+=Þ= =+=Þ= yx yx yx 2 1 0 1 2 - - 3 1 1 3 - - A B Byx yx yx yx yx Ï=+=Þ= =+=Þ= =+=Þ= -=+-=Þ-= -=+-=Þ-= 6242 3121 1100 1121 3142 R A 2) Sendo }16,9,4{=A e { }4,3,2,1,0,1,2 --=B e a relação de A em B definida por xy =2 , com x Î A e y Î B . Neste caso existe um elemento de A que possui dois correspondentes em B , portanto não é função. Definição de Função Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma relação f de A em B é uma função, se para cada x ÎA existir em correspondência um único y ÎB. Podemos indicar uma função usando a seguinte notação: )( : xfyx BAf =® ® ( f é uma função de A em B , que associa a todo elemento x Î A um único y BÎ . Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem Seja a função f de { }2,1,0,1-=A em { }4,2,0,1,2 --=B definida por 22 -= xy , conforme diagrama. -1 0 1 2 -2 -1 2 0 4 A B 16 9 4 4 103 12 2 - - A B R 41616 399 244 ±=±=Þ= ±=±=Þ= ±=±=Þ= yx yx yx O domínio da função é formado pelo conjunto de partida, no caso o conjunto A , o conjunto de chegadaB é chamado de contradomínio e o conjunto formado pelos elementos de B , que são imagens dos elementos de A , formam o conjunto-imagem da função, portanto: { }2,1,0,1-== AD { }4,2,0,1,2 --== BCD { }2,1,2Im --= OBS.: Vemos que para definir uma função, necessitamos uma lei de correspondência, um conjunto de partida A e um conjunto de chegada B . Mas é usual definir função sem indicar os dois conjuntos. Neste caso subentende-se que A e B são subconjuntos dos números reais. Exercícios propostos 1) Nas relações abaixo, faça o diagrama e verifique se elas são funções ou não, justificando a resposta. a) f é uma relação de A = { 0, 1, 2, 3 } em B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } definida por 12)( += xxf . R.: Sim é função, pois todo elemento do conjunto A tem uma imagem em B. b) g é uma relação de A = { – 1, 0, 1 } em B = { – 2 ,– 1, 0, 1, 2 } definida por 2-= xy . R.: Não é função, pois existe um elemento de A que não tem imagem em B. 2) Se nmxxxf ++= 2)( , 9)1( =-f e 3)2( =f calcule m e n . R: 3-=m e 5=n Determinação do Domínio de uma Função Vimos que é comum definir função sem indicar domínio e contradomínio. Mas algumas vezes é necessário explicitar o domínio da função. Para isso, devemos verificar na lei )(xfy = , os valores reais de x que tornam y também real. Exemplos 1) O domínio da função 234)( 2 +-= xxxf é D = R, pois para todo x real existe y real. 2) O domínio da função 2 1 )( - = x xf é D = R – { 2 }, pois a função será real para 2¹x . 3) O domínio da função 1-= xy é D = { Îx R / 1³x }, pois y será real quando 101 ³Þ³- xx . Exercícios Nos exercícios seguintes, determine o domínio das funções dadas pelas seguintes leis de correspondência: 1) 652 +-= xxy R.: D = R 2) 3 25 -= xy D = R 3) 4 1 )( 2 - = x xf D = R – { -- 2, 2 } 4) 13 2 )( - = x x xf D = { Îx R / 3 1 >x } 5) 3 65 )( 2 - +- = x xx xf D = { Îx R / 32 >£ xoux } 6) 3 5 + + = x x y D = [ [¥+- ,3 7) 1 4 )( 2 - - = x x xf D = [ [1,2- ou [ [¥+,2 8) 1 4 )( 2 - - = x x xf D = [ [¥+,2 9) 3 55 22 3 - - + = x x x y D = [ [¥+,1 10) 1 1 56)( 2 2 - ++-= x xxxf D = { Îx R }511/ ³-¹< xouxex Gráfico de uma Função O gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano que satisfazem a lei de correspondência )(xfy = da função, onde Îx D e Îy Im. Exercícios resolvidos 1) Construir o gráfico da função ®Af : R, dada por 12 -= xy , sendo { }3,2,1,0=A Os pontos P, Q, R e S formam o gráfico, pois o domínio da função é formado por um conjunto de quatro números naturais. 2) Construir o gráfico da função 12)( += xxf . Como não é dado o domínio, subentende-se que D = R. Podemos usar qualquer valor real para x . Vamos construir uma tabela. Neste caso o gráfico é uma linha contínua, pois o domínio é formado por um conjunto infinito de números reais. x y 5 3 1 1- 1 2 3 x 12 -= xy ),( yx 0 2.0 – 1 = – 1 (0, – 1) 1 2.1 – 1 = 1 (1, 1) 2 2.2 – 1 = 3 (2, 3) 3 2.3 – 1 = 5 (3, 5) P Q R S x y 1 3 1- 1- x 12 += xy ( )yx, 1- 11)1(2 -=+-×=y )1,1( -- 1 3112 =+×=y )3,1( D = R e Im = R 12)( += xxf }3,2,1,0{== AD e }5,3,1,1{Im -= 3) Seja a função 22 -= xy , construir seu gráfico. Como não é dado o domínio, subentende-se que é o conjunto dos números reais. Portanto podemos atribuir a x qualquer valor real. Vamos atribuir valores a x , próximos a zero. Gráfico 2- D = R e Im = ],2[ ¥+- Neste caso o gráfico também é uma linha contínua. x 22 -= xy ),( yx 2- 2242)2( 2 =-=-- )2,2(- 1- 1212)1( 2 -=-=-- )1,1( -- 0 2202)0( 2 -=-=- )2,0( - 1 1212)1( 2 -=-=- )1,1( - 2 2242)2( 2 =-=- )2,2( y x 2- 2 1 2 1- 22 -= xy O Função Composta Dadas as funções BAg ®: e CBf ®: , é possível obter a função CAh ®: , que é a função composta de f e g . Representação Para indicar a função h , composta das funções f e g usamos xgf )( o ou ))(( xgf . Exercícios resolvidos 1) Dadas as funções 2)( 2 -= xxf e 3)( -= xxg , determine: a) 762962)3()3())(( 222 +-=-+-=--=-= xxxxxxfxgf . b) 532)2())(( 222 -=--=-= xxxgxfg 2) Sejam as funções 53)( -= xxf e 3))(( 2 -= xxgf . Determinar ).(xg Solução Se 35)(35)(3))((53)( 2 -=-×Þ-×=Þ-= xxgxgxgfxxf 3 2 )(2)(353)(3 2 22 + =Þ+=×Þ+-=× x xgxxgxxg 3) Sejam as funções 23)( -= xxg e 139))(( 2 +-= xxxgf . Determine )(xf . Solução Sendo 3 2)( 23)( + =Þ-= xg xxxg x )(xg ))(( xgf A B C g f h Mas 1 3 2)( 3 3 2)( 9))((139))(( 2 2 + ÷ ø ö ç è æ + - ÷ ø ö ç è æ + =Þ+-= xgxg xgfxxxgf [ ] [ ] 3)(3)(12)(4)(4)())(( 22 ++=+--++= xgxgxgxgxgxgf Então 33)( 2 ++= xxxf Exercícios propostos 1) Sejam as funções 2)( -= xxf e 13)( -= xxg . Pede-se: a) ))(( xgf R.: 33))(( -= xxgf . b) ))(( xfg R.: 73))(( -= xxfg . c) Calcular ))2((gf R.: 3))2(( =gf . d) Calcular ))2(( fg R.: 1))2(( -=fg . 2) Sendo 1)( -= xxf e xxgf 2))(( = , determine )(xg . R.: 12)( += xxg . 3) Se xxxgf 44))(( 2 += e 1)( -= xxf , determine )(xg . R.: 144)( 2 ++= xxxg 4) Sejam 72)( += xxf e 32))(( 2 +-= xxxgf . Determinar )(xg . R.: 2 42 )( 2 -- = xx xg 5) Sejam 32)( -= xxg e 142))(( 2 +-= xxxgf . Determinar )(xf . R.: 2 12 )( 2 -+ = xx xf Função Sobrejetora Uma função f é sobrejetora se a )()Im( fCDf = ou se todo )( fCDyÎ é imagem de pelo menos um ).( fDxÎ Exemplo A função f de { }2,1,0,1-=A em { }4,1,0=B definidapor 2)( xxf = é sobrejetora. Função Injetora Uma função f é injetora se todo elemento )Im( fyÎ é imagem de um único elemento ).( fDxÎ Exemplo A função f de { }3,2,1,0=A em { }9,7,5,3,1=B definida por 12)( += xxf é injetora. Função Bijetora Uma função f é bijetora quando for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplo A função f de { }3,2,1,0=A em { }7,5,3,1=B definida por 12)( += xxf é bijetora. 2 1 0 1- 4 1 0 A B Observar que para todo ByÎ , existe AxÎ tal que .2xy = Para todo elemento de B , conver- ge pelo menos uma flecha. A B 3 2 1 0 9 7 5 3 1 Todo elemento ByÎ é imagem de um único elemento .AxÎ Função Inversa Dada a função bijetora BAf ®: , a função inversa de f , é a função ABf ®- :1 , de modo que se fba Î),( então 1),( -Î fab . Exemplo Sejam os conjuntos A = }3,2,1,0{ e B = }6,4,2,0{ e as funções :f A ® B definida por xy 2= e :g B ® A definida por 2 x y = . Construindo os diagramas temos: Vemos que os pares ordenados da função g estão invertidos em relação aos pares ordenados da função f . Dizemos então que g é a função inversa de f e representamos por )()( 1 xfxg -= . Na função f podemos destacar que seu contradomínio é igual ao seu conjunto-imagem e todo elemento do contradomínio é imagem de um único elemento do seu domínio. As funções que têm essas características são ditas bijetoras e somente essas funções possuem inversa. Determinação da Função Inversa Na função :f A ® B, Îx A e Îy B, já na função :1-f B ® A, Îx B e Îy A, logo para obtermos a função inversa devemos permutar as variáveis x e y , depois isolar y . A B 3 2 1 0 7 5 3 1 De todo elemento de A parte uma única flecha para B e todo elemento ByÎ é imagem de um único elemento .AxÎ 3 2 1 0 A 6 4 2 0 f 6 4 2 0 3 2 1 0 B B A g Exemplos 1) 2 222 x yxyyxxy =Þ=Þ=Þ= 2) 3333 +=Þ=-Þ-=Þ-= xyxyyxxy 3) Þ=-Þ=-Þ=-Þ - =Þ - = xxyxyxyyxxy y y x x x y )22(2222 12 2 12 2 22 - =Þ x x y Observação.: Os gráficos das funções f e 1-f são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes impares. Exercícios resolvidos 1) Vamos considerar os gráficos de f e 1-f definidos respectivamente por xy 2= e 2 x y = num mesmo sistema de eixos. 2) Sejam as funções f e 1-f definidas respectivamente por 2-= xy e 2+= xy num mesmo sistema de eixos. y x 1 2 2 1 2 x y = xy 2= xy = O Exercícios propostos 1) Nos exercícios seguintes obter a lei da função inversa. a) 5-= xy R.: 5+= xy b) 2 3+ = x y R.: 32 -= xy c) 23 13 - - = x x y , com 3 2 ¹x . R.: 23 12 - - = x x y , com 3 2 ¹x d) 3 1+= xy R.: 13 -= xy e) 1 23 - + = x x y , com 1¹x R.: 3 2 - + = x x y , com 3¹x 2) Na função 2 12 )( + + = x x xf , com 2-¹x , determine: a) )(1 xf - R.: 2 21 - - = x x y , com 2¹x b) o domínio de 1-f R.: D = { Îx R / 2¹x } c) )1(1 --f R.: 1)1(1 -=--f y x O 2-= xy 2+= xy 2 2 2- 2- xy = Funções Pares e Funções Ímpares Se )()( xfxf =- dizemos que f é uma função par e se )()( xfxf -=- dizemos que f é uma função impar. Exemplos · A função xxf =)( é uma função par pois: )()( xfxxxf ==-=- · A função 2)( xxf = é uma função par pois: )()()()( 22 xfxxxf ==-=- · A função )0( 1 )( ¹= x x xf é uma função impar pois: )( 11 )( xf xx xf -=-= - =- · A função 3)( xxf = é uma função impar pois: )()()( 33 xfxxxf -=-=-=- O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y e o gráfico da função impar é simétrico em relação a origem O . O y x xy = O x y xy = x y 1 = FUNÇÕES ELEMENTARES Função Constante O trabalhador de uma indústria recebe um salário fixo de R$ 700,00 por mês. Vemos que o salário desse trabalhador é uma quantidade fixa, temos aqui um exemplo de função constante. Podemos representar matematicamente esse exemplo de função através da equação: f(x) = 700 Definição Função constante é a função :f R ® R, definida por kxf =)( , sendo Îk R. Seu gráfico é uma reta cujos pontos têm ordenada constante igual a k . O seu domínio é D = R e o seu conjunto-imagem é Im = { k }. Exemplos 1) 5)( =xf Para qualquer valor de Îx R, a função é constante e igual a 5 . Gráfico 2) 3-=y Para qualquer valor de Îx R, a função é constante e igual a 3- . Gráfico 5)( =xf 1 3 x y O D = R e Im = {5 } 3-=y 1- 2- y x O D = R e Im = { 3- } Função Linear Uma companhia de energia elétrica cobra uma tarifa mínima de R$ 20,00 mais R$ 10,00 por kw/h que exceder esse mínimo. Nesse caso temos um exemplo de função linear. Podemos representar a função através da equação: f(x)= 10x+20 onde 20 é uma constante e x a quantidade que pode variar, sendo no caso o número de quilowatts/horas gastos por mês. Definição Função Linear é a função :f R ® R, definida por baxxf +=)( , sendo a e Îb R e 0¹a . Coeficientes O coeficiente a e o termo independente b são chamados respectivamente coeficiente angular e coeficiente linear. Seu gráfico é uma reta que passa pelo ponto ),0( b e forma um ângulo a com o sentido positivo do eixo das abscissas, sendo atg =a . Se a é positivo então 0900 <<a e a função é crescente, se a é negativo teremos 00 18090 <<a e a função é decrescente. O domínio da função é D = R e seu conjunto-imagem é Im = R. Exercícios resolvidos 1) 12)( -= xxf , onde: î í ì -= = 1:. 2:. blinearcoef aangularcoef Gráfico: Sendo o gráfico uma reta, é necessário atribuir dois valores reais quaisquer para x , para obter os respectivos pontos. A reta passa pelo ponto )1,0( - e forma um ângulo a )900( 0<<a , com o sentido positivo do eixo das abscissas, sendo Þ>== 02atga função crescente. 2) 3+-= xy , onde: î í ì = -= 3:. 1:. blinearcoef aangularcoef Gráfico: A reta passa pelo ponto )3,0( e forma um ângulo a )18090( 00 <<a , com o sentido positivo do eixo da abscissas, sendo Þ<-==01atga função decrescente. x y O 12 -= xy x 12 -= xy ),( yx 0 11010.2 -=-=- )1,0( - 1 11211.2 =-=- )1,1( D = R e Im = R 1- 1 1 a x O 1 2 2 1 x 3+-= xy ),( yx 1 231 =+- )2,1( 2 132 =+- )1,2( D = R e Im = R 3 a y 3) xy 2= , onde: î í ì = = 0:. 2:. bllinearcoef aangularcoef Gráfico Zero da Função Linear Denomina-se zero ou raiz da função baxxf +=)( , o valor de x que anula a função, isto é, torna 0)( =xf . Então para calcular o zero da função devemos resolver a equação 0=+bax . Exercício resolvido 1) 0022)( =Þ=Þ= xxxxf ( O zero da função é 0 ) 2) 12202222 =Þ=Þ=-Þ-= xxxxy ( O zero da função é 1) 3) 3 4 4304343)( -=Þ=-Þ=--Þ--= xxxxxf Interpretação Geométrica do Zero Geometricamente o zero da função indica a abscissa do ponto onde o gráfico da reta intercepta o eixo das abscissas, pois o zero da função torna 0=y e todo ponto do eixo das abscissas tem ordenada nula. x y O 1 2 x xy = ),( yx 0 0 )0,0( 1 1 )1,1( D = R e Im = R Exercício resolvido Determinar os coeficientes angular e linear, calcular o zero e construir o gráfico das funções: 1) 22)( -= xxf Solução Coeficientes: î í ì -= = 2 2 b a Zero da Função: 122022 =Þ=Þ=- xxx 2) 43 --= xy Solução Coeficientes: î í ì -= -= 4 3 b a Zero da Função: 3 4 43043 -=Þ-=Þ=-- xxx 2- 1 Zero da Função A reta intercepta o eixo das abscissas no ponto )0,1( . Gráfico Coeficiente Linear x 22 -= xy y y 4- 2- 2- 1- x Zero da Função Coeficiente Linear A reta intercepta o eixo das abscissas no ponto )0, 3 4 (- . 43 --= xy Exercícios propostos Determinar os coeficientes angular e linear, calcular o zero e construir o gráfico das funções: 1) 32)( -= xxf 2) 42 +-= xy 3) 1 2 )( -= x xf 4) 13)( +-= xxf 5) xxf 3)( = Sinal da Função Linear Para estudar os sinais da função linear, devemos verificar para que valores reais do domínio, a função baxxf +=)( tem valores positivos, negativos ou nulo. Exercícios resolvidos Verifique o sinal da funções dadas abaixo: 1) 0212)( >=Þ-= axxf Resolução Zero da função: 2 1 12012 =Þ=Þ=- xxx A reta intercepta o eixo x , no ponto )0, 2 1 ( e sendo 0>a a função é crescente. Esboço do Gráfico 2) 0363)( <-=Þ+-= axxf Resolução Zero da função: 263063 =Þ-=-Þ=+- xxx A reta intercepta o eixo x no ponto )0,2( e sendo 0<a a função é decrescente. Esboço do Gráfico 3) xy -= 3 Þ 01<-=a Resolução Zero da função: 303 =Þ=- xx x + _ 2 Se ï î ï í ì <Þ> =Þ= >Þ< 0)(2 0)(2 0)(2 xfx xfx xfx x + _ 2 1 Se ï ï ï î ï ï ï í ì >Þ> =Þ= <Þ< 0)( 2 1 0)( 2 1 0)( 2 1 xfx xfx xfx A reta intercepta o eixo x no ponto )0,3( e sendo 0<a a função é decrescente. Esboço do Gráfico Exercícios propostos Verifique o sinal das seguintes funções: 1) xxf 3)( -= R.: ï î ï í ì <Þ> =Þ= >Þ< 0)(0 0)(0 0)(0 xfx xfx xfx 2) 13)( +-= xxf R.: ï ï ï î ï ï ï í ì <Þ> =Þ= >Þ< 0)( 3 1 0)( 3 1 0)( 3 1 xfx xfx xfx 3) 42 += xy R.: ï î ï í ì >Þ-> =Þ-= <Þ-< 0)(2 0)(2 0)(2 xfx xfx xfx 4) 2 3 )( -= x xf R.: ï î ï í ì >Þ> =Þ= <Þ< 0)(6 0)(6 0)(6 xfx xfx xfx 5) xy 5= R.: ï î ï í ì >Þ> =Þ= <Þ< 0)(0 0)(0 0)(0 xfx xfx xfx x + _ 3 Se ï î ï í ì <Þ> =Þ= >Þ< 0)(3 0)(3 0)(3 xfx xfx xfx Função do 2º. Grau ou Função Quadrática Quando lançamos um corpo obliquamente para cima, sua trajetória é parabólica e a função que representa uma curva parabólica é do 2º.grau. Definição: Função Quadrática ou do 2º. Grau é a função :f R ® R, definida por cbxaxxf ++= 2)( , com a , b e c Î R e 0¹a . Exemplos 1) 653)( 2 +-= xxxf , onde 3=a , 5-=b e 6=c . 2) x x y 3 2 3 2 +-= , onde 3 1 -=a , 3 2 =b e 0=c . 3) 23)( xxf = , onde 3=a e 0== cb . O gráfico de uma função cbxaxxf ++= 2)( é uma figura chamada parábola. A concavidade da parábola pode ser voltada para cima ou para baixo. Se 0>a , temos concavidade voltada para cima. Se 0<a , temos concavidade voltada para baixo V V Vértice O ponto mais inferior, quando a parábola está voltada para cima, ou o mais superior quando a concavidade está voltada para baixo é chamado de vértice. Para calcular as coordenadas do vértice ),( VV yxV usamos as fórmulas: a b xV 2 - = e a yV 4 D- = Onde acb 42 -=D é chamado discriminante da equação. Exercícios resolvidos: Obter as coordenadas do vértice das funções: 1) 342)( 2 +-= xxxf Resolução 1 4 4 22 4 2 == × = - = a b xV 1 8 8 8 )2416( 8 )32416( 4 )4( 4 2 == -- = ××-- = -- = D- = a acb a yV Þ )1,1(V 2) 822 ++-= xxy Resolução 1 2 2 )1(2 2 2 = - - = - - = - = a b xV 9 4 36 4 )324( )1(4 ]8)1(44[ 4 )4( 4 2 = - - = - +- = - --- = -- = D- = a acb a yV Þ )9,1(V Zeros da Função Quadrática Os zeros ou raízes da função cbxaxxf ++= 2)( , são os valores do domínio para os quais 0)( =xf . Portanto os zeros da função são as raízes da equação 02 =++ cbxax , que podem ser calculadas através da fórmula: a b x 2 D±- = sendo acb 42 -=D O número de zeros vai depender do sinal do discriminante D . · Se 0>D , existem duas raízes reais e diferentes. · Se 0=D , existem duas raízes reais e iguais. · Se 0<D , não existem raízes reais. Interpretação Geométricados Zeros: Os zeros, sendo valores que anulam a função, tornam a ordenada nula e indicam os pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas. Se considerarmos 1x e 2x os zeros reais da função quadrática, temos os seguintes gráficos. Construção do Gráfico da Função Quadrática Podemos atribuir a x qualquer valor real, pois D = R, mas para se obter uma boa representação gráfica e evitar um número muito grande de pontos, pode- se começar calculando as coordenadas do vértice e depois atribuir valores a x próximos de Vx . Também podemos utilizar os zeros da função. 1x 2x 1x 2x 21 xx = 21 xx = 0>a 0>a 0>a 0<a 0<a 0<a 0>D 0=D 0<D Exercícios resolvidos: Construir o gráfico da função, determinar o domínio e o conjunto-imagem: 1) ï î ï í ì -= -= Þ>= Þ--= 3 2 01 32)( 2 c b cimaparaeconcavidada xxxf Coordenadas do Vértice: 16124)3(14)2(4 22 =+=-××--=DÞ-=D acb 4 14 16 4 1 12 2 2 -= × - =Þ D- = = × =Þ - = VV VV y a y x a b x )4,1( -ÞV Zeros da Função: ï ï î ï ï í ì = + = -= - = Þ ± = × ± =Þ D±- = 3 2 42 1 2 42 2 42 12 162 2 2 1 x x x a b x 2) 442 -+-= xxy Þ ï î ï í ì -= = Þ<-= 4 4 01 c b baixoparaeconcavidada Coordenadas do Vértice: 01616)4)(1(444 22 =-=---=DÞ-=D acb 1- 1 2 3 4- 3- x y O Gráfico x 322 --= xxy -1 0 0 3- 1 4- 2 3- 3 0 D = R Im = [,4[ ¥+- 0 )1(4 0 4 2 )1(2 4 2 = - =Þ D- = = - - =Þ - = VV VV y a y x a b x )0,2(VÞ Zeros da Função: 2 2 4 )1(2 04 2 21 ==Þ - - = - ±- = D±- = xx a b xV 3) 12 += xy Þ ï î ï í ì = = Þ>= 1 0 01 c b cimaparaeconcavidada Coordenadas do Vértice: 411404 22 -=××-=DÞ-=D acb 1 14 4 4 0 12 0 2 = × =Þ D- = = × =Þ - = VV VV y a y x a b x )1,0(VÞ Zeros da função: Se Þ<-=D 04 Não existem zeros reais 1- 1 2 3 4- x y O Gráfico x 442 -+-= xxy 0 4- 1 1- 2 0 3 1- 4 4- D = R Im = R*- Exercícios propostos Construir o gráfico da função, determinar o domínio e o conjunto-imagem: 1) 23)( 2 -+-= xxxf 2) 9124)( 2 +-= xxxf 3) 123)( 2 ++= xxxf Sinal da Função Quadrática Estudar o sinal da Função Quadrática, é verificar para que valores de seu domínio a função cbxaxxf ++= 2)( , é positiva, nula ou negativa. Exercícios resolvidos Estudar o sinal das funções abaixo: 1) 6)( 2 --= xxxf ï î ï í ì -= -= Þ>= Þ 6 1 .01 c b cimaparaeconcavidada Resolução Zeros da função x y 2- 1- 1 2 5 4 3 1 x 12 += xy 2- 5 1- 2 0 1 1 2 2 5 D = R Im = [ ¥+,1 [ Gráfico 25241)6.(1.4)1(4 22 =+=---=-=D acb ï ï î ï ï í ì =Þ= + = -=Þ - = - = Þ ± = ± = D±- = 3 2 6 2 51 2 2 4 2 51 2 51 1.2 251 2 22 11 xx xx a b x Sinal da função 2) ï î ï í ì -= = Þ<-= Þ-+-= 3 2 .03 323)( 2 c b baixoparaeconcavidada xxxf Resolução Zeros da função .032364)3)(3(424 22 reaiszerosexistemnãoacb Þ<-=-=---=-=D Sinal da função _ _ x" Î R 0)( <Þ xf x _ _ + + 2- 3 Se ï î ï í ì <Þ<<- =Þ=-= >Þ>-< 0)(32 0)(32 0)(32 xfx xfxoux xfxoux x Exercícios propostos Estudar o sinal da Função Quadrática. 1) 23)( 2 -+-= xxxf 2) 9124)( 2 +-= xxxf 3) 123)( 2 ++= xxxf Função Polinomial É a função f : R ® R, definida por nn nnn axaxaxaxaxf +++++= - -- 1 2 2 1 10)( K , onde naaaa ,,,, 210 K são chamados coeficientes e o expoente n é chamado grau da função. Exercícios resolvidos Construir o gráfico das funções, determinar o domínio e o conjunto-imagem: 1) 3)1()( -= xxf Gráfico 2) 1)( 4 -= xxf x 3)1( -= xy ),( yx 3 8)13( 3 =-=y )8,3( 2 1)12( 3 =-=y )1,2( 1 0)11( 3 =-=y )0,1( 0 1)10( 3 -=-=y )1,0( - 1- 8)11( 3 -=--=y )8,1( -- D = R e Im = R x y O 2 1 1- Exercícios propostos Construir o gráfico das funções, determinar domínio e conjunto-imagem: 1) 13 -= xy 2) 4)1()( -= xxf 3) xxy 43 -= Função Racional Fracionária É a função definida por )( )( )( xQ xP xf = , onde nn nn axaxaxaxP ++++= - - 1 1 10)( K e mm mm bxbxbxbxQ ++++= - - 1 1 10)( K . Seu domínio será { }0)(/)( ¹Î= xQRxfD Exercícios resolvidos Construir o gráfico das funções, determinar domínio e conjunto-imagem: x 14 -= xy ),( yx 2- 151)2( 4 =-- )15,2(- 1- 01)1( 4 =-- )0,1(- 0 1104 -=- )1,0( - 1 0114 =- )0,1( 2 15124 =- )15,2( D = R e Im = [,1[ ¥+- x y O 1 1- 1- 1) x xf 1 )( = 2) x x xf 1 )( + = x xf 1 1)( +=Þ 3) 2 2 )( - + -= x x xf O x y x y 2- 2/1- 1- 1- 2/1- 2- 0 $/ 2/1 2 1 1 2 2/1 D = R* = R – {0 } Im = R* = R – {0 } 1=y D = R* = R – {0 } Im = R – {1} x x Função Exponencial Dado um número real )10( ¹< aa , a função :f R Þ R * +, definida por xaxf =)( é denominada função exponencial. Exemplos: · xxf 2)( = · x y ÷ ø ö ç è æ = 3 1 Gráficos: Temos dois casos a considerar x y 2- 0 1- 3/1 0 1 1 3 2 $/ 3 5- 4 3- 6 2- D = R* = R – { 2 } Im = R – { 1- } x y O 2=x 1-=y 1º. Caso: 1>a Þ função crescente Seja a função xxf 2)( = 2º. Caso: 10 << a Þ função decrescente Seja a função x xf ÷ ø ö ç è æ = 2 1 )( Exercícios resolvidos Construir o gráfico das funções: x xxf 2)( = 2- 4 1 2 2 =- 1- 2 1 2 1 =- 0 120 = 1 221 = 2 422 = y x 1 2 2 4 O D = R Im = R*+ x x xf ÷ ø ö ç è æ = 2 1 )( 2- 4 2 1 2 = ÷ ø ö ç è æ - 1- 2 2 1 1 = ÷ ø ö ç è æ - 0 1 2 1 0 = ÷ ø ö ç è æ 1 2 1 2 1 1 = ÷ ø ö ç è æ2 4 1 2 1 2 = ÷ ø ö ç è æ 1 y x 1 2 2 4 O D = R Im = R*+ 1) xxf 3)( = 2) 12 -= xy y x 1 2 3 O 1 3 2 4 D = R Im = R*+ y x 1 2 3 O D = R Im = R*+ x xxf 3)( = 2- 9 1 3 2 =- 1- 3 1 3 1 =- 0 130 = 1 331 = 2 932 = 1 1-x x 12 -= xy 2- 1- 4 1 2 2 =- 1- 0 2 1 2 1 =- 0 1 120 = 1 2 221 = 2 3 422 = 3) 12 2 1 )( + ÷ ø ö ç è æ = x xf Exercícios propostos 1) x xf ÷ ø ö ç è æ = 3 1 )( 2) 12 += xy 3) 13 2 1 )( - ÷ ø ö ç è æ = x xf Função Logarítmica 12 +x x 12 2 1 )( + ÷ ø ö ç è æ = x xf 2- 2 3 - 4 2 1 2 = ÷ ø ö ç è æ - 1- 1- 2 2 1 1 = ÷ ø ö ç è æ - 0 2 1 - 1 2 1 0 = ÷ ø ö ç è æ 1 0 2 1 2 1 1 = ÷ ø ö ç è æ 2 2 1 4 1 2 1 2 = ÷ ø ö ç è æ y x 2- 1- 1 4 2 1 O D = R Im = R*+ Dado um número real )10( ¹< aa , denomina-se função logarítmica a função :f R+ * Þ R, definida por xxf alog)( = . Gráficos: Devemos considerar dois casos: 1º. Caso: Þ<< 10 a função decrescente Seja a função: xxf 2 1log)( = 2º. Caso: Þ>1a função crescente Seja a função: xxf 2log)( = Exercícios resolvidos y x 2 1 1- 2- 1 2 3 4 y x 2 1 1- 2- 1 2 3 4 x )(xf 4 1 2 2 1 1 1 0 2 1- 4 2- D = R*+ Im = R x )(xf 4 1 2- 2 1 1- 1 0 2 1 4 2 D = R*+ Im = R Construir o gráfico das funções: 1) )12(log)( 2 1 -= xxf Observação: 2 1 12012 >Þ>Þ>- xxx 2) xxf 3log)( = Exercícios propostos 12 -x x )(xf 4 1 8 5 2 2 1 4 3 1 1 1 0 2 2 3 1- 4 2 5 2- D = ê ë é ú û ù ¥+, 2 1 Im= R 2 1 =x x y 2 3 4 2 1 1- 2- y x O 1 3 1- 1 3 1 x )(xf 9 1 2- 3 1 1- 1 0 3 1 9 2 D = R*+ Im = R Construir o gráfico das funções e indicar conjuntos domínio e imagem: 1) xy 3 1log= 2) )1(log)( 2 1 += xxf 3) )12(log 3 += xy Função Modular Função modular é a função :f R Þ R, definida por xxf =)( , portanto: î í ì <- ³ = 0, 0, )( xsex xsex xf Exercícios resolvidos Construir o gráfico, indicar o domínio e o conjunto-imagem das funções: 1) xxf =)( Solução î í ì <- ³ == 0, 0, )( xsex xsex xxf Vamos atribuir a x , valores igual e próximos a zero. 2) 32)( +-= xxf Solução î í ì <Þ<-+- ³Þ³-- =- 202,2 202,2 2 xxsex xxsex x î í ì <+-=++- ³+=+- =+- 2532 2132 32 xsexx xsexx x Vamos atribuir a x , valores igual e próximos de 2 . x y xxf =)( 2- 1- 1 2 2 1 x )(xf 0 5 1 4 2 3 3 4 4 5 D = R Im = [ ¥+,3 [ x y 1 3 5 4 2 O x )(xf 2- 2 1- 1 0 0 1 1 2 2 D = R Im = R+ 32)( +-= xxf 3) 34)( 2 +-= xxxf Solução ï î ï í ì <<Þ<+--+- ³£Þ³+-+- =+- 31034,34 31034,34 34 22 22 2 xxxsexx xouxxxsexx xx Vamos atribuir a x , valores igual e próximos de 1 e de 3 . Exercícios propostos Construir o gráfico, indicar domínio e conjunto-imagem das funções: 1) 1)( += xxf 2) 21)( -+-= xxf 3) 222 +-= xy 4) xxy -+= 1 x y O 1 2 3 4 5 1 3 8 x )(xf 1- 8 0 3 1 0 2 1 3 0 4 3 5 8 D = R Im = R+ 34)( 2 +-= xxxf 1- TRIGONOMETRIA Ciclo Trigonométrico A cada ponto do Ciclo Trigonométrico associamos infinitos arcos, todos com origem no ponto A , cuja expressão geral em graus é k×+ 0360a e cuja expressão em radianos é pa k2+ , sendo k um número inteiro qualquer e a a menor medida positiva ou nula do arco. Exemplificando, para o ponto B no gráfico acima, a é igual a 090 ou rad 2 p . Do mesmo modo para o ponto A¢ , a é igual 0180 ou radp , para o ponto B¢ , a é igual a 0270 ou rad 2 3p . Para o ponto A , a é igual a 00 ou rad0 , Funções Circulares Diretas Seno de um arco O seno de um arco, no ciclo trigonométrico, é igual a ordenada da extremidade do arco. A 1=r + _ u O A¢ B B¢ O Ciclo Trigonométrico é uma circunferência com raio unitário, associada a um sistema de eixos cartesianos, onde se considera um ponto A como origem de todos os arcos e o sentido anti-horário como sentido positivo de deslocamento. v Sinal do Seno Valores Notáveis Arco 0 030 6 = p 045 4 = p 060 3 = p 090 2 = p 0180=p 0270 2 3 = p 03602 =p seno 0 2 1 2 2 2 3 1 0 1- 0 Função Seno Função seno é a função :f R ® R definida por senxxf =)( . Gráfico A u O A¢ B B¢ M v + + _ _ Sendo o seno uma ordenada o seu sinal é positivo acima do eixo das abscissas e negativo abaixo do mesmo eixo. A u O A¢ B B¢ M P v OPAMsen = O gráfico da função denomina-se senóide. Observar que sendo o domínio da função o conjunto R, o gráfico da função é ilimitado, isto é, continua para a esquerda de 0 e para a direita de p2 . Na figura está representado um período da função. Exercícios Resolvidos Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período das funções: 1) xsenxf 2)( = 2) xsenxf +=1)( x y O 23p 2 p xseny 2= p p2 2 x y O 2 3p 2 p 1 1- xseny = p p2 D = R Im = ]1,1[- p2=p x xsen xseny 2= 0 0 0 2 p 1 2 p 0 0 2 3p 1- 2- p2 0 0 2- D = R Im = ]2,2[- p2=p 3) )()( p+= xsenxf 4) xsenxf 2)( = x y O 2 p 2 p - 1 1- )()( p+= xsenxf p- p D = R Im = ]1,1[- p2=p p+x x )( p+xsen 0 p- 0 2 p 2 p - 1 p 0 0 2 3p 2 p 1- p2 p 0 x y O 2 3p 2 p 1 2 senxxf +=1)( p p2 D = R Im = ]2,0[ p2=p x xsen xsen+1 0 0 1 2 p 1 2 p 0 1 2 3p 1- 0 p2 0 1 Cosseno de um arco O cosseno de um arco, no ciclo trigonométrico, é igual a abscissa da extremidade do arco. Sinal do cosseno x2 x xseny 2= 0 0 0 2 p 4 p 1 p 2 p 0 2 3p 4 3p 1- p2 p 0 y x 1 1- p 4 3p 2 p 4 p xseny 2= D = R Im = [ ]1,1- p=p A u O A¢ B B¢ M Q v OQAM =cos Valores Notáveis Arco 0 030 6 = p 045 4 = p 060 3 = p 090 2 = p 0180=p 0270 2 3 = p 03602 =p cos 1 2 3 2 2 2 1 0 1- 0 1 Função Cosseno Função cosseno é a função :f R ® R definida por xxf cos)( = . Gráfico O gráfico da função denomina-se cossenóide. Observar que sendo o domínio da função o conjunto R, o gráfico da função é ilimitado, isto é, continua para a esquerda de 0 e para a direita de p2 . Na figura está representado um período da função. A u O A¢ B B¢ M v + _ _ + Sendo o cosseno uma abscissa o seu sinal é positivo à direita do eixo das ordenadas e negativo à esquerda do mesmo eixo. x y O 2 3p 2 p 1 1- xy cos= p p2 D = R Im = ]1,1[- p2=p Exercícios Resolvidos Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período das funções: 1) xxf cos2)( = 2) xxf cos1)( += x y O 2 3p 2 p 1 2 xxf cos1)( += p p2 D = R Im = ]2,0[ p2=p x xcos xcos1+ 0 1 2 2 p 0 1 p -1 0 2 3p 0 1 p2 1 2 x y O 2 3p 2 p xy cos2= p p2 2 x xcos xy cos2= 0 1 2 2 p 0 0 p 1- 2- 2 3p 0 0 p2 1 2 2- D = R Im = ]2,2[- p2=p 3) )cos()( p+= xxf 4) xxf 2cos)( = Tangente de um arco x2 x xy 2cos= 0 0 1 2 p 4 p 0 p 2 p 1- 2 3p 4 3p 0 p2 p 1 y x 1 1- p 4 3p 2 p 4 p xy 2cos= D = R Im = [ ]1,1- p=p O x y O 2 p 2 p - 1 1- )cos()( p+= xxf p- p D = R Im = ]1,1[- p2=p p+x x )cos( p+x 0 p- 1 2 p 2 p - 0 p 0 -1 2 3p 2 p 0 p2 p 1 A tangente de um arco x pode ser definida pelo quociente entre o seno e o cosseno do mesmo arco x , sendo 0cos ¹x . Em símbolos: Função Tangente Função Tangente é a função xtgxf =)( definida para todo Îx R e 2 p p +¹ kx sendo Îk N. Sinal da tangente Valores Notáveis Arco 0 030 6 = p 045 4 = p 060 3 = p 090 2 = p 0180=p 0270 2 3 = p 03602 =p tg 0 3 3 1 3 $/ 0 $/ 0 Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função A u O A¢ B M v + _ + _ A tangente é positiva onde seno e cosseno têm o mesmo sinal e negativa onde seno e cosseno têm sinais contrários. x xsen xtg cos = sendo 0cos ¹x B¢ xtgxf =)( . Cotangente de um arco A cotangente de um arco x pode ser definida pelo quociente entre o cosseno e o seno do mesmo arco x , sendo 0¹xsen . Em símbolos: Função Cotangente Função Cotangente é a função xgxf cot)( = definida para todo Îx R e pkx ¹ sendo Îk N. Sinal da cotangente xsen x xg cos cot = sendo 0¹xsen x y 2 p p p2 2 3p D = { Îx R / 2 p p +¹ kx } Im = R p=p xtgy = Valores Notáveis Arco 0 030 6 = p 045 4 = p 060 3 = p 090 2 = p 0180=p 0270 2 3 = p 03602 =p gcot $/ 3 1 2 3 0 $/ 0 $/ Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função xgxf cot)( = . A u O A¢ B M v + _ + _ A cotangente é positiva onde seno e cosseno têm o mesmo sinal e negativa onde seno e cosseno têm sinais contrários. x y 2 p p p2 2 3p D = { Îx R / pkx ¹ } Im = R p=p xgy cot= B¢ Cossecante de um arco A cossecante de um arco x , pode ser definida como o inverso do seno de x , sendo 0¹xsen . Em símbolos: Função Cossecante Função Cossecante é a função xxf seccos)( = definida para todo Îx R e pkx ¹ sendo Îk N. Sinal da Cossecante Valores Notáveis A u O A¢ B B¢ M v + + _ _ Sendo a cossecante o inverso do valor do seno possui então seu sinal. xsen x 1 seccos = 0¹xsensendo Arco 0 030 6 = p 045 4 = p 060 3 = p 090 2 = p 0180=p 0270 23 = p 03602 =p seccos $/ 2 2 3 32 1 $/ 1- $/ Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função xxf seccos)( = . Secante de um arco x y 2 p p p2 2 3p 1 1- xy seccos= D = { Îx R / pkx ¹ } Im = ] ] [ [¥+È-¥- ,11, p2=p A secante de um arco x , pode ser definida como o inverso do cosseno de x , sendo 0cos ¹x . Em símbolos: Função Secante Função Secante é a função xxf sec)( = definida para todo Îx R e 2 p p +¹ kx sendo Îk N. Sinal da Secante Valores Notáveis Arco 0 030 6 = p 045 4 = p 060 3 = p 090 2 = p 0180=p 0270 2 3 = p 03602 =p seccos 1 3 32 2 2 $/ 1- $/ 1 Construir o gráfico, indicar o domínio, o conjunto-imagem e o período da função A u O A¢ B B¢ M v + _ _ + Sendo a secante o inverso do valor do cosseno possui então seu sinal. x x cos 1 sec = 0cos ¹xsendo xy sec= Funções Circulares Inversas Função Arco Seno Nem toda função é inversível. A função :f R ® R, definida por xsenxf =)( , não possui inversa, mas a função [ ]1,1 2 , 2 : -® ú û ù ê ë é - pp f definida por xsenxf =)( é inversível, sendo sua inversa denominada função arco-seno, definida por xarcsenxgxf ==- )()(1 , cujo domínio é [ ]1,1- e cujo conjunto imagem é ú û ù ê ë é - 2 , 2 pp , portanto [ ] ú û ù ê ë é -®- 2 , 2 1,1: pp g . Gráfico x y 2 p p p2 2 3p 1 1- xy sec= D = { Îx R / 2 p p +¹ kx } Im = ] ] [ [¥+È-¥- ,11, p2=p Função Arco Cosseno Para a função xxf cos)( = ser inversível considera-se [ ] [ ]1,1,0: -®pf . Sua inversa será a função [ ] [ ]p,01,1: ®-g definida por xxg arccos)( = . Gráfico Função Arco Tangente Para a função xtgxf =)( ser inversível considera-se ® ê ë é ú û ù - 2 , 2 : pp f R e sua inversa será :g R ê ë é ú û ù -® 2 , 2 pp definida por xarctgxg =)( . Gráfico x y O 1- p 1 ] [1,1-=D [ ]p,0Im = xy arccos= x y O 1- 1 2 p - 2 p [ ]1,1-=D ú û ù ê ë é -= 2 , 2 Im pp xarcseny = FUNÇÕES HIPERBÓLICAS Hipérbole Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano a , cuja diferença das distâncias(em valor absoluto) a 1F e a 2F é constante e igual a a2 . Assim: aQFQF 212 =- e aPFPF 221 =- . (Observar que ca 220 << ) a a c c 1F 2F X Y 1A 2A O P Q Dados dois pontos distintos 1F e 2F , pertencentes a um plano a . Seja c2 a distância de 1F a 2F e a2 a distância de 1A a 2A . x y D = R Im = ê ë é ú û ù - 2 , 2 pp 2 p =y 2 p -=y O xarctgy = Elementos Principais da Hipérbole Funções Hiperbólicas As funções circulares são definidas a partir do círculo trigonométrico. As funções hiperbólicas são definidas tendo como referência a hipérbole. Trigonometria Circular e Trigonometria Hiperbólica X Y A O R N M q q q q q htgRA hsenMN hNO MOA = = = = cos ˆ y x a 1F 2F X Y 1A 2A O c b 222 21 21 21 :Re 2 2 2 cos bacnotávellação dadeexcentrici a c imaginárioeixodomedidab realeixodomedidaa focaldistânciac imaginárioeixoBB realeixoAA CentroO FoFeF += ® ® ® ® ® ® ® ® 1B 2B As relações existentes na trigonometria circular e na trigonometria hiperbólica são semelhantes, observando-se que entre elas, existe em alguns casos a troca de sinal. Função Seno Hiperbólico Função seno hiperbólico é a função :f R®R definida por 2 )( xx ee xhseny - - == . Gráfico Trigonometria Circular Trigonometria Hiperbólica 1)()(cos 22 =+ xsenx 1)()(cosh 22 =- xsenhx ( ) ( )x xsen xtg cos )( = )cosh( )( )( x xsenh xtg = )( )cos( )(cot xsen x xg = )( )cosh( )(cot xsenh x xhg = )cos( 1)sec( x x = )cosh( 1)(sec x xh = )( 1)sec(cos xsen x = )( 1)(seccos xsenh xh = )cos()(2)2( xxsenxsen = )cosh()(2)2( xxsenhxsenh = )()(cos)2cos( 22 xsenxx -= )()(cosh)2cosh( 22 xsenhxx += )(1 )(2 )2( 2 xtg xtg xtg - = )(1 )(2 )2( 2 xtgh xtgh xtgh + = O gráfico da função seno hiperbólico é uma combinação de duas funções exponenciais: 2 xe y = e 2 xe y - -= . Observar que somando essas duas funções obtemos a função seno hiperbólico. Função Cosseno Hiperbólico Função cosseno hiperbólico é a função :f R ® [ ]¥+,1 definida por 2 )(cos xx ee xhy - + == . Gráfico x y 2 xe y = 2 xe y - -= xhseny = A função seno hiperbólico é uma função impar, pois : xhsen eeee ee xhsen xxxx xx -= = - -= +- = = - =- -- --- 22 2 )( )( D = R e Im = R O gráfico da função cosseno hiperbólico também é combinação de duas funções exponenciais. No caso a soma de: 2 xe y = e 2 xe y - = Observação: Se observarmos um fio de eletricidade entre dois postes, vemos que seu peso faz com que ele forme um arco, dando a impressão que o mesmo tem a forma de uma parábola. Na verdade tal arco tem a forma do gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como CATENÁRIA, palavra originária do Latim pois catena significa cadeia, pois foi através de uma corrente metálica formada por elos(cadeias) que primeiramente foi observada tal curva. Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicos x y O 1 D = R e Im = [ ]¥+,1 A função cosseno hiperbólico é uma função par pois: )( 22 )( )( xf eeee xf xxxx = + = + =- ---- 2 xe y = 2 xe y - = xhy cos= As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, podem ser definidas em função do seno e do cosseno hiperbólicos. Neste caso temos: Funções Hiperbólicas Inversas Função Arco Seno Hiperbólico É a função :f R ® R definida por ( )1ln)( 21 ++== - xxxhseny . Gráfico O gráfico é simétrico da função )(xhseny = , em relação a bissetriz dos quadrantes impares, cuja equação é xy = , xx xx xx xx xx xx eexhsen xh eexh xh ee ee xhsen xh xhg ee ee xh xhsen xhtg - - - - - - -
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