apostila 2 - Limites

Prévia do material em texto

L I M I T E S 
 
 
Noção de Limite de uma Função 
 
Seja a função 
)1(
)1)(12(
)(
-
-+
=
x
xx
xf , definida para todo x real diferente de 1. 
Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1. 
 
Simplificando a expressão, obtemos .12)( += xxf Atribuindo a x valores 
próximos de 1, porém menores que 1, temos: 
 
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 
12)( += xxf 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998 
 
Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos: 
 
x 2 1,5 1,25 1,1 1.01 1,001 
12)( += xxf 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002 
 
Observemos que em ambas as tabelas, mesmo que a função não exista para 
1=x , quando x se aproxima de 1, a função )(xf aproxima-se de 3. 
 
Podemos também verificar graficamente o comportamento da função. 
 
 
 
Embora a função não exista para 1=x , nos dois casos quando x se aproxima 
de 1 a função se aproxima de 3 dizemos então que quando x tende a 1, o 
limite da função é 3. 
 
Em símbolos, temos: 
 
 
 
y
 
x 
3 
1 
)1(
)1)(12(
)(
-
-+
=
x
xx
xf 
3)(lim
1
=
®
xf
x
 
Observamos nos dois casos que as diferenças 1-x ficam cada vez menores, 
quando x se aproxima de 1, isto é, dado 
d
 suficiente pequeno temos: 
d<-< 10 x . 
 
E as diferenças ,3)( -xf ficam cada vez menores quando )(xf se aproxima 
de 3, isto é, dado e arbitrariamente pequeno temos: 
e<-3)(xf . 
 
Podemos tornar )(xf tão próximo de 3 quanto desejarmos, contanto que 
façamos x suficiente próximo de 1. 
 
Podemos então definir agora o limite de uma função: 
 
 
Definição de Limite 
 
Uma função ),(xf tem para limite ,b quando x tende para um valor ,a se para 
todo 0>e , existir um 0>d tal que se 
d<-< ax0 , se tenha .)( e<-bxf 
 
 Em símbolos: 
 
 
 
É importante ter sempre em mente no cálculo de limites da função )(xf que 
interessa é o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o 
que ocorre com a função quando .ax = 
 
Exemplos 
 
1) Provar que 3)12(lim
1
=+
®
x
x
 
 
Solução 
 
Devemos provar que 
 
edde <-+Þ<-<>$>" 31210/0,0 xx 
 
Observe que 
 
eeeeeee <-<-Þ<-<-Þ<-+<-Þ<-+ 2222312312 xxxx 
2
1
2
)1(2
ee
ee <-<-Þ<-<- xx , fazendo 
2
e
d = , teremos 
ddd <-Þ<-<- 11 xx , portanto 3)12(lim
1
=+
®
x
x
 
 
( )edde <-Þ<-<>$>"Û=
®
bxfaxbxf
ax
)(0/0,0)(lim 
2) Provar que 4)23(lim
2
=-
®
x
x
 
 
Solução 
 
Devemos provar que 
 
edde <--Þ<-<>$>" 42320/0,0 xx 
 
Observe que 
 
eeeee <-<-Þ<--<-Þ<-- 63423423 xxx 
,
3
2
3
)2(3
ee
ee <-<-Þ<-<- xx fazendo ,
3
e
d = teremos 
,22 ddd <-Þ<-<- xx portanto 4)23(lim
2
=-
®
x
x
 
 
Observamos que para calcular limites não é necessário que a função seja 
definida para ,ax = pois o que interessa é o comportamento da função quando 
x se aproxima de a . 
 
 
Propriedades dos Limites 
 
Estudaremos agora propriedades que facilitam o cálculo de limites de funções. 
 
Sejam as funções )(xf e )(xg e a constante .C 
 
P.1) CC
ax
=
®
lim 
 
P.2) ax
ax
=
®
lim 
 
P.3) [ ] )(lim.)(.lim xfCxfC
axax ®®
= 
 
P.4) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax ®®®
+=+ 
 
P.5) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax ®®®
-=- 
 
P.6) [ ] )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax ®®®
= 
 
P.7) [ ] [ ]n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
®®
= 
 
P.8) 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
®
®
®
=
 
 
P.9) n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
®®
= 
 
P.10) [ ] [ ])(limlog)(loglim xfxf
ax
bb
ax ®®
=
 
 
P.11) ax
xf
xf
ax
bb ®=
®
)(lim
)(lim 
 
Símbolos de Indeterminação 
 
Ao calcular o limite de uma função num ponto que a mesma não está definida 
obtém-se uma indeterminação. Quando isto acontece, nada se pode afirmar 
sobre a existência ou não do limite. Procura-se levantar a indeterminação, 
transformando a expressão que representa a função em outra equivalente. 
 
São símbolos de indeterminação: 
 
0
0
, 
¥
¥
, ¥-¥ , 0´¥ , 0¥ , 00 , ±¥1 . 
 
 
Limites de Funções Algébricas 
 
1º. Caso: A variável independente tende para um valor finito. 
 
Exemplos 
 
Calcule os seguintes limites: 
 
1) )13(lim 2
1
-+
®
xx
x
=-+=-+=
®
®®®®®
)1lim(lim3)lim()1(lim)3(limlim
11
2
111
2
1 xxxxxx
xxxx 
 313111312 =-+=-×+= 
 
Observar que para calcular o limite basta substituir a variável livre pelo valor 
para o qual ela tende. 
 
2) =
+-
+-
® 65
23
lim
2
2
2 xx
xx
x 0
0
6104
264
62.52
22.32
2
2
=
+-
+-
=
+-
+-
 (Indeterminado) 
 
Para levantar a indeterminação devemos simplificar a expressão, depois 
calcular o limite 
 
Então temos: =
-
-
=
--
--
=
+-
+-
®®® 3
1
lim
)3)(2(
)1)(2(
lim
65
23
lim
222
2
2 x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
 1
1
1
32
12
-=
-
=
-
-
 
 
 
3) 
0
0
22
22
2
2
lim
2
=
-
-
=
-
-
® x
x
x
(Indeterminado) 
 
Para levantar a indeterminação devemos multiplicar numerador e denominador 
pela expressão conjugada da irracional, depois simplificar e calcular o limite. 
 
Temos: =
ú
û
ù
ê
ë
é
+-
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
-
-
®®® )2)(2(
)2(
lim
2
2
2
2
lim
2
2
lim
222 xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
4
2
22
1
22
1
2
1
lim
2
==
+
=
+
=
® xx
 
 
4) 
0
0
11
11
1
1
lim
3
1
=
+-
+-
=
+
+
-® x
x
x
(Indeterminado) 
 
Para levantar a indeterminação fazemos 3tx = e se 1-®x então 1-®t 
 
Temos: 
3
1
111
1
1
1
lim
)1)(1(
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
212131
3
1
=
++
=
+-
=
+-+
+
=
+
+
=
+
+
-®-®-®-® ttttt
t
t
t
x
x
tttx
 
 
5) 
0
0
11
11
1
1
lim
4
3
1
=
-
-
=
-
-
® x
x
x
(Indeterminado) 
 
Sendo o 12)4,3( =cmm fazemos 12tx = e se 1®x então 1®t 
 
Temos: 
3
4
111
1111
)1)(1(
)1)(1(
lim
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
2
23
13
4
14 12
3 12
14
3
1
=
++
+++
=
++-
+++-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
®®®® ttt
tttt
t
t
t
t
x
x
tttx
 
 
6) 
0
0
lim =
-
-
=
-
-
® ax
aa
ax
ax nnnn
ax
(Indeterminado) 
 
Fazendo 
ï
î
ï
í
ì
=Þ=
=Þ=
nn
nn
abba
xttx
 e se ax® então n at® então bt® 
Portanto: 
=
++++-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
-
----
®®®® ))((
limlimlimlim
13221 nnnnbtnnbtnn
n nn n
bt
nn
ax btbbttbt
bt
bt
bt
bt
bt
ax
ax
K
 
==
++++
=
++++
=
---------
®
11322113221
11
)(
1
lim
nnnnnnnnnbt bnbbbbbbbtbbtt KK
 
an
a
bn
b
b
bn
n
nn
===
1
 
Exercícios 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) =-+
-®
)23(lim 2
1
xx
x
 R.: 4- 
2) =-+-
®
)1(lim 23
3
xxx
x
 20 
3) =+-+-
-®
)511642(lim 2345
1
xxxx
x18- 
4) =
-
+
-® 3
13
lim
22 x
x
x
 5- 
5) =
-
-
® 6
32
lim
23 x
x
x
 1 
6) =
+
--+
-® 1
22
lim
23
1 x
xxx
x
 2- 
7) =
--
--
® 515
54
lim
3
2
5 xx
xx
x
 0 
8) =
-
-
® 2
4
lim
2
2 x
x
x
 4 
9) =
-
-
® 2
8
lim
3
2 x
x
x
 12 
10) =
+-
+-
® 23
12
lim
2
2
1 xx
xx
x
 0 
11) =
++
--
-® 65
6
lim
2
2
2 xx
xx
x
 5- 
12) =
-
-
® 9
27
lim
2
3
3 x
x
x
 
2
9
 
13) =
--
+
-® 43
)1(2
lim
21 xx
x
x
 
5
2
- 
14) =
-
-
® xx
x
x 32
2
lim
23
 
3
1
 
15) =
+
+-
® 2
32
lim
2
3
2 x
xx
x
 
6
7
 
16) =
-
-
® 3
3
lim
3 x
x
x
 
32
1
 
17) =
-
-+
® 1
23
lim
1 x
x
x
 
4
1
 
18)
=
-
-+
® 2
26
lim
2
2 x
xxx
x
 
2
23
- 
19) =
--
-
® 153
2
lim
32 x
x
x
 1 
20) 
=
-
-
® 4
8
lim
364 x
x
x
 3 
2º. Caso: A variável independente tende para um valor infinito. 
 
Exemplos 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) =-+-
+¥®
)3234(lim 23 xxx
x
=-¥+¥-¥=-¥+¥-¥ 3)(2)(3)(43)(2)(3)(4 23 
 
¥-¥=-¥-¥+¥=-¥+¥-¥= 33 (Indeterminado) 
 
Para levantar a indeterminação vamos colocar 3x em evidência. 
 
Temos: =-+-
+¥®
)3234(lim 23 xxx
x
)]
323
4([lim
32
3
xxx
x
x
-+-
+¥®
 
Levando ao limite temos )]
323
4([lim
32
3
xxx
x
x
-+-
+¥®
=
¥
-
¥
+
¥
-¥= )
323
4()(
32
3 
 ¥+=¥=-+-¥= )4()0004( 
 
Observa-se neste caso que )4(¥ corresponde ao limite de 34x , portanto para 
calcular o limite basta calcular o limite do termo de maior grau da função. 
 
2)
====
--
+-
=
--
+-
-¥®-¥®
-¥®
-¥®
-¥®
-¥®
-¥®
)3(lim
3
lim
)(lim
)3(lim
)14(lim
)423(lim
14
423
lim 2
2
4
2
4
2
24
2
24
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
 
 ¥+=¥=-¥= )(3)(3 2 
 
3) 
¥
¥
-=
¥-
¥+
=
+
++
-¥® 1
1
lim
2
x
xx
x
(Indeterminado) 
 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
=
+
++
-¥®-¥®
x
x
xx
x
x
xx
xx 1
1
11
1
lim
1
1
lim
2
2
2
=
+
++-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
++-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
=
-¥®-¥®-¥®
x
xx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
xxx 1
1
11
1
lim
1
1
11
1
lim
1
1
11
1
lim
222
 
1
1
1
1
1
01
001
1
1
11
1
-=
-
=
-
=
-
+--
=
¥-
+
¥+
+
¥-
+-
= 
 
 
 
 
4) ( ) ¥-+¥=¥-¥+=-++
+¥®
xxx
x
43lim 2 (Indeterminado) 
 
Para levantar a indeterminação, multiplicamos e dividimos xxx -++ 432 pelo 
seu conjugado, assim temos: 
 
xxx -++ 432
( )( )
=
+++
-++
=
+++
+++-++
=
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
43
43
43
4343
2
22
2
22
xxx
x
+++
+
=
43
43
2
, mas 
¥+
¥+
=
+++
+
+¥® xxx
x
x 43
43
lim
2
(Indeterminado) 
 
recaímos no mesmo caso do exemplo anterior: 
 
=
+++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+++
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+++
+
+¥®+¥®+¥®
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
x
xxx
22
2 43
1
4
3
lim
43
1
4
3
lim
43
43
lim 
2
3
11
3
1001
03
1
43
1
4
3
1
43
1
4
3
lim
2
=
+
=
+++
+
=
+
¥+
+
¥+
+
¥+
+
=
+++
+
=
+¥®
xx
x
x
 
 
 
 
Exercícios 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) =-+-
+¥®
)683(lim 234 xxx
x
 R.: ¥+ 
2) =-+-
-¥®
)683(lim 234 xxx
x
 ¥+ 
3) =-+
-¥®
)524(lim 3 xx
x
 ¥- 
4) =
-
-+
+¥® 43
3
lim
2
2
x
xx
x
 
3
1
 
5) =
+
-
-¥® 35
23
lim
2x
x
x
 0 
6) =
--
+-
-¥® 132
43
lim
2
23
xx
xx
x
 ¥- 
7) =
+
-
+¥® 62
3
lim
2x
x
x
 0 
8) =
+
+
+¥® x
x
x 2
34
lim 2 
9) =+-
+¥®
22lim 2 xx
x
 ¥+ 
10) =+-
-¥®
53lim 2 xx
x
 ¥+ 
11) =
+
+-
+¥® 1
22
lim
2
x
xx
x
 1 
12) =
+
+-
-¥® 1
22
lim
2
x
xx
x
 1- 
13) =
+
-+
+¥® 1
1
lim
2
x
xx
x
 1 
14) =
+
++
-¥® 1
1
lim
2
x
xx
x
 1- 
15) =-++
+¥®
)23(lim 2 xxx
x
 
2
3
 
16) =-++
-¥®
)43(lim 2 xxx
x
 ¥+ 
17) =--+
+¥®
)24(lim xx
x
 0 
18) 
3 3
3 23
1
25
lim
+
--+
+¥® x
xxx
x
 2 
 
 
Limites de Funções Exponenciais 
 
Limite Exponencial Fundamental 
 
Demonstra-se que: 
 
 
Conseqüências:Demonstra-se também que: 
 
 e 
 
 
 
Exemplos 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) ( ) ¥+¥+
+¥
+¥
+¥®
=+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
¥+
+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+¥
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ 101
1
1
)(2
1
1
2
1
1lim
x
x x
(Indeterminado) 
 
Fazendo tx =2 e 
2
t
x = e se 
+¥®x então +¥®t 
e
x
x
x
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
±¥®
1
1lim Sendo ...71828,2=e , conhecido 
como número de Euler. 
( ) ex x
x
=+
®
1
0
1lim a
x
a x
x
ln
1
lim
0
=
-
®
 
ee
tttx
t
t
t
t
t
t
x
x
==
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+¥®+¥®+¥®+¥®
2
12
1
2
1
2 1
1lim
1
1lim
1
1lim
2
1
1lim 
 
2) ¥+
+¥®
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
- 1
3
1lim
x
x x
 (Indeterminado) 
x
x
x
x xx
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+¥®+¥®
3
1
1lim
3
1lim , 
fazendo t
x
=-
3
 e tx 3-= e se 
+¥®x então -¥®t 
x
x
x
x xx
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+¥®+¥®
3
1
1lim
3
1lim 3
3
3
1
1lim
1
1lim -
-
-¥®
-
-¥®
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+= e
tt
t
t
t
t
 
 
3) ¥-
-¥®
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ 1
2
1
1lim
3x
x x
 (Indeterminado) 
 
fazendo tx =2 e 
2
t
x = e se -¥®x então 
-¥®t 
32
32
3
2
3
3
1
1lim
1
1lim
2
1
1lim ee
ttx
t
t
t
t
x
x
==
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-¥®-¥®-¥®
 
 
4) ¥+
+¥®
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
1
32
12
lim
x
x x
x
(Indeterminado) 
 
Efetuando a divisão: 
32
4
1)32()12(
-
+=-¸+
x
xx 
fazendo 
2
341
32
4 +
=Þ=
-
t
x
tx
 e se 
+¥®x então +¥®t 
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
+¥®
+
+¥®+¥®+¥®
2
3
2
2
3
2
1
1
1
1lim
1
1lim
32
4
1lim
32
12
lim
tttxx
x
t
t
t
t
x
x
x
x
 
222
3
2
2
32
11
1
1lim
1
1lim eee
tt t
t
t
=×=×=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
+¥®+¥®
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) =
®
x
x
3lim
2
 R.: 9 
2) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-®
x
x 2
1
lim
1
 2 
3) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
®
x
x e
1
lim
3
 3-e 
4) =
+¥®
x
x
elim ¥+ 
5) =
-¥®
x
x
elim 0 
6) =+-
®
132
3
2
lim xx
x
e 10e 
7) =-
+
®
1
23
0
lim x
x
x
e 2-e 
8) =-
-
®
2
4
2
2
3lim x
x
x
 81 
9) =-
+
-®
1
1
1
2
2lim x
x
x
 2
1
2
-
 
10) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+¥®
x
x x
3
1
1lim 3e 
11) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
-¥®
2
1
1lim
x
x x
 e 
12) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+¥®
x
x x
4
1lim 4e 
13) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-¥®
x
x x
3
2
1lim 6e 
14) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-¥®
x
x x
1
1lim 1-e 
15) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+¥®
x
x x
2
1lim 2-e 
16) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-¥®
x
x x
x
1
1
lim 2e 
17) =
-
® x
x
x
12
lim
3
0
 2ln3 
18) =
-
-
® 1
1
lim
3
2
0 x
x
x e
e
 
3
2
 
19) =
+
® x
x
x
)1ln(
lim
0
 1 
20) 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
+¥®
1
23
43
lim
x
x x
x
 3
2
e 
 
 
Limites de Funções Logarítmicas 
 
Exercícios 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) 
=
®
x
x
3
2
loglim R.: 2log3 
2) 
=
®
x
x
2
1
4
loglim 2- 
3) 
=
®
x
ex
lnlim
2
 2 
4) =
®
x
x
loglim
1000
 3 
5)
=
+¥®
x
x
2loglim ¥+ 
6) 
=
+¥®
x
x
2
1loglim ¥- 
7) =
+¥®
x
x
1,0loglim ¥- 
8) 
=
+¥®
x
x
lnlim ¥+ 
9) =+-
-®
)574(loglim 22
1
xx
x
 4 
10) =
++
++
-® 45
23
loglim
2
2
3
1 xx
xx
x
 1- 
 
 
 
Limites de Funções Trigonométricas 
 
Demonstra-se que: 
 
 
 
Demonstra-se também que: 
 
 
 e 
 
Exemplos 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) 
0
0
0
07
lim
0
==
®
sen
x
xsen
x
(Indeterminado) 
1lim
0
=
® x
xsen
x
 
1lim
0
=
® xsen
x
x
 1
)(
)(
lim
0)(
=
® xf
xfsen
xf
 
( ) ( ) 717
7
7
lim7lim
7
7
7lim
7lim
0000
=´=×=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
×=
®®®® x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxxx
 
 
 
2) 
0
0
0
0
3
4
lim
0
==
® sen
sen
xsen
xsen
x
(Indeterminado) 
3
4
13
14
3
3
3
4
4
4
lim
3
4
lim
00
=
´
´
=
×
×
=
®®
x
xsen
x
xsen
xsen
xsen
xx
 
 
3) 
0
0)(
lim
0
=
-+
® x
asenxasen
x
(Indeterminado) 
 
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
®® x
xax
sen
x
axaaxa
sen
xx
2
2
cos
2
2
lim
2
cos
2
2
lim
00
 
=
+
×=
+
×=
®®®® 2
2
coslim
2
2lim
2
2
coslim2
2
lim
0000
xa
x
x
sen
xa
x
x
sen
xxxx
 
a
aa
cos
2
2
cos
2
02
cos1 ==
+
´= 
 
 
Exercícios 
 
Calcular os seguintes limites 
 
1) =
®
x
x
coslim
0
 R.: 1 
2) =
® xsen
xtg
x 0
lim 1 
3) =
-
-
®
xg
xtg
x cot1
1
lim
4
p
 1- 
4) =
® x
xsen
x
2
0
lim 0 
5) =
® x
xsen
x 3
2
lim
0
 
3
2
 
6) =
+
® x
xsenx
x 0
lim 2 
7) =
® xtg
xsen
x
2
lim
0
 2 
 
8)
=
-
-
®
xtg
xxsen
x 1
cos
lim
4
p
 
2
2
- 
9) 
=
-
®
xsenx
x
x cos
2cos
lim
4
p
 2 
10) =
+
-
® xsenx
xsenx
x 0
lim 0 
 
Limites Laterais 
 
I) Limite à Esquerda 
 
Se uma função ),(xfy = tem limite b quando x tende para a por valores 
inferiores, diremos que b é um limite à esquerda de )(xf e escrevemos 
 
 
 
Sendo h um número real e positivo. 
 
Exemplo 
 
11011lim23lim)2(3lim3lim
0002
==+=+=+-=--=-
®®®
®
-
hhhx
hhhx
 
 
 
 
 
II) Limite à Direita 
 
Se uma função ),(xfy = tem limite b quando x tende para a por valores 
superiores, diremos que b é um limite à direita de )(xf e escrevemos 
 
 
 
Sendo h um número real e positivo. 
 
Exemplo 
 
11011lim23lim)2(3lim3lim
0002
==-=-=--=+-=-
®®®
®
+
hhhx
hhhx
 
 
Observações 
 
a) Os limites laterais podem ser iguais ou diferentes e pode, ainda existir 
apenas um deles. 
bhafxf
hax
=+=
®
®
+
)(lim)(lim
0
 
bhafxf
hax
=-=
®
®
-
)(lim)(lim
0
 
b) Só existe limite de uma função num ponto se os limites laterais forem 
iguais, isto é 
 
 
 
Exercícios 
 
I) Calcular os seguintes limites laterais 
 
1) =
+
®
2
2
lim x
x
 R.: 4 
2) =
-
®
2
2
lim x
x
 4 
3) =+
+
®
)3(lim 2
2
xx
x
 10 
4) =+
-
®
)3(lim 2
2
xx
x
 10 
5) =-
®
-
1
1
1
5lim x
x
 0 
6) =-
®
+
1
1
1
5lim x
x
 ¥+ 
7) =
+
+
®
x
x
1
0
21
4
lim 0 
8) =
+
-
®
x
x
1
0
21
4
lim 4 
9) =-
+
®
1lim
1
x
x
 0 
10) =-
-
®
1lim
1
x
x
 
$/
 
II) Dada a função 
ï
î
ï
í
ì
<+
=
>-
=
114
12
123
)(
xsex
xse
xsex
xf , calcular 
a) =
+
®
)(lim
1
xf
x
 R.: 1 
b) =
-
®
)(lim
1
xf
x
 5 
 
III) Dada a função 
ï
î
ï
í
ì
<-
=
>-
=
4210
42
4103
)(
xsex
xse
xsex
xf , calcular 
a) =
-
®
)(lim
4
xf
x
 R.: 2 
b) =
+
®
)(lim
4
xf
x
 2 
IV) determine, caso exista: )(lim
3
xf
x®
 sendo 
ï
î
ï
í
ì
<
³-
=
- 32
314
)(
3
1
xse
xsex
xf
x
 R.: Não 
)(lim)(lim)(lim xfxfxf
axaxax ®®®
==
+-
 
Continuidade de Funções 
 
Examinemos os gráficos abaixo 
 
 
 
 
Observa-se que em f e h o gráfico da um “salto”, na função g o gráfico tem 
um “furo” e na função i não existe nem “salto” e nem “furo”. Dizemos que a 
função i é contínua em todos os pontos do seu domínio, mas as demais são 
descontínuas para .ax = 
 
 
Continuidade da função num ponto 
 
Uma função f é contínua para ax = , se 
 
a) existir ),(af (real e finito) 
b) existir ),()(lim afxf
ax
=
-
®
 
c) existir ).()(lim afxf
ax
=
+
®
 
 
Exemplos 
 
1) Verifique se a função 32)( 2 -= xxf é contínua em .3=x 
 
Solução 
 
a) 153183)9(23)3(2)3( 2 =-=-=-=f 
x 
y 
a 
 
 
y 
x a O O 
f 
g 
y 
x O 
h 
a 
i 
a 
y 
O x 
b) [ ] [ ] [ ]=+-=-+-=--=-
®®®
®
-
2
0
2
0
2
0
2
3
615lim3)69(2lim3)3(2lim)32(lim hhhhhx
hhhx
 
 )3(1500150)0(615 2 f==--=+-= 
c) [ ] [ ] [ ]=++=-++=-+=-
®®®
®
+
2
0
2
0
2
0
2
3
615lim3)69(2lim3)3(2lim)32(lim hhhhhx
hhhx
 
 )3(1500150)0(615 2 f==++=++= 
 
A função satisfaz a três condições, portanto é contínua para 3=x e abaixo 
temos o esboço do gráfico mostrando a continuidade no ponto considerado. 
 
 
2) Verifique se é contínua em 2=x a função 
î
í
ì
>-
£
=
23
22
)(
2 xsexx
xsex
xf 
Solução 
 
a) 422)2( =×=f 
b) [ ] )2(404024)24(lim)2(2lim)2(lim
002
fhhx
hhx
==-=×-=-=-=
®®
®
-
 
c) [ ] =--++=+-+=-
®®
®
+
)3644(lim)2(3)2(lim)3(lim 2
0
2
0
2
2
hhhhhxx
hhx
 
 )2(2200)2(lim 02
0
fhh
h
¹-=-+=-+=
®
 
 
A função não satisfaz a terceira condição, portanto é descontínua para ,2=x 
como mostra o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
y 
4 
x 
2- 
2 
y 
3 
15 
x 
3) Verifique se a função ,
2
82
)(
2
-
-+
=
x
xx
xf possui algum ponto de 
descontinuidade. 
 
Solução 
 
O domínio da função é D = R – { 2 }, portantoela não é definida para 2=x , 
isto é, não existe )2(f e portanto é descontínua neste ponto. 
 
Para construir o gráfico podemos simplificar a expressão pois 
 
4)(
2
)4)(2(
2
82
)(
2
+=Þ
-
+-
=
-
-+
= xxf
x
xx
x
xx
xf , desde que .2¹x 
 
 
 
Continuidade da função num intervalo 
 
Uma função f é contínua num intervalo [ ]ba, se for contínua à direita de ,a à 
esquerda de ,b e contínua em todos os outros pontos do intervalo. 
 
 
Exercícios 
 
Verificar se as funções abaixo apresentam pontos de descontinuidade. 
 
1) 
ï
î
ï
í
ì
>-
££-
<-
=
392
302
04
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf 
2) 
î
í
ì
³
<
=
03
02
)(
xse
xse
xf
x
 
3) 
x
xf
1
21
6
)(
+
= 
4) 
3
5
)(
-
+
=
x
x
xf 
 
2 
6 
4- 
x 
y 
O 
Assíntotas 
 
Assíntota vertical 
 
Diz-se que a reta ax = é uma assíntota vertical do gráfico de uma função ,f 
se f tem limite infinito quando x tende para .a 
 
Exemplo 
 
Seja 
2)1(
2
)(
-
=
x
xf 
 
Solução 
 
A função não existe para ,1=x mas calculando os limites laterais neste ponto, 
temos: 
a) ¥+====
-
=
--
=
-
®®®
®
- 0
2
0
22
lim
)(
2
lim
)11(
2
lim
)1(
2
lim
220202021 hhhx hhhx
 
b) ¥+====
+
=
-+
=
-
®®®
®
+ 0
2
0
22
lim
)(
2
lim
)11(
2
lim
)1(
2
lim
220202021 hhhx hhhx
 
 
 
Assíntota horizontal 
 
Dizemos que a reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função 
f , se f tem limite igual a b quando x tende para o infinito. 
 
Exemplo 
 
Seja 
1
2
)(
2
2
+
=
x
x
xf 
 
Solução 
 
Observemos que 
 
y 
x 1=x O 
A figura ao lado mostra o 
gráfico da função junto com 
a assíntota vertical .1=x 
2)2(lim
2
lim
1
2
lim
2
2
2
2
===
+
±¥®±¥®±¥® xxx x
x
x
x
 
 
 
 
Exercícios 
 
Em cada uma das funções abaixo encontre as assíntotas horizontal e/ou 
vertical, se elas existirem, e construa o gráfico. 
 
1) 
3
5
)(
-
=
x
xf 
2) 
2
2
)(
-
+
=
x
x
xf 
3) 
3
3
)(
2
2
+
=
x
x
xf 
4) 
1
1
)(
2
-
+
=
x
x
xf 
5) 
1
)(
2
3
-
=
x
x
xf 
2=y 
y 
x O 
Na figura ao lado temos o 
gráfico da função e a 
assíntota horizontal .2=y