15._DISTRIBUIO_BINOMIAL

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BIOESTATISTICA 
Profa. Larissa Santana Barreto
Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE 
Departamento de Estatística e Informática
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Modelo para Variável Aleatória 
Discreta (Binomial)
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Modelos para V.A Discreta
➢ A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória 
permite a definição de um modelo apropriado a cada situação. 
Por modelo probabilístico para uma variável aleatória X 
entendemos uma forma específica da função de distribuição de 
probabilidade que reflita o comportamento de X. 
➢ Os modelos para variáveis aleatórias discreta que estudaremos 
serão os modelos: Binomial e Poisson. 
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Distribuição Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados 
Exemplo: 
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa. 
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é 
positivo ou negativo. 
3. Uma amostra de ar contem ou não uma molécula rara. 
4. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
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➢ Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser 
representadas genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. 
Associaremos p, a probabilidade de sucesso, ao evento que nos 
interessa e 1-p, será a probabilidade de fracasso. 
➢ Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e 
originam uma v.a com distribuição de Bernoulli.
Distribuição Bernoulli
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Distribuição Bernoulli
➢ Uma v.a (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores, 
1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com 
probabilidade de sucesso p, isto é, 
 
 1, se ocorrer sucesso 
 X= 
 0, se ocorrer fracasso 
E sua função de probabilidade é dada por: 
 ou 
Notação: X~Bernoulli(p), indica que a v.a X tem distribuição de 
Bernoulli com parâmetro p. 
Exemplo 1: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma 
bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes obtidas. Calcular E(X) , 
Var(X) e determinar P(X). 
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Exemplo
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Distribuição Binomial
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos 
com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta 
o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de 
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de 
probabilidade é dada por: 
 𝑃 (𝑋 = 𝑥) = (𝑛𝑥)𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥, 𝑥 = 0,1, ⋯, 𝑛
𝑜𝑛𝑑𝑒(𝑛𝑥) = 𝑛!𝑥!(𝑛 − 𝑥)!     e    0! = 1
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Distribuição Binomial
➢ Notação: X~B(n,p) indica que v.a X tem distribuição Binomial com 
parâmetros n e p. 
➢ A esperança e a variância de X~B(n,p) são: 
 E(X)=np 
 Var(X)=np(1-p). 
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Exemplo
Exemplo 1: Certa doença que acomete aves criadas em cativeiro pode ser 
curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. 
Selecionamos ao acaso 15 aves que tem a doença e serão submetidas à 
cirurgia. Responda qual a probabilidade de: 
 
a) Todas as aves serem curadas? 
X: número de aves curadas 
X: 0, 1, 2, 3,...,15. 
n: 15 
p: 0,80 
 𝑃(𝑋 = 15) = (1515) × 0,8015 × (1 − 0,80)0 = 15!15!(15 − 15)! × 0,04 × 1 = 0,04 𝑜𝑢 4%
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Exemplo
b) No mínimo 13 aves serem curadas? 
X: número de aves curadas 
X: 0, 1, 2, 3,...,15. 
n: 15 
p: 0,80 
 
 
 
 
 
 
𝑃 (𝑋 ≥ 13) = 𝑃 (𝑋 = 13) + 𝑃 (𝑋 = 14) + 𝑃(𝑋 = 15)
= (1513) × 0,8013 × 0,202 + (1514) × 0,8014 × 0,201 + (1515) × 0,8015 × 0,200
=
15!
13!2!
× 0, 05 × 0,04 +
15!
15!1!
× 0,04 × 0,2 +
15!
15!0!
× 0,04 × 1 =
  = 0,21 + 0,12 + 0,04 = 𝟎, 𝟑𝟕 𝒐𝒖 𝟑𝟕%
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Exemplo
c) Suponha agora que 100 aves, com a doença, farão a cirurgia. Qual o valor 
esperado do numero de aves curadas? 
n = 100 
p = 0,80 
 𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 = 100 × 0,80 = 80
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Exemplo
Exemplo 2: Falha no coração é devida a ocorrências naturais (87%) ou 
a fatores externos (13%). Suponha que 5 pacientes irão a uma 
emergência por causa de falha no coração. Suponha que as causas de 
falha no coração entre os indivíduos sejam independentes. 
a) Qual é a probabilidade de três indivíduos terem falhas causadas 
por fatores externos? 
X: numero de indivíduos que tiveram falhas causadas por fatores 
externos 
X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 
n: 5 
p: 0,13 
𝑃 (𝑋 = 3) = (53) × 0, 133 × (1 − 0,13)2 = 10 × 0,002 × 0,76 = 0,02
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Exemplo
b) Qual é a probabilidade de três ou mais indivíduos terem falhas 
causadas por ocorrências naturais? 
X: numero de indivíduos que tiveram falhas causadas por fatores 
naturais 
X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 
n: 5 
p: 0,87 
 
 
𝑃 (𝑋 ≥ 3) = 𝑃 (𝑋 = 3) + 𝑃 (𝑋 = 4) + 𝑃 (𝑋 = 5)
= (53) × 0,873 × 0,132 + (54) × 0,874 × 0,131 + (55) × 0,875 × 0,130
= 10 × 0,66 × 0,02 + 5 × 0,57 × 0,13 + 1 × 0,50 × 1
                = 0,13 + 0,37 + 0,50 = 1
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Exemplo
c) Qual a media do número de indivíduos com falhas causadas por 
fatores externos? 
X: numero de indivíduos que tiveram falhas causadas por fatores 
 externos 
n: 5 
p: 0,13 
𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 = 5 × 0,13 = 0,65
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Exercício 
Exercício 1: O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova 
de múltipla escolha, que consiste em 10 questões, cada uma com 4 
alternativas. O professor estabeleceu que para ser aprovado o aluno 
deve acertar corretamente pelo menos 8 questões. Qual a 
probabilidade de um aluno ser aprovado?