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Aula 1_Distribuição Discreta de Cargas

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Profª. Me Wangner Barbosa da Costa 
Física II 
Eletricidade e Magnetismo 
 
Aula – Distribuição Discreta de Cargas 
e 
Fluxo Elétrico 
Faculdade de Tecnologia de Bauru 
Automação Industrial 
 Bauru. 
2 
A NATUREZA DA ELETRICIDADE 
Modelo de Bohr para o átomo 
No núcleo estão os prótons e os nêutrons 
Os elétrons são carregados negativamente e situam-se em 
diferentes camadas 
Os prótons são carregados positivamente 
2 
No seu estado natural, um átomo de qualquer elemento contém um número igual de elétrons e de 
prótons. 
massa do próton = 1.7  10-27 kg 
massa do elétron = 9.1  10-31 kg  muito leve 
Como a carga negativa (-) de cada elétron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva (+) de 
cada próton, as duas cargas opostas se cancelam. Um átomo nestas condições é eletricamente 
neutro, ou está em equilíbrio. 
(C) Coulomb106.1 19q
Valor absoluto da carga elementar: 
3 
No atual modelo atómico, as órbitas bem definidas dos elétrons foram substituídas por zonas de 
probabilidade eletrónica 
4 
Os corpos são formados por muitos átomos e em geral contém quantidades iguais de cargas 
positivas e negativas ( )  são eletricamente neutros 
PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉTRICAS 
Contudo, por exemplo, friccionando o PVC na lã, haverá transferência de carga de um material 
para o outro e o PVC fica carregado negativamente, e passa a atrair pequenos objectos. 
2310~
Cada elétron transferido adiciona uma carga negativa ao PVC  uma carga positiva equivalente 
é deixada na lã. 
 PORQUE NUM SISTEMA ISOLADO AS CARGAS ELÉTRICAS 
SEMPRE SE CONSERVAM 
4 
5 
Temos um efeito diferente se friccionarmos a lã no nylon  o nylon fica carregado positivamente. 
Aproximando o PVC do nylon eles se atraem 
Foi Benjamin Franklin (1706-1790) que denominou de carga positiva e carga negativa. 
 
Aproximando o PVC do PVC eles se repelem 
Aproximando o nylon do nylon eles se repelem 
5 
AS CARGAS SÃO TRANSFERIDAS EM QUANTIDADES DISCRETAS 
nqQ 
n  o número de prótons ou elétrons 
(C) Coulomb106.1 19q
6 
CARGAS DO MESMO SINAL REPELEM-SE 
CARGAS DE SINAL OPOSTO ATRAEM-SE 
Concluímos que 
6 
Assim temos as seguintes possibilidades  
7 
CONDUTORES E ISOLANTES 
CONDUTORES ELÉTRICOS são materiais nos quais alguns elétrons se deslocam de 
maneira relativamente livre 
ISOLANTES ELÉTRICOS são materiais nos quais as cargas elétricas não se deslocam 
livremente 
Exemplos: vidro, borracha e madeira 
Exemplos: cobre, alumínio e prata 
7 
8 
Exemplos: 
8 
Isolantes  
Esfera condutora Condutores 
9 9 
LEI DE COULOMB 
Charles Coulomb inventou uma balança de torção e através dela descobriu 
que a força elétrica entre duas pequenas esferas carregadas é proporcional ao 
inverso do quadrado da distância r de separação entre elas: 
2/1 rF 
2
21
r
qq
kF
ee

A força elétrica entre duas partículas carregadas com cargas ql e q2 e 
separadas por uma distância r é 
122
21
12 rˆ
r
qq
kF e


é a constante de Coulomb e a força é medida em newtons se as cargas estão 
em coulombs e a distância de separação está em metros 
 C/m N 1099.8
4
1
 onde 229
0
 ek
 vácuodo adepermitivid a é m N/C 108542.8 e 22120

A força elétrica expressa na forma vetorial é 
10 
Exemplo 1 
a) Calcule a força de atração entre o elétron e o próton no átomo de 
hidrogênio. 
Dados: 
massa do próton = 1.7  10-27 kg 
massa do elétron = 9.1  10-31 kg 
carga do elétron = carga do próton = 1.6  10-19 C 
distância entre o elétron e o próton = 5.3  10-11 m 
11 
b) Calcule a relação entre a força elétrica e a força gravitacional entre próton e elétron no caso 
anterior 
Podemos desprezar a força gravitacional em relação a força elétrica 
12 
Para um sistema de n cargas podemos determinar a força resultante que atua sobre uma das 
cargas 
i
i
ei r
r
qq
kF 12
1
1
ˆ

onde a força entre cada par de cargas é dada por 
A C 
B 
q1 q3 
q2 
F13 
F23 
FR 



n
i
ijnR FFFFF
1
32313 .....

As forças elétricas obedecem ao princípio da sobreposição: 
13 
Exemplo 2 
A C 
B 
q1 q3 
q2 Dados: 
q1 = 1.5x10
-3 C 
q2 = -0.5x10
-3 C 
q3 = 0.2x10
-3 C 
rA = 1.2 m e rB = 0.5m 
 
Determine a força resultante sobre a carga q3. 
F13 
F23 
FR 
    yxR
e
r
qq
ke
r
qq
kFFF

2
B
32
2
A
31
2313 
   
Nx
r
qq
k
r
qq
kFR
3
2
2
B
32
2
2
A
31 1006.4

















14 
CAMPO ELÉTRICO 
O campo gravitacional num ponto no espaço 
é igual à força gravitacional que age sobre 
uma partícula de prova (teste) de massa m0 
dividida pela massa da partícula de prova: 
0m
F
g
g



Campo gravitacional 
15 15 
O campo elétrico num ponto do espaço é definido como a força elétrica que age sobre 
uma partícula de prova, colocada neste ponto, dividida pela carga q0 da partícula de 
prova (teste). Assim: 
0q
F
E e



O vetor E
newtons por coulomb (N/C) 
tem as unidades SI de 
A carga de teste serve como detetor do campo elétrico 
Escolhemos a convenção de que uma partícula de prova tem sempre uma carga elétrica 
positiva 
 
 
:nalgravitacio Campo
0











m
F
g
g


Campo elétrico 
16 
EqFe


Conhecendo-se o campo elétrico num ponto P, podemos calcular a força que age sobre 
uma partícula com carga q colocada nesse ponto, porque: 
r
q
r
qq
k
q
F
E
e
e ˆ
0
2
0
0




A força exercida sobre uma carga de prova situado à 
uma distância r da carga q é dada pela Lei de 
Coulomb: 
r
r
qq
kF ee
ˆ
2
0  
O campo elétrico criado por q no ponto P ( posição da carga de prova) é 
r
r
q
kE e
ˆ 
2


 
q 
q 
r 
E

E

17 
r
r
q
kE e
ˆ 
2


EqFe


18 
Se q for positiva, o campo elétrico estará orientado radialmente para fora a partir dela. Se q for 
negativa, o campo se orientará para dentro. 
Campo elétrico num ponto P devido à um conjunto de partículas: 
i
i i
i
e r
r
q
kE ˆ
2


r
r
dq
kE e
ˆ
2


Campo elétrico num ponto P devido à uma distribuição contínua de cargas 
r
r
q
kE e
ˆ 
2


q 
q 
r 
E

E

19 
LINHAS DO CAMPO ELÉTRICO 
As linhas de campo elétrico é uma representação gráfica que fornece uma descrição qualitativa do 
campo elétrico. 
• O vetor campo elétrico é tangente à linha do campo elétrico em cada ponto 
LINHAS DE CAMPO PARA UMA CARGA 
PONTUAL POSITIVA 
 ESTÃO ORIENTADAS RADIALMENTE PARA 
FORA 
LINHAS DE CAMPO PARA UMA CARGA 
PONTUAL NEGATIVA 
 ESTÃO ORIENTADAS RADIALMENTE 
PARA DENTRO 
• O campo elétrico é grande onde as linhas do campo estão próximas e pequeno onde as linhas 
estão bem separadas  número de linhas por unidade de área é proporcional à intensidade do 
campo elétrico 
20 
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA UMA CARGA PONTUAL POSITIVA E OUTRA NEGATIVA 
IGUAIS: 
E

E

 
LINHAS DE CAMPO PARA CARGAS PONTUAIS (continuação) 
 Pequenos pedaços 
de fibra suspensas em 
óleo se alinham com 
as linhas de E 
21 
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA DUAS CARGAS PONTUAIS POSITIVAS IGUAIS 
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA UMACARGA PONTUAL POSITIVA E OUTRA NEGATIVA IGUAIS 
(continuação): 
22 
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA UMA CARGA POSITIVA (+2q) E OUTRA 
NEGATIVA (-q) 
23 
LINHAS DE CAMPO GERADAS POR DUAS CARGAS NÃO UNIFORMES 
24 
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 
A força elétrica resultante exercida sobre a carga é 
dada por 
A força resultante faz com que a partícula acelere. A 
segunda lei de Newton aplicada à partícula fornece 
amFe


A aceleração da partícula é 
m
Eq
a



Se o campo elétrico é uniforme (isto é, se tem magnitude e direção constantes), a aceleração é 
constante 
eF

E

25 
Se uma partícula tiver carga positiva, sua aceleração será na direção do campo 
elétrico. 
Se a partícula tiver carga negativa, sua aceleração será na direção oposta à do campo 
elétrico. 
m
Eq
a



Cargas libertadas do repouso, num campo elétrico , orientado ao longo do eixo x 
26 
Cargas elétricas lançadas perpendicularmente à um campo elétrico uniforme 
A trajetória das cargas é uma parábola enquanto estiverem entre as placas 
27 
EXEMPLO 
Um elétron entra numa região de campo 
elétrico uniforme (como na Figura), com uma 
velocidade inicial constante, vi (fora da ação 
do campo elétrico). Obtenha a equação da 
trajetória da partícula na região do campo 
elétrico. 
A aceleração da partícula no campo elétrico é 
Resolução 
ye
m
eE
a


 
 
Eliminando o tempo, obtém-se a equação da 
trajetória na região do campo elétrico  
2
22
1
)( x
v
E
m
e
xy
ie

EXEMPLO: Tubo de raios catódicos 
28 
Os elétrons são defletidos em várias direções 
As placas criam o campo elétrico e permitem que o feixe de elétrons seja orientado 
Os elétron passam entre cada par de duas placas  uma delas carregada positivamente e outra 
carregada negativamente . 
29 
FLUXO ELÉTRICO 
O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número das linhas do campo elétrico 
que entram numa superfície 
O número de linhas N por unidade de área (densidade das linhas) é 
proporcional à intensidade do campo elétrico 
 que o número de linhas que entram a 
superfície da área A é proporcional ao 
produto EA 
E
A
N

O produto EA é chamado de fluxo elétrico 
EAE 
Unidades no SI: 
C/m N 2
(semelhante ao fluxo de água vA) 
A

E

30 


Quando a superfície A não for perpendicular ao 
campo elétrico (figura b) 
AE
EA
E
E



ou 
cos
θ é um ângulo entre o campo elétrico e a normal à 
superfície. 
θ = 0  a superfície é perpendicular ao campo e 
o fluxo elétrico é máximo. 
θ = 90  a superfície é paralela ao campo e o 
fluxo elétrico é zero. 
θ 
E

A

31 
iiiE AE cos
Fluxo elétrico através de uma pequena superfície 
Definição geral do fluxo elétrico através de uma superfície 
iA


 
superfície
AdEE

Definição geral do fluxo elétrico 
iiE AE


ou 
32 
Fluxo elétrico de uma superfície fechada 
dAEAdE nE  

representa uma integral sobre 
uma superfície fechada. 

é a componente do campo elétrico 
normal à superfície. 
nE
90
0E
90
0E
 90180 
0E
entra quesai que NNE 
 quando existe mais linhas 
saindo do que entrando na 
superfície. 
0E
0E
 quando existe mais linhas 
entrando do que saindo da 
superfície. 
33 
 é um vetor que representa um 
elemento local de área 
LEI DE GAUSS 
Através da Lei de Gauss podemos calcular o campo elétrico para distribuições 
simétricas de cargas em problemas mais complexos. 
Consideramos uma carga pontual positiva q situada no centro de uma superfície 
esférica de raio r, 
As linhas do campo irradiam para fora e, 
portanto, são perpendiculares à superfície em 
cada ponto 
iiinE AEAEAE 
o0cos

iA


iA
O fluxo através da pequena área é 
dAEdAEnE   
O fluxo resultante através de toda a superfície 
EAdAEE  
Como E é constante sobre toda a superfície  
34 
EAE 
 módulo do campo elétrico em toda a parte da superfície esférica 
2
 
r
q
kE e
 área da superfície esférica 
24 rA 
Substituindo na expressão do fluxo teremos 
  qkr
r
q
kEA eeE  44 22 






 
4
1
0

e
k
como 
 
4
4
4
0
 qqkeE  
0
q
E 
o fluxo resultante através de uma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície 
É um resultado que não depende de r e diz que 
35 
Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q 
 é uma representação matemática do fato de que: 
 
0
q
E 
• O fluxo resultante é proporcional ao número de linhas do campo 
 
• O número de linhas do campo é proporcional à carga no interior da superfície 
 
• Toda linha do campo a partir da carga tem de atravessar a superfície 
o número de linhas do campo elétrico através da 
superfície esférica S1 = ao número de linhas do campo 
elétrico através das superfícies não esféricas S2 e S3. 
Portanto, é razoável concluir que o fluxo resultante 
através de qualquer superfície fechada é independente da 
forma dessa superfície 
O fluxo resultante através de qualquer superfície 
fechada que envolve uma carga pontual q é dado por 
 
0
q
36 
Uma carga pontual localizada no exterior de uma superfície fechada 
O número de linhas entrando na superfície é igual ao 
número de linhas saindo da superfície 
O fluxo elétrico resultante através de uma superfície 
fechada que não engloba nenhuma carga é nulo 
A Lei de Gauss afirma que o fluxo resultante através de 
qualquer superfície fechada é 
0
int.

q
AdEE  

onde qint representa a carga líquida no interior da superfície, e; 
 representa o campo elétrico em qualquer ponto sobre a superfície. 
A LEI DE GAUSS AFIRMA QUE O FLUXO ELÉTRICO RESULTANTE ATRAVÉS DE QUALQUER 
SUPERFÍCIE FECHADA É IGUAL À CARGA LÍQUIDA DENTRO DA SUPERFÍCIE DIVIDIDA POR 0 
No caso de haver muitas cargas pontuais dentro da 
superfície pode-se generalizar: 
Esta técnica é adequada para calcular o campo elétrico nas situações onde o grau de 
simetria é elevado 
E

Exemplo 1: Determinar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica, que está 
num campo elétrico uniforme 
E

37 
AdE
E

 Φ dAE cos
2180cosΦ REEdAdAEE   
a  
b  
20cosΦ REEdAdAEE   
090cosΦ   dAEE

c  
O fluxo através de toda a superfície é 
00 22  RERE 
38 
Exemplo 2: A partir da lei de Gauss, calcule o campo e1étrico devido a uma carga 
pontual isolada q. 
O campo elétrico de uma carga pontual 
positiva é radial para fora por simetria e, 
portanto, é normal à superfície em todo 
ponto. 
Consequentemente, é paralelo a 
em todo ponto sobre a superfície e, então 
E

Ad

EdAAdE 

Pela lei de Gauss 
0
q
dAEAdEE  

Por simetria, E é constante em toda parte sobre a superfície, então pode ser removido da integral. 
Consequentemente 
0
24 
q
rEdAEdAE  
onde usamos o fato de que a área da superfície de uma esfera é . Agora, obtemos o campo 
elétrico: 
22
04 r
q
k
r
q
E e 
 que é o campo elétrico de uma carga pontual que 
desenvolvemos a partir da lei de Coulomb . 
24 r
39 
CONDUTORES EM EQUILÍBRIOELETROSTÁTICO 
Num condutor elétrico, tal como o cobre, as cargas (elétrons) que não estão presas a nenhum 
átomo são livres para se mover dentro do material 
Quando nenhum movimento de carga ocorre dentro do condutor, este está em equilíbrio 
eletrostático e tem quatro propriedades que vamos analisar a seguir 
• O CAMPO ELÉTRICO É NULO EM QUALQUER PONTO DENTRO DO CONDUTOR 
Considere uma placa condutora num campo elétrico 
E

As cargas induzidas sobre as superfícies da placa 
produzem um campo elétrico que se opõe ao 
campo externo, fornecendo um campo resultante nulo 
dentro do condutor 
pE

E

pE

Se o campo elétrico não fosse nulo  cargas livres 
no condutor que seriam aceleradas sob ação da 
força elétrica 
40 
• SE O CONDUTOR ISOLADO TIVER UMA CARGA LÍQUIDA, A CARGA EM EXCESSO FICA 
INTEIRAMENTE SOBRE SUA SUPERFÍCIE 
Utilizaremos a lei de Gauss para verificar a segunda 
propriedade do condutor em equilíbrio eletrostático 
Desenhamos uma superfície gaussiana dentro do condutor 
tão próxima da superfície quanto desejarmos 
0
int.

q
AdEE  

Como em qualquer ponto E = 0  ΦE = 0 portanto qin = 0 
De acordo com a Lei de Gauss 
 a carga só pode ficar na superfície do condutor 
41 
• O CAMPO ELÉTRICO IMEDIATAMENTE EXTERIOR AO CONDUTOR CARREGADO É 
PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DO CONDUTOR E TEM UMA MAGNITUDE  / 0, ONDE  É A 
CARGA POR UNIDADE DE ÁREA NESSE PONTO 
Nenhum fluxo atravessa a face plana do cilindro dentro do 
condutor porque E = 0 em qualquer ponto dentro do 
condutor. 
Logo, o fluxo resultante através da superfície gaussiana é o 
fluxo através da face plana fora do condutor onde o campo é 
perpendicular à superfície. 
Para essa face, o fluxo é EA, onde E é o campo elétrico na 
face externa do condutor e A é a área da face do cilindro 
00
int 


Aq
EAEdA
E
 
Aplicando a essa superfície Lei de Gauss 
 
0
A
EA 
Assim 
0

E
Supomos uma superfície Gaussiana na forma de um cilindro 
pequeno 
 
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS 
LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE 
A verificação dessa quarta propriedade requer conceitos que só veremos mais adiante 
42 
Exemplo : Padrão do campo elétrico de uma placa condutora carregada 
próxima de um cilindro condutor com carga oposta. 
 
 (1) as linhas do campo elétrico são 
perpendiculares aos condutores. 
(2) não há linhas dentro do cilindro (E= 0). 
Observe que 
Pequenos pedaços de fibra suspensos em óleo se 
alinham com as linhas do campo elétrico. 
Exercícios 
43

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