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ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto ESCALAS Importância da escala: O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos. é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado objeto. d/D = 1/Q · D = dimensão real do objeto · d = dimensão gráfica do mesmo objeto · Q = fator de redução ou ampliação · 1/Q = título da escala Exemplo: O lado de um quadrado que mede 8,0 m será desenhado com 4,0 cm se o título da escala utilizada for 1/200, d = D / Q d = 8,0 / 200 Escala numérica d = 0,04 m = 4,0 cm ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto é a representação gráfica (o desenho) da escala numérica.Escala gráfica Exemplo: Neste exemplo foi escolhida a escala gráfica de título 1/75. Para desenhá-la deve ser calculado o valor de 10 m nesta escala, ou seja, 10 / 75 = 0,1333 m = 13,3 cm. Usando a divisão gráfica de um segmento ( explicado na página seguinte ), este espaço foi dividido em 10 partes iguais a 1 m. Do lado esquerdo do zero da escala foi colocado o espaço de 1 m e este espaço dividido em 10 partes iguais. Esta unidade chama-se “talão da escala” onde serão medidos décimos do metro. Obs. A quantidade de unidades da escala depende do espaço onde vamos desenhá-la. Supondo que o espaço fosse de 10 cm, o cálculo seria: d = 0,10 logo D = 0,10 x 75 = 7,5 m Neste caso a escala teria somente 6,5 m porque a primeira unidade seria reservada ao talão. ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto P ; * Traçar uma reta auxiliar que tenha qualquer que lhe seja concorrente nos pontos ou ara dividir o segmento em 5 partes iguais, por exemplo:AB inclinação em relação ao segmento AB e A B. DIVISAÕ GRÁFICA DE UM SEGMENTO – Teorema de TALES DE MILETO * Marcar 5 segmentos de mesmo tamanho sobre a reta auxiliar; * Desenhar o triângulo * Traçar paralelas ao segmento AC pelos pontos marcados sobre a reta auxiliar .Estas paralelas dividem o segmento AB em 5 partes iguais. ABC. Na página seguinte uma breve explicação sobre o matemático Tales de Mileto ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto Tales de Mileto Período: c. 625 - 546 a.C. Assuntos matemáticos envolvidos: •Geometria: teorema de Tales; semelhança de triângulos; ângulos;circunferência; cálculo da altura da pirâmide; Texto do site: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/tales.html Para alguns historiadores da matemática antiga, a geometria demonstrativa iniciou-se com Tales de Mileto, um dos sete sábios da Grécia. Foi o fundador da escola jônica, escola de pensamento dedicada à investigação da origem do universo e de outras questões filosóficas, entre elas a natureza e a validade das propriedades matemáticas dos números e das figuras. Tales é uma figura imprecisa historicamente, pois não sobreviveu nenhuma obra sua. O que sabemos é baseado em antigas referências gregas à história da matemática que atribuem à ele um bom número de descobertas matemáticas definidas. Pouco sabemos sobre a vida e obra de Tales. Supõe-se que começou sua vida como mercador, tornando-se rico o suficiente para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a realização de algumas viagens. Supõe-se que viveu algum tempo no Egito onde provavelmente aprendeu geometria e na Babilônia onde entrou em contato com tabelas e instrumentos astronômicos. Faz parte do seu mito o fato de ter previsto o eclipse solar de 585 a.C., embora muitos historiadores da ciência duvidem que os meios existentes na época permitissem tal proeza. Atribui-se a Tales o cálculo da altura das pirâmides, bem como o cálculo da distância até navios no mar, por triangulação. Tales foi o primeiro personagem conhecido a quem associam-se descobertas matemáticas. Acredita-se que obteve seus resultados mediante alguns raciocínios lógicos e não apenas por intuição ou experimentação. Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales são: •A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais; •A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais; •A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; •A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois retos; •Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais. ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto 4. Qual a área real do terreno retangular desenhado abaixo? 1. Representar uma escala gráfica cujo título e 1/125 e outra com título igual a 1/75. 2. Um terreno retangular de 12 x 18 metros está desenhado na escala 1/150.Quanto mede sua área gráfica? 3. Uma circunferência de raio igual a 6,0m foi desenhada com raio igual a 3,75cm. Em que escala está o desenho? U - m Esc - 1/85 6. Qual a área real do terreno abaixo representado na escala 1/200 ? Exercícios de escalas ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto 7. Qual escala deve ser usada para desenhar uma sala de 5,0m por 10,0m numa folha de papel formato A4? Dimensões do papel A4: 210 x 297 mm. Analisar o melhor aproveitamento para a folha de papal sem esquecer as margens. 8.Qual a escala para as seguintes situações: Medida real Medida do desenho Escala 10,0m 10cm ...../...... 20,0m 10cm ...../...... 10,0m 4cm ...../...... 20,0m 1cm ...../...... 30,0m 75cm ...../...... 02,0m 20cm ...../...... 9. Um segmento de 2,0m será representado no desenho por: 9.1 1/50 ........................................ 9.2 1/25 ........................................ 10. O desenho de uma janela tem sua largura = 3,0 cm. Qual sua medida real? 1/25 ............/................. 1/75 ............/................. 1/50 ............/................. 11. Um centro de convenções tem dimensões 100m X 75m: Qual as dimensões do papel para uma escala de 1/100? Qual a escala máxima a ser adotar para um papel com as dimensões de 40 X 30 cm ? Considerando que as escalas mais conhecidas são 1/250, 1/200, 1/100, 1/75, 1/50, 1/25, 1/20, 1/10, e 1/5, qual a escala mais adeqüada para desenhar seu projeto utilizando o papal com o formato A (dimensão 841/1189 mm)? 0 ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto Os triângulos ABC e A´B´C´ são semelhantes. Polígonos semelhantes são aqueles que têm ângulos iguais e lados proporcionais As dimensões do triângulo ABC são o dobro das dimensões do trianguço A´B´C´e esta proporção entre suas medidas chama-se razão de semelhança. A A´ B B´ C C´ FIGURAS SEMELHANTES - HOMOTETIA A semelhança de triângulos é importante dentro do desenho geométrico e em particular na divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais, usada no estudado de escala gráfica. Partindo do triângulo ABC e usando a razão ½ chega-se ao triângulo A´B´C´, no entanto, se a origem é o triângulo A´B´C´ e a razão é 2, encontra-se o triângulo ABC. O segmento AB é semelhante ou homólogo de A´B´ da mesma forma os outros lados dos triângulos. ProfProfªª.Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto Homotetia é a operação gráfica que permite desenhar figuras semelhantes com uma particularidade: os lados semelhantes são paralelos. O Os elementos da homotetia são: O = centro de homotetia OA = raio vetor do ponto A; OB = raio vetor do ponto B; OC =raio vetor do ponto C A A´ B B´ C C´ A´B /´ AB = B´C´/ BC = C´A´/ CA = ½ Oa´/ OA = OB´/ OB = OC´/OC = ½ HOMOTETIA ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto o (centro de homotetia) A A´ C C´ B B´ U OBS: Cada ponto da figura tem seu próprio raio vetor e só pode deslocar-se sobre seu raio vetor. u A´ A A ´ A´C´ AC A´ C A´B´ AB A´ B. BS: O centro de homotetia pode ser qualquer ponto do plano da figura plana. Na figura abaixo a razão de homotetia é 3/5 entre o triângulo maior e o menor. Como os lados homotéticos são paralelos basta estabelecer esta razão em apenas um de seus raios vetores e traçar os lados semelhantes paralelos entre si. O raio vetor do ponto A está dividido em 5 partes iguais o que foi possível através da divisão gráfica tendo a reta como auxiliar. O ponto que é o homotético de ocupa a terceira parte desta divisão. Após encontrar o ponto basta traçar o lado paralelo ao lado partindo do ponto até o raio vetor de e o lado é paralelo ao lado partindo do ponto até o raio vetor de O + ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto A homotetia pode ser direta ou inversa . Quando a razão de semelhança é positiva a homotetia é direta mas quando a razão é negativa a homotetia é inversa. A figura abaixo mostra o resulatado de uma homotetia inversa. Neste caso a razão é -3/5 e as três unidades da divisão encontram-se na porção negativa do raio vetor do ponto A, dando origem ao ponto homotético A .´ Para encontrar os outros pontos o procedimento é semelhante ao caso anterior, bastando traçar paralelas aos lados homotéticos. B B´A A´ C C´O -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Os dois casos mostrados tratam de redução de figuras. ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto A C B A´ C´ O 1 2 3 4 5 Isto ocorre quando a razão de homotetia é menor do que a unidade. Quando a razão é maior do que a unidade a homotetia mostra uma ampliação. No exemplo a seguir a razão usada entre as figuras é de 5/2. Neste caso um dos raios vetores (o do ponto A), está dividido em duas unidades iguais e o ponto A´está localizado a 5 unidades do centro de homotetia (ponto O). Exercício: Desenhar uma logomarca conhecida e fazer sua figura homotética usando as razões: 1/3; 4/5; 3/2; -3/5.
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