Concordância entre circunferências (pontos de tangência)

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ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
1. TANGÊNCIA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA:
A RETA TANGENTE A UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA SEMPRE VAI SER PERPENDICULAR 
AO RAIO DO ARCO, NO PONTO DE TANGÊNCIA
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA 
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Para traçar uma tangente a uma circunferência por um de seus pontos:
Seja o ponto T um ponto 
da circunferência:
1.Traçar o raio no ponto T
Prolongar o raio e sobre 
ele marcar os pontos 1 e 
2, eqüidistantes de T
Traçar a mediatriz do 
segmento12.
Esta mediatriz é a 
tangente à circunferência 
no ponto T.
O
T
1
2
t
Tangente por um ponto da curva
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Exercício de concordância:
Desenhar um arco de circunferência que concorde com a reta r no 
ponto T e passe pelo ponto P.
1. Pelo ponto T levantar uma perpendicular à reta r;
2T
P
1 T
P
r
r
Dados:
Ponto P, reta r e o ponto T
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2. Traçar a mediatriz do 
segmento TP; 3. A intersecção da perpendicular com a 
mediatriz é o ponto O, centro do arco 
procurado.
O
r
P
O
T
r r
PP
T
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Tangentes a uma circunferência por um ponto exterior
Pelo ponto P, desenhar retas tangentes à circunferência.
Dados:
a circunferência e o ponto P exterior 
à curva:
1. Traçar a mediatriz do segmento OP e 
marcar o ponto M, ponto médio do segmento
MPO
PO
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3. Traçar as retas OT e OT’, tangentes à
circunferência.
2. Traçar uma circunferência com 
centro no ponto M e raio MO. A 
intersecção das duas circunferência 
são os pontos de tangência T e T’
T
O
M
PO
M
P
T’
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Retas tangente a duas circunferências
a) Tangentes exteriores
Dadas duas circunferências:
1. Traçar uma circunferência auxiliar com 
centro em O e raio r3 = r1 - r2 2. Traçar o ponto médio entre os centros das duas circunferências
O’
O
O’
O
r1
O’
O
r2
r3
M
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3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência 
auxiliar nos pontos 1 e 2.
4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2
O’
O
1
2
M
O
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5. Traçar os raios O1 e O2 e prolongá-los até cortar a a circunferência de raio r1 nos 
pontos T1e T2
6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência 
de raio r2. 
T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.
7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na 
circunferência de raio r2. 
T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.
T1
T2
T4
T3
1
2
O
O´
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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b) Tangentes interiores
Dadas duas circunferências:
O’
O
O’O
r1
O
O’O
r2
r3
M
1. Traçar uma circunferência auxiliar com 
centro em O e raio r3 = r1 + r2
2. Traçar o ponto médio entre os centros 
das duas circunferências
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3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência 
auxiliar nos pontos 1 e 2.
4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2
O’
O
M
1
2
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O’
O
M
1
2
T1
T2
T4
T3
5. Traçar os raios O1 e O2 os quais cortam a circunferência de raio r1 nos pontos T1e T2
6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência de raio 
r2. 
T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.
7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na 
circunferência de raio r2. 
T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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2. TANGÊNCIA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS:
PRIMEIRO PRINCÍPIO:
CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES TÊM SEUS CENTROS E O PONTO DE TANGÊNCIA PERTENCENTES À MESMA RETA
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EXERCÍCIO:
TRAÇAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA QUE CONTENHA O PONTO P E TANGENCIE O ARCO DADO NO PONTO T.
DADOS O ARCO DE CENTRO O E OS PONTOS T E P 1. TRAÇAR A RETA OT.
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2. TRAÇARA A MEDIATRIZ DO SEGMENTO TP. 3. PROLONGAR A MEDIATRIZ ATÉ CORTAR A RETA OT.
A INTERSECÇÃO DAS DUAS RETAS É O PONTO O´, 
CENTRO DO ARCO PROCURADO.
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4. COM CENTRO EM O´ E RAIO O´T OU O´P , TRAÇAR O ARCO TANGENTE.
.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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SEGUNDO PRINCÍPIO:
A MEDIATRIZ ENTRE OS CENTROS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO, É O LUGAR GEOMÉTRICO DOS 
CENTROS DE TODAS AS CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS.
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EXERCÍCIOS:
TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS 
a. TANGENTES EXTERIORES
TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS 
PONTOS DE TANGÊNCIA.
•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO 
DE TANGÊNCIA T.
1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O 
PONTO T.
2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR 
O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO 
O, OBTENDO O PONTO A.
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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM 
CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA 
CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO 
O.
4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.
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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA 
MEDIATRIZ COM A RETA TA
6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA 
ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO 
PONTO DE TANGÊNCIA.
7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO 
O´´ T = O´´ T´.
ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS 
CIRCUNFERÊNCIAS.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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EXERCÍCIOS:
TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS 
b. TANGENTES INTERIORES
TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS 
PONTOS DE TANGÊNCIA.
•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO 
DE TANGÊNCIA T.
1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O 
PONTO T.
2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR 
O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO 
NO PONTO O, OBTENDO O PONTO A.
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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM 
CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA 
CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO 
O.
4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.
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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA 
MEDIATRIZ COM A RETA TA
6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA 
ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO 
PONTO DE TANGÊNCIA.
7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO 
O´´ T = O´´ T´.
ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS 
CIRCUNFERÊNCIAS.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA