Econometria - Series Temporais

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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Séries Temporais
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. 
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
Processos Estocásticos
• É um conjunto de variáveis aleatórias ordenadas no 
tempo.
– Variável aleatória contínua: Y(t)
– Variável aleatória discreta: Yt
• O índice Ibovespa é um processo estocástico.
• Um determinado valor do índice Ibovespa no tempo, é 
uma realização particular entre todos os possíveis 
valores.
• População ↔ Amostra
• Processo Estocástico ↔ Realização
Processos Estocásticos
• Processo Estocástico ↔ Realização
• “No estudo de séries temporais usamos uma realização 
particular para fazer inferências sobre o processo 
estocástico subjacente”
Processos estocásticos estacionários
• = fracamente estacionário = estacionário em 
covariâncias = estacionário de segunda ordem
Média: E(Yt) = µ Constante ao longo 
do tempo
Variância: Var(Yt) = E(Yt - µ)
2 = σ2 Constante ao longo 
do tempo
Covariância: γk = E[(Yt - µ)(Yt+k - µ)] Depende apenas do
intervalo entre os 
dois períodos de 
tempo
Processos estocásticos estacionários
• “Se uma série temporal é estacionária, sua média, variância e 
autocovariância (em diferentes defasagens) permanecem as 
mesmas, não importa qual seja o ponto em que as medimos: isto 
é, elas não variam com o tempo.”
• Séries desse tipo tendem a retornar para sua média (reversão à 
média);
• As flutuações em torno da média não variam muito.
Ruído Branco
• Ou Processo Puramente Aleatório
• Quando:
– Sua média é zero;
– A variância σ2 é constante;
– É serial não correlacionado.
Processo Estocástico Não-Estacionário
• A média ou a variância se alteram ao longo do tempo;
• Neste tipo de série todo o resultado da análise só é 
válido para o período analisado, não é possível 
extrapolar para outros períodos de tempo.
• O exemplo clássico é o modelo de passeio aleatório
– Preços de ações, taxas de câmbio são ditos passeios 
aleatórios, ou seja, não-estacionários;
– Podem ser de dois tipos:
• Passeio aleatório sem deslocamento
• Passeio aleatório com deslocamento
Passeio Aleatório sem Deslocamento
• ut é um termo de erro de ruído branco (média e 
variâncias constantes)
• O modelo acima é um AR(1)
• Hipótese do Mercado de Capitais Eficiente: argumenta 
que o preço das ações são um passeio aleatório. Não é 
possível prever o preço de amanhã com base no preço 
de hoje.
ttt uYY  1
Passeio Aleatório sem Deslocamento
• A média é igual ao valor de partida
• A variância aumenta com o tempo (não estacionária)
• Há persistência dos choques aleatórios = o impacto 
demora a desaparecer = memória infinita
2
0
0
)var(
)(
tY
YYE
uYY
t
t
tt


 
Passeio Aleatório sem Deslocamento
• A primeira diferença é estacionária!!!
• ut é ruído branco conforme definido anteriormente
tttt uYYY   )( 1
Passeio Aleatório com Deslocamento
• ut é um termo de erro de ruído branco (média e 
variâncias constantes)
• δ é conhecido com parâmetro de deslocamento
• Yt se desloca para cima ou para baixo dependendo de δ
• Este também é um modelo AR(1)
ttt uYY  1
ttt uYY   1
Passeio Aleatório com Deslocamento
• A média e a variância aumentam com o tempo
• Passeios aleatórios com ou sem deslocamento são 
processos são processos estocásticos não estacionários
• Passeio Aleatório = Processo de Raiz Unitária
2
0
)var(
)(


tY
tYYE
t
t


Processo de Raiz Unitária
• Se ρ = 1 temos um Passeio Aleatório sem 
Deslocamento
• É uma situação de não-estacionariedade
• não-estacionariedade = passeio aleatório = raiz 
unitária
• Se | ρ | ≤ 1 a série é estacionária
111    ttt uYY
Processos estocásticos de tendência estacionária 
e estacionários em diferenças
• Considere o seguinte modelo de série temporal:
• Passeio aleatório puro: se β1=0, β2=0, β3=1
• escrevendo:
• torna-se estacionário. Portanto, um modelo de passeio 
aleatório sem deslocamento é um processo 
estacionário em diferenças
ttt uYtY  1321 
ttt uYY  1
tttt uYYY   )( 1
Processos estocásticos de tendência estacionária 
e estacionários em diferenças
• Considere o seguinte modelo de série temporal:
• Passeio aleatório com deslocamento: se β1≠0, β2=0, 
β3=1
• escrevendo:
• é um processo estacionário em diferenças. A tendência 
β1 pode ser positiva ou negativa.
ttt uYtY  1321 
ttt uYY  11
tttt uYYY   11)( 
Processos estocásticos de tendência estacionária 
e estacionários em diferenças
• Considere o seguinte modelo de série temporal:
• Tendência determinística: se β1≠0, β2 ≠ 0, β3=0
• É um processo estacionário em tendência
• A variância e a média não são constantes, entretanto, a 
média pode ser prevista:
• daí, a série Yt – E(Yt) será estacionária pós-remoção 
da tendência.
ttt uYtY  1321 
tt utY  21 
tYE t 21)(  
Processos estocásticos de tendência estacionária 
e estacionários em diferenças
• Passeio aleatório com deslocamento e com tendência 
determinística: se β1≠0, β2 ≠ 0, β3=1
• A variância e a média não são constantes, entretanto, a 
média pode ser prevista:
• que significa que Yt é não estacionário.
ttt uYtY  121 
tttt utYYY   211)( 
Processos estocásticos de tendência estacionária 
e estacionários em diferenças
• Tendência determinística com componente auto-
regressivo AR(1) estacionário: se β1≠0, β2 ≠ 0, β3<1
• É estacionário em torno de uma tendência 
determinística.
ttt uYtY  1321 
Processos estocásticos integrados
• Quando um modelo é não-estacionário mas sua 
primeira diferença é estacionária, diz-se que ele é 
integrado de ordem 1, ou, I(1)
• Se para tornar a série estacionária tem-se que fazer a 
primeira diferença e depois a diferença da primeira 
diferença, ou seja, diferenciar duas vezes, diz-se que 
ela é integrada de ordem 2, ou, I(2)
• E assim sucessivamente, uma série diferenciada d vezes 
para se tornar estacionária, é integrada de ordem d, ou, 
I(d)
• Se ela é estacionária desde o início, ela é I(0)
Processos estocásticos integrados
• Propriedades das séries integradas:
1. Se Xt ~ I(0) e Yt ~ I(1) => Zt = (Xt + Yt) = I(1)
2. Se Xt ~ I(d) => Zt = (a + bXt) = I(d)
3. Se Xt ~ I(d1) e Yt ~ I(d2) => Zt = (aXt + bYt) = I(d2), onde 
d1 < d2
4. Se Xt ~ I(d) e Yt ~ I(d) => Zt = (aXt + bYt) = I(d*), onde d* 
pode ser igual a d, mas em alguns casos d* < d
Portanto, cuidado ao combinar séries temporais que são 
integradas de ordem diferente!!
O fenômeno da regressão espúria
• A partir de dois modelos de passeios aleatórios:
• Uma regressão de Yt contra Xt onde não se esperaria 
mostrar relação significativa, pode apresentar R2 alto e 
coeficientes altamente significativos => é o fenômeno 
da regressão espúria
• Um sintoma é R2 > que a estatística d de Durbin-
Watson (que é um teste de autocorrelação)
• Portanto, cuidado ao interpretar resultados de 
regressões com variáveis que são I(1)
ttt
ttt
vXX
uYY




1
1
Testes de Estacionariedade
• Análise Gráfica
– Observar se há tendências de aumento ou diminuição na série 
temporal;
• Função de Autocorrelação e Correlograma
– A função de autocorrelação amostral mede para várias 
defasagens k:
  
 
n
YY
n
YYYY
t
ktt
k
k
k








2
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ





Testes de Estacionariedade
• Função de Autocorrelaçãoe Correlograma
– Assim, observa-se os valores de autocorrelação verificando 
até que defasagem ele é relevante.
– Observar figuras 21.6 e 21.7
– Como decidir se o coeficiente de correlação em determinada 
defasagem é significativo?
• Verificando se os intervalos de confiança para ρk incluem o valor 0, 
sabendo-se que, segundo Bartlett, ρk ~ N (0; 1/n) => complicado!
• Olhando a estatística Q de Box e Pierce e a estatística LB de Ljung e 
Box
• A hipótese nula é de que todos os ρk são até aquela defasagem iguais a 
zero
• Ao rejeitar a hipótese nula, significa que algum coeficiente de 
correlação é diferente de zero e, portanto, a série é não-estacionária
Teste da Raiz Unitária
• Para verificar a estacionariedade.
• Partindo de:
• onde ut é um termo de erro de ruído branco
• estimamos 
111    ttt uYY
)1(onde
)1(
1
1
111









ttt
tt
ttttt
uYY
uY
uYYYY
Teste da Raiz Unitária
• e verificamos se δ é igual a zero ou não. Se for zero, 
concluímos que Yt é não-estacionário, mas se for 
negativo, concluímos que Yt é estacionário.
• O valor t segue a estatística τ (tau)
• Este é o teste de Dickey-Fuller (DF)
• Dickey e Fuller desenvolveram valores críticos para 
três diferentes naturezas de processos de raiz unitária
Yt é um passeio aleatório:
Yt é um passeio aleatório com 
deslocamento:
Yt é um passeio aleatório com 
deslocamento em torno de uma 
tendência estocástica:
ttt uYY  1
ttt uYY  11 
ttt uYtY  121 
Teste da Raiz Unitária
• O procedimento correto é estimar os três modelos 
anteriores;
• Obter o coeficiente de Yt-1 e dividi-lo pelo desvio-
padrão para calcular a estatística tau;
• Consultar as tabelas de Dickey-Fuller;
• Se o valor absoluto exceder o valor crítico, rejeitamos a 
hipótese de que δ = 0 e, nesse caso, a série temporal é 
(i) estacionária com média zero no caso da primeira 
equação; (ii) estacionária com média diferente de zero 
no caso da segunda e (iii) estacionária em torno de uma 
tendência determinística no caso da terceira equação.
O teste de Dickey-Fuller aumentado
• Para levar em consideração a possibilidade de ut ser 
correlacionado;
• As 3 equações anteriores são acrescidas de valores 
defasados da variável dependente ΔYt.
• onde εt é um termo de ruído branco e ΔYt-1=(Yt-1 - Yt-2), 
ΔYt-2=(Yt-2 - Yt-3)
t
m
i
ititt YYtY   


1
121
Transformação de Séries Temporais Não-
Estacionárias
• Processos estacionários em diferenças
– Se uma série tem raiz unitária, as primeiras diferenças dessa 
série temporal são estacionárias
• Processo estacionário em tendência
– Se
– será estacionária
– e denominada série temporal sem tendência
tt utY  21 
)ˆˆ(ˆ 21 tYu tt  
Modelos de Previsão
• Para modelos de previsão ver Levine, Cap. 16:
• Para ajuste exponencial – seção 16.3
• Modelo de tendência linear, modelo de tendência 
quadrática e modelo de tendência exponencial – seção 
16.4
• Previsão de séries temporais para dados sazonais –
seção 16.7
Modelagem de séries temporais segundo os 
métodos auto-regressivo, das médias 
móveis e ARIMA
Um processo auto-regressivo (AR)
• onde δ é a média de Y
• ut é um ruído branco
• Y no período t é uma proporção (=α1) do seu valor no 
período (t-1) mais um choque ou distúrbio aleatório no 
período t
• Os valores de Y são expressos em torno de sua média
• Este é um processo auto-regressivo estocástico de 
primeira ordem, ou AR(1)
ttt uYY   )()( 11 
Um processo auto-regressivo (AR)
• É um processo auto-regressivo estocástico de ordem p, 
ou AR(p)
• Neste tipo de modelo consideram-se apenas os valores 
atual e anteriores de Y;
• “os dados falam por si mesmos”
tptpttt uYYYY   )(...)()()( 2211 
Um processo de média móvel (MA)
• onde µ é uma constante
• u é o termo de erro estocástico de ruído branco
• Y no período t é igual a uma constante mais uma média 
móvel dos termos de erro presentes e passados
• Y segue um processo de média móvel de primeira 
ordem ou MA(1)
• De forma mais geral, um processo MA(q)
110  ttt uuY 
qtqtttt uuuuY    ...22110
Um processo auto-regressivo e de médias 
móveis (ARMA)
• ARMA(1,1)
• Em um processo ARMA(p,q) haverá p termos auto-
regressivos e q termos de média móvel
11011   tttt uuYY 
Um processo auto-regressivo integrado e de 
médias móveis (ARIMA)
• Lembrando que se uma série temporal for integrada de 
ordem 1, isto é, se for I(1), suas primeiras diferenças 
serão I(0), ou seja, estacionárias. Se for I(2) sua 
segunda diferença é I(0).
• Se uma série temporal é I(d), depois de diferenciá-la d
vezes obteremos uma série I(0)
• Se após diferenciar uma série d vezes, aplicarmos um 
modelo ARMA(p,q), dizemos que a série temporal é 
ARIMA(p, d, q), uma série temporal auto-regressiva 
integrada e de médias móveis
Um processo auto-regressivo integrado e de 
médias móveis (ARIMA)
• Uma série temporal ARIMA(2,1,2) precisa ser 
diferenciada uma vez (d=1) antes de tornar-se 
estacionária, e assim a série estacionária obtida pode 
ser modelada num processo ARMA(2,2).
Método Box-Jenkins
• Ajuda a identificar se um processo é AR puro, MA 
puro, ARMA ou ARIMA
• Consiste em 4 etapas:
1. Identificação: encontra os valores adequados de p, d e q
2. Estimação: por MQO ou outros métodos não-lineares
3. Verificação de diagnóstico: para verificar a qualidade do 
ajuste
4. Previsão: bom para previsões, especialmente de curto prazo
Método Box-Jenkins - Identificação
• Ferramentas: função de autocorrelação, função parcial 
de autocorrelação e os resultantes correlogramas
• Autocorrelação parcial, ρkk, é a correlação entre Yt e 
Yt-k, depois de removido o efeito dos Y intermediários
• O correlograma mostra em que defasagem a correlação 
e a correlação parcial deixam de ser diferentes de zero
• Ver figuras 22.2 e 22.3
• Como definir qual o melhor modelo?
– Verificando quais defasagens apresentam autocorrelação 
parcial diferente de zero. No exemplo do PIB diferenciado, os 
lags 1, 8 e 12 sugerem um AR:
onde Yt
* são as primeiras diferenças 
*
1212
*
88
*
11
*
  tttt YYYY 
Método Box-Jenkins - Identificação
• Também podem ser observados os padrões teóricos das 
funções de autocorrelação e autocorrelação parcial
Tipo do 
modelo
Padrão típico da função de 
autocorrelação
Padrão típico da função parcial 
de autocorrelação
AR(p) Delicna exponencialmente ou com 
um padrão de onde senóide
amortecida, ou ambos
Apresenta picos significativos até p 
defasagens
MA(q) Apresenta picos significativos até q 
defasagens
Declina exponencialmente
ARMA(p,q) Diminui exponencialmente Diminui exponencialmente
Método Box-Jenkins - Estimação
• No exemplo do PIB, com dados em primeira diferença, 
estima-se:
• avaliando normalmente a significância estatística dos 
coeficientes
*
1212
*
88
*
11
*
  tttt YYYY 
Método Box-Jenkins - Diagnóstico
• Após a estimação, procede-se à análise dos resíduos:
– Função de autocorrelação e autocorrelação parcial: o ideal é 
que não apresentem valores significativamente diferentes de 
zero
– Observa-se a estatística Q de Box-Pierce
– Observa-se a estatística de Ljung-Box
• Se a partir dessas análises concluir-se que os resíduos 
são puramente aleatórios, o modelo estimado apresenta 
bom ajuste
Método Box-Jenkins - Previsão
• Um modelo que foi estimadocom dados em primeira 
diferença irá fornecer na previsão as variações de Y
• Para obter a previsão de Y, é preciso “desmanchar” a 
transformação das primeiras diferenças (se 
“diferenciamos” para obter a série em diferenças, agora 
“integramos” para retornar aos valores de Y)