CAPITULO___BASICO

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Parte - I
�� EMBED Equation.3 
1
Conceitos Preliminares
Este primeiro capítulo contém uma breve descrição de alguns dos principais resultados que serão utilizados no transcorrer dos outros capítulos. Os conceitos de derivada e integral estão entre os mais importantes e desempenham papel fundamental na construção de modelos matemáticos e estatísticos.
1.1 Conjuntos Numéricos
Denotamos por 
, o conjunto dos números naturais:
.
O conjunto dos números inteiros 
 é dado por:
.
Os números que podem ser escritos na forma 
, sendo 
 e 
são denominados números racionais e denotados por 
.
Os números que não podem ser escritos na forma de uma fração 
, sendo 
 e 
são denominados números irracionais e aqui serão denotados por 
.
A união dos conjuntos dos números racionais e dos números irracionais resulta no conjunto denominado de números reais sendo denotado por 
.
.
Descrições de alguns conjuntos numéricos:
i. 
, é o conjunto dos naturais sem o zero.
ii. 
, é o conjunto dos inteiros sem o zero.
iii. 
, é o conjunto dos inteiros não negativos.
iv. 
, é o conjunto dos inteiros não negativos sem o zero.
v. 
, é o conjunto dos inteiros não positivos.
vi. 
, é o conjunto dos inteiros não positivos sem o zero.
vii. 
, é o conjunto dos racionais sem o zero.
viii. 
, é o conjunto dos racionais não negativos.
ix. 
, é o conjunto dos racionais não negativos sem o zero.
x. 
, é o conjunto dos racionais não positivos sem o zero.
1.2 Limite
Seja 
 uma função definida sobre um intervalo aberto contendo 
, sendo que 
 não necessariamente precisa estar definida. O número 
 é chamado o limite da função 
 quando 
 se e somente se, para todo 
, existe 
 tal que 
 sempre que 
.
A seguir são apresentadas algumas propriedades do limite, esta propriedades são bem conhecidas e exploradas. Não vamos provar nenhuma dessas propriedades, porém cabe uma observação sobre a aplicação do limite às funções. Observado as propriedades abaixo é fácil verificar como o limite acopla-se diretamente à função, independente da operação aritmética que se esteja realizando entre funções.
Considere que existam os limites
 e 
,
dessa forma temos que:
i. 
, onde p é um número real
ii. 
, onde c é uma constante
iii. 
iv. 
v. 
vi. 
, onde c é uma constante
1.3 Número e 
Um dos principais limites em matemática é aquele que define o número e. É o único número tal que o valor 
 é igual a inclinação de sua reta tangente para todo x. É um número irracional, ou seja não pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Aparece a primeira vez em um trabalho de 1618 de John Napier. Euler foi quem introduziu a letra e para denominar o valor desse número. 
.
John Napier
Matemático escocês que viveu entre 1550 e 1617. Foi quem descobriu os logaritmos, que se constituem em uma ferramenta fundamental para resolução de contas, álgebra e aritmética. Os logaritmos aparecem no trabalho de 1614 intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Napier foi contemporâneo de Shakespeare, Camões e Francis Bacon.
O valor de e com algumas casas depois da vírgula é mostrado a seguir:
1.4 Número π
É uma das principais constantes matemáticas, sendo representado pela letra grega 
 (pi). Este número é obtido a partir da constatação de que a razão do comprimento de qualquer circunferência Euclidiana com seu diâmetro é sempre a mesma. Assim como o número e, 
 também é um número irracional.
O valor de π com algumas casas depois da vírgula é mostrado a seguir:
1.5 Derivada
O cálculo de derivadas e integrais, constitui-se na base do que convencionou-se chamar de Cálculo Diferencial e Integral. Vários matemáticos contribuíram para a construção do Cálculo Diferencial, sendo atribuído a Leibniz e a Newton, no século XVII, as principais descobertas e aplicações que influenciaram todo o desenvolvimento posterior.
Isaac Newton
Newton é ... o ... Newton.
Nasceu em Lincolnshire na Inglaterra, no Natal de 1642 pelo Calendário Juliano, ou 4 de Janeiro de 1643 pelo Calendário Gregoriano. Acesse manuscritos de Isaac Newton em http://cudl.lib.cam.ac.uk/collections/newton.
A derivada de uma função é definida como:
, (1)
se este limite existir.
Para produzir a n-ésima derivada da função precisamos realizar a iteração� desta operação n vezes. Por exemplo, para a segunda derivada teremos que:
,
,
,
.
Para obter a terceira derivada a partir da definição, fazemos:
,
,
,
.
Podemos generalizar o procedimento, dessa forma tem-se que:
. (2)
Sendo que o caso 
 também está incluído nesse resultado. O processo de obter a derivada de uma função também é chamado de diferenciação.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Nasceu em Leipzig na Alemanha, a 1º. De Julho de 1646. É creditado a Leibniz e a Newton a construção dos alicerces do Cálculo Diferencial e Integral. Desenvolveu notações e conceitos matemáticos que são usados até hoje. Acesse trabalhos de Gottfried Wilhelm von Leibniz em www.nlb-hannover.de/Leibniz/ Leibnizarchiv.
Existem várias notações para derivada, e muitas vezes elas são utilizadas ao mesmo tempo em algumas demonstrações e construções de modelos, a Tabela – 1 apresentada as notações mais utilizadas. 
	Notações para Primeira Derivada
	
 ou 
	Notação do Leibniz
	
 ou 
	Notação do Lagrange
	
 ou 
	Notação do Newton
	
 ou 
	Notação do Euler
	
	Aparece em vários textos de matemática 
	
	Aparece em vários textos de economia
Tabela – 1 Diferentes notações para representar a primeira derivada.
1.6 Regras de diferenciação
A seguir são apresentadas as principais regras de diferenciação, a partir da utilização da definição apresentada em (1). Para todas as regras existem, obviamente, formas mais sofisticadas e que levam em conta considerações técnicas detalhadas. Aqui, as regras serão obtidas de maneira mais simples, porém com o mesmo resultado.
1.6.1 Derivada de uma constante
Considere uma função 
 igual a uma constante c. Como trata-se de uma constante, alterando o valor de x não altera o valor de 
. Ou seja, aplicando a x um incremento h resulta em 
. Portanto, a derivada de c com relação a x é dada por:
 (3)
1.6.2 Regra da Potência
Considere 
, a derivada de 
 com relação a x é dada por:
. (4)
Do binômio de Newton, sabemos que:
 (5)
onde, 
 (6)
e
. (7)
Dessa forma,
Portanto, substituindo este resultado em (4) temos:
,
,
,
,
. (8)
1.6.3 Função Multiplicada por Constante
Considere uma função 
, para determinarmos a derivada de 
 com relação a x, temos pela definição de derivada que:
 (9)
1.6.4 Regra da Soma e da Subtração
Considere uma função 
, dada pela soma ou pela subtração de 
 e 
, ou seja 
. Vamos construir aderivada da soma de duas funções, o caso da subtração é análogo.
sendo que
então,
,
,
,
. (10)
1.6.5 Regra do Produto
Considere uma função 
, dada pelo produto de duas funções 
 e 
, ou seja 
. A derivada de 
 com relação a x é dada por:
sendo que
dessa forma, teremos
.
Nesse ponto, é importante destacar que seria interessante tentar expressar o limite acima em termos de derivadas de 
 e 
, para isso recorremos a seguinte manipulacão: somar e subtrair a parcela 
 do numerador. Ou seja,
,
,
,
.
Levando em conta que a função 
 é contínua, temos que 
. Portanto,
. (11)
Considerando que 
 e 
 possam ser diferenciadas n vezes, a regra geral de Leibniz para obtenção da n-ésima derivada de uma função 
 dada por 
 é definida como
,
.
No Apêndice é apresentado um exemplo de utilização da regra geral de Leibniz para o produto de funções.
1.6.6 Regra do Quociente
Podemos determinar a derivada do quociente de duas funções através de duas maneiras distintas, considerando as propriedades e manipulações apresentadas até agora.
A primeira maneira leva em conta que são conhecidos os seguintes resultados:
e
.
Considerando uma função 
, dada pelo quociente de duas funções 
 e 
, ou seja 
, teremos
,
sendo
.
,
,
,
,
. (12)
A segunda maneira leva em conta a aplicação da definição.
.
Sendo que,
.
Dessa forma,
,
.
Nesse ponto, é importante destacar que seria interessante tentar expressar o limite acima em termos de derivadas de 
 e 
, para isso recorremos a seguinte manipulação: somar e subtrair a parcela 
 do numerador. Ou seja,
,
,
,
,
.
Levando em conta que a função 
 é contínua, temos que 
. Portanto,
,
,
. (13)
A partir da fórmula geral de Leibniz para obtenção do produto de duas funções 
 e 
, podemos construir também uma fórmula geral para obter 
 dada por
. 
Essa fórmula é construída a partir da regra geral de Leibniz para o produto, porém apresenta o inconveniente de obter a derivada de k-ésima ordem de 
, dada por 
.
1.6.7 Regra da Cadeia
Considere uma função 
, dada pela composição de duas funções 
 e 
, ou seja 
. Aplicando a definição de derivada teremos
,
.
Nesse ponto, é importante destacar que seria interessante tentar expressar o limite acima em termo de uma derivada para 
 ou 
, para isso considere a seguinte substituição
e
.
Isso permite escrever 
 da seguinte forma
.
Assim, teremos que
.
Multiplicando o limite acima por 
 ficamos com
,
,
,
. (14)
Para expressar o primeiro limite de (14) como uma derivada da função g, é preciso verificar se t tende a zero quando h tende a zero. Sabemos que
,
e que a função 
 é contínua, sendo assim
.
Ou seja, podemos considerar que t tende a zero quando h tende a zero. Voltando em (14), pode-se escrever então, que
,
,
. (15)
1.6.8 Regra da Cadeia para Potências
Considere a função
,
sendo n, um número real. Aplicando a regra da cadeia tem-se que 
 é uma função composta do tipo
.
Sendo assim,
,
. (16)
Considerando que 
 e 
 possam ser diferenciadas n vezes, a fórmula geral de Faà di Bruno para obtenção da n-ésima derivada de uma função 
 dada por 
 é definida como
,
sendo
,
essa soma sendo realizada para todas as diferentes soluções dadas pelos inteiros não negativos 
.
A ordem da derivada em 
 é dada por
.
A fórmula geral de Faà di Bruno também pode ser escrita como
. (17)
Francesco Faà di Bruno
Nasceu em 29 de março de 1825 em Alexandria, viveu até 27 de março de 1888. Em 1853 deixa a carreira militar e ingressa na Sorbonne tendo como colega de classe Hermite e um de seus professores Cauchy. Em 1876 torna-se padre. Entre suas contribuições para a matemática destacam-se resultados de seus estudos sobre funções elípticas.
No Apêndice é apresentado um exemplo de utilização da fórmula geral de Faà di Bruno, para o caso de n igual a 3.
1.6.9 Derivada do Seno
Para determinar a derivada do seno, são necessários alguns resultados preliminares, tais como o Teorema do Confronto, o valor do limite de seno de x sobre x quando x tende a zero e algumas relações trigonométricas.
Teorema do Confronto: Sejam f, g e h funções que satisfazem 
 para todo x em algum intervalo aberto que contenha um ponto a, considerando a possível exceção de que as desigualdades não precisam ser válidas nesse ponto a. Se g e h tiverem o mesmo limite quando x tende a a, digamos 
, então f também tem esse limite quando x tende a a, isto é, 
.
Uma vez que foi enunciado o Teorema do Confronto, considere a circunferência trigonométrica mostrada na Figura – 1, sendo 
.
	
�
	Da Figura – 1, podemos identificar os triângulos 
 e 
 e o setor circular 
. Esta é a forma mais comum para demonstrar um importante resultado do cálculo de limites, dado por 
.
Facilmente pode-se verificar que
Figura – 1 Círculo Trigonométrico.
É possível identificar as seguintes relações de áreas para os triângulos:
,
.
No caso do setor circular a área é dada por:
.
Por construção, as áreas descritas acima dos triângulos 
 e 
 e do setor circular 
, apresentam a seguinte relação
.
Ou seja,
. (18)
Da forma como estas relações foram construídas, poderia-se fazer o mesmo considerando-se o quarto quadrante, com o inconveniente de algumas mudanças de sinais. Para tornar a demonstração mais geral será usado o valor absoluto de cada uma das parcelas da desigualdade (18). Assim,
.
Multiplicando-se por 2 resulta em
.
Como o interesse é avaliar o limite de 
, o próximo passo é multiplicar cada parcela por 
, ou seja
,
e
.
invertendo, as parcelas há a necessidade de mudar o sinal da desigualdade, dessa forma
.
Pode-se verificar que, independente de considerar-se o primeiro ou o quarto quadrante para a demonstração 
 será positivo, e 
 também terá sinal positivo, portanto pode-se remover o módulo.
.
Resta agora aplicar o limite com x tendendo a zero a cada uma das parcelas,
.
Sabendo que 
 e 
, tem-se 
.
Do Teorema do Confronto, pode-se finalmente concluir que
. (19)
Este resultado mostrado em (19) é utilizado em diversas demonstrações e constitui-se em um dos principais limites do Cálculo Diferencial.
Muitas vezes são necessárias algumas relações trigonométricas que envolvem seno e co-seno para a construção de derivadas de algumas funções. Dados os arcos x e y, considere 
 e 
, o que resulta em 
 e 
. Dessa forma, podemos construir as seguintes relações trigonométricas:
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
v. 
vi. 
vii. 
viii. 
Os resultados apresentados até aqui fornecem os subsídios necessários para determinar a derivada de 
 a partir da definição de derivada. Portanto, sendo 
, teremos que:
.(20)
O numerador do limite (20) pode ser reescrito utilizando o resultado (iv), o que produz
,
,
,
para poder expressar o limite 
 na forma do limite fundamental 
, podemos realizar a seguinte manipulação
,
,
,
. (21)
1.6.10 Derivada do Cosseno
Considere 
, pela definição a derivada de 
 é dada por
. (22)
O numerador do limite (22) pode ser reescrito utilizando o resultado (viii) das relações trigonométricas, o que produz
,
,
,
para poder expressar o limite 
 na forma do limite fundamental 
, podemos realizar a seguinte manipulação
,
,
,
. (23)
1.6.11 Derivada de lnx
Considere 
, onde ln denota o logaritmo tomando como base o número e, ou seja 
. Algumas propriedades do logaritmo são:
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
.
Pela definição a derivada de 
 é dada por
,
,
.
Tal como na obtenção na derivada da função exponencial 
 a idéia aqui é tentar transformar o limite do logaritmo para facilitar a obtenção do resultado. Sendo assim, podemos escrever
,
,
,
,
,
.
O limite 
 é exatamente aquele que define o número e, portanto
,
. (24)
1.6.12 Derivada de ex
Considere 
, pela definição a derivada de 
 é dada por
,
,
,
. (25)
Para determinar o valor do limite 
, considere a seguinte substituição
.
Para escrevermos o limite 
 em termos da nova variável t, é preciso verificar o comportamento de t quando h tende a zero. Para isso considere 
, quando h tende a zero a parcela 
 tende a um, o que implica que t tenderá a infinito. Sendo assim,
.
O limite 
 é exatamente aquele que define o número e, portanto
.
Aplicando este resultado em (25) tem-se que
. (26)
1.7 Função Contínua
Dizemos que a função f é contínua num ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas:
i. f está definida no ponto a;
ii. 
 existe;
iii. 
.
1.8 Regra de L’Hôpital
Considere as funções 
, 
 e 
, tal que
, (27)
, (28)
e
. (29)
Dos limites (27) e (28) e pelo fato de que estamos considerando funções contínuas temos que 
, dessa forma, podemos escrever 
. (30)
Multiplicando o numerador e o denominador de (30) por 
 produz
.
Aplicando o limite dos dois lados de (30) resulta em 
,
.
Portanto,
. (31)
Esse resultado também é válido para os casos em que temos os limites
, 
e 
. 
Guillaume François Antoine – Marquês de L’Hôpital
Matemático francês que nasceu em Paris em 2 de Fevereiro de 1704. A regra de L’Hôpital que leva o nome do Marquês apareceu em 1696 no seu livro Analyse des Infiniment Petits. Também é considerado como um dos primeiros matemáticos a ter resolvido o problema da Brachistochrone� proposto por Johann Bernoulli. 
1.9 Integração
Inicialmente a integral pode ser considerada sob dois aspectos, o primeiro está relacionado com a determinação de antiderivadas das funções, e o segundo é a aplicação da técnica de integração para cálculo da área sob o gráfico de uma função. A integral indefinida de uma função, ou antiderivada de 
 é dada por
 (32)
sendo que C é chamada de constante de integração, dessa forma
.
A integral definida surge como técnica para determinar a área sob o gráfico de uma função, em um intervalo 
, consiste na soma de áreas cada vez menores sob o gráfico da função, para que a precisão seja cada vez maior. Essa soma, também conhecida como soma de Riemann, é representada pelo limite
ou
. (33)
Sendo que o intervalo 
 foi dividido em subintervalos de comprimentos iguais a 
, e o limite mostrado em (33) é chamado de integral definida da função f de a até b e representada por
. (34)
Algumas propriedades da integral definida são mostradas a seguir.
i. 
, onde c é uma constante
ii. 
iii. 
, onde 
iv. 
v. 
O símbolo ∫ , denominado como símbolo da integral, é uma forma alongada da letra S e foi utilizada inicialmente por Leibniz. 
O Teorema Fundamental do Cálculo garante o seguinte resultado
, (35)
onde F é uma antiderivada qualquer de f, ou seja, 
. Antes de prosseguir ao Teorema Fundamental do Cálculo é importante considerar o resultado fornecido pelo Teorema do Valor Médio.
1.10 Teorema do Valor Médio
Seja f uma função contínua no intervalo , então existe um ponto c entre a e b tal que:
. (36)
Para demonstrar o resultado apresentado em (36) considere uma partição regular de ordem n do intervalo , dada por
. A média dos n valores da função f , denotada por
, é obtida da seguinte forma:
. (37)
Para obtermos a média de todos os valores de f sobre o intervalo , tomamos o limite fazendo n tender a infinito, o que resulta no valor médio de f em , denotado por 
:
. (38)
Chamando de o valor da divisão do comprimento do intervalo pelo número de partições n, temos que:
.
Sendo assim, podemos reescrever (37) como:
,
,
. (39)
Aplicando o limite com n tendendo ao infinito em (39) produzimos:
,
,
dado que f é uma função contínua no intervalo e sabendo que a soma de Riemann se aproxima da integral definida, implica então que:
. (40)
Agora, considere a Figura – 2a e a Figura – 2b. Para que a área 
 seja igual a 
 devemos ter:
,
,
,
portanto, , a média dos valores 
, é igual a 
, o valor médio de f em , ou seja:
. (41)
	
	
	(a)
	(b)
Figura – 2 (a) Área 
 e (b) Área 
.
1.11 Teorema Fundamental do Cálculo
Na primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo consideramos uma integral dotipo
. (42)
Podemos fixar o limite inferior e variar o limite superior, de tal forma que a integral (42) agora é expressa como
, (43)
sendo que x pertence ao intervalo [a, b], ou seja, x pode variar de a (limite inferior) até b (limite superior). Chamando essa nova integral de 
 temos
. (44)
Tomando por hipótese que f seja uma função contínua, então temos que 
. Indicamos a derivada de 
 por
,
podemos obter 
 pela definição, da seguinte forma
.
Sendo assim,
,
,
o que resulta em
.
Para realizar a próxima operação é necessário fazer uso do Teorema do Valor Médio, o que significa dizer que, sendo f uma função contínua no intervalo [x, x + h] podemos escrever 
,
sendo 
 um valor situado no intervalo [x, x + h]. Dessa forma, temos que 
,
ou
.
Nesse ponto é importante observar que estando 
 situado no intervalo [x, x + h], quando 
, então temos que
 se aproxima de x. Ou seja,
.
Na segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo, escrevemos uma função primitiva mais geral denominada de 
, tal que
, (45)
sendo c uma constante. Do resultado anterior podemos escrever que 
 e que 
, dessa forma construímos a diferença 
 produzindo
,
,
,
,
.
Portanto,
. (46)
1.12 Séries de Taylor e de MacLaurin
A seguir são apresentadas duas ferramentas importantes para representação de funções que podem ser escritas em termos de série de potências. No caso da série de Taylor tem-se que, se uma função f pode ser escrita na forma de série de potências em um ponto a, então
. (47)
Sendo que os coeficientes 
 são dados por
. (48)
Substituindo (48) em (47) temos que 
 pode ser escrita como
, 
que é chamada de Série de Taylor.
Brook Taylor
Matemático inglês que viveu entre 1685 e 1731. É reconhecido por contribuições fundamentais na construção do cálculo diferencial e integral, entre elas destacam-se o cálculo das diferenças finitas e as séries infinitas. Dois de seus principais trabalhos foram publicados em 1715: Methodus Incrementorum Directa et Inversa e Linear Perspective.
O caso particular em que realizamos a expansão para 
 é chamado de Série de MacLaurin.
. (49)
Ou seja,
 (50)
Colin MacLaurin
Nasceu na cidade de Kilmodan na Escócia em 27 de Fevereiro de 1698. Publicou vários trabalhos, sendo considerado mais importante o Treatise of Fluxions publicado em 1742. Inventou a notação 
. Em 1695 foi indagado por L’Hôpital sobre o que acontece no caso de n ser igual a ½. Ou seja, discutem o conceito de derivada fracionária.
A seguir são apresentadas algumas expansões para funções que aparecem de forma recorrente durante a construção de modelos matemáticos e estatísticos.
i. 
 (51)
ii. 
 (52)
iii. 
 (53)
iv. 
 (54)
v. 
 (55)
vi. 
 (56)
vii. 
 (57)
viii. 
 (58)
ix. 
 (59)
x. 
 (60)
1.13 Séries Aritméticas e Geométricas
1.13.1 Séries Aritméticas 
Considere a série 
 dada por
 (61)
sendo que, 
 é o primeiro termo da série e 
 é a razão pela qual cada termo seguinte da série é somado. Ou seja,
Considerando, 
 e 
 dois termos equidistantes dos extremos, temos
e
Dessa forma,
Para obter uma expressão mais compacta para representar 
 podemos fazer a seguinte operação:
,
em que o resultado é dado por
. (62)
Como 
 temos
,
.
Portanto,
.
1.13.2 Séries Geométricas 
Considere a série 
 dada por
, (63)
sendo que, 
 é o primeiro termo da série e 
 é a razão pela qual cada termo seguinte da série é multiplicado. Ou seja,
Para obter uma expressão mais compacta para representar 
 podemos fazer a seguinte operação:
,
ou
. (64)
Subtraindo (64) de (63) resulta em
,
,
�� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 ,
. (65) 
A soma (63) será
i. convergente se 
;
ii. diveregente se 
 ou 
.
No caso de uma soma com infinitos termos em que 
, temos
,
,
,
, porque 
, então 
.
Portanto, no caso de uma soma infinita onde 
 teremos
.
Para o caso seguinte, considere uma progressão geométrica finita constituída dos seguintes termos 
.
Uma propriedade dessa progressão geométrica é a de que os pares de termos equidistantes dos extremos é dada por
.
Em uma progressão geométrica de forma geral podemos escrever
, (66)
ou
. (67)
Multiplicando (66) por (67) temos
. (68)
Agora, considerando o produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, denotada por 
 temos
.
Podemos escrever o quadrado 
 da seguinte forma:
Considerando o resultado obtido para termos equidistantes, podemos escrever que 
,
. 
Se todos os termos da progressão geométrica forem positivos temos
. (69)
Também podemos escrever o produto de n termos de uma progressão geométrica da seguinte forma
,
,
,
ou
.(70)
Como o expoente de q é uma progressão aritmética com razão igual a 1, podemos escrever a fórmula do produto de uma progressão geométrica como
. (71)
� EMBED Equation.DSMT4 ���
c
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
f(x)
f(c)
b
c
a
� EMBED Equation.DSMT4 ���
f(x)
f(c)
b
� EMBED Equation.DSMT4 ���
a
� Iteração: Ato de iterar, repetição. Processo de resolução de uma de uma equação mediante uma sequência de operações em que o objeto de cada uma é o resultado da que a precede (AURÉLIO, 1994).
Interação: Ação que se exerce mutuamente entre duas ou mais coisas, ou duas ou mais pessoas; ação recíproca (AURÉLIO, 1994).
� Este problema foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli, basicamente diz o seguinte: considere dois pontos A e B dados em um plano vertical, com o ponto A estando acima do ponto B. Feito isso, encontre a curva � EMBED Equation.DSMT4 ��� de tal forma que uma partícula viaje do ponto A para o ponto B no menor tempo possível. Em grego brachistos quer dizer “o menor” e chronos significa “tempo”.
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