cap08-prot_NOVO2009[1]

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
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8- PRÉ-DIMENSIONAMENTO E DIMENSIONAMENTO DA 
ARMADURA LONGITUDINAL 
 
8.1 INTRODUÇÃO 
 As estruturas em concreto protendido mais que as em concreto armado 
apresentam uma gama de soluções em maior número para um mesmo projeto. Só o fato 
de se poder mesclar as armaduras passivas e ativas já conduz a pelo duas famílias de 
soluções. O controle da fissuração do concreto através da introdução de esforços de 
compressão irá criar as diversas matizes de soluções possíveis na família protendida com 
ou sem armadura passiva. A pré-fabricação e o uso de seções compostas, ou seja, a 
execução de uma seção transversal que depois irá ser acrescida de uma capa ou elemento 
moldado no local cria um novo viés de soluções que combinados com os arranjos de 
armadura ativa e passiva maximizam a eficiência das seções protendidas. 
 Assim, desenvolvidos os princípios constantes nos capítulo 4, 5, 6 e 7 é possível 
explorar metodologias de pré-dimensionamento e dimensionamento de armadura 
longitudinal de estruturas pré-moldadas e moldadas no local protendidas para que todas 
as condições normativas sejam atendidas. Usa-se aqui a terminologia de pré-
dimensionamento pois nem sempre são conhecidas com exatidão algumas variáveis 
importantes no dimensionamento tal como intensidade da força (por causa das perdas de 
protensão), sendo necessário depois do cálculo inicial (pré-dimensionamento) da 
armadura detalhá-la e calcular com toda a precisão os esforços atuantes e realizar as 
verificações necessárias e se for o caso alterara a quantidade de armadura. 
Para pré-dimensionar ou calcular a armadura longitudinal de flexão podem ser usadas as 
condições de verificação no estado limite de fissuração ou a condição de estado limite 
último. Até a década de 80 os projetistas preferiam as condições do estado limite de 
fissuração em que era possível determinar a força de protensão em uma seção com 
problemas do tipo daqueles feito no capitulo 1 (ver exemplo 1.1) em que se impondo 
tensões limites e conhecida os esforços solicitantes e excentricidade da armadura de 
protensão fica determinada a força necessária de protensão. Prova disto é obra de LYN 
[1985] que embora tenha um capítulo bem detalhado abordando com minúcias o 
dimensionamento baseado nas tensões, usa duas páginas e meia para comentar o 
dimensionamento na ruptura. Com a modernização das normas de concreto protendido 
houve uma liberalização nas verificações de fissuração como pode ser visto no capítulo 
anterior (7) e em diversas situações a condição determinante para o cálculo da armadura 
passa a ser a relativa ao estado limite último ficando a condição de fissuração apenas para 
verificação. 
O projetista pode escolher qualquer uma das condições (a do estado limite de serviço 
ELS ou a do estado limite último ELU) para a definição da quantidade de armadura com 
a outra condição passando a ser de verificação. De qualquer forma para se determinar a 
quantidade de armadura ativa em uma seção, uma vez definida a geometria da estrutura 
propriamente dita, é necessário conhecer a relação entre a força de protensão na seção 
com a aplicada na extremidade da mesma (armadura de protensão). Em outras palavras é 
preciso conhecer as perdas de protensão. Como já escrito nos capítulos 4 e 5 alguns 
projetistas acham suficiente simplesmente estimar estas perdas deixando para uma fase de 
detalhamento final o seu cálculo minucioso. Claro que desta forma o processo se torna 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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mais simples porem a possibilidade de recálculo é grande a menos que a experiência do 
projetista no tipo da estrutura seja muito grande. 
. Qualquer que seja a condição determinante é preciso desenvolver o cálculo com uma 
certa metodologia de forma a garantir uma solução adequada. Há dois casos bem distintos 
a considerar: o da protensão com aderência posterior com (armadura com bainhas 
metálicas e injeção de nata de cimento) e sem aderência (cordoalhas engraxadas com 
bainhas de plástico) e o da pré-tração. No primeiro caso a característica principal é o uso 
de cabos com trajetórias curvas e via de regra com trajetória acompanhando o diagrama 
de momentos do elemento fletido. No caso de pré-tração, bastante usada na pré-
fabricação, a trajetória dos cabos é reta, procurando-se usar seções compostas para 
melhorar a eficiência dos elementos fletidos. 
 A seguir são esquematizados dois roteiro de pré-dimensionamento ou mesmo de 
dimensionamento final, dependo do nível de precisão nos valores das variáveis 
empregadas. O primeiro explora as característica da pós tração e o segundo a da pré-
tração. 
 
 
8.2 – ROTEIRO PARA DETERMINAÇÃO DE ARMADURA LONGITUDINAL EM 
PEÇAS COM PÓS-TRAÇÃO 
 
Em viga com pós-tração, em geral, todos os cabos podem ser representados por um único 
fictício obtido através da união do centro de gravidade de todos os demais. A este cabo 
dá-se o nome de cabo representante. Assim, o procedimento de determinar o número de 
cabos necessário em uma viga, baseia-se em considerar os valores das forças protensão 
correspondente ao cabo representante para a determinação do número dos mesmos. É 
preciso considerar conhecida a trajetória do cabo representante e, através desta avaliar as 
perdas de protensão imediata e ao longo do tempo para, finalmente, determinar, na seção 
mais solicitada, o número de cabos necessários, imaginando que todos os demais cabos 
tenham como força de protensão média o valor encontrado para o representante. 
Pressupõe-se, ainda, que o cabo represente está sendo tensionado (puxado) no máximo 
valor possível, para que se obtenha a maior economia possível. 
.Resumindo um memorial para a determinação do número de cabos deve contemplar os 
itens descritos. 
Esquema estrutural 
Sistema e unidades de protensão; informações gerais. 
Cálculo das perdas imediatas do cabo representante 
Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante 
Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite último 
Verificação dos estados de fissuração, feixe limite 
A seguir descreve-se um roteiro que permite o cálculo do número de cabos necessários na 
seção mais solicitada de uma viga isostática. Em seguida é resolvido um exemplo para 
uma viga de ponte rodoviária em que são detalhados os itens anteriormente apresentados. 
Lembrar que no caso de um elemento hiperestáticos os efeitos do hiperestático de 
protensão devem ser considerados, inicialmente de forma aproximada e calculados 
posteriormente com as informações do capítulo 11. 
 
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8.2.1-Esquema estrutural e indicação do cabo representante. 
 O primeiro passo de cálculo para determinar o número de cabos existentes em 
uma viga consiste em indicar o seu sistema estrutural fornecendo as informações 
necessárias para o desenvolvimento do cálculo constando portanto desta etapa a indicação 
da trajetória dos cabos. É interessante indicar pelo menos: a) a posição dos apoios na 
viga; b) os tipos de ancoragem (V- viva, M- morta); c)valor do vão ou vãos; d) altura da 
peça; e)marcação das seções mais importantes com sua designação (S0, S5, S10etc); f) 
inclinações prováveis do cabo representante. 
 Ancoragem Viva ou ativa é toda extremidade do cabo onde é possível efetuar a 
protensão e ao contrário a ancoragem morta ou passiva é a extremidade do cabo em que 
seu esforço é transmitido para o concreto, mas não é possível efetuar, nesse ponto, a 
protensão. 
AV
S0
S1 2 S3 S4
cabo
representante
5S
S
500 1500
300 300 300 300 300
extS
1
2
2
d'
d'
 
figura 8.1– Trajetória esquemática do cabo representante (cotas em cm). 
 
 As deflexões que um cabo de protensão deve ter uma viga fletida, principalmente 
as empregadas em pontes, variam de acordo com a relação entre altura (h) e vão ( l ), com 
o número da camadas de cabos longitudinais, a forma do diagrama de momento 
(envoltória em geral) e outros fatores menos influentes. 
A definição das deflexões é importante pois estas influenciam a perda de protensão por 
atrito e também a perda por deformação de ancoragem. Assim, imaginando a estrutura da 
figura 8.1 é preciso definir antes mesmo de calcular e detalhar a armadura os prováveis 
valores de α1 e α2 alem de avaliar onde é interessante usar trechos curvos. Desenvolve-
se aqui um raciocínio com fazer estas escolhas que são feitas para o esquema da viga da 
figura 8.1 mas com as devidas adaptações pode ser usado em outros tipos de sistemas ou 
situações. 
A envoltória de momentos fletores da viga da figura 8.1 tem a forma aproximada a 
representada na figura 8.2. Desta maneira verifica-se que é necessário que os cabos de 
protensão fiquem mais próximos da fibra superior na região em torno de S0 e ao 
contrário, mais próximos da fibra inferior, na região em torno das seções S4 e S5. Entre 
as seções S0 e S3 já que os cabos devem ser contínuos e com traçado sem pontos 
angulosos devem existir dois trechos curvos (com concavidades diferentes) e um ponto 
de inflexão. 
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figura 8.2– Forma da envoltória da viga da figura 8.1, 
 
 Como mostrado já no capítulo 4 pode-se usar arco de circunferência para o traçado e 
mais informações a este respeito podem ser encontradas em CARVALHO (1987) e 
ASSAN (1974). Na figura 8.3 são mostrados os elementos básicos para o traçado da 
circunferência. 
AV
S0
S1 2 S3 S4
cabo
representante
5S
SextS
1
O
A
R
R
B
Cy
x L
 
Figura 8.3– Geometria do arco de circunferência. 
A partir da geometria da figura 8.3 chega-se as seguintes fórmulas básicas: 
y = R sen α (8.1) 
 
 x = R – R cos α (8.2) 
 
 2y
yxR
22 +=
 (8.3) 
 
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 yR
xtanα −= (8.4) 
 
 Os pontos A e C que delimitam o trecho curvo do cabo são chamados 
pontos de tangencia. Lembrando agora que há uma série de cabos e portanto cabos 
situados em diversos níveis, mostra-se que a medida vertical a ser considerada é igual a 
k/2 (ver figura 8.4). O valor de k é dado por: ( )a2a12hk +−= 
Com a1 distância do centro do cabo mais próxima a borda da peça até a superfície da 
mesma (borda) (pode ser usado o valor de be1,5φ com beφ o diâmetro externo da bainha) 
a2 – distância entre o centro de dois cabos (pode ser usado be2φ ) 
A expressão anterior é aplicada a qualquer que seja o cabo e na verdade se houver n 
níveis deve ser expressa por: 
 ( )( )211 aanhk +−−= 
a1 a2
a2
L/10 L/10 L/10
L/20 L/20
a1
a2a
2 hk
 
Figura 8.4– Geometria dos traçados dos cabos com arco de circunferência. 
 Como exemplo considerando-se h=1,70m e a unidade de protensão de 12φ1/2” 
cujo diâmetro externo da bainha é de 7 cm e três níveis obtém-se para k o valor 
 
 k=1,70 – 2(0,105+0,14)=1,21m 
 Considerando agora uma viga com 34 m de vão e relação entre a altura e vão de 
1/20 usando um cabo como o desenhado em 8.1, a unidade de protensão 12φ1/2” 
( cm7be =φ ) e uso de três níveis obtém-se para o Raio R e o ângulo de deflexão α: 
 h= L/20=34/20=1,70 m 
 k=1,70 – 2(0,105+0,14)=1,21 
 y=k/2 =1,21/2=0,605 
 x=0,15L = 0,15 .34=5,10 m 
 2y
yxR
22 +=
 
=⋅
+=
605,02
0,6055,10 22
21,798 m 
 
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 605,021,798
5,10
αtan −= → α=13,530 
Para o cabo de 12φ1/2” o raio mínimo empregado (ver capítulo posterior) a fim de evitar 
problemas com a bainha e concreto é de 12 m. Assim, usando os pontos de tangencia do 
arco de circunferência os extremos da região prevista como curva, ou seja, da seção S0 
até o ponto de inflexão (pontos A e C da figura 8.3) deve-se obter uma raio superior ao 
mínimo, caso contrário seria preciso aumentar esta distância e conseqüentemente o 
trechos curvo do cabo. Ao invés de usar o arco de circunferência da seção S0 até a seção 
intermediária entre S1 e S2 pode-se usar ainda três outras formas de trechos como as 
mostradas na figura 8.5. A esquerda usando um ângulo α2 < α o ponto de tangencia A 
acaba ficando anteriormente a So . Na situação do centro da figura 8,5 usando um ângulo 
α1 >α tem-se o cabo C2 e o raio diminui, alem do ponto A aproximar-se mais do ponto 
C. Finalmente na situação a direita da figura 8.5 a direita usando um mesmo ângulo de 
deflexão (e portanto central do arco de circulo) porem com raio menor tem-se os pontos 
de tangencia D e E mais próximos de B. 
S0
S1 2S
A B
C
O
RR
O
BA
S 21 S
0S
D
E
R1
O1
S0
S1
2
S
A B
O
C C
RR R
R1
C3
2C C1
2
 
Figura 8.5– Variantes da geometria dos traçados dos cabos com arco de circunferência. 
 Como se vê a maneira mais segura de se obedecer ao raio mínimo e ter um 
detalhamento de cabos simples entre as seções S0 e S3 é usar os pontos de tangencia A e 
C nas extremidades do intervalo. Neste caso o valor do ângulo α decorre das outras 
variáveis. Verifica-se agora a variação do ângulo α com a relação entre altura da viga (h) 
e vão (L), com três níveis de cabos, primeiro para um vão de L=34 m e depois para um 
vão L=20 m cujos resultados são apresentados nas tabelas 8.1 e 8.2 respectivamente. 
 
Tabela 8.1 -Valores de h, α e R para L=34m 
h / L 1/10 1/13 1/15 1/17 1/20 
h (m) 3,4 2,615 2,266 2,0 1,70 
α (0) 31,88 23,53 19,76 17,17 13,53 
R (m) 9,67 12,77 15,09 17,73 21,80 
 
Os resultados das tabelas em questão mostram que é sempre interessante usar menores 
relações para h/L pois fica mais fácil de atender o raio mínimo e também se obter um 
valor pequeno de α que leva a uma menor perda de protensão por atrito. Assim, vãos 
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pequenos e grandes relações de h / L são piores par o projeto dos cabos curvos que vão 
de uma fibra a outra.. 
 
Tabela 8.2 -Valores de h, α e R para L=20m 
L / h 1/10 1/13 1/15 1/17 1/20 
h (m) 2,0 1,54 1,33 1,18 1,00 
α (0) 28,24 19,81 15,97 13,00 9,72 
R (m) 6,34 8,85 10,90 13,30 17,77 
 
Na figura 8.6 mostra-se o traçado dos cabos (não se levou em conta o raio mínimo) para 
trêsrelações h / L. 
340 340340
20
0
10
,5
14
14
38
,7
6
14
,3
4
14
,3
5
86 84
,8
14
,6
14
,6
Vão 34 m altura de 2 mVão 34 m altura de 1,70 m
14
141
0,
5
17
0
340 340340
170 170
170170
340 340340
30
0
10
,5
14
14
Vão 34 m altura de 3,00 m
 
Figura 8.6– Traçado de cabos com três níveis de cabos de 12ø1/2”, com o vão L= 34 m e 
variando as relações h/L. 
 
A última situação (a da direita) mostrada na figura 8.5 é muito usada na prática. Trata-se 
da resolução de dois problemas o primeiro: dados x e y (distâncias horizontal e vertical 
entre dois pontos de tangencia – A e C - em um trecho curvo de cabo) construir o arco de 
circulo com raio R que passa por A e C e tem ângulo central α. Isto é feito facilmente 
com as fórmulas de 8.1 a 8.4. O segundo problema passa a ser: a partir do arco achado 
nas condições anteriores deseja-se traçar um novo trecho de arco de circunferência A’C’ 
(pontos de tangencia) que tem o mesmo ângulo central, os mesmos segmentos de 
tangentes (nos pontos A’ e C’) que o anterior e para um segmento de reta AA’=C’C dado. 
Assim, o problema em questão consiste em dados x, y e a distância C’C determinar α e 
R’. 
 Neste caso é preciso usar as seguintes relações (ver figura 8.7): 
igualdade de comprimento dos seguintes segmentos : BCAB = ; '' BCBA = ; '' CCAA = . 
Assim como visto anteriormente dados x e y determina-se por 8.3 4 8.4 os valores de R e 
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α. Em seguida CC'2
αtanRBC' −⋅=
. Os valores de x’ e y’ são agora facilmente 
calculados por: 
senαBC'y' ⋅= e ( )cosα1BC'x' +⋅= e finalmente '2
'''
22
y
yxR ⋅
+=
. 
O
x
x'
y
y'
A
B CC'
A'
R
R
'
 
Figura 8.7– Traçado de um segmento de arco de circunferência a partir de outro com o 
mesmo anglo central. 
 Para o trecho curvo do cabo entre as seções Sextr e S0 considerando que o vão do 
balanço é tomado geralmente igual a L/5, ou seja 0,2 L, imagina-se que o ângulo de 
deflexão neste trecho é menor que o encontrado para o trecho entre S0 e S3 
14
141
0,
5
340340
A B C9
0
100
100
Sext S0
cabo1
70
 
Figura 8.8– Traçado de cabos para trecho em balanço. 
Neste caso do balanço pode-se usar a sistemática mostrada anteriormente e que aparece 
na figura 8.5 (a direita) em que os pontos de tangencia não estão no começo do cabo, 
seção Sext e no final S0 mas a cerca de 1m destes pontos, pois é preciso junto a 
ancoragem (seção Sext) manter um trecho reto de cabo. Assim, na figura 8.8 vê-se o 
desenho do cabo pertencente ao nível mais inferior para uma situação de L=34m; h=1,70 
e com três níveis de cabos. Desta forma o primeiro cabo irá ancorar em Sextr 
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(considerando cabo de 12φ1/2”) a uma distância da borda superior de 3x30 cm (usa-se 
aqui a distância de 30 cm entre uma ancoragem e outra) e está a 10,5+2x14=38,5 cm da 
borda superior em S0. Fazendo os cálculos imaginando inicialmente os pontos de 
tangencia A e C nas seções extremas tem-se: 
 
 y = 90 -38,5 =51,5 cm 
 x = 0,2 L = 0,2x34 = 6,8 m 
2y
yxR
22 +=
 
=⋅
+=
515,02
0,5156,80 22
45,15 m 
 
 515,045,15
6,80
αtan −= → α=8,660 
Considerando agora os pontos de tangencia se distanciando 1m na horizontal 
CC'
2
αtanRBC' −⋅=
=
1
2
8,6tan45,14 −⋅
=2,41 m 
senαBC'y' ⋅= = 2,41 sen8,66=0,362m e ( )cosα1BC'x' +⋅= =2,41(1+0,988)=4,792m 
e finalmente '2
'''
22
y
yxR ⋅
+=
=
12mR31,76
0,3622
0,3624,782
minimo
22
=>=⋅
+
 
 
 Verifica-se que para o cabo no nível mais próximo a fibra superior os valores de R 
e α são: 
y = 30 -10,5 =20,5 cm 
 x = 0,2 L = 0,2x34 = 6,8 m 
2y
yxR
22 +=
 
=⋅
+=
205,02
0,2056,80 22
112,88 m 
 
 205,0112,88
6,80
αtan −= → α=3,450 
 
 Assim o cabo representante para esta situação usando a média dos ângulos 8,66 e 
3,450 anteriores é de é de 60. Notar ainda que neste caso os ângulos não dependem do 
valor da altura da viga. 
 No caso de viga simplesmente apoiada sem balanço com ancoragem na 
extremidade, como mostra a figura 8.9 a situação é similar as estudadas. Inicialmente 
definem-se dois pontos de passagens do cabo como sendo o início (no caso da figura a 
ancoragem a esquerda) e o final da curva, por exemplo na Seção S3. Com esses dois 
pontos definidos e portanto as variáveis x e y e usando as equações 8.1 e 8.2 define-se o 
arco de circunferência e a deflexão α, seguindo a sistema anterior determina-se o novo 
raio R’. 
Para efeito de exemplo calculam-se as características, e principalmente o ângulo de 
deflexão, do cabo C2, cabo médio, apresentado no desenho 8.9. Considera-se vão de 34m 
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relação h/L=1/20, cabo 12φ1/2”, raio mínimo de 12 m e a necessidade de um trecho de 1 
m reto junto a ancoragem, distância mínima entre as ancoragens de 30 cm. 
Inicialmente despreza-se a necessidade da distância de um metro de cabo reto junto a 
ancoragem. Assim o valor de y a ser empregado é dado por: 
 y=h-0,6-0105-0,14 =1,7-0,6-0105-0,14=0,855 m 
 x= 0,3L =0,3x34=10,2 m 
2y
yxR
22 +=
 
=⋅
+=
855,02
0,85510,20 22
61,27 m 
17
0
340 340340
90 6
0
30
S S SSS1 S0 2 3 4 5
Vão 34 m altura de 1,70 m
3C
C1
C2
340 340
 
Figura 8.9– Traçado de cabos para trecho sem balanço (cotas em cm). 
 yR
xtanα −= 855,061,27
10,20
−= → α=9,580 
 Considerando agora a correção para que se tenha 1m de cabo reto 
CC'
2
αtanRBC' −⋅=
=
1
2
9,58tan27,16 −⋅
=4,13 m 
senαBC'y' ⋅= = 4,13 sem 9,58=0,687m e ( )cosα1BC'x' +⋅= =4,13(1+986)=8,208m 
e finalmente '2
'''
22
y
yxR ⋅
+=
=
12mRm 49,37
0,6872
8,2080,687
minimo
22
=>=⋅
+
 
 
 Como mostrado nas outras situações apresenta-se através da tabela 8.3 os ângulos 
de deflexão e raios dos cabos para o caso de tramo inicial sem balanço com ancoragem 
extremidade. 
Tabela 8.3 -Valores de h, α e R para L=34m – Cabo para viga de tramo inicial sem 
balanço com ancoragem extremidade. 
h / L 1/10 1/13 1/15 1/17 1/20 
h (m) 3,4 2,615 2,266 2,0 1,70 
α (0) 28,12 19,62 15,86 12,92 9,58 
R (m) 21,64 30,37 37,31 45,61 61,27 
* Valores de R não foram corrigidos para a consideração de 1m de cabo reto após a 
ancoragem. 
 
8.2.2- Sistema e unidades de protensão; informações gerais. 
 Neste passo o projetista deve escolher primeiramente o sistema de protensão 
levando em conta sempre o aspecto econômico, facilidade de emprego, disponibilidade, 
qualidade e etc. É preciso lembrar que a estrutura detalhada com um sistema de protensão 
deve poder ser adaptada para outro sistema, de forma que não se caracterize a imposição 
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198
de uma marca. Na maioria das vezes basta mudar o detalhamento da região da ancoragem 
parase passar de um sistema de protensão para o outro. 
Em seguida o projetista deve escolher a unidade de protensão levando em conta a 
dimensão do cabo, a força desenvolvida pelo mesmo e analisar se é interessante usar para 
o tipo de peça em questão. Assim em pontes com seção celular com vãos acima de 15 m 
em geral usam-se cabos de 12φ1/2” ( diâmetro da bainha externo de beφ = 7cm) enquanto 
para vigas pré-fabricadas para vão em torno de 15m usam-se os cabos 6φ1/2” (diâmetro 
da bainha externo de beφ = 5cm). 
É sempre interessante nesta fase do projeto ter-se em mãos os manuais de protensão da 
empresas que fornecem os equipamentos para efetivação da protensão pois a escolha 
poderá ser feita de forma criteriosa e posteriormente o detalhamento será mais completo. 
Após a escolha do sistema de protensão e a unidade deve ser escolhido o aço a ser 
empregado o tipo de protensão a ser adotado (completa, limitada ou parcial) baseada nas 
condições do meio ambiente e tipo de peça (ver capítulo 1). 
 
 
8.2.5- Cálculo das perdas imediatas do cabo representante 
 
 Como foi detalhado no início deste capítulo o cálculo da armadura longitudinal de 
uma viga em concreto protendido com aderência posterior, pode ser feito considerando-se 
a trajetória de um único cabo que representa os demais. Define-se desta forma, uma 
trajetória ao longo da viga para o cabo representante que possibilita desta forma o cálculo 
da força de protensão nas diversas seções transversais, considerando-se as perdas 
imediatas e as perdas ao longo do tempo. 
 Os ângulos a serem usados no projeto estão indicados nas tabelas de 8.1 a 8.3 e ao 
longo do texto do item anterior. Os demais valores que permitem o cálculo da força de 
protensão são, por exemplo: 
Unidade de protensão – 12 φ 1/2”. 
Área do cabo - 12,02 cm2 
Peso do cabo – 94, 2 kN/m 
Aço CP 190 RB 
Atrito cabo-bainha μ =0,20 (entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica- 
NBR6118:2003); 
Diâmetro da bainha (interno) – 66 mm e externa de 70 mm 
Perda durante a cravação – 6 mm (manual Rudloff- NB1-99 recomenda consultar 
fabricante) 
Sistema de protensão Rudloff ou MAC. 
Nível de agressividade III - Nível de Protensão – Protensão Parcial (ver capítulo anterior) 
Força de protensão inicial: O menor dos valores 0,74 fptk e 0,82 fpyk de acordo com o 
capítulo 3. 
 Para a montagem da tabela de tensões após as perdas imediatas deve-se considerar 
no trecho entre a seção S0 e S1 que a deflexão do cabo é de um terço da deflexão entre 
So e S3. No trecho entre a seção S3 e S5 considera-se que o cabo tem trajetória paralela à 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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199
borda inferior. Um exemplo da montagem da tabela é dado na tabela 4.1 em que os 
ângulos de deflexão sonsiderando foram de 6 e 130. 
 
Tabela 8.5: Exemplo de cálculo de valores de tensões em um cabo as após as perdas por 
atrito. σpi =1400 MPa, μ=0,2 e β=0,01 rd/m. 
Seção x(m) D x(m) � ( O ) 
�� ( O 
) 
�� 
(rad) 
e-
�.(��+�x)
σs=e-�.(��+�x) 
MPa 
Sext 0 0 0 0 0,00 1,00 1400 
S0 2 2 6 6 0,10 0,98 1366 
S1 3 5 8,67 14,67 0,26 0,94 1317 
S2 3 8 8,67 23,33 0,41 0,91 1270 
S3 3 11 8,67 32 0,56 0,87 1225 
S4 3 14 0 32 0,56 0,87 1217 
S5 3 17 0 32 0,56 0,86 1210 
 Como não é conhecido o número de cabos a perda por deformação imediata do 
concreto será desprezada (o seu valor é mesmo pequeno neste caso). Assim, será 
necessário calcular em cada seção qual a tensão no cabo depois da perda por atrito e da 
deformação da ancoragem. 
 
8.2.4- cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante 
 O cálculo das perdas ao longo do tempo poderá ser feito considerando o capítulo 
5 e os seguintes dados : 
Umidade relativa do ar 70% 
Cimento Portland de endurecimento normal 
Protensão efetuada ao 30 dias 
Temperatura média de 200 
Abatimento do concreto de 12 cm 
Tensão no concreto no cg dos cabos 5 MPa 
 Por uma questão de simplificação calcula-se a perda na seção S5 no tempo 
infinito e considera-se o mesmo valor para as demais seções já que está se fazendo apenas 
um pré-dimensionamento. Também ainda por simplificação pode-se considerar cada uma 
das perdas como sendo independente das demais e considerar a soma de cada uma como 
sendo a perda total. 
 
8.2.5 - Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite último 
 O número de cabos na seção mais solicitada (S5) é calculado usando os preceitos 
apontados no capítulo 6, ou seja no estado limite último. Para se ficar a favor da 
segurança considera-se que a tensão atuante no cabo é a que ocorre no tempo infinito. 
Para determinação da altura útil considera-se a expressão: 
 darb = h – 20 cm 
onde h é altura da seção em S5 e darb será a altura usado no cálculo e os 30 cm 
considerado é a distância do centro de gravidade dos cabos (e portanto a posição do cabo 
representante) a borda inderior. 
 Determinado o número de cabos procede-se a verificação se o valor de darb é 
satisfatório, detalhando-se os cabos na seção S5 (como é mostrado, por exemplo, na 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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200
figura 8.10) e determinando o valor de ycg dos cabos. As especificações completas sobre 
espaçamentos mínimos entre cabos são apresentadas no capítulo 9. 
 
figura 8.10 Detalhamento da seção transversal do meio do vão para determinar a posição 
do cg dos cabos 
 O valo real de d (dr) é dado por 
 dr = h - ycg dos cabos. 
Se o valor de dr.≥ darb o cálculo pode ser aceito caso contrário é necessário refazer o 
cálculo ou o detalhamento da seção. 
 
8.2.6 - Verificação dos estados de fissuração, feixe limite 
 Calculado o número de cabos na seção mais solicitada (S5) é necessário verificar 
as tensões na borda inferior e superior do concreto, conforme descrito no capítulo 7, para 
a seção S5. 
 Atendidas as condições de norma (capítulo 7) pode-se calcular a região em que 
deve se encontrar o centro de gravidade dos cabos (a posição do cabo representante) 
chamado de feixe limite. Isto pode ser feito, por exemplo, para as seções S0 e S2 da 
ponte para verificar se o cabo representante atende as condições de tensões e permitir um 
melhor detalhamento da armadura longitudinal. 
 A partir deste pré-dimensionamento é possível efetuar o desenho do traçado dos 
cabos ao longo da viga, praticamente como definitivo, baseado nas premissas anteriores e 
o cabo representante usado e verificando em cada seção todas as situações do ELU 
(estado limite último) e ELS (estado de limite em serviço). Na verdade estas duas 
últimas etapas de (feixe limite e traçado de cabos) são detalhadas no próximo capítulo. 
 
8.3- Anteprojeto de uma ponte isostática rodoviária em concreto protendido 
 O intuito deste item é mostrar uma aplicação prática de um anteprojeto em 
concreto protendido. Para tanto se escolheu realizar o anteprojeto da viga longitudinal de 
uma ponte rodoviária, em concreto protendido, com seção transversal celular (caixão 
perdido). A obra é projetada para ser executada com concretagem no local e protensão 
com aderência posterior. A definição das dimensões da estrutura e de algumas de suas 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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201
características não é aqui comentada,pois neste caso fazem parte do escopo de outro 
trabalho ou seja, “Curso de pontes em concreto”. 
Dentro do possível adotam-se algumas hipóteses simplificadoras de cálculo empregadas 
para um cálculo manual que hoje podem ser substituídas por técnicas mais refinadas que 
empreguem programas específicos de computador. 
 
8.3.1 Enunciado 
 Fazer um anteprojeto de uma ponte rodoviária em concreto protendido, com seção 
celular de modo a vencer um vão livre de 34 m sobre um curso d’água e uma rua e 
usando ainda balanços laterais de 6,8 m calculando a armadura longitudinal necessária na 
seção mais solicitada. Considerar uma seção transversal com duas faixas de tráfego, uma 
faixa de segurança e duas defensas. A obra é plana em elevação e reta em planta. Obra 
rodoviária de classe I (veículo tipo de 450 kN). 
 
8.3.2 Roteiro 
 Para facilidade de execução o anteprojeto é dividido em fases que devem ser 
realizadas seqüencialmente. As fases são (Notar que a partir do item 5 o roteiro é o 
mesmo enunciado anteriormente para o pré-dimensionamento da armadura longitudinal):: 
1) Desenho das formas (Lançamento ou determinação da estrutura) 
 2) Cálculo das características geométricas 
 3) Cálculo das reações de apoio e esforços solicitantes (Momento fletor) devido 
ao peso próprio estrutural (g1) e sobrecarga permanente (g2). 
 4) Cálculo do trem tipo longitudinal, traçado das linhas de influência e cálculo dos 
momentos máximos e mínimos devido à carga acidental. 
 5) Definição do cabo representante 
 6) Cálculo das perdas imediatas do cabo representante 
 7) Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante 
 8) Cálculo do número de cabos necessários levando em conta o estado limite 
último 
 9) Verificação dos estados de fissuração 
 
8.3.3 Primeira fase – confecção do desenho de formas- lançamento da estrutura 
 Definir a estrutura e desenhar sua forma é o primeiro passo de todo o projeto 
estrutural. Em algumas situações, em que as estruturas são mais simples, é possível 
montar o esquema estrutural, por exemplo, de um pavimento sem que as dimensões de 
todas as vigas e espessuras de lajes estejam definidas. Em um projeto de uma ponte em 
que as ações de peso próprio são grandes e os esforços variam muito podendo inclusive 
ter momentos fletores de carga acidental de sinais contrário em uma mesma seção para 
duas situações de posicionamento de carga torna-se necessária, já na fase de anteprojeto, 
uma definição das dimensões dos diversos elementos. 
 A definição geométrica da estrutura depende fundamentalmente da experiência do 
engenheiro projetista que na maioria das vezes utiliza-se de cálculos anteriores para fazer 
definições de dimensões. No final devem ocorrer poucas mudanças no projeto e se 
ocorrerem de tal forma que não requeiram o recálculo de todo a obra. 
 Inicia-se a definição da estrutura pela sua seção transversal. Como no enunciado 
considera e duas faixas de tráfego e uma de segurança, chegando-se a uma largura 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
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transversal de 2x3,5+3=10 m. Considerara-se 3,5m para a largura de uma faixa rodoviária 
e 3m para a faixa de segurança (acostamento). Considera-se uma defensa de 25 cm para 
cada lado totalizando assim uma largura transversal total de B=10,50 m. 
 Considerando-se que a distância entre os centros dos pilares de apoio (vão do 
tramo em principio) é de L=34 m pode-se a partir de uma regra empírica definir uma 
altura total para a seção transversal. Alguns projetistas adotam para este tipo de seção 
transversal a relação L/20, neste caso prefere-se usar o valor L/17 que resulta para a 
altura da seção o valor de h=2m. As demais medidas da seção transversal decorrem das 
seguintes recomendações: dimensão mínima de laje 15 cm, dimensão mínima da largura 
da alma da viga 35 cm (necessário para alojar dois cabos de 12Φ1/2” em um mesmo 
nível horizontal), necessidade de mísulas na laje superior (para melhorar o trabalho à 
flexão da laje superior) e mísula inferior para alojar os cabos mais longe do centro de 
gravidade da peça. A largura da célula deve ser tal que o momento fletor transversal da 
laje superior no meio do vão transversal da laje conduza a uma mesma armadura que o da 
seção de apoio. É considerado aqui o valor de B0=5,50 m. Finalmente, junto ao apoio a 
largura da nervura é de 70 cm para resistir ao grande valor de cortante desta região. Este 
valor é mantido constante em todo o balanço para facilitar o posicionamento das 
ancoragens ativas dos cabos na extremidade do balanço. A largura da viga é aumentada 
linearmente a partir da seção de três décimos do vão para o apoio conforme pode ser visto 
no desenho da planta da mesma. 
 Agora já é possível fazer o desenho das formas que compreende a planta da ponte 
apresentada em meia vista e meio corte, uma elevação lateral (também em meia vista e 
meio corte) e duas seções transversais: uma no meio do vão seção S5 e outra nos apoios 
(sem representar as transversinas neste caso) 
 Apresentam-se a seguir as figuras 8.11 e 8.12 correspondentes aos desenhos das 
seções transversais e da planta e elevação do anteprojeto. 
 
SEÇÃO DO APOIO
SEÇÃO DO MEIO DO VÃO
35
B
550
100
(B-550)/2
L/17
15
(B-550)/2
B
(B-550)/2 550 (B-550)/2
L/17
15
100 
 1
5 15 40
4025
25 35
35
70
 3
0 
cm
15
 c
m
 
Figura 8.11- Seções transversais S0 e S5 da Ponte do anteprojeto. Cotas em cm (B=1050 
cm) 
 
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203
50
37
25
0
12
,5
EL
EV
A
Ç
Ã
O
PL
A
N
TA
 
B
25
20
0
Se
xt
. b
aL
L/
5
 70 
1/
2 
C
O
R
TE
1/
2 
C
O
R
TE
50 S0
L/
10
S0
S1
S2
S1
S2
 35
S3 S3
S4
S5
S4
S5
1/
2 
V
IS
TA
S8
S6 S6
S7 1/
2 
V
IS
TA
S7
S8
S8 S
9
S1
0
S1
0
Se
xt
. b
aL
Se
x
15 cm
30 cm5
0
25
 
Figura 8.12- Planta e elevação esquemática da Ponte do anteprojeto. Cotas em cm. 
 
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204
8.3.4- Segunda fase – cálculo das características geométricas das seções transversais em 
S5, S2 e S0 (sem considerar as transversinas) 
 
O cálculo das características geométricas das seções é feito a partir do esquema mostrado 
na figura 8.14 da mesma forma que o exercício resolvido no capítulo 1. Neste caso o que 
se faz é procurar identificar na seção sub-elementos com formato de retângulos e 
triângulos. Na figura 8.14 aparecem os elementos considerados para a determinação das 
características das seções S0, S2 e S5. Assim, a seção passa a ser composta de diversos 
elementos cujos valores das áreas, posições do centro de gravidade e inércia são 
conhecidos. Basta aplicar os conhecimentos de mecânica e resolver o problema, usando a 
tabela 8.5 indicada a seguir que pode ser previamente preparada para uma planilha 
eletrônica e facilmente aproveitável para outras seções.. 
1
SEÇÃO DO MEIO DO VÃO
2
4 5
3
6
4
26
5
 
Figura 8.13.- Divisão das seções transversais para determinação das características 
geométricas.Como mostrado no capítulo existem diversas outras maneiras de calcular as 
características das seções em questões inclusive através de programas gráficos. É 
importante perceber que os valores procurados para realizar o anteprojeto são: Área da 
seção transversal (A), distância do centro de gravidade da seção em relação a borda 
superior (ys) e em relação a borda inferior (yi), momento de inércia da seção em relação 
ao eixo horizontal central (It), módulo de inércia em relação ao bordo inferior (Wi) e 
superior (Ws). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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205
 
TABELA 8.6 
 Seção S5 
 B(m) H(m) A(m2) y(m) Ay(m3) ÿ'(m) Ay'(m3) I0 (m4) Ay'2 
1 10,5 0,15 1,575 0,075 0,118125-0,64705 -1,019108256 0,002953125 0,659417
2 0,7 1,7 1,19 1 1,19 0,277947 0,330757095 0,286591667 0,091933
3 5,5 0,15 0,825 1,925 1,5881251,202947 0,99243139 0,001546875 1,193843
4 2,5 0,25 0,625 0,233 0,145625-0,48905 -0,305658038 0,002170139 0,149483
5 1 0,25 0,25 0,233 0,05825 -0,48905 -0,122263215 0,000868056 0,059793
6 0,35 0,35 0,1225 1,733 0,2122931,010947 0,123841025 0,000833681 0,125197
 2 4,5875 3,312418 -8,74301E-16 0,294963542 2,279665
 ycg,s "= Ay/A= 0,722053m 
 It(m4) "=I0+Ay'2= 2,574629m4 
 ycg,i= h-ycg,s= 1,277947m 
 Wi 2,01466 m3 
 Ws 3,565707m3 
 Seção S0 
 B(m) H(m) A(m2) y(m) Ay(m3) ÿ'(m) Ay'(m3) I0 (m4) Ay'2 
1 10,5 0,15 1,575 0,075 0,118125-0,79723 -1,255630838 0,002953125 1,001021
2 1,4 1,55 2,17 0,925 2,00725 0,052774 0,114519734 0,434452083 0,006044
3 5,5 0,3 1,65 1,85 3,0525 0,977774 1,613327217 0,012375 1,57747 
4 2,5 0,25 0,625 0,233 0,145625-0,63923 -0,399516206 0,002170139 0,255381
5 1 0,25 0,25 0,233 0,05825 -0,63923 -0,159806482 0,000868056 0,102152
6 0,35 0,35 0,1225 1,5833 0,1939540,711074 0,087106574 0,000833681 0,061939
 2 6,3925 5,575704 -1,17961E-15 0,453652083 3,004007
 ycg,s "= Ay/A= 0,872226m 
 It(m4) "=I0+Ay'2= 3,45766 m4 
 ycg,i= h-ycg,s= 1,127774m 
 Wi 3,065915m3 
 Ws 3,964179m3 
 Seção S2 
 B(m) H(m) A(m2) y(m) Ay(m3) ÿ'(m) Ay'(m3) I0 (m4) Ay'2 
1 10,5 0,15 1,575 0,075 0,118125-0,71574 -1,127290156 0,002953125 0,806846
2 0,94 1,65 1,551 0,975 1,5122250,18426 0,285787598 0,351883125 0,052659
3 5,5 0,2 1,1 1,9 2,09 1,10926 1,22018624 0,003666667 1,353504
4 2,5 0,25 0,625 0,233 0,145625-0,55774 -0,348587364 0,002170139 0,194421
5 1 0,25 0,25 0,233 0,05825 -0,55774 -0,139434945 0,000868056 0,077768
6 0,35 0,35 0,1225 1,6833 0,2062040,89256 0,109338627 0,000833681 0,097591
 2 5,2235 4,130429 -5,82867E-16 0,362374792 2,582791
 ycg,s "= Ay/A= 0,79074 m 
 It(m4) "=I0+Ay'2= 2,945165m4 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
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206
 ycg,i= h-ycg,s= 1,20926 m 
 Wi 2,43551 m3 Ws = 3,727 m3 
Tabela 8.3- Resumo das características geométricas de S0, S2 e S5 
 A (m2) ys (m) yi (m) I (m4) Wi (m3) Ws (m3) 
S0 6,3825 0,8722 1,1278 3,4577 3,066 3,964 
S2 5,2235 0,7907 1,2093 2,9451 2,435 3,724 
S5 4,5875 0,7220 1,2780 2,5740 2,015 3,565 
 
 As características geométricas das seções, como não podia deixar de ser pelo 
desconhecimento ainda da armadura de protensão necessária, correspondente a da seção 
geométrica ou bruta e sem a consideração das transversinas. 
8.3.5- FASE 3: DETERMINAÇÃO DAS AÇÕES DE CARGA PERMANENTE 
 As ações permanentes correspondem a dois tpios de carga: a estrutural (g1) e a 
sobrecarga permanente (g2) neste caso correspondente a pavimentação e as defensas. 
 
8.3.5.1 Peso próprio g1 
Nesta fase determinam-se os momentos fletores da ação permanente estrutural nos 
décimos de vão da estrutura. 
A ação estrutural de um elemento prismático (seção transversal constante) é dada pelo 
produto da área de sua seção transversal pelo peso específico do concreto protendido que 
é igual a 25 kN/m3. 
Esquematicamente a ação desta carga está representada na figura 8.15 dada a seguir e as 
intensidades correspondentes serão explicadas a seguir. 
A ação g1* correspondente à carga permanente no trecho central, compreendido entre as 
seções S3 e S7, em que não há variação de geometria. Seu valor numérico é encontrado 
multiplicando-se a área de S5 (não considerando a transversina) pelo peso específico do 
concreto com armadura (γ=25 kN/m3) Assim 
g1* = AS5 x γ = 4,5875 x 25 =114,69 kN/m 
Analogamente: 
g1** = AS0 x γ = 6,3925 x25 = 159,81 kN/m 
g
1
*
1
g**
1
g**
Pta PtaPti
PcPc
S 0 S 1 S 2
S 3 S 4 S 5 S 6
S 7 S 8 S 9
S 10 S bal2S bal1
Mc c
0,1L
L
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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 ROBERTO CHUST CARVALHO 
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207
Figura 8.14 – Esquema estrutural de carga permanente para toda a célula. 
 
 Supõe-se que no intervalo de S3 e S0 a variação do carregamento é linear pois a 
largura da viga e a espessura da laje inferior variam desta forma. É preciso porem 
considerar que no meio do vão, nas seções de apoio e da extremidade do obra existem 
transversinas (elementos transversais) ou cortinas (extremidade da viga). 
100
100
1535
35
35
550
1050
SEÇÃO DO MEIO DO VÃO
tiA
250 250
 
Figura 8.15 – Região (achureada) a ser considerada para peso da transversina 
intermediária 
 A ação da transversinas pode ser considerada como uma carga 
concentrada uma vez que a espessura das mesmas é pequena comparada ao vão da 
estrutura. Desta maneira o peso da transversina intermediária é dado por: 
 
Pti = Ati . ei .γ = ((5,50-0,70) x (2,00-0,30)-(0,1225+0,2500)) x 0,25 x25 = 48,67 kN 
 
 Com Ati a área da região achureada mostrada na figura 8.15 e ei a 
espessura da transversina intermediária. 
 Para peso da transversina de apoio o raciocínio é o mesmo mudando-se apenas os 
valores das variáveis na expressão: 
 Pta = Ata . ea .γ =((5,50-1,40) x (2,00-0,45)-(0,1225+0,2500)) x 0,50 x25 = 
74,78 kN 
 Com ea espessura da transversina de apoio e Ata a área interna da seção S0. 
SEÇÃO DA EXTREMIDADE
taA
A tal
A tal
B
 
figura 8.16- Região a ser considerada para o peso da cortina 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
208
 Para o peso da cortina é preciso considerar duas parcelas, a transversal e a das 
abas assim: 
Pc = Pct + 2. Pabas 
Com 
 Pct = (Ata+ 2. Atal) . ec . γ = ((B x h – AS0) + 2. Atal) . ec . γ 
 Ata = 10,50 x 2 – 6,3925 = 14,61 m2 Pata =4,61 x 0,25 x 25 = 29 kN 
Pabas = Al. . ec . γ = 2x(2,50x2,00 – 2,00x1,33x0,5)x0,25x25= 46 kN 
 
 Os valores de Ata e. Atal representam a área dos elementos mostrados na figura 8.15 
enquanto A1 na figura 8.17 (achureados), ec é a espessura da transversina e γ peso 
específico do concreto com aço. O valor do momento Mc (momento causado pela aba da 
cortina) pode ser obtido fazendo o produto de Paba x ycg , valores indicados na figura 8.17 
que correspondem ao peso da aba e a distância do cg da mesma à seção Sext bal. 
ycg = (2,5x2x1,25-1,33x2,00x0,5x1,83)/(5+1,33)=0,603 m , Mc =46x0,603=24,1 kN.m 
 
PERSPECTIVA ESQUEMATIVA DA EXTREMIDADE DA PONTEABA
VISTA LATERAL DA ABA
PERSPECTIVA ESQUEMATIVA DA CORTINA
P
Al
Al
ycg
37°
h
50
250
67
200
 
Figura 8.17 – Perspectiva esquemática e detalhes da cortina. 
 
Determinado as intensidades dos carregamentos calculam-se os momentos fletores e 
cortantes em S0, S2 e S5. 
O cálculo é feito a partir da figura 8.10 iniciando pelo cálculo da reação de apoio Ra. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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209
114,7
159,8
74,8
48,7
75
S 0 S 1 S 2
S 3 S 4 S 5 S 6
S 7 S 8 S 9
S 10 S bal2S bal1
24,1
74,8
75
159,8
24,1
Ra aR
34 m3,4 m
6,8 m
 Figura 
8.18 – Esquema estrutural com valores das cargas de peso próprio estrutural. 
 
Cálculo da reação de apoio: 
 
Ra= 114,7 (17+6,8)+ (159,8-114,7)x(6,8+ 2
2,10
)+75+74,8+ 2
7,48
=3440,7 kN 
Volume de concreto estrutural = 25
7,34402x
= 275 m3 
Cortante 
VS0,esquerda= -75-159,8x6,8=-1161,64 kN 
VS0,direita= -1161,64 –74,8 +3440,7= 2204,26kN 
VS2= 2204,26-129,73x6,8- 2
8,60,30 x
= 1219,86 kN 
VS5,esquerda= 1219,86-114,7x10,2- 2
4,315x
-= 24,4 kN 
 
Momento Fletor 
MS0= -24,1-75x6,8-159,8x 2
8,6 2
= -4228,6 kN.m 
MS2= -24-75x13,6-159,8x6,8x10,2+(3440,7-74,8)x6,8-129,73x 2
8,6 2
-30x 3
8,6 2
= 
7688 kN.m 
MS5= -24-75x23,8-159,8x6,8x20,4-45,1x 2
2,10
x13,6-114x 2
172
+(3440-74,8)x17= 
13631 kN.m 
 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
210
 
8.3.5.2 - Ações de sobrecargas permanentes 
 
A sobrecarga permanente é originada pela ação da pavimentação e dos guardas rodas. 
Para os dois guardas-rodas pode ser considerada uma carga de 4,25 kN/m. Para poder 
escoar as águas de chuvas é necessário que o pavimento superior seja inclinado de 2%. 
Prefere-se executar a estrutura com inclinação de 2% (ver situação a da figura A9), do 
que aumentar a espessura do pavimento para se obter a inclinação necessária (situação b 
da figura 8.11). Assim o valor de g2 será dado por: 
 
g2= 4,25+ (B-0,58)x 0,05x18= 4,25+(10,5-0,50)x0,05x18=13,25 kN/m. 
 
O valor de B (10,50 m) é a largura total da ponte e 0,5 a largura dos dois guardas rodas, a 
espessura do pavimento e seu peso específico são respectivamente 0,05 m e 18 kn/m3. 
 
2%
2%
Inclinação no pavimento 
Inclinação na estrutura
Det. 1
Det. 2
25
Det. 2
Det. 1
h variável 
de 17,5 a 7 cm
7 cm
h constante
 
Figura 8.19-Possibilidades do escoamento da água de chuva na seção: a) através do 
engrossamento da pavimentação, b) através da inclinação da estrutura. 
 
2 2
g
2
g
S 0 S 1 S 2
S 3 S 4 S 5 S 6
S 7 S 8 S 9
S 10 S bal2S bal1
g
L0,1L
 
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211
Figura 8.20 – Esquema estrutural do carregamento de sobrecarga permanente 
 
A ação da sobrecarga permanente é uniforme em toda a extensão da ponte e seu esquema 
está mostrado na figura 10. Com o valor numérico de g2 obtido pode-se calcular também 
os momentos fletores e cortantes em S0, S2 e S5 . 
Cálculo da reação de apoio: 
 
Ra= 13,2 (17+6,8) =315,35 kN 
 
Cortante 
VS0,esquerda= -13,2x6,8= -89,76 kN 
VS0,direita= - 89,76 +314,16 = 225,6 kN 
VS2= 224,4-13,2x6,8= 135,1 kN 
VS5= 134,64-13,2x10,2= 0,0 kN 
 
Momento Fletor 
MS0= -13,2x 2
8,6 2
= - 305,1 kN.m 
MS2= 314,16x6,8-13,2x 2
6,13 2
= 918,5 kN.m 
MS5= 314,16x17-13,2x 2
8,23 2
=1602,2 kN.m 
8.3.6- fase 4: determinação do trem tipo longitudinal e das ações de carga acidental 
 Chama-se de trem tipo a maior carga acidental que pode atuar na obra de arte. O 
trem tipo usado neste projeto será o 45 que é composto por um veículo, cujas dimensões 
estão dadas na figura 8.21, e que pesa 45 tf (450 kN) e atua simultaneamente com uma 
carga acidental uniforme de 5 kN/m2, representando a ação de veículos mais leves ou 
mesmo multidão de pessoas. 
 
PE=75
p=5 kN/m 2p=5 kN/m
2
PE=75 PE=75 PE=75 kN
PE=75
 
Figura 8.21 - Trem Tipo para a classe 45 – Geometria e cargas (cotas em cm) 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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212
 Para calcular os esforços máximos e mínimos em cada seção é preciso 
saber inicialmente quanto da ação acidental é absorvida por cada viga (V1 e V2 figura 
8.22). Se uma carga P é colocada no meio da seção transversal, obviamente, que as 
parcelas de carga absorvidas por V1 e V2 são iguais P/2. Quando a carga P está 
excêntrica de “e” pode-se assimilar, de maneira simplificada, que as cargas absorvidas 
por V1 e V2 são também iguais a P/2 pois o momento torçor Mt=P.e é absorvido pelas 
tensões de cisalhamento τt . Como a rotação α é muito pequena pode-se considerar Δ1= 
Δ2 e assim as ações em V1 e V2 iguais. Este raciocínio simplista pode ser visto em 
Muller [ ]. 
 
figura 8.22 – Funcionamento da seção celular: a carga P, vertical, é absorvida igualmente 
por V1 e V2 devido a grande inércia à torção da seção. 
 
 Sendo assim pode-se dizer que, independentemente da posição do veículo na 
seção transversal, para efeito de flexão, cada viga absorve metade da carga. Desta forma 
será calculado o valor da máxima carga acidental que atua em uma viga, neste caso a 
carga para toda a seção, chamando este conjunto de cargas de trem tipo longitudinal 
(designado por TTL). Os valores destas cargas são obtidos fazendo simplesmente a 
resultante dos esforços em cada seção como é mostrado na figura 8.23. 
 
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213
PE=75
p=5 kN/m 2
SEÇÃO DO MEIO DO VÃO
SEÇÃO DO MEIO DO VÃO
p''=5x(B-0,8)
p'=5x(B-3,8)
P'=150 kN
AB
CORTE AA
CORTE BB
PE'=150
p'
p''p''
TREM TIPO LONGITUDINAL
PE=75
PE=75
PE=75PE=75
PE'=150
PE'=150
 
figura 8.23 Esquema para o cálculo do Trem Tipo Longitudinal (TTL) 
 
Numericamente para este caso as cargas serão: 
Concentrada PE = 150 kN 
Distribuída p’= (10,5-0,5-3,0)x5= 35 kN/m2 
Distribuída p’’= (10,5-0,5)x 5= 50 kN/m2 
 
Finalmente conhecido o TTL pode-se calcular o máximo e o mínimo momento fletor em 
uma seção S com a ajuda da linha de influência e como mostra a figura 8.24. 
 
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CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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214
p'
p''p''
p'' p''
p'
PE' PE'
p'
p'' p''PE'
M =-(PE'.(n8+n9+n10)+(p'.n8.a8+(p''-p').(n11.a11)+p" .n7.a7).0,5)
M =PE'.(n2+n3+n4))+p'.n3.L.0,5+(p''-p').(n5.a5+n1.a1).0,5
min
máx
S
SLIM
n3=a.b/L
n4 n5 n6n2n1 n3
n11
n10
n9
n8
n7
M =-(PE'.(n3+n4+n5)+p'.n3.L.0,5+(p''-p').(n2.a2+n6.a6).0,5máx
PE' PE' PE'
PE' PE' PE'
 
figura 8.24 Carregamento da linha de Influência de Ms com o trem tipo Longitudinal. 
Aplicando para a seção S0 tem-se o esquema da figura 8.25. 
1
n1
6,8mLIMS0
5,3
3,8 n2=5,30
min
n4=2,30
n3=3,80n1=6,80
n4
2,3
n2n3
3,5
150
5
150150
1
34,0
SEÇÃO S0
M = -150.(6,80+5,30+3,80)+35x6,80x6,80x0,5+
+15x2,30x2,30x0,5)=-3198 kN.m
 
Figura 8.25 Esquema de cargas e momento fletor mínimo para a seção S0. 
Analogamente para a seção S2 tem-se o esquema da figura A16. 
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215
S2LIM
n11
5
3,5
n1n2n3n4n5n6
5,3
3,8
6,8
22,7m
24,2
25,7
27,2m
2,3
3,8
5,3
6,8m
n7n8n9
n10
150150150
150 150150
5
3,5
5
5
150150 150
5 5
3,5
1
2
3
2
1
3
máx
n1=3,04
n2=4,24
n3=5,44
n6=4,54
n5=4,84
n4=5,14
n8=-4,24
n11=-1,36
n10=-1,84
n9=-3,04
n7=-5,44
min
máx
SEÇÃO S2
M =(150.(5,44+4,24+5,14)+35x5,44x34x0,5+
+15x3,04x3,8x0,5+15x4,84x24,2x0,5)=6425 kN.m
M =150.(5,44+5,14+4,84)+35x5,44x34x0,5+
+15x4,24x5,30x0,5+15x4,54x22,7x0,5)=6491,1 kN.m
M =-(150.(5,44+4,24+3,04)+35x6,8x5,44x0,5+
+15x2,3x1,84x0,5+50x1,36x6,8x0,5)= -2818kN.m 
Figura 8.26 Esquema de cargas e momento fletor mínimo para a seção S2. 
Finalmente para a seção S5 tem-se o esquema da figura 8.27 
. 
34,0m
17,0
15,5
14,0
1
min2
n6
6,8m
LIMS5
5,3
3,8
n2=7,75
máx
n4=7,75
n3=8,50
n1=7,00 n6=-3,40
n8=-1,90
n7=-2,65
n1
n9
2,3
n7n8
5
n4n2n3 n5
150
3,5
150 150
3,5
150
5
150150
2
5 1
5
n9
17,0
15,5
14,0
n5=7,00
n9=-1,15
n10=-3,40
SEÇÃO S5
M =150.(8,50+2x7,75)+35x8,5x34,0x0,5+
+2x15x7,00x14,00x0,5)=10127,5 kN.m
M =-(150.(3,40+2,65+1,90)+35x3,4x6,8x0,5+
+15x2,3x1,15x0,5+50x3,40x6,8x0,5)= -2135kN.m
 
Figura 8.27 Esquema de cargas e momento fletor mínimo para a seção S5. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
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216
Os esforços da ação acidental precisam ainda ser majoradas pelo coeficiente de impacto 
vertical que serve de forma simplista para considerar o efeito dinâmico destas ações. O 
coeficiente ϕ é dado pela expressão empírica: 
 
 ϕ = 1,4 – 0,007 x l 
com l o valor de vão em m. 
Assim para o vão e para o balanço (usa-se 2 l ) os coeficientes serão: 
ϕv = 1,4 – 0,007 x 34 =1,16 
ϕb = 1,4 – 0,007 x 13,6 = 1,30 
 
8.3.7- Resumo dos momentos fletores das ações. 
 Segundo a norma NBR8681:2003 é considerada grande ponte aquela em que o 
peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade das ações permanentes. Comparando 
as reações de apoio do peso próprio estrutural e sobrecarga permanente tem-se: 
 Rapopio g1= 3440,7 kN → 91,6% 
Rapopio g2= 515,3 kN → 8,5% 
Total = 3756,0 kN →100% 
 Como o peso próprio estrutural corresponde a 96,1% da ação permanente a ponte em 
questão pode ser considerada uma grande ponte e os coeficientes de majoração de ação 
para o caso de carga permanente são de 1,2 e e para as ações acidentais 1,5. 
Os valores dos Momentos fletores são apresentados na tabela 8.4 para as seções S0,S2 e 
S5. 
TABELA 8.4 Momentos fletores (kN.m) 
Seção Mg1 Mg2 Mqmáx Mqmin ϕMqmáx ϕMqmin 
S0 -4228 -306 0 -3198 0 -4157 
S2 7688 915 6491 -2818 7530 -3663 
S5 13631 1608 10127 -2135 11747 -2776 
Para a seção S5 a mais solicitada calcula-se os momentos máximos e mínimos no estado 
limite último: 
 Md,S5, máx = 1,3 (Mg1 + Mg2) + 1,5 ϕMqmáx = 
 =1,3(13631+1608)+1,5(11747)= 46.431 37.431 kNm 
 
 Md,S5, min = 1,3 (Mg1 + Mg2) + 1,5 ϕMqmin 
 =1,3(13631+1608)-1,5(2776)= 15.646 kNm 
 
8.3.8- Definição do cabo representante 
 O cabo represente é definido conforme a discussão feita no item 8.2.1. e o 
esquema estrutural da viga em questão é mostrado na figura 8.28 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
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217
AV 18
6
S0
S1 2 S3 S4
cabo
representante
5S
S
680
340 340 340 340 340
extS
18
15
15
200
1700
 
figura 8.28– Trajetória esquemática do cabo representante (cotas em cm). 
 
 Como pode ser visto na figura 8.1 os ângulos escolhidos para o cabo representante 
são 60 e 180, apresentando-se as principais informações da viga que é ^simétrica em 
relação a S5, tem 34 m de vão, 6,8 de balanço, 2,0 m de altura, os cabos são todos 
ancorados na Sext, considera-se que o cabop representante passe a 15 cm da borda 
inferior nas seções S0 e no trecho S3 S5 e seus trechos curvos possam ser representados 
por arco de círculo. A geometria da estrutura (e da viga) foi definida em função do uso do 
cabo 12φ1/2” (cabo que tem 12 cordoalhas de diâmetro nominal de ½” dentro de sua 
bainha). 
Dados do cabo 12φ1/2” 
Área = 12,02 cm2 
φbainha interna = 7 cm 
Resultam desta escolha os coeficientes relativos ao: 
atrito do cabo-bainha (tabela 4.1) μ=0,20 
desvio angular β=0,01 rd/m ( embora a norma permita até valores de 0,002) 
 Para o aço adota-se o CP190RB e portanto fica definido o valor de 
Ep=1,95x105MPa e a tensão inicial a ser aplicada na extremidade do cabo o menor dos 
valores 0,74 fptk e 0,82 fpyk (capítulo 3) e como fpyk≅ 0,9 fptk, o menor valor é este 
último e dado por: 
σpi=0,738 fptk=0,738x1900=1404 MPa adotado 1400 MPa. 
Adotando o sistema de protensão Rudloff ou MAC.decorre Perda durante a cravação – 6 
mm 
Considerando o nível de agressividade III - Nível de Protensão – tem-se que atender a 
Protensão Parcial (ver capítulo anterior tabela 7.3), usar um concreto de fck=35 MPa e 
A/C≤ 0,5 (tabela 7.4) e cobrimento mínimo de 4,5 cm (tabela 9.1). 
8.3.9 -Cálculo das perdas imediatas do cabo representante 
 As perdas imediatas possíveis de serem calculadas são a por atrito e por 
deformação da ancoragem a por deformação imediata do concreto é desprezado pela falta 
do conhecimento do número de cabos. 
8.3.9.1-Cálculo das perdas por atrito cabo bainha do cabo representante 
Considerando portanto (ver item anterior) os valores de μ=0,20, β=0,01 rd/m, σpi=1400 
e a geometria da figura 8.20 pode-se montar a tabela 8.5 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
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218
TABELA 8.5 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas por atrito 
Seção x(m) D x(m) � ( O )
�� ( O 
) 
�� 
(rad) 
e-
�.(��+�x)
Fs’ e-�.(��+�x) 
MPa 
Sext 0 0 0 0 0,00 1,000 1400,0 
S0 6,8 6,8 6 6 0,10 0,966 1352,5 
S1 3,4 10,2 12 18 0,31 0,920 1288,2 
S2 3,4 13,6 12 30 0,52 0,876 1227,0 
S3 3,4 17 12 42 0,73 0,835 1168,7 
S4 3,4 20,4 0 42 0,73 0,829 1160,7 
S5 3,4 23,8 0 42 0,73 0,823 1152,9 
 
8.3.9.2-Cálculo das perdas por deformação da ancoragem do cabo representante 
Para calcular a perda por deformação a ancogarem usa-se os valores já definidos de 
Δ l =0,6 cm Ep=1,95x105MPa 
O cálculo da perda por deformação por ancoragem é feito por tentativa como já mostrado 
no capítulo 4. A área Ω da figura formado pela curva atrito-distância e seuespelho 
(consideração de atrito igual qualquer que seja o sentido do movimento do cabo) deve ser 
igual a Δ ⋅l Ep. Este valor é igual a 
Ω =Δ ⋅l Ep = 0,6 ⋅1,95 ⋅105=117.000.Considerando que a deformação da ancoragem 
influencia até a seção S0 obtem-se 
Ω S0 = 2
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 680
2
5,13521400
= 32.300 
Como Ω S0<Ω então é preciso considerar um ponto mais distante do início do cabo. 
Considerando agora o ponto correspondente a seção S1 
Ω S1 = 2
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+− 340
2
2,12885,1352680
2
2,12885,1352
2
2,12881400
= 141.278 
Como Ω S1<Ω então o ponto indeslocável a deformação a ancoragem está entre S0 e S1 
podendo ser escrita a equação 
Ω S0 + 680⋅Δσ + ll Δ⋅Ω=⋅
Δ
02
σ
 → 32.300+ 680⋅Δσ + =⋅
Δ
02
lσ
117.000 
Mas considerando o trecho do gráfico da tensão entre S0 e S1 retilíneo pode-se escrever 
 
0
01
2340 l⋅
Δ=− σσσ SS
 com σΔ a perda de tensão no ponto da seção S0 e 0l a distancia do 
ponto da seção S0 até o ponto onde a deformação da ancoragem influencia. 
340
2,12885,1352
2 0
−=⋅
Δ
l
σ
 → σΔ⋅= 643,20l 
E portanto 
 680⋅Δσ + =Δ⋅⋅
Δ σσ 643,2
2 84.700 → 0700.84680321,1 2 =−Δ⋅+Δ⋅ σσ 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
219
 =Δσ 103 MPa 0l =272,4 cm 
Tensão no cabo
1400
1352
1288
1227
115311611169
1301
1250
1202
1100,0
1150,0
1200,0
1250,0
1300,0
1350,0
1400,0
1450,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
x(m)
s
(M
Pa
)
Atrito
atrito e anc. S1
atrito e anc. S0
Aatrito e anc final
 
figura 8.29– Gráfico das tensões ao longo do cabo após as perdas iniciais. 
 
Na figura 8.29 mostra-se os gráficos de cada situação calculada e finalmente na tabela 
8.6 apresentam-se os valores das tensões nas diversas seções após as perdas imediatas. 
 
TABELA 8.6 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas iniciais 
Seção Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5 
σs 
(MPa) 
1202 1250 1288 1277 1169 1161 1153 
 
8.3.10- Cálculo das perdas ao longo do tempo do cabo representante 
 São analisadas neste item as perdas por perdas ao longo do tempo do cabo 
representante considerando-as isoladas e tomando como referencia a seção S5. Além dos 
valores considerados anteriormente são impostas as seguintes condições : 
Umidade ambiental 75% 
protensão efetuada aos 5 dias de idade do concreto 
Temperatura média do ambiente 200C. 
Para a determinação de outros dados é preciso agora definir a espessura equivalente da 
peça (capítulo 5) dada por e= 2A/μ sendo neste caso μ o perímetro da seção em contato 
com o ar, Usando a seção S5 tem-se: 
para o perímetro μ = 10,50+2x2=14,50 m. 
Na fórmula do perímetro o valor de 10,50 m corresponde a projeção em planta das faces 
inferiores da seção uma vez que na face superior há o asfalto. O valor de 2 m corresponde 
a projeção na vertical dos elementos da seção e portanto desprezou-se nos dois casos as 
possíveis inclinações dos elementos. 
Assim 
 e= (2x4,5875)/14,5=0,632 m. 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
220
Com os valores anteriores é possível entrar na tabela 5.1 e obter os valores superiores do 
coeficiente de fluência e da deformação de retração que resultam em 
 
 ( ) 6,25, =∞φ e ( ) 4101,25, −⋅−=∞sε 
8.3.10.1 - Cálculo das perdas devido à retração 
 A perda por retração é dada por 
 
 ( )5,, ∞⋅=Δ spsp E εσ =1,9x105x2,1x10-4=40,95 MPa 
8.3.10.2 - Cálculo das perdas devido à fluência do concreto 
 A perda por fluência do concreto é dada por 
 
 
( )5,,, ∞⋅⋅=Δ φσσ gcg
c
p
cp E
E
 
o valor de Ec é dado por Ec =0,85 ckf⋅⋅5600 
 Ec =0,85 355600 ⋅⋅ =28.160 MPa e considerando para o valor de gcg ,σ = 5 MPa 
 
6,25
160.28
109,1 5
, ⋅⋅⋅=Δ spσ
=87,7 MPa 
8.3.10.3 - Cálculo das perdas devido à relaxação do aço 
 Para avaliar a perda por relaxação da armadura é preciso incialamente considerar 
o nível de tensão na mesma 
 
 1900
1153==
ptk
p
f
r
σ
=0,606 
 
Consultando a tabela 5.4 tem-se a situação indicada e o valor desejado é k 
 
0,6 fptk 1,3 
0,606 fptk k 
0,7 fptk 2,5 
k=1,372 que o valor em percentagem para a perda de 1000 horas para o tempo infinito 
tem-se : 
∞Ψ = 2,5 1000Ψ⋅ = 2,5.1,72 ⋅=4,3 % E finalmente a perda de : 
043,01153, ⋅=Δ rpσ =49,58 MPa 
Assim as perdas totais são 
++=Δ ++ cpsprcsp ,,,, σσσ =Δ rp,σ 40,95+87,70+49,58=178,23 MPa 
Considerando a mesma perdas para as outras seções é possível construir a tabela 8.7 
 
TABELA 8.7 Tensão ao longo do cabo representante após as perdas iniciais e ao longo 
do tempo 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
221
Seção Sext S0 S1 S2 S3 S4 S5 
σs (MPa) t=to 1202 1250 1288 1277 1169 1161 1153 
σs (MPa) t=∞ 1024 1072 1110 1099 991 983 975 
 
8.3.11- Cálculo do número de Cabos no ELU . 
 O cálculo da armadura longitudinal é feito no tempo infinito usando para tanto a 
tensão da armadura na seção mais solicitada Sr que é (tabela 8.7) ∞=tSp ,5,σ =975 MPa que 
permite calcular o pré-alongamento εp que neste caso é dado pela lei de Hoohe 
 
εp= ∞=tSp ,5,σ /Ep = 975/195.000=0,5% 
 O valor de εs é função da condição de equilíbrio da seção no ELU. Como a seção 
trabalha como um todo e assim o valor de b a considerar na expressão é de 10,50m e o 
valor de d será igual a altura h menos o valor arbitrado de 15 cm portanto d=2-0,15=1,85 
m 
 
=⋅⋅= cd
d
fdb
M
KMD 2
=
⋅⋅
4,1
000.3585,150,10
431.37
2
0,04 
 
Da tabela 6.2 obtém-se kx =0,0603 e portanto x=0,0603x1,85=0,11m < hf linha neutra na 
mesa 
Ainda da tabela em questão obtém-se kz=0,9759 e εs=1%. 
Assim, εt =εp +εs =0,5+1=1,5% usando a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 
 
Finalmente 
5,137
7,15085,19759,0
431.37 =⋅⋅=⋅⋅= pdz
d
p fdk
MA
cm2 
Número de cabos n=Ap/12,02= 137,5/12,02=11,44 → adotado 12 cabos, ou seja, 6 cabos 
por viga. 
 Para verificar a altura arbitrada detalha-se os sete cabos na seção S5 usando as 
distancias de 1,5φb e 2:φb entre o centro do cabo e a aresta de concreto e entre cabos 
respectivamente. Onde φb é o diâmetro externo da bainha e portanto as distâncias em 
questão são 10,5 e 14 cm. O arranjo dos cabos é mostrado na figura 8.30. Nota-se que 
pelo detalhe 1 o cobrimento mínimo de 4,5 cm está atendido. 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
222
10
,5
14
10,5
14
14
Detalhe 1
Detalhe 1Seção S5 Borda inferior
5,
8
5,8
 figura 8.30– Gráfico das tensões ao longo do cabo após as perdas iniciais. 
 
 A partir da disposição da armadura pode-se calcular agora o cg (ycg) dos cabos 
na S5 e portanto a altura útil real dr = h -ycg 
n
y
y icg
∑=
=
=⋅+⋅
7
245,03105,04
0,165 m 
Assim o valor da altura real resulta em dr = h -ycg=2-0,165=1,835 
Como o dr=1,835<darbritado =1,85 m pode-se calcular nova armadura com o valor de 
drque conduz a 
 
=⋅⋅= cd
d
fdb
M
KMD 2
=
⋅⋅
4,1
000.35835,150,10
431.46
2
0,06 
Da tabela 6.2 kx =0,0916 e portanto x=0,0916x1,835=0,168m < hf linha neutra na mesa 
Ainda da tabela em questão obtém-se kx=0,9634 e εs=1%. 
Assim, εt =εp +εs =0,5+1=1,5% usando a tabela 6.1 fpd=150,7 kN/cm2 
Finalmente 
52,170
7,150835,19634,0
431.45 =⋅⋅=⋅⋅= pdz
d
p fdk
MA
cm2 
Número de cabos n=Ap/12,02= 170,5/12,02=14,18 → adotado 14 cabos, ou seja 7 cabos 
por viga e portanto ainda uma armadura passiva de 
Ft =
ydspdp
z
d fAfA
dk
M ⋅+⋅=⋅ 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅+⋅⋅=⋅ 15,1
507,15002,1214
835,19634,0
431.45
sA
 
 As = 7,79 cm2 
8.3.12-- Verificação do ELS de fissuração. 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
223
 Em virtude da condição ambiental de agressividade do entorno onde se executará 
a ponte era do nível III a protensão deve ser a limitada. Assim, a verificação de 
fissuração é feita através do controle das tensões normais no concreto. Como a 
verificação de ruptura em vazio, ou seja, no tempo zero também pode ser feita desta 
forma faz-se ambas as verificações na seção S5 nas demais seções é feita a determinação 
do feixe limite que é comentada no capítulo posterior. 
Força de protensão em um cabo (tabela 8.7) 
tempo zero →Np,t=0 = 115,3x12,02 =1386 kN, 
tempo infinito →Np,t=∞ = 97,x12,02 =1172 kN, 
excentricidade dos cabos → e = yi - ycg =1,278-0,165=1,113 m 
 geometria da seção S5 (tabela 8.3) A=4,5875 m2, Wi=2,015 m3, Ws=3,565 m3, 
yi=1,278m 
 Esforços na seção → Mg1=13631 kN.m, Mg2=1608, ϕMq,máx=11747 kN.m e 
ϕMq,min=-2776 kN.m 
 
Verificação de ruptura e no tempo “zero” 
limites para as tensões (supondo fcj=20 MPa): 
Compressão 0,7xfcj =0,7x20.000=14.000 kN/m2 
Tração 1,2xfctm =1,2
3/2207,0 ⋅⋅ =2,652 MPa =2652 kN/m2 
Borda inferior: 
iσ = i
g1
i
pp
W
M
W
M
A
N −+
 = 
=−⋅⋅+⋅
2,013
13.631
2,015
113,1138614
4,5875
138614
8185 kN/m2<14000 
a condição de compressão está atendida 
 Borda superior 
σs= s
g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +−
 = 
=+⋅⋅−⋅
3,565
13.631
3,565
113,1138614
4,5875
138614
1995>-2652 kN/m2 
 
a condição de tração está atendida e não é preciso usar armadura para controlar a 
fissuração na borda superior. 
 
 
 
 
Verificação de Fissuração 
É feita no tempo infinito e considerando o estado de descompressão e o deformação de 
fissuras para a combinação quase permanente e freqüente respectivamente. Os 
coeficientes 1Ψ e 2Ψ a considerar segundo a norma NBR8681:2003 são iguais a 0,3 e 
0,5 respectivamente . 
 
Estado limite de descompressão (E.L.S-D).→Combinação de ações Quase Permanente 
Os limites neste caso são 
Tração → σ = 0 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
224
Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck 
 
Substituindo fck=35 chega-se a condição: 
 
245000 ≤≤ σ 
BORDA INFERIOR 
Situação momento máximo 
σi= i
g3g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N ++++
i
q2
W
.Mψ+
 = 
=−+−⋅⋅+⋅
2,015
0,3x11747
2,015
160813631
2,015
113,1117214
4,5875
117214
3328 kN/m2 
 Situação momento mínimo 
σi= i
g3g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N ++++
i
q2
W
.Mψ+
 = 
 
=++−⋅⋅+⋅
2,015
0,3x2776
2,015
160813631
2,015
173,1117214
4,5875
117214
5490 kN/m2 
BORDA SUPERIOR 
Situação momento máximo 
σs= i
g3g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N ++++
i
q2
W
.Mψ+
 = 
 
=+++⋅⋅−⋅
3,565
0,3x11747
3,565
160813631
3,565
113,1117214
4,5875
117214
3717 kN/m2 
 Situação momento mínimo 
σs= i
g3g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N ++++
i
q2
W
.Mψ+
 = 
=−++⋅⋅−⋅
3,565
0,3x2776
3,565
160813631
3,565
113,1117214
4,5875
117214
2494 kN/m2 
A maior tensão (situação 2) atende a condição limite 5400<24500 kN/m2 
A menor tensão (situação 4) atende a condição limite 2494>0 kN/m2 
 
Estado limite de formação de fissuras (E.L.S-F).→Combinação de ações Freqüente 
Os limites neste caso são 
Tração → fct,m = -0,3. 3
2
ckf 
Compressão → estado limite de compressão excessiva (ELS-CE) → 0,7 fck 
 
Substituindo fck=35 chega-se a condição: 
 
22 245003850 m
kN
m
kN ≤≤− σ
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
225
BORDA INFERIOR 
Situação momento máximo 
σi= i
g3g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N ++++
i
q1
W
.Mψ+
 
=−+−⋅⋅+⋅
2,015
0,5x11747
2,015
160813631
2,015
113,1117214
4,5875
117214
2162 kN/m2 
Situação momento mínimo 
σi= i
g3g2g1
i
pp
W
M
W
M
A
N ++++
i
q1
W
.Mψ+
 = 
=++−⋅⋅+⋅
2,015
0,5x2776
2,015
160813631
2,015
173,1117214
4,5875
117214
5765 kN/m2 
BORDA SUPERIOR 
Situação momento máximo 
σs= s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
s
q1
W
.Mψ+
 = 
=+++⋅⋅−⋅
3,565
0,5x11747
3,565
160813631
3,565
113,1117214
4,5875
117214
2779kN/m2 
Situação momento mínimo 
σ s= s
g2g1
s
pp
W
M
W
M
A
N +++
s
q1
W
.Mψ+
 = 
 
=−++⋅⋅−⋅
3,565
0,5x2776
3,565
160813631
3,565
113,1117214
4,5875
117214
2338 kN/m2 
 
A maior tensão (situação 7) atende a condição limite 5765<28500 kN/m2 
A menor tensão (situação 5) atende a condição limite 2162>-3850 kN/m2 
Desta forma as condições de fissuração estão atendidas 
 
 
8.4- Cálculo com pré-tração: seções compostas. 
O cálculo da armadura com pré-tração é feito normalmente para vigas pré-fabricadas que 
tem uma série de características distintas das executadas no local, inicia-se aqui um 
resumo de algumas particularidades embora muitos dos assuntos aqui tratados possam ser 
aprofundados em livros de pré-fabricados. 
 O cálculo de uma pré-fabricada com aderência inicial deve levar em conta 
principalmente a maneira como é executada a estrutura em que ela faz parte. Imaginando, 
por exemplo, uma estrutura em constituída de lajes alveolares, vigas pré-fabricadas e 
pilares pode-se ter dois principais tipos de estrutura: 1) estrutura com pórticos com 
ligações semi-rígidas; 2) estrutura com pórticos com ligações rotuladas. 
 
8.4.1. Estrutura com pórticos com ligações semi-rígidas e com ligações rotuladas 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP. 8- Pré-dimensionamento e dimensionamento da armadura longitudinal 
 ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
226
 Quando se deseja construir uma estrutura com elementos pré-fabricados usando 
pilares, vigas protendidas e laje alveolar e ligação semi-rígida segue-se em geral a 
seqüência apresentada na figura 8.21 
 
ligação
laje alveolar
pilar
viga pré fabricada
capa
laje alveolar
ligação capa
pilar
viga pré fabricada
etapa 1 etapa 2 etapa 3
etapa 6etapa 5etapa 4
 
 FIGURA 8.31- Seção transversal da viga da viga pré-fabricada com as etapas 
seguidas para a execução de uma estrutura com pórticos com ligações semi-rígida.: Etapa 
1 –fabricação