cap06_prot_NOVO2009[1]

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DETALHAMENTO 
Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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6-Dimensionamento da armadura longitudinal de flexão no estado limite último de 
colapso 
6.1 – Introdução 
 O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão em concreto armado e 
protendido deve ser atendendo as condições dos estados limites últimos e de serviço. No 
concreto armado, de uma maneira geral, é usual dimensionar-se a armadura de flexão 
no estádio limite último de esgotamento da capacidade resistente devido às solicitações 
normais sob solicitações normais daqui para frente chamada apenas de colapso na 
flexão e verificar as demais condições. No concreto protendido alem desta hipótese é 
também usual fazer-se o inverso dimensionar a armadura para condições de serviço 
(estado limite de fissuração) e verificá-la na ruptura. Em relação a flexão e a sua 
correspondente deformação pode-se considerar as verificações contidas no quadro 6.1. 
 
Quadro 6.1 Verificações para a determinação da quantidade da armadura 
longitudinal 
 TEMPO ZERO- 
VERIFICAÇÃO EM 
VAZIO 
 ELU DE RUPTURA 
 TEMPO INFINITO 
VERIFICAÇÕES QUE A 
QUANTIDADE DE 
ARMADURA 
LONGIRUDINAL 
AFETA 
DIRETAMENTE 
 
 FISSURAÇÃO 
 ELS 
 DEFORMAÇÃO 
EXCESSIVA 
 
 Neste capítulo são trados apenas os problemas de dimensionamento da armadura 
longitudinal no estado limite último de flexão. 
O dimensionamento no estádio limite último de colapso em concreto protendido 
pouco difere do efetuado em peças de concreto armado. As hipóteses que uma seção 
transversal deve obedecer tanto em concreto armado quanto em protendido estão 
descritas na NBR6118:2003 no item 17.2. No item 17.4 estabelece que na protensão 
além dos esforços atuantes devem ser considerados os esforços hiperestáticos de 
protensão cuja determinação em vigas é estudada no segundo volume deste trabalho. Os 
momentos isostáticos (produto da força de protensão pela excentricidade não devem ser 
usados) e para determinação da tensão na armadura deve-se levar em conta os pré-
alongamentos descontadas as perdas para o tempo t em que é feita a verificação. 
Já na norma anterior de protendido a redação já conduzia a este fato como podia 
ser visto no item 9.1.2: “Na verificação da segurança das peças de concreto protendido 
devem ser obedecidas as mesmas condições específicas de segurança estabelecidas 
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pela NBR 6118 para as peças de concreto armado comum, ressalvadas as exigências 
feitas por esta Norma e consideradas a influência da protensão”. 
 Algumas exigências específicas eram feitas pela antiga norma de protendido que 
passam a ser resumidas: a) em peças isostáticas deve-se considerar, além das 
solicitações que a peça teria se não fosse protendida, o efeito das ancoragens, mudanças 
de direção dos cabos de protensão e os valores destas considerados com suas perdas; b) 
nas estruturas hiperestáticas além das solicitações citadas anteriormente os efeitos 
hiperstáticos de protensão; c) As seções transversais resistentes são compostas pelas 
seções de concreto, da armadura de protensão e de eventual armadura passiva existente 
e não é necessário reduzir, no cálculo dos esforços normais, a área dos furos 
correspondentes às bainhas dos cabos de protensão, se esta área não ultrapassa 2% da 
área da seção transversal geométrica da peça; d) As resistências de cálculo no 
escoamento e na ruptura da armadura são dadas por fpyd= fpyk/1,15 e fptd= fptk/1,15 
respectivamente. 
 Neste capítulo é estudado o dimensionamento da armadura ativa para a 
protensão com aderência e sem aderência (cordoalhas engraxadas). 
 
6.2 AS PRINCIPAIS FASES ATÉ O COLAPSO 
A seção transversal central da viga de concreto armado ou protendido, neste 
caso retangular, como a mostrada na figura 6.1, e submetida ao momento fletor M 
crescente, passa por três níveis de deformação, denominados de ESTÁDIOS, que 
determinam o comportamento da peça até à sua ruína. Na figura 6.1 estão representadas 
as deformações e tensões no aço e no concreto e as resultantes dessas tensões. 
 Pode-se caracterizar agora os três estádios de deformação de uma viga de 
concreto na flexão normal simples: 
 
ESTÁDIO I (estado elástico) − sob a ação de um momento fletor MI de pequena 
intensidade, a tensão de tração no concreto não ultrapassa sua resistência característica à 
tração (ftk): 
• o diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear; 
• as tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações, 
correspondendo ao trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto; 
• não há fissuras visíveis. 
 
ESTÁDIO II (estado de fissuração) − aumentado-se o valor do momento fletor para 
MII, as tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão 
valores superiores ao da resistência característica do concreto à tração (ftk): 
• Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração; 
• Admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear (embora no 
desenho da fig. 6.1 esteja representado curvo); 
• As fissuras de tração na flexão no concreto podem estar visíveis. 
 
 
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cc
Rc
RcRc
z z
Rp
Rp Rp
ESTÁDIO I ESTÁDIO II ESTÁDIO III
Rc,t
M M>M Mr
b
d
c
u
zAp II I III
 
FIGURA 6.1. Comportamento das tensões no concreto e as resultantes na da seção 
transversal deformada de uma viga de concreto protendido na flexão normal 
simples. Com Rc resultante de compressão no concreto, Rc,t resultante de tração no 
concreto, Rp –resultante de tração na armadura de protensão. 
 
ESTÁDIO III − aumenta-se o momento fletor até a um valor próximo ao de ruína 
(Mu): 
• A fibra mais comprimida do concreto começa a escoar, podendo atingir a 
deformação específica de 0,35% (3,5‰); 
• O diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme), com quase todas as fibras 
trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as fibras atingiram 
deformações superiores a 2‰ . 
• A peça está bastante fissurada, com as fissuras atingindo o início da zona 
comprimida; 
• Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um diagrama 
parábola-retângulo (figura 6.2). 
 
Pode-se dizer, simplificadamente, que: 
 
Estádios I e II → correspondem às situações de serviço (quando atuam as ações 
reais); 
Estádio III → corresponde ao estado limite último (ações majoradas, resistências 
minoradas), que só ocorreria em situações extremas. 
 Tanto a seção transversal, indicada n figura 6.1, quanto nas análises feitas até 
então referem-se principalmente às seções submetidos à flexão simples, porem o 
procedimento com a armadura ativa de protensão pouco mudará como era visto adiante. 
Fica claro que o efeito da protensão, que é o de criar um estado de tensões de 
compressão na peça fará com que o valor de MII (será chamado posteriormente de MR- 
momento de fissuração) aumente significativamente o seu valor. 
 
6.3 HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO 
O texto dos dois próximos itens foi adaptado do capítulo 3 do livro “Cálculo e 
detalhamento de estruturas usuais deconcreto armado” de CARVALHO e 
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FIGUEIREDO FILHO [2007]. Historicamente esse texto foi escrito primeiro que a obra 
de concreto armadura e portanto já se destinava ao concreto protendido. 
As hipóteses para o cálculo no estado limite último de seções submetidas a ações 
normais podem ser encontradas no item 17.2.2 da NBR6118:2003 (engloba também as 
referentes às estruturas em concreto protendido): 
 
a) As seções transversais permanecem planas após o início da deformação e até o 
estado limite último; as deformações são, em cada ponto, proporcionais à sua 
distância à linha neutra da seção (hipótese de Bernoulli). 
 
b) Solidariedade dos materiais: admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a 
armadura; dessa forma a deformação específica de uma barra da armadura, em tração 
ou compressão, é igual à deformação específica do concreto adjacente. Na verdade o 
texto definitivo ficou com a seguinte forma “A deformação das barras passivas 
aderentes ou o acréscimo de deformação das barras ativas aderentes em tração ou 
compressão, devem ser o mesmo que do concreto em seu entorno”. 
 
c) Armaduras não aderentes: Para armaduras ativas não aderentes, na falta de valores 
experimentais e de análises não lineares adequadas, os valores de acréscimo das 
tensões para estruturas de edifícios estão apresentadas a seguir devendo ainda ser 
divididas pelos devidos coeficientes de ponderação: 
 para elementos com relação vão útil /altura menor ou igual que 35 
 Δσp= 70 + fck/(100ρp) (6.1) 
não podendo ultrapassar 420 MPa 
 para elementos com relação vão útil /altura maior que 35 
 Δσp = 70 + fck/(300ρp) (6.2) 
 não podendo ultrapassar de 210 MPa 
 onde: 
 ρp= 
..db
A
pc
p 
 onde: 
 Δσp e fck são dados em Mega Pascal 
 ρp é a taxa geométrica da armadura ativa 
 bc é a largura da mesa de compressão 
 dp altura útil referida à armadura ativa 
 
d) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser 
desprezadas. 
 
e) Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja feita de acordo com o 
diagrama parábola-retângulo da figura 6.2 (já vista no capítulo 3), com base no 
diagrama tensão-deformação simplificado do concreto com tensão de pico igual a 
cdf85,0 ⋅ ; o diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2o grau, 
com vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de 2,0‰ e um 
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trecho reto entre as deformações 2,0‰ e 3,5‰; permite-se a substituição do 
diagrama parábola-retângulo por um retângulo de altura 0,8⋅x, onde x é a 
profundidade da linha neutra, com a seguinte tensão: 
• 
c
ck
cd
f85,0
f85,0 γ
⋅=⋅ → zonas comprimidas de largura constante, ou crescente 
no sentido das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra; 
• 
c
ck
cd
f80,0
f80,0 γ
⋅=⋅ → zonas comprimidas de largura decrescente no sentido 
das fibras mais comprimidas, a partir da linha neutra. 
 
No trecho de altura 0,2⋅x, a partir da linha neutra, no diagrama retangular, as tensões 
de compressão no concreto são desprezadas; no trecho restante (0,8⋅x) a distribuição 
de tensões é uniforme. 
c
c Rc
z
Rp
M
b
d d
Ap
s
x y=0,8x
fcd
c fcd
c fcdou
h
deformações
tensão no concreto
diagrama
parábola-retângulo
tensão no concreto
diagrama simplificado
retangularespecíficas
seção
transversal
 
FIGURA 6.2 Diagramas de tensões no concreto no estado limite último (domínio 2 
se 035,0≤cε e 10,0≤sε ; domínio 3 e 4 se 035,0=cε e 10,00 ≤≤ sε ;) 
 Os valores de 0,8 ou 0,85 de fcd considerados se devem ao produto de três 
fatores. No caso do valor 0,85 os fatores são (FUSCO (1994)): 1) O fator 0,75 que leva 
em conta a menor resistência que o concreto apresenta submetido às cargas de longa 
duração (efeito Rüsche) enquanto o ensaio realizado com o corpo de prova é feito com 
um ensaio rápido; 2) O fator 0,95 para levar em que a forma do corpo de prova não 
impede totalmente um estado transversal de coação de deformação surgindo assim um 
estado triaxial de tensão; 3) Finalmente 0 valor médio de 1,2 paea considerar o aumento 
de resistência do concreto com o tempo. Desta forma o produto desses três fatores 
resulta em aproximadamente 0,85 ( na verdade resulta em 0,855). 
 
f) Tensão na armadura – A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos 
diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos no capítulo 3 (ver 
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item 3.3.1). e também a tabela 6.1 dada mais adiante (também repetida do capítulo 
3). 
 
g) O estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de cálculo 
do concreto (εc) e do aço (εs), que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos 
(máximos) das deformações específicas desses materiais; os diversos casos possíveis 
de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção transversal definem 
os domínios de deformação, indicados na figura 6.3. 
 
FIGURA 6.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma seção 
transversal (adaptado da figura 29 da NB1/2001) 
 
Conforme já explicitado, a ruína da seção transversal para qualquer tipo de 
flexão no estado limite último fica caracterizada pelas deformações específicas de 
cálculo do concreto e do aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos 
(máximos) das deformações específicas desses materiais. 
 Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de 
uma seção transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetida à 
ações normais, definem seis (6) domínios de deformação esquematizados na figura 
6.3. Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção; a cada par 
de deformações específicas de cálculo εc e εs correspondem um esforço normal, se 
existir, e um momento fletor atuantes na seção. 
 
6.4 Tensão na armadura ativa 
 Como já enunciado no capítulo 1 toda estrutura, inclusive as de concreto 
protendido, precisam além de ser garantidas ao colapso por uma margem de segurança, 
funcionarem adequadamente em serviço (estados limites em serviço). Assim, para as 
peças fletidas em protendido é sempre possível resolver o problema de estados limites 
de duas maneiras. A primeira pressupõe que a condição de colapso é a que conduz à 
maior quantidade de armadura longitudinal e, desta forma, dimensiona-se, a armadura 
no estádio III e verifica-se a condição de fissuração com o número de cabos já 
determinado. No segundo raciocínio considera-se que a condição de utilização de 
fissuração é a mais desfavorável e, como já foi visto em diversos exemplos de 
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introdução no capítulo 1, através da limitaçãodas tensões normais na seção transversal, 
determina-se o número de cabos necessários em serviço verificando-se, em seguida o 
estado limite último. 
 Considerando o primeiro caso, o problema que se deve resolver é o seguinte: 
Dada a seção transversal, a posição do centro de gravidade da armadura de protensão 
(quando não conhecido será arbitrado), as características dos materiais (aço e concreto), 
momentos atuantes qual deve ser a seção de armadura longitudinal de protensão que 
satisfaça à ruptura? Considerando o esforço de protensão como interno, a questão pode 
ser tratada como de flexão simples e o efeito de protensão entra só no equilíbrio do 
momento fletor. Trata-se de um procedimento aproximado porem adotado largamente 
na prática, principalmente quando se projeto vigas submetidas a momentos fletores de 
grande intensidade como pode ser visto, por exemplo, em VASCONCELOS (1980). 
Para utilizar este procedimento é necessário conhecer o valor da tensão na 
armadura (σ pd) na configuração do estado limite último sendo necessário fazer uma 
análise cuidadosa do que ocorre, por exemplo, quando há protensão com aderência 
posterior. Imaginando uma seção transversal retangular como a apresentada na figura 
6.10 e considerando inicialmente o efeito apenas da força de protensão Np. Nesta 
situação a seção transversal sofre dois efeitos: um encurtamento Δ1 devido o efeito do 
normal Np e uma rotação α, devido força de protensão atuando com uma 
excentricidade de ep que causará as deformações Δ2 e Δ3 (fibra superior e junto a 
armadura de protensão) (fig. 6.10.a). Devido a ação do peso próprio (fig. 6.10.a) haverá 
uma rotação β (contrária ao efeito da protensão) causando os deslocamentos Δ4 e Δ5. Na 
figura 6.10.c os dois efeitos são considerados resultando nos deslocamentos Δ6 e Δ7 que 
corresponderão as deformações específicos εc e εc,p,,p+g1. Na figura em questão 
considerou-se que as deformações específicas são de encurtamentos, mas poderiam por 
exemplo na fibra superior ocorrer um pequeno alongamento sem que houvesse fissurae 
no concreto. 
Após a execução da protensão pode-se promover a aderência da armadura ativa 
com o concreto através da injeção da calda de cimento que transcorrido alguns dias já 
permite a consideração da igualdade entre deformação específica do concreto com o da 
armadura. Com a aderência estabelecida e considerando a atuação do momento último, 
a seção se deforma até encontrar uma situação de equilíbrio passando pelo o estado 
limite de descompressão definido no item 3.2.5 como sendo aquele em que um ou mais 
pontos a tensão no concreto é nula e no restante da seção não haverá tensão de tração. 
 
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Fig.6.10- Deformação da seção transversal após a atuação da protensão e 
peso próprio. 
 
Assim a deformação que armadura sofrerá até chegar no estado limite último em 
equilíbrio será, neste caso, composta de três parcelas: a) a distensão provocado pelo 
macaco já descontadas todas as perdas ou não (o que for mais desfavorável), b) a 
movimentação do concreto (já aderente a armadura) até que a tensão na fibra inferior, 
próxima a armadura ativa (a menos da distância d’ no mesmo nível da armadura) seja 
nula ε7 e 3) a deformação correspondente a εs necessária para haver equilíbrio. 
 
Fig. 6.11- Seção transversal no estados limites de descompressão e limite 
último 
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Finalmente pode-se dizer que a tensão na armadura de protensão depende da 
efetivação da protensão (pré-alongamento) εp, a deformação para chegar-se ao estado de 
descompressão ε7 (εc,p,,p+g1) e a deformação que ocorre depois desta que é designada aqui 
simplesmente por εs, que deve ser menor que 1% (evitar a deformação excessiva da 
armadura depois de estar em contato com o concreto ou aberturas de fissuras muito 
grandes). 
O valor de ε7 pode ser obtido pela expressão: 
 
ε7 = εcp,p+g1 =
cc
pg1
c
2
pp
c
p
E
1.
I
e.M
I
e.N
A
N
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+ (6.3) 
 
onde 
Np é o esforço normal de protensão na seção 
Mg1 – momento devido a ação do peso próprio na seção 
Ep – excentricidade da armadura ativa 
Ic, Ec – momentos de inércia da seção e módulo de elasticidade do concreto 
respectivamente. 
Esta parcela de deformação será diferente se a protensão não for suficiente para 
mobilizar toda o peso próprio da viga mas sendo pequena costuma ser desprezada nos 
cálculos usuais. 
Para trabalhar com os aços de protensão vamos usar os resultados da publicação 
de VASCONCELOS (1980) dada na tabela 6.1 (repetida do capítulo 3). 
Cabe ainda ressaltar que a segurança à ruína deve existir mesmo na consideração 
mais desfavorável e portanto é preciso analisar a seção sob a ação do maior dos esforços 
atuantes e com a menor força de protensão, ou seja, após todas as perdas (no tempo 
“infinito”), não se esquecendo, porém, de verificar outras situações que não esta. 
 
TABELA 6.1 - TENSÃO NO AÇO σsd (MPa) 
ε(%o) 5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5 
CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397 
CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517 
 
ε(%o) 20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00 
CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 14,74 1484 
CP190 1527 1538 15,48 1559 1569 1579 1590 1600 1611 
 
 
6.5 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal 
 
 O cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais 
retangulares, conhecidos a resistência do concreto (fck), largura da seção (bw), altura útil 
(d) e tipo de aço (fyd e εyd) é feito, de maneira simples, a partir do equilíbrio das forças 
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atuantes na seção. Será estudada inicialmente a flexão normal pura e simples, que é 
representada pelos domínios 2, 3, 4 e 4a. 
 
 
6.5. Equacionamento para a determinação da armadura longitudinal Ap 
 Seja o seguinte problema: conhecidos fck, bw, d, tipo de aço (fyd e εyd) e Md 
(quando não for uma situação especial Md = 1,4⋅M), determinar a área da armadura 
longitudinal necessária (As) para que uma viga de concreto armado e seção transversal 
retangular resista ao momento de cálculo (figura 6.11). 
c Fc
z
Fp
Md d
Ap
s
x y=0,8x
c fcd
h
domínios
tensão no concreto
diagrama simplificado
retangular
vista
lateral
2
3
4
yd
Ap
b w
seção transversal
 
FIGURA 6.11. Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na 
seção solicitada pelo momento de cálculo Md. (para o protendido ovalor de ydε não 
alcançado e portanto não há porque distinguir domínio 3 e 4) 
 
 
a) Equilíbrio da seção (figura 6.11) 
Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal: como não há força 
normal externa, a força atuante no concreto (Fc) deve ser igual à força atuante na 
armadura (Fs): 
 
 ∑ F = 0 → 0=− cp FF → cp FF = (6.4) 
 
Equilíbrio dos momentos: o momento das forças internas em relação a qualquer ponto 
(no caso, em relação ao C.G. daarmadura) deve ser igual ao momento externo de 
cálculo: 
 
∑ = dMM → zFM cd ⋅= (6.5) 
de (6.1) e (6.2) 
 zFM pd ⋅= (6.6) 
b) Posição da linha neutra (x) 
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 Conhecendo-se a posição da linha neutra é possível saber o domínio em que a 
peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) 
e o braço de alavanca (z). 
 ( ) ( ) ( )x8,0bf85,0F wcdc ⋅⋅⋅⋅= 
 
x4,0dz ⋅−= (braço de alavanca) 
 
colocando Fc e z na equação 6.5 tem-se: 
 ( ) ( ) ( )x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd ⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= 
 
ou, ainda, 
 
 ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= (6.7) 
 
Resolvendo a equação (6.4) obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra, 
que é fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de x 
não é linear com o esforço solicitante Md, mas segue um polinômio do segundo grau. 
 
 
c) Cálculo da área necessária de armadura (Ap). 
 Com o valor de x determinado acima é possível encontrar Ap. A força na 
armadura (Fp) vem do produto da área de aço (Ap) pela tensão atuante no aço (σ pd). 
Da equação (6.6) tem-se ppdpd AFz
M ⋅== σ resultando 
 
 
pd
d
p z
MA σ⋅= (6.8) 
 
O valor de fpd é obtido a partir de εt com εt = εp + εs. O valor de εp a ser empregado 
deverá ser o correspondente ao tempo infinito quando se tratar de combinação de todas 
as ações e no tempo zero quando se verificar o estado limite último logo após a 
protensão.. 
 
d) Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último 
 Obtido o valor de x que define a posição (altura) da linha neutra, é possível 
verificar em que domínio a peça atingirá o estado limite último que é muito importante 
para o caso de concreto armado e o caso de peças em concreto protendido interessa 
apensa para o cálculo do valor de εs deformação que ocorre no aço de protensão ap’s a 
neutralização. Na flexão simples, que é o que está aqui sendo considerado, os domínios 
possíveis são o 2, o 3 e o 4. No início do domínio 2 tem-se εc = 0, e no final do 
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domínio 4 tem-se εs = 0, que são as piores situações que podem ocorrer. No primeiro 
caso o concreto não contribui na resistência e no segundo o aço de protensão trabalha 
apenas com o pré-alongamento.. 
 
• Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a 
deformação, por semelhança dos triângulos ABC e ADE do diagrama de 
deformações (figura 6.12) é possível obter a relação entre a posição da linha neutra 
(x) e a altura útil (d): 
 
 
x d x
dc c s
c
c sε ε ε
ε
ε ε= + → = + (6.9) 
FIGURA 6.12 Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil 
 
• Posição da linha neutra: no limite do domínio 2 e em todo o 3 tem-se a deformação 
específica do concreto εc = 3,5‰ (0,0035); colocando esse valor na equação 6.9 
resulta: 
 
x
d s
= +
0 0035
0 0035
,
, ε (6.10) 
 
concluindo-se que para uma seção conhecida a posição da linha neutra depende 
apenas do tipo de aço. 
 
6.6. Fórmulas adimensionais e tabela para dimensionamento de seções 
retangulares 
 
 Sempre que possível é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, pois 
isto facilita o emprego de diversos sistemas de unidades e permite a utilização de 
tabelas e gráficos de modo mais racional. Na forma adimensional, as equações ficam: 
 
a) Equação de Md (equação 3.4) 
 
• dividindo ambos os membros da equação de Md (equação 3.4) por cd2w fdb tem-se: ( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ 2
2
cd
2
w
cdw
2
cd
2
w
d
d
x272,0
d
x68,0
fdb
fbx272,0dx68,0
fdb
M
 
 
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143
• chamando 
 
cd
2
d
fdb
MKMD ⋅⋅= (6.11) 
 
d
xKX = (6.12) 
 
a equação acima fica: 
 
 2)KX(272,0)KX(68,0KMD ⋅−⋅= (6.13) 
 
• a equação 3.8 contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar de 0 a 1 
(x = 0 e x = d): 
x = 0 (início do domínio 2) → KX x
d
KMD= = → =0 0 
x = d (fim do domínio 4) → KX x
d
KMD= = → =1 0 408, 
b) Expressão que fornece o braço de alavanca )x4,0dz( z ⋅−= 
 
• dividindo os dois termos por d resulta: 
d
x4,01
d
x4,0d
d
z ⋅−=⋅−= 
• chamando z
d
KZ= e lembrando que KX x
d
= , da equação anterior obtém-se KZ: 
 
 KX4,01KZ ⋅−= (6.14) 
 
c) Expressão para o cálculo da armadura 
dKZz
z
MA
pd
d
p ⋅=⋅= )( como e, σ , resulta: 
 
pd
d
p σd(KZ)
MA ⋅⋅= (6.15) 
 
d) Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra (equação 
3.6) 
x
d
c
c s
= +
ε
ε ε e, como 
x
d
KX= resulta 
 KX c
c s
= +
ε
ε ε (6.16) 
 
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144
Assim é possível construir a tabela 6.2 que pode ajudar no cálculo da armadura 
longitudinal de protensão de seções transversais retangulares no ELU. 
 
TABELA 6.2. Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares 
KMD KX KZ EC ES KMD KX KZ EC ES 
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 
 
 Como KX só admite valores de 0 a 1, pode-se construir uma tabela (tabela 6.2) em que a cada 
KX arbitrado entre 0 e 1 corresponde: um valor de KMD, calculado pela equação 6.11; um valor de 
KZ calculado pela equação 6.12; obtem-se εc (EC), o valor de εs (ES) pela equação 6.10. É importante 
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145
destacar que conhecido o par de deformações (εc ; εs) conhece-se o domínio em que a peça está 
trabalhando. Na tabela 6.2, por praticidade, foram dados valores a KMD e calculados os demais, 
mantidos os limites de validade para KX. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.1 
 Determinar a armadura de protensão de uma seção retangular quando submetida 
aos momentos Mg1=3540 kN.m Mq=1910 kN.m, considerando que bw=0,7, d=1,45 m, 
fck=26 MPa, aço CP175 e σp∞ = 1000 MPa. Considerar coeficiente de majoração de 
carga de 1,4. 
 
Resolução: 
 Usando as fórmulas adimensionais : 
 
 KMD = 
cd
2 fdb
M1,4
⋅⋅
⋅ = 
4,1
2600045,17,0
)19103540(4,1
2 ⋅⋅
+⋅ = 0,279 
Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KX=0,517, KZ= 0,7932 e εs = 0,3267 %. 
Assim, desprezando a deformação para se obter o estado de descompressão usa-se εt = 
εp + εs e com a tabela 6.2 e o valor de σp∞ = 1000 MPa obtêm-se εp = 0,512 % . 
 
 Finalmente com εt = εp + εs = 0,3267+0,512= 0,8387 % e portanto (de novo 
com a tabela 6.2) fsd = 1334,96 MPa chega-se a: 
 
Ap =
pdσdKZ
M1,4
⋅⋅
⋅ = 
96,13445,17932,0
)19103540(4,1
⋅⋅
+⋅ = 49,15 cm2 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.2 
Determinar a armadura de protensão para o problema anterior considerado a 
deformação da armadura no estado de descompressão. Considerar h=1,6 m. 
 Considerando já conhecidos do exemplo anterior εp = 0,3267 εs =0,512 fica para 
ser definido εcp,p+g1 dado por 
 
 εcp,p+g1 =
cc
pg1
c
2
pp
c
p
E
1.
I
e.M
I
e.N
A
N
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+ 
usando Ec = 0,85 x 5600 26 = 24271 
 Ic = =
12
6,17,0 3x 0,239 m4 
A força de protensão a ser considerada deverá ser empregada sem as perdas 
(considerada como 20%) e com o valor da armadura encontrada no problema anterior: 
 
Np= 1,2 x 100x49,15= 5898 kN e o valor de ep =0,8-0,15=0,65m 
 
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146
εcp,p+g1 = 7
2
2,4x10
1.
0,239
65,03541x
0,239
65,0x5898
0,7x1,6
5898
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+ =0,0252% 
desta forma εt = εp +εcp,p+g1+ εs = 0,512+0,0252+0,3267= 0,864 % e portanto (de novo 
com a tabela 6.2) fsd = 1356 MPa chega-se a: 
 
Ap =
pdσdKZ
M1,4
⋅⋅
⋅ = 
6,13545,17932,0
)19103540(4,1
⋅⋅
+⋅ = 48,92 cm2 
É importante notar que só é possível levar em conta o efeito de descompressão 
conhecendo-se já o efeito da protensão e, portanto tecnicamente estaria se fazendo uma 
verificação e não um dimensionamento. Notar também que a defirença~de armadura do 
exemplo 6.1 e 6.2 é insignificante fazendo com que daqui para frente, para efeito de 
simplificação e a favor da segurança a descompressão será desprezada. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.3 
Determinar a armadura de protensão para o problema anterior considerado que a 
armadura é constituída por cordoalhas engraxadas. 
Resolução: 
 Usando as fórmulas adimensionais: 
 
 KMD = 
cd
2 fdb
M1,4
⋅⋅
⋅ = 
4,1
2600045,17,0
)19103540(4,1
2 ⋅⋅
+⋅ = 0,279 
Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KX=0,517, KZ= 0,7932 e εs = 0,3267 % 
 
Assim se houvesse aderência a deformação específica no aço seria igual a εt = εp + εs = 
0,512+0,3267= 0,8387 % e portanto (de novo com a tabela 6.2) fsd = 1334,9 MPa. Mas 
se tratando de armadura não aderente deve-se usar o valor previsto na norma 
 
Imaginando como uma primeira tentativa o valor encontrado anteriormente acrescido de 
10% tem-se As=54,06 cm2 
 ρp= 
..db
A
pc
p = 
.70.145
54,06 = 0,00532 
Δσp = 70 Mpa + fck/(100ρp) = 70 +
00532,0100
26
x
=118,8 MPa 
e obtendo-se fpd= 1000+118,8= 1118,8 MPa 
 
Ap =
pdσdKZ
M1,4
⋅⋅
⋅ = 
8,11845,17932,0
)19103540(4,1
⋅⋅
+⋅ = 59,29 cm2 
 
Como o valor de área encontrada (59,29 cm2) difere do inicialmente suposto 
(54,06 cm2) será necessário continuar o procedimento considerando agora a nova 
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147
armadura como sendo a obtida nesta etapa acrescida de 10%, ou seja Ap=65,21 cm2 
chegando a uma tensão fpd=1110,5 MPa e para a armadura 
 Ap=
11145,17932,0
)19103540(4,1
⋅⋅
+⋅ =59,76 cm2 que pode ser considerado como valor final. 
 
6.7. Cálculo de armadura em vigas de seção transversal em forma de “T” 
 Em um piso (laje) de concreto armado apoiado no contorno em vigas, as lajes e 
vigas não são independentes umas das outras; pelo fato de as estruturas de concreto 
serem monolíticas (a não ser que construtivamente sejam tomadas medidas para que 
isso não ocorra), seus elementos, lajes e vigas, trabalham em conjunto. Daqui para 
frente não será feita distinção entre armadura passiva e ativa pois como foi visto 
anteriormente o raciocínio é praticamente o mesmo havendo distinção apena na tensão 
da armadura de protensão. 
 Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou 
em dois lados) também se deforma, comportando-se como se fosse parte da viga, 
colaborando na sua resistência. Dessa forma, a viga incorpora parte da laje, e sua seção 
deixa de ser retangular, passando a ter a forma de um “T” (ou de um “L” invertido). 
 Ao se fazer um corte transversal em um piso composto por lajes e vigas (figura 
6.13), observa-se que o piso se compõe, na verdade, de um conjunto de vigas com a 
forma de um “T” trabalhando lado a lado. 
 
FIGURA 6.13. Piso com vigas de seção transversal “T” 
 
6.7. 1. Considerações de cálculo 
a) A parte mais estreita da viga que fica na vertical é chamada de alma (nervura), e a 
parte horizontal de mesa, que é composta de duas abas (partes salientes) com a 
seguinte notação indicada na figura 6.14. 
 
FIGURA 6.14. Seção transversal de viga com formato em “T” 
 
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148
 
b) Uma viga de concreto armado, composta por uma nervura e duas abas, só será 
considerada como de seção “T” quando a mesa e parte da alma estiverem 
comprimidas (figura 6.15 a); caso contrário, dependendo do sentido de atuação do 
momento fletor, apenas a parte superior da mesa ou inferior da alma estarão 
comprimidas (essas partes têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de 
concreto não trabalham, ou seja não colaboram na resistência, a viga será calculada 
como tendo seção retangular (figura 6.15 b). 
 
a) T (mesa e parte superior da alma comprimidas) b) retangular (parte inferior da 
alma comprimida) 
FIGURA 6.15. Viga de seção T e retangular. 
 
• Como conseqüência, nos trechos de momentos negativos junto aos apoios (vigas 
contínuas), provavelmente a seção da viga será retangular (caso de viga abaixo da 
laje), pois apenas parte da alma estará comprimida. 
• Outra conseqüência é que, no caso dos momentos positivos, a viga só será 
considerada de seção “T” se a linha neutra estiver passando pela alma; caso 
contrário, a região de concreto comprimida será retangular, com largura igual a bf, 
e não haverá colaboração da alma e de parte da mesa, que estarão tracionadas 
(figura 6.16). 
 
Seção “T” - L N passa pela alma Seção retangular - L N passa pela mesa 
FIGURA 6.16. Viga de seção “T” ou retangular de acordo com a posição da L.N. 
 
c) Nas situações em que a L.N. passa pela alma da seção (x>hf), é possível usar as 
tabelas para seções retangulares, fazendo o cálculo em duas etapas (figura 6.17): 
• calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas; 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅−⋅⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅=
2
85,0
211
f
wffcd
f
c
h
dbbhf
h
dFM (6.17) 
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149
• o momento restante M2 é absorvido por um elemento retangular (nervura). 
 
M2= Md –M1 (6.18) 
 
 
FIGURA 6.17. Seção “T” dividida em duas seções, uma das abas e outra 
retangular em que para cálculo se aplica a tabela 6.2. 
 E finalmente a armadura fica dada por: 
 
pd
2
pd
f
1
p d(KZ)
M
2
hd
MA σσ ⋅⋅
+
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
= (6.19) 
 
d) Não é toda a largura da laje adjacente que colabora com a viga; por absurdo, 
imagina-se que uma viga central estivesse distante quilômetros das vigas laterais: é 
evidente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje que não 
ajudaria na resistência nem de uma viga nem de outra, ou seja, estaria trabalhando 
realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas. Conclui-se que 
apenas uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora com ela. A distribuição de 
tensões de compressão na parte superior da viga (mesa) não é uniforme: há uma 
concentração de valores junto à parte central da viga (alma), como esquematizado na 
figura 6.18. 
 
FIGURA 6.18. Distribuição das tensões de compressão na mesa de uma viga “T” 
 
A determinação da largura da laje que colabora com a viga (largura colaborante ou 
efetiva - bf), é feita integrando-se a distribuição de tensões na altura h, e em uma 
largura até onde as tensões tendem a zero, para encontrar a resultante; essa resultante 
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150
é igualada a uma outra, obtida considerando-se distribuição uniforme de tensões, 
com valor igual a 0,85fcd atuando na altura hf e largura bf ( cdffc f85,0hbF ⋅⋅⋅= ). 
e) O procedimento acima resulta em um cálculo complexo, e por essa razão existem 
soluções simplificadas a favor da segurança, mas baseadas nos mesmos princípios; 
uma delas é a que propõe pela NB6118:2003 (item 14.6.2.2): 
6.7. 2. Largura colaborante segundo a NBR6118:2003 
O valor da largura colaborante (bf) é dado por (figura 6.19): 
 
bf = ba + b1 + b3 (6.20) 
onde: 
ba = bw + e1 + e2 (largura fictícia da alma ou nervura) 
bw − largura da alma na viga 
e1, e2 − menor cateto do triângulo de cada uma das mísulas 
b1 − menor valor entre: 0,10⋅a ; 0,5⋅b2 
b2 − distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas 
b3 − menor valor entre: 0,10⋅a ; 
 
Os valores de a são dados por (l é o vão da viga, tramo ou balanço): 
a = l (viga simplesmente apoiada) 
l⋅= 75,0a (tramo com momento em uma só extremidade) 
l⋅= 60,0a (tramo com momentos nas duas extremidades) 
l⋅= 2a (viga em balanço) 
 
 
FIGURA 6.19. Largura colaborante de viga “T” 
(NBR6118;2003, figura 14.2) 
 
EXEMPLO 6.4 
 Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de vão l igual 8m, cuja 
seção é a da figura 6.20 e está submetida a um momento Md = 6770 kN.m. Considerar 
aço CP-175 , fck = 26 MPa e ∞=tp,σ =1365 Mpa.. 
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Cap.6-Dimensionamento da armadura longitudinal no estado limite último de colapso 
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151
 
FIGURA 6.20- Geometria da seção transversal do exercício 6.3 
a) Supondo a linha neutra na mesa da viga: seção retangular 
07,0
4,1
000.261,757,1
770.6
fdb
MKMD
2cd
2
w
d =
××
=⋅⋅= 
0,1076=KX 2.6 tabela07,0 →→=KMD 
m0,15=1,750,10768,0d)KX(8,0x8,0y ××=⋅⋅=⋅= < hf = 0,20 m 
A hipótese adotada é válida, ou seja, a linha neutra está na mesa e a seção é retangular. 
 
b) Cálculo da armadura 
KMD = 0,07 → tabela 6.2 → KZ = 0,957 e εs = 10‰ 
 Para o pré-alongamento com ∞=tp,σ =1365 Mpa e da tabela 6.1 tem-se εp =0,9% → 
εt = εp+εs = 0,9+1= 1,9% que através da tabela 6.1 conduz a σ pd=1400 MPa ou 140 
kN/cm2. 
 
1401,750,957
6.770
σd(KZ)
M
pd
d
p ××=⋅⋅=A → Ap = 28,8 cm
2 
 
EXEMPLO 6.5 
 Calcular a armadura necessária para a seção do exemplo anterior supondo agora 
que o momento é dado por Md = 10.000 kN.m, 
a) Supondo a linha neutra na mesa: seção retangular 
103,0
1,4
26.0001,757,1
000.10
fdb
MKMD
2cd
2
w
d =
××
=⋅⋅= 
KMD = 0,103 → tabela 6.2 (interpolando) → KX = 0,162 
m0,23=1,75,16208,0d)KX(8,0x8,0y ××=⋅⋅=⋅= > hf = 0,20 m 
Portanto a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, 
tratando-se de seção “T”. Inicialmente deve-se verificar se toda a largura bf = 170 cm 
pode ser considerada como colaborante, e em seguida determinar a parcela do momento 
resistido pelas abas e pela alma da seção (figura 6.21) e a armadura total necessária. 
b) Determinação da largura colaborante bf (NB1/2002) 
3af b2bb ⋅+≤ (a viga é isolada – não há b2) 
21wa eebb ++= (a viga não tem mísulas – não há e1 nem e2) → cm18bb wa == 
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152
b3= ),.(8080010,010,010,0 ll ==×=⋅=⋅ aapoiadasimplvigacma → cm80b3 = 
cm17880218b2bb 3wf ≤×+≤⋅+≤ 
Como a largura total da mesaé 170 cm < 178 cm → bf = 170 cm 
 
FIGURA 6.21. Momento resistido pelas abas e pela alma de uma viga “T” 
 
c) Momento resistido pelas abas (M1) 
 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−⋅⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=
2
hdbbhf0,85
2
hdFM fwffcdfc11 
1,7918
2
2,075,1)18,070,1(20,0
4,1
2600085,01 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×−×××=M kN.m 
d) Momento resistido pela alma (M2) 
M2 = Md - M1 = 10000 – 7918,1 = 2081,9 kN.m 
 
e) Cálculo de As (M1 + M2) 
pd
2
pd
f
1
p d(KZ)
M
2
hd
MA σσ ⋅⋅
+
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
= 
2033,0
4,1
260001,750,18
2081,9=KMD
2
=
××
 
Pela tabela 6.2 (interpolando): 
KMD KZ εC εS 
0,2033 0,8610 3,5‰ 6,6‰ 
εs =6,6‰ tem-se εt = 6,6 +9,0‰ =15,65 ‰ na tabaela 6.1→ fpd = 1390 MPa 
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153
98,95,34
1391,75861,0
9,2081
139
2
20,075,1
1,7918 +=××+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=pA → Ap = 44,5 cm2 
 
6.8 Verificação no estado limite último 
 Em algumas situações ao invés de dimensionar é preciso saber responder se em 
uma seção transversal há segurança à ruptura conhecidos os esforços internos, a 
quantidade de armadura de protensão, valor do pré-alongamento, momentos atuantes, 
características do concreto e aço. Este tipo de problema é chamado simplesmente de 
verificação e consiste determinar uma posição de linha neutra que leve ao equilíbrio 
entres a resultante de compressão existente no concreto com a resultante de tração na 
armadura de protensão e verificar se o momento máximo resistido, nesta situação, é 
superior ao momento atuante de calculo. A solução deste problema, via de regra, se faz 
por tentativas. 
Uma situação comum que se deve fazer isto é quando se têm a chamada 
“verificação em vazio”, quando após dimensionar a armadura de seção verifica-se para 
a mesma se há segurança quando atuar a protensão no tempo ”zero” (sem perdas) e 
apenas os esforços de carga permanente. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.6 
 Para a seção do problema 6.1 verificar a ruptura para a seção na situação em 
vazio. Momento atuante Mg1=3540 kN.m , bw=0,7 , d=1.45 m, fck=26 MPa, aço CP175 
e σp∞ = 126,4 MPa, fck=26 MPa, aço CP175 e As = 49,67 cm2. 
 
Resolução: 
 Imaginando inicialmente a linha x= d= 1,45 m. Desta forma, com o valor de σp∞ 
= 126,4 MPa chega-se a εp = 0,679 % que já é o valor de εt e portanto: 
Fp= 49,67 x 126,4 = 6278 kN 
A força no concreto é dada por: 
 Fc = 0,85 fcd 0,8 x bw = 8840 x e com x=1,45 m obtêm-se: Fc = 12810 kN 
Como as forças no concreto e armadura não são iguais deve ser feita outra tentativa para 
a linha neutra x 
 
 Considerando agora a linha neutra correspondente ao valor εs = 0,8206 % e εc 
=0,35% (domínio 3) tem-se: 
εt = εp + εs = 0,8206+0,512= 1,500 % e portanto σsd = 1388 MPa. 
Fp= 49,67 x 138,8 = 6894 kN 
A força no concreto é dada por: 
 x =0,35 ·1,45 / (0,35+0,8206) = 0,4335 m e Fc = = 8840 x = 3832 kN 
Ainda não foi possível a igualdade entre as forças (Fp= Fc) porém pode-se fazer uma 
interpolação linear que deve resultar, de maneira aproximada, em uma solução. 
 
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154
 
Fig. 6.22 - Interpolação para a determinação da linha neutra de equilíbrio 
 
 Pela figura 6.22 pode-se tirar a relação entre os segmentos dos triangulos 
semelhantes: AB/CD= k/l e como k+l =(1,45-0,4435) chega-se a: x=0,7623 o que leva 
a: 
Fc=8840 · 0,7623 = 6738,8 kN 
 O valor de εs é dado por εs = (0,35/0,7626)-0,35= 0,1091 e portanto 
εt = εp + εs = 0,6794+0,1091= 0,7885 % e portanto σsd = 133,3 MPa. 
Fp= 49,67 x 133,3 = 6622 kN ≅ Fc =6738 (êrro de 1,75%) 
O momento fletor resistido para esta situação é: 
 M = 6738 ( 1,45 - 0,5 · 0,7623) = 7202,8 kN.m e portanto a segurança é dada 
por 
 
 γ = 7202
3540
 = 2,034 > 1,4 satisfaz 
 
6.9 - Estado Limite Último no ato da Protensão 
 
Segundo a norma Brasileira a segurança, em relação à ruptura, no ato da 
protensão, é verificada conforme hipóteses do item 6.3. em relação ao estado limite 
último, respeitadas as seguintes hipóteses suplementares: 
 
a) Considera-se como resistência característica do concreto fck,j aquela correspondente à 
idade fictícia j , em dias, do material no ato da protensão. A resistência de fck,j deve ser 
claramente especificada no projeto. 
 
b) Para esta verificação, admitem-se os seguintes valores para os coeficientes de 
ponderação: 
γc = 1,2; γs = 1,15; 
γp = 1,0 na pré-tração e γp = 1,1 na pós-tração; 
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155
γf = 1,0 para as ações desfavoráveis e γf = 0,9 para as ações favoráveis. Apenas as 
cargas que efetivamente atuarem na ocasião da protensão deverão ser consideradas. 
 
Como verificação simplificada a norma prescreve no item 17.2.6.3.2 o seguinte: 
“Admite-se que a segurança em relação ao estado limite último no ato de protensão seja 
verificada no Estádio I (concreto não fissurado e comportamento elástico linear dos 
materiais), desde que as seguintes condições fiquem satisfeitas: 
 
a) A tensão máxima de compressão na seção de concreto, obtida através das 
solicitações ponderadas de γp = 1,1 e γf = 1,0 não ultrapasse 70% da resistência 
característica fck,j prevista para a idade de aplicação da protensão. 
 
b) A tensão máxima de tração do concreto não ultrapasse 1,2 vezes a resistência à 
tração fctk correspondente ao valor fck,j especificado. 
 
c) Quando nas seções transversais existirem tensões de tração, deverá haver armadura 
de tração calculada no Estádio II, permitindo-se admitir que a força nesta armadura, 
nessa fase da construção, seja igual à resultante das tensões de tração no concreto no 
Estádio I. Essa força não deve provocar, na armadura correspondente, acréscimos de 
tensão superiores a 150 MPa no caso de fios ou barras lisas e a 250 MPa em barras 
nervuradas com ηb ≥ 1 5, 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.7 
 Verificar o estado limite último para uma seção retangular quando no ato da 
protensão (pós tração) sabendo que Mg1=3540 kN.m, considerando que bw=0,7, d=1,45 
m, fck=26 MPa, aço CP175 e σp0 = 126,4 Mpa e As= 49,15 cm2 
Resolução: 
Wi =
6
6,07,0 2x =0,299 m3 Ac= 0,7x0,6=0,42 m2 
Np= 49,15x126,4=6212,5 kN 
 Finamente com εt = εp + εs = 0,3267+0,512= 0,8387 % e portanto (de novo com 
a tabela 6.2) σ pd = 1334,96 MPa chega-se a: 
 
σs =
299,0
3540
0,299
x0,656212
42,0
6212 +− = 14790-13504+11839=13125 
σi =
299,0
3540
0,299
x0,656212
42,0
6212 −+ = 14790+13504-11839=16455 
tanto na borda superior quanto na inferior quando da protensão só há tensão de 
compressão e são inferiores a 0,7 x 26000 =18200 estando portanto verificado a 
condição de estado limite último. 
 
 
 
 
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156
6.9 Cálculo da altura mínima necessária com armadura simples (sem armadura de 
compressão). 
 Diferentemente do concreto armado nas peças de concreto protendidonão é 
possível definir os limites dos domínios 3 e 4 pois não se tem um valor de εyd definido 
para o aço de protensão, como é o caso dos aços comuns (corresponde ao valor de εyd na 
figura 3.3). Por outro lado, diferentemente que nas peças de concreto armado é possível 
dimensionar na flexão simples seções com armadura simples (na região tracionada) no 
início do domíniso 4, pois apesar de εs =0 o aço de protensão é pré-alongado e portanto 
ainda apresenta um valor de tensão que conduz a uma armadura finita (ver item 
CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO). Esta é a prova inequívoca que as peças de 
concreto protendido podem ser dimensionadas, à flexão, com menores alturas que as 
correspondetes em concreto armado. 
É claro que quanto maior a altura da peça menor será a aramadura necessária, 
porém é bom lembrar que os custos mais altos, quando se analisa um m3 de estrutura, 
costuma ser o das formas e portanto nem sempre é vantagem trocar uma diminuição de 
armadura por um acréscimo de altura. 
 Assim como no concreto armado para um certo momento a menor altura 
correspondente é a aquela que se otem com a maior linha neutra possível (no caso x=d) 
e uma vez estipulado o valor de KX=x/d que se quer empregar pode-se determinar a 
altura necessária pelo que se segue: 
 equação de equilíbrio: 0,272 (KX)2 - 0,68 KX +KMD = 0 
 considerando KX=1 e levando na equação anterior têm-se: 
 KMD = 
M
b d f
d
cd⋅ ⋅2
 = 0,408 e finalmente 
 dnec = 1,567 · 
cd
d
fb
M
⋅ (6.21) 
 
De outra forma usando Equação 6.7: ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= 
 
e a equação 6.9 : 
sc
c
d
x
ε+ε
ε= 
 
Fazendo sc
c
ε+ε
ε=ξ
 obtém-se, da equação 6.9, x = ξ⋅d, que colocado na equação 6.7, 
resulta: 
 ( ) cdw222d fbd272,0d68,0M ⋅⋅⋅ξ⋅−⋅ξ⋅= ⇒ 
( )2cdw d 272,068,0fb Md ξ⋅−ξ⋅⋅⋅= 
 
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157
( )2272,068,0 KXKXfb Md cdw d ⋅−⋅⋅⋅= (6.22) 
com KX=1 resulta novamente 
 dnec = 1,567 · 
cd
d
fb
M
⋅ (6.21) 
 É importante frisar que a norma NBR6118:2003 no item 16.6.4.3 dispõe: “Para 
melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio de vigas ou de ligações com 
outros elementos estruturais, mesmo quando não se fizerem redistribuições de esforços 
solicitantes, deve-se garantir a posição da linha neutra no ELU, os seguintes limites: 
 
para fck≤ 35 MPa x/d≤ 0,50 
 
para fck>35 MPa x/d≤ 0,40 
 
Estes limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armadura, 
como por exemplo os que produzem confinamento”. 
 A expressão anterior para seções no apoio (submetidas a momento fletor 
negativo) ficam: 
 
para fck≤ 35 MPa dnec = 1,91· 
cd
d
fb
M
⋅ (6.23) 
 
para fck>35 MPa dnec = 2,09 · 
cd
d
fb
M
⋅ (6.24) 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.8 
 Determinar para uma seção retangular (situada no meio do vão) de bw=0,7 m, 
submetida a um momento total de 5450 kN.m (de serviço), de fck=26 MPa e aço CP175 
com σp∞ = 1024 MPa a menor altura possível e a armadura necessária correspondente. 
Determinar em seguida para outras alturas maiores que a mínima os valores de 
armaduras correspondentes. 
Resolução: 
 A menor altura necessária será obtida com x=d o que leva a : 
 
dnec = 1,567 · 
cd
d
fb
M
⋅ = 1,20 m - KX=1 e KZ=0,6 
o valor de εt = εp pois εs = 0 e portanto σsd = 1024 MPa (correspondente a 0,512% de 
deformação) e portanto 
 
As =
1 4, ⋅
⋅ ⋅
M
KZ d sdσ = 4,10220,16,0
54504,1
⋅⋅
⋅ = 103,5 cm2 
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158
 
Para resolver a segunda parte do problema procede-se analogamente ao que foi feito 
aqui e os valores encontrados estão na tabela 6.3 
 
Tabela 6.3 - Valores de seção de armadura para diferentes alturas 
KX h (m) KZ εs (‰) εt (‰) σsdkN/cm2 AS (cm2) 
1,00 1,20 0,60 0,00 5,12 102,40 103,54 
0,50 1,47 0,80 3,50 8,62 147,20 44,11 
0,40 1,60 0,84 5,25 10,37 148,80 38,09 
0,259 1,93 0,89 10,00 15,12 150,70 29,29 
0,10 3,00 0,96 10,00 15,12 150,70 17,59 
 
 Como se vê também, como no concreto armado, não há muita vantagem 
dimensionar a seção para que trabalhe no início do domínio 4 pois a quantidade de 
armadura é bem grande, de qualquer maneira a menor altura encontrada é dada por esta 
situação. 
Armadura (cm2) x altura útil (m)
0
20
40
60
80
100
120
1 1,5 2 2,5 3 3,5
d(m)
A
p 
(c
m
2)
 
Fig. 6.23 - Fig. 6.22 – Variação de armadura ativa Ap em função da altura 
escolhida da seção do exemplo 6.7 
 
 
 
6.10 Dimensionamento da armadura longitudinal considerando composta por 
armadura ativa e passiva. 
 Uma situação comum em projetos de protendido é misturar armadura ativa com 
passiva. A consideração deste tipo de detalhamento conduz ao conceito de grau de 
protensão de uma seção transversal. 
No capítulo 7 serão vistas as intensidades de protensão necessárias para garantir 
(com os conhecimentos atuais) a durabilidade das peças de concreto protendido. No 
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159
caso de se projetar uma estrutura para a condição de agressividade ambiental (CAA) I, 
ou seja, um ambiente com pequena agressividade considera-se as verificações de 
fissuração (abertura de fissuras) similares as do concreto armado (ver capítulo 4 de 
CARVALHO e FIGUEIREDI FILHO (2007)). Nesta situação a condição predominante 
de determinação da armadura longitudinal é, provavelmente, a do estado limite último. 
 Assim, quando a condição determinante é a do estado limite último passa-se a 
ter o seguinte problema : Para uma seção transversal conhecidos os esforços solicitantes 
(momento fletores), a geometria da mesma, os tipos de aço a se empregar (ativo e 
passivo), resistência a compressão do concreto, o pré-alongamento da armadura ativa, 
as distâncias do cg de cada armadura (ativa e passiva) qual é a quantidade necessária de 
aço de cada armadura (Ap e As)? 
 
c Rc
Rs
M
b
d d
Ap
s
x y=0,8x
c fcd
h
tensão no concreto
diagrama simplificado
retangular
seção
transversal As
s p
d
w
fb
p
Rp Rt
z
Força no concreto
e nas armaduras
h f
 
Fig. 6.23 – Seção transversal submetida a flexão e trabalhando no ELU com 
armadura ativa (Ap) e passiva (As) 
 Verificando o que já foi exposto fica claro que se trata de um problema com 
inúmeras soluções, mesmo porque o número de equações de equilíbrio é insuficiente 
para atribuir um valor para As e Ap e de uma maneira o problema é resolvido por 
tentativas ou mesmo pela consideração da fixação de uma das duas armaduras. 
 Mesmo que sejam conhecidas as duas alturas úteis ds e dp (ver figura 6.23) ainda 
assim o centro de suas forças (ponto de passagem de Rt =Rs+Rp na figura 6.23) fica 
indeterminado pelo não conhecimento prévio das armaduras. 
 Uma das maneiras de resolver o problema é considerar ds = dp e depois 
considerar o valor de uma das armaduras conhecido. 
 Imaginando que em uma certa seção par um tipo de solicitação se deseje apenas 
armadura ativa a rmadura será constituída por Ap1. Se esta mesma seção sob as mesmas 
condições (geometria, resistênciado concreto, altura útil e momentos atuantes) for 
dimensionada apenas para armadura passiva resulta em uma área de aço de As1. Assim é 
de se esperar que em situações intermediária, ou seja, em que se deseja usar as duas 
armaduras tenha-se como solução final kpi . Ap1 + ksi . As1 onde os valores de kpi e ksi 
variam de 0 a 1. No caso de se ter só armadura protendida kpi=1 e ksi=0, no caso de 
haver só armadura passiva (concreto armado) kpi=0 e ksi=1. Desta forma pode-se definir 
o grau de protensão pelo valor de kpi . Se kpi=1 diz-se que a peça está com 100% de 
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160
protensão (não confundir com protensão completa que será definida no próximo 
capírulo) e assim por diante. 
EXEMPLO NUMÉRICO 6.9 (Adaptado de FRANÇA et Alli (2004)). 
 Determinar a armadura passiva de uma seção transversal retangular com b=40 
cm e dp=ds=110 cm, considerando os seguintes dados : Md =2032 kN.m; Ap=11,8 cm2, 
=∞=ptσ 990 MPa; Aço da armadura ativa CP190RB; aço passivo CA50; fck=25 MPa. 
Resolução: 
 Com =∞=ptσ 990 MPa pode-se calcular diretamente 
 == ∞=
p
pt
p E
σ
ε =
200.000
990 0,495% 
E também 
 235,0
4,1
000.251,104,0
2032
fdb
MKMD
2cd
2
w
d =
×⋅
=⋅⋅= 
→= 235,0KMD KZ=0,8343 e 49496,0=sε % 
portanto εt = εp+εs = 0,9+1= 0,495+0,49496=0,9896% que através da tabela 6.1 
conduz a σ pd=148,6 kN/cm2. 
Como a altura útil para a duas armaduras é a mesma pode-se dizer que a força de 
tração absorvida pelas duas armaduras é dada por (6.6) 
zFM pd ⋅= Æ z
MF dp = Æ z
MfAσA dydspdp =⋅+⋅ 
 
substituindo: 
1,100,8343
2032
15,1
50A6,48180,11 s ⋅=⋅+⋅ 
As = 10,59 cm2 
 Se fosse usada apenas armadura de protensão teria-se 
 
9,14
148,61,100,8343
2032Ap =⋅⋅= cm
2 
Assim o grau de protensão neste caso é: 
gp = 11,80/14,9=0,79 gp≅ 80% 
 
6.11 Consideração do momento hiperestático de protensão no cálculo no ELU. 
 Embora seja assunto do volume os esforços hiperestáticos de protensão precisam 
muitas vezes ser considerados de forma singular. Um deste caso ocorre com o momento 
hiperestático de protensão quando se calcula a armadura longitudinal no estado limite 
último. Assim, neste item faz-se uma introdução do conceito de hiperestático de 
protensão e em seguido explica-se como considera-lo no dimensionamento da 
armadura. 
6.9.2. Conceito de Momento Hiperestático de protensão em uma viga contínua. 
 Para efeito de raciocínio toma-se uma viga contínua com dois tramos, sujeita a 
carga uniformemente distribuída cujo esquema estrutural e de carregamento está 
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161
indicada na figura 6.25 O diagrama de momento atuante na mesma está representado 
também na figura 6.25 (b). [Uma solução interessante de trajetória de cabo de protensão 
para a viga em questão pode ser dada exatamente a dada pela forma do diagrama de 
momento da viga, ou seja, um cabo representante que tem a forma parabólica como a 
indicada na figura 6.22c. 
 
Figura 6.22 Viga contínua sob carga uniforme ae a ação de um cabo parabólico 
Este provocará um carregamento uniforme para cima como está respresentado na figura 
6.22.c que provocará um diagrama de momento com o formato do indicado na figura 
6.22.d 
 
Figura 6.23Viga da figura 6.22 sem o apoio central sob o efeito sob da protensão. 
 maginando agora que o apoio central B da viga é retirado tem-se a situação 
mostrada na figura 6.23 em que se percebe nitidamente o deslocamento vertical ΔB. 
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 Como na realidade no ponto B existe um apoio surgira, portanto um esforço 
RHB, ou seja uma força concentrada no apoio B devido somente o efeito da protensão. 
O cálculo desta força pode ser feito por meio do processo dos esforços e o princípio dos 
trabalhos virtuais. 
 
 
Figura 6.24 Viga da figura 6.23 esquema para o cálculo do hiperestático de 
protensão no apoio B. 
 
 Na figura 6.24 mostra-se esquematicamente como o cálculo da reação no apoio 
B pode ser calculada. Considera-se neste apoio uma carga unitária na direção da reação 
do apoio em B. O deslocamento causado por esta carga é dado por : 
dxMMB
l __2
0
__∫ ⋅=δ 
 Já o deslocamento causado pela protensão é dado por 
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dxMMB
l
p
__2
0
∫ ⋅=Δ 
 onde pM é o momento devido à protensão (isostático) 
 
Sendo Xb a reação hiperestática a se determinar e que causará uma deformação igual a 
ΔB. Ou seja pode-se escrever: 
BΔ = Xb Bδ⋅ 
que acaba resultando em: 
 dxMMXdxMM
l
b
l
p
__2
0
__2
0
__ ∫∫ ⋅=⋅⋅ e portanto ∫
∫
⋅⋅
⋅⋅
= l
l
p
b
dxMM
dxMM
X 2
0
____
2
0
__
 
 Notar que a integral do numerado pode ser nula. Quando este caso ocorre diz-se 
que o cabo é concordante e portanto não causa efeito hiperestático. 
 Uma vez determinado o valor de XB resulta neste caso os valores das reações 
nos outros apoios, neste caso, de XA=Xc=XB/2 resultando no diagrama apresentado na 
figura 11.4 
 
Figura 6.25 Esforços e diagrama hiperestático de protensão da viga da figura 6.23 
 Pelo que foi conceituado pode-se agora apresentar um relação muito importante 
em que em estruturas elásticas lineares (vigas, pórticos etc) em uma seção o momento 
fletor final de protensão é a soma dos momentos fletores hiperestático e isostático ou 
seja: 
 Mf =Mi+Mh 
Com 
 Mf – Momento final de protensão 
 Mi – Momento isostático de Protensão 
 Mh -Momento Hiperestático de Protensão 
 
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164
 Finalmente é preciso ainda dizer nesta introdução ao cálculo dos esforços 
hiperestáticos de protensão que o cabo da viga analisada precisaria ter uma parte curva 
próximo ao apoio central e que foi considerada desprezível as perdas ao longo do 
mesmo e que na seção do apoio central o momento hiperestático de protensão acabou 
tendo sinal contrário ao das cargas atuantes e que não ocorreu para a seção no meio do 
vão. Nos demais itens todos estes aspectos serão comentados mais detalhadamente. 
 
6.9.2. Consideração do Momento Hiperestático de protensão no ELU 
 Como se viu no item no item anterior o efeito da protensão em peças 
hiperestáticas pode provocar esforços hiperestáticos de protensão e particularmente o 
momento hiperestático. Neste caso é importante notar que quando se calcula a armadura 
longitudinal de protensão, conforme mostrado em 6.4 e 6.4 considera já o efeito do 
momento isostático de protensão, faltando portanto considerar o efeito do hiperestático 
de protensão. Assim, desta forma o valor do momentoMd deverá levar em contas além 
dos valores usuais (cargas peramente, acidentais etc) o efeito do hiperestático cujo 
coeficiente de ponderção segundo a NBR6118 deverá ser, em casos usuais, 1,2 ou 0,9. 
Outro fato importante é que se é necessário considerar o hiperestático de protensão no 
valor de Md que estará sendo usado para determinar Ap, é preciso estimar o seu valor 
(do momento hiperestático) pois ainda não se conhece o valor da força de protensão. 
 
Exemplo Numérico 6.10 (exemplo de MELLO (2005)) 
Calcular o espaçamento de cordoalhas de 12,5 mm na seção do apoio (em cima do 
piloar) de uma laje lisa protendida de uma edificação comercial considerando dados: 
Momentos por metro: 
mg1+g2+q = -193 kN.m/m (momento devido a ação permanente, sobrecarga permanente e 
carga acidental) 
mhi = +14 kNm/m (momento hiperestático de protensão estimado 6,67 cordoalhas por 
metro) (foram considerados no pré-dimensionamento cordoalhas a cada 13,6 cm) 
Características geométricas: 
d=24,7 cm; 
aço cordoalha de 12,5 mm área de uma cordoalha 1 cm2 
Características do aço 
CP190RB 
∞=ptσ =971,4 MPa; 
Ep=2x105 MPa 
Concreto 
fck=30 MPa 
Resolução 
 Como se trata de edificação comercial pode-se uisar coeficientes de majoração 
de 1,4 para as ações, apenas o hiperestátitico de protensão que por ser de sinal oosto as 
demais ações será considerado com o coeficiente 0,9. 
Assim obtem-se o momento de cálculo da seguinte forma: 
 =⋅−⋅= 149,01924,1dM 256,2 kN.m/m 
 
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165
KMD = 
cd
2
d
fdb
M
⋅⋅ = 
4,1
000.30247,00,1
2,256
2 ⋅⋅
= 0,195 
Com o valor de KMD na tabela 6.2 Æ KZ= 0,8678 e εs = 0,709 %. Assim, 
desprezando a deformação para se obter o estado de descompressão usa-se εt = εp + εs e 
com a tabela 6.2 e o valor de σp∞ = 971,4 MPa (basta usar a lei de Hooke neste caso) 
obtêm-se εp = 0,4857% . 
 Finalmente com εt = εp + εs = 0,709+0,487= 1,1947 % e portanto (de novo com 
a tabela 6.2) σ pd = 1437,7 MPa chega-se a: 
 
Ap =
pd
d
σdKZ
M
⋅⋅ = 7,143247,08678,0
2,256
⋅⋅ = 8,32 cm
2 /m 
O que corresponde a um espaçamento de t=1/8,32=0,12m praticamente o que 
estava previsto no pré-dimensionamento. 
Para usar o mesmo valor que o considerado no pré-dimensionamento pode-se 
completar a armadura ativa com passiva usando o aço CA50. Imaginado a mesma altura 
útil para a duas armaduras pode-se dizer que a força de tração absorvida pelas duas 
armaduras é dada por (6.6) 
zFM pd ⋅= Æ z
MF dp = Æ z
MfAσA dydspdp =⋅+⋅ 
substituindo: 
0,2470,8678
256,2
15,1
50A77,431
136,0
1
s ⋅=⋅+⋅ 
As =3,17 cm/m ou seja φ =6,3 cada 10 cm 
 
6.10. Resumo das expressões empregadas no capítulo 6. 
 Para facilitar a consulta deste material faz-se agora um quadro resumo que 
contem todas as expressões usadas para o cálculo da armadura longitudinal em seções 
submetidas à flexão simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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166
QUADRO 6.1 RESUMO DAS PRINCIPAIS EXPRESSÕES USADAS PARA O CÁLCULO DA 
ARMADURA LONGITUDINAL EM SEÇÕES SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES. 
Significado Fórmula Número 
Aumento da tensão em 
armadura não aderente. 
Altura/vão útil menor que 
35 
 
Δσp= 70 + fck/(100ρp) 
não podendo ultrapassar 420 MPa 
 
(6.1) 
Aumento da tensão em 
armadura não aderente. 
Altura/vão útil maior que 35 
 
 Δσp = 70 + fck/(300ρp) 
 
não podendo ultrapassar 420 MPa 
 
(6.2) 
 
Deformação da armadura 
aderente na descompressão 
da seção. 
ε7 = εcp,p+g1 =
cc
pg1
c
2
pp
c
p
E
1.
I
e.M
I
e.N
A
N
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
 
 
(6.3) 
Resultante na armadura 
ativa e concreto cp
FF = (6.4) 
Momento em função da 
resultante no concreo 
zFM cd ⋅= (6.5) 
Momento em função da 
resultante na armadura 
zFM pd ⋅= (6.6) 
Expressão do momento de 
cálculo na seção transversal ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= (6.7) 
Expressão da armadura de 
tração 
pd
d
p z
MA σ⋅= 
 
(6.8) 
Relação da linha 
neutra/altura em função das 
deformações especificas do 
concreto e aço 
x d x
dc c s
c
c sε ε ε
ε
ε ε= + → = + 
 
(6.9) 
Relação da linha 
neutra/altura em função das 
deformações especificas do 
concreto e aço domínio 2,3 
e 4 
 
x
d s
= +
0 0035
0 0035
,
, ε 
 
 
(6.10) 
Expressão do momento de 
cálculo adimensional na 
seção transversal cd
2
d
fdb
MKMD ⋅⋅= 
 
(6.11) 
Expressão da linha neutra 
adimensional na seção 
transversal d
xKX = (6.12) 
Expressão do momento de 
cálculo adimensional na 
seção transversal em função 
da linha neutra. 
 
2)KX(272,0)KX(68,0KMD ⋅−⋅= 
 
(6.13) 
Expressão do braço de 
alavanca adimensional. 
KX4,01KZ ⋅−= (6.14) 
Expressão da armadura de 
tração em função de termos 
adimensionais seção 
retangular 
pd
d
p σd(KZ)
MA ⋅⋅= 
 
(6.15) 
 
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167
QUADRO 6.1 RESUMO DAS PRINCIPAIS EXPRESSÕES USADAS PARA O CÁLCULO DA 
ARMADURA LONGITUDINAL EM SEÇÕES SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES. 
Expressão da linha neutra 
adimensional na seção 
transversal em função 
deformações especificas do 
concreto e aço 
 
KX c
c s
= +
ε
ε ε 
 
 
(6.16) 
Momento resistente pelas 
abas de uma seção em tê ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅−⋅⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅=
2
85,0
211
f
wffcd
f
c
h
dbbhf
h
dFM 
(6.17) 
Momento resistente pela 
alma de uma seção em tê 
M2= Md –M1 (6.18) 
Expressão da armadura de 
tração em função de termos 
adimensionais seção em tê pd
2
pd
f
1
p d(KZ)
M
2
hd
MA σσ ⋅⋅
+
⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
= (6.19) 
Largura colaborante bf = ba + b1 + b3 (6.20) 
Menor altura necessária 
KX=1 dnec = 1,567 · 
cd
d
fb
M
⋅ 
 
(6.21) 
Altura mínima em função de 
KX ( )2272,068,0 KXKXfb Md cdw d ⋅−⋅⋅⋅= 
 
(6.22) 
Altura mínima em função de 
KX para seção em cima de 
apoio com fck≤35 MPa 
dnec = 1,91 · 
cd
d
fb
M
⋅ 
 
(6.22) 
Altura mínima em função de 
KX para seção em cima de 
apoio com fck>35 MPa 
dnec = 2,09·
cd
d
fb
M
⋅ 
 
(6.23) 
 
 
6.11. Coeficientes de ponderação 
Ponte 
préfabricados 
 . 
 
Bibliografia 
CARVALHO 
FRANÇA 
LIN 
MeLLO