Fenômenos de transporte - Aula 5 - Cinemática

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FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
AULA 5 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
PLANEJAMENTO
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
AULA 5
CINEMÁTICA 
DOS FLUIDOS
1
DEFINIÇÕES
5
TIPOS DE 
ESCOAMENTO
11
PLANEJAMENTO
LEI DE NEWTON 
DA 
VISCOSIDADE
19
RESUMO DAS 
FÓRMULAS
37
EXEMPLOS
31
FONTES
42
RECOMENDAÇÃO
40
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
o Estudo e descrição do movimento de escoamento dos fluidos 
o A movimentação é descrita de duas maneiras principais:
• Lagrangiana
• Euleriana
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS1
Leonhard Euler
1707 a 1783
Joseph L. Lagrange
1736 a 1813
o O movimento de cada partícula é descrito em tempo real, com 
o acompanhamento de suas velocidades e posições
DESCRIÇÃO LAGRANGIANA2
3
É feito o acompanhamento de 
toda a trajetória da partícula 
na água
o Um intervalo de tempo e um volume do espaço são escolhidos 
como controle
o A partir disso, são consideradas todas as partículas que passam 
pelo espaço definido
DESCRIÇÃO EULERIANA3
4
Seria como colocar um equipamento 
em um ponto fixo, medindo a 
passagem da água por ele
DEFINIÇÕES
o É o lugar geométrico do pontos ocupado pela partícula
o É traçada ao longo do tempo pelo deslocamento da partícula
LINHA DE TRAGETÓRIA1
6
o Curva tangente aos vetores de velocidade das partículas em 
um determinado instante
LINHA DE CORRENTE2
7
Em um regime permanente, ela coincide com 
geometricamente com as linhas de trajetória
o Em um fluido escoando, existem infinitas linhas de corrente 
simultaneamente
o Ao considerar uma sessão do escoamento, a superfície gerada 
pela interceptação das linhas de corrente recebe o nome de 
tubo de corrente
TUBO DE CORRENTE3
8
o Quantidade de massa fixa e identificável
o Separado do ambiente por fronteiras
(fixas ou móveis)
• A massa não cruza as fronteiras
• A movimentação da massa expande as 
fronteiras
SISTEMA4
9
“Fechado”
o Volume no espaço que estamos observando
o A fronteira é denominada superfície de controle
• Pode ser real ou imaginária
• Pode estar em repouso ou em movimento
VOLUME DE CONTROLE5
10
Considerando o volume da superfície de controle, 
avaliamos as entradas e saídas desse espaço delimitado “Aberto”
Falaremos mais sobre isso nas próximas aulas !
TIPOS DE ESCOAMENTO
o Unidimensional
• Uma única coordenada é suficiente para descrever as 
propriedades do escoamento (como a velocidade)
QUANTO AS DIMENSÕES1
12
o Bidimensional
• São necessárias duas coordenadas para descrever
QUANTO AS DIMENSÕES1
13
o Tridimensional
• São necessárias três coordenadas para descrever
QUANTO AS DIMENSÕES1
14
o Regime permanente ou estacionário
• As propriedades do fluido são invariáveis com o passar do 
tempo
▪ Podem variar ao longo do fluido, mas não ao longo do tempo
▪ Um fluido pode possuir diferentes valores de pressão em cada posição, 
desde que elas não variem com o tempo
QUANTO AO TEMPO2
15
Está ocorrendo a entrada e 
saída de fluido, mas o nível 
continua o mesmo
o Regime permanente ou estacionário
• As propriedades do fluido são invariáveis com o passar do 
tempo
▪ Podem variar ao longo do fluido, mas não ao longo do tempo
▪ Um fluido pode possuir diferentes valores de pressão em cada posição, 
desde que elas não variem com o tempo
QUANTO AO TEMPO2
16
Em um reservatório extenso com uma 
vazão de fluido muito pequena, o 
regime é considerado permanente
o Regime variado ou transiente
• As propriedades do fluido em alguns pontos podem variar com 
o passar do tempo
QUANTO AO TEMPO2
17
Está ocorrendo a entrada e saída de fluido, e o 
nível, velocidade, pressão e outras condições 
variam com o tempo
QUANTO A TRAJETÓRIA3
18
Laminar
Transitório
Turbulento
Veremos mais 
sobre esses 
escoamentos na 
próxima aula !
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE
o 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
• 𝜏 = Tensão de cisalhamento 
• 𝜇 = Viscosidade dinâmica 
•
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
= Gradiente de velocidade ou taxa de deformação 
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE4
20
A lei de Newton da viscosidade vai ser aprofundada
quando tratarmos da cinemática dos fluidos
A tensão é diretamente 
proporcional ao gradiente de 
velocidade
o Um fluido viscoso em repouso se encontra entre duas placas 
paralelas e estacionárias, separadas por uma altura 𝑦
• 𝑡 = 0
• 𝑣𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 = 0
VISUALIZAÇÃO1
21
Placa de 
área 𝐴
Altura 𝑦
o A placa superior começa a se movimentar com uma velocidade 
constante 𝑣 ≠ 0 devido a uma tensão (ou força) cisalhante
o A placa inferior continua estacionária, com 𝑣 = 0
VISUALIZAÇÃO1
22
𝐹𝐹
Placa 2 
estacionária
𝑣 = 0
𝑦
o Nos limites da interação entre o fluido e a placa superior, o 
fluido “gruda” na placa e também adquire a velocidade 𝑣 ≠ 0
o O fluido diretamente em contanto com a placa inferior também 
”gruda” e continua fixo, com 𝑣 = 0
VISUALIZAÇÃO1
23
𝐹𝐹
Placa 
estacionária
𝑣 = 0
𝑦
𝑣
𝑣 = 0
o A interação entre as partículas do fluido superior se 
movimentando cria um gradiente de velocidade, que transfere
quantidade de movimento para as camadas inferiores
VISUALIZAÇÃO1
24
𝑣
𝑣 = 0
Transferência 
de quantidade 
de movimento
o Para pequenos valores de 𝑡, um perfil de velocidade começa a 
se formar
• 𝑣(𝑦, 𝑡)
VISUALIZAÇÃO1
25
o Para valores maiores de 𝑡, o perfil está completamente
desenvolvido
• 𝑣(𝑦)
VISUALIZAÇÃO1
26
o 𝜏 =
𝐹
𝐴
= 𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
• 𝜏 =
𝐹
𝐴
= Tensão de cisalhamento (em 𝑃𝑎 ou 𝑁/𝑚2)
• 𝜇 = Viscosidade dinâmica (em 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝑘𝑔/𝑚𝑠 ou 𝑐𝑃)
•
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
= Gradiente de velocidade ou taxa de deformação (em 𝑠−1)
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE2
27
A taxa de deformação mostra como a velocidade
no eixo 𝑥 varia em relação a altura 𝑦
o 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
• 𝜏 = Tensão de cisalhamento 
• 𝜇 = Viscosidade dinâmica 
•
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
= Gradiente de velocidade ou taxa de deformação
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE2
28
Fórmula “enxugada”
A taxa de deformação mostra como a velocidade
no eixo 𝑥 varia em relação a altura 𝑦
o 𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
o É medida em 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝑘𝑔/𝑚𝑠 ou 𝑐𝑃 (centipoise)
• 1 𝑃 = 0,1 𝑃𝑎. 𝑠 = 100 𝑐𝑃
VISCOSIDADE DINÂMICA (𝝁)3
29
Também é chamada de 
viscosidade absoluta
o 𝜈 =
𝜇
𝜌
• 𝜇 = Viscosidade dinâmica
• 𝜌 = Densidade
o É medida em 𝑚2/𝑠 ou 𝑆𝑡 (Stoke)
• 1 𝑆𝑡 = 10−4 𝑚2/𝑠
VISCOSIDADE CINEMÁTICA (𝜈)4
30
𝜈 é a letra grega “ni”
𝜈 ≠ 𝑣
EXEMPLOS
▪ Um óleo de viscosidade dinâmica 𝜇 = 2. 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 escoa em 
uma superfície sólida, e seu perfil de velocidade é dado pela 
equação 𝑢(𝑦) = 2𝑦2
▪ Determine a tensão de cisalhamento a 20 𝑐𝑚 da superfície
• 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
= 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
• 𝜏 = 2. 10−3
𝑑(2𝑦2)
𝑑𝑦
• 𝜏 = 2. 10−3 . 4𝑦
• 𝜏 = 2. 10−3 . 4 0,2 = 1,6. 10−3 𝑁/𝑚2
EXEMPLO 11
32
𝑥 = 2𝑦2
Atenção as 
unidades !
▪ Uma placa infinita se move sobre uma segunda placa, havendo 
entre elas uma camada de líquido
▪ Suponha uma distribuição linear de velocidade no líquido 
▪ O fluido tem uma viscosidade absoluta de 𝜇 = 0,00065 𝑃𝑎. 𝑠 e 
densidade relativa valendo 𝑑𝑟 = 0,88
EXEMPLO 22
33
• 𝐴) Qual a viscosidade 
cinemática do líquido ?
• 𝐵) Qual a tensão de 
cisalhamento na placa 
superior (em 𝑃𝑎) ?
▪ 𝐴) Qual a viscosidade cinemática do líquido ?
• 𝜈 =
𝜇
𝜌
• 𝑑𝑟 =
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 (𝑇°𝐶)
𝜌𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑇°𝐶)
• 0,88 =
𝜌
1000 𝑘𝑔/𝑚3
• 𝜌 = 880 𝑘𝑔/𝑚3
EXEMPLO 22
34
Distribuição linear
𝜇 = 0,00065 𝑃𝑎. 𝑠
𝑑𝑟 = 0,88
𝜌𝑟𝑒𝑓 (1000 𝑘𝑔/𝑚
3)
▪ 𝐴) Qual a viscosidade cinemática do líquido ?
• 𝜈 =
𝜇
𝜌
• 𝜈 =
0,00065
880
= 7,386. 10−7𝑚2/𝑠
EXEMPLO 22
35
Distribuição linear 
𝜇 = 0,00065 𝑃𝑎. 𝑠
𝑑𝑟 = 0,88
𝜌 = 880 𝑘𝑔/𝑚3
▪ 𝐵) Qual a tensão de cisalhamento na placa superior (em 𝑃𝑎) ?
• 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
• Como o perfil é linear:
•
𝑑𝑢
𝑑𝑦
=
∆𝑣
∆𝑦
=
𝑢−0
𝑑−0
=
0,3
0,3.10−3
= 1000 𝑠−1
• 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 0,00065 . 1000 = 0,65 𝑃𝑎
EXEMPLO 22
36
Distribuição linear
𝜇 = 0,00065 𝑃𝑎. 𝑠
𝑑𝑟 = 0,88
𝜌 = 880 𝑘𝑔/𝑚3
𝜈 = 7,386. 10−7𝑚2/𝑠RESUMO DAS FÓRMULAS
RESUMO DAS FÓRMULAS1
38
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE
𝐹
𝐴
= 𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
𝜏 =
𝐹
𝐴
= Tensão de cisalhamento (em 𝑃𝑎 ou 𝑁/𝑚2)
𝜇 = Viscosidade dinâmica (em 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝑘𝑔/𝑚𝑠 ou 𝑐𝑃)
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
= Gradiente de velocidade ou taxa de deformação (em 𝑠−1)
RESUMO DAS FÓRMULAS1
39
𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
É medida em 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝑘𝑔/𝑚𝑠 ou 𝑐𝑃 (centipoise)
1 𝑃 = 0,1 𝑃𝑎. 𝑠 = 100 𝑐𝑃
VISCOSIDADE 
DINÂMICA/ABSOLUTA
𝜈 =
𝜇
𝜌
𝜇 = Viscosidade dinâmica
𝜌 = Densidade
É medida em 𝑚2/𝑠 ou 𝑆𝑡 (Stoke)
1 𝑆𝑡 = 10−4 𝑚2/𝑠
VISCOSIDADE CINEMÁTICA
RECOMENDAÇÃO
RECOMENDAÇÃO1
41
https://phet.colorado.edu/sims/cheerpj/fluid-pressure-and-
flow/latest/fluid-pressure-and-flow.html?simulation=fluid-
pressure-and-flow&locale=pt_BR
Testem as coisas que 
vimos em aula !
https://phet.colorado.edu/sims/cheerpj/fluid-pressure-and-flow/latest/fluid-pressure-and-flow.html?simulation=fluid-pressure-and-flow&locale=pt_BR
FONTES
• Aulas de fenômenos de transporte – UNICAMP – Professora Marcela Cravo 
Ferreira
• Livro – Mecânica dos fluidos – Fundamentos e aplicações – Yunus A. 
Çengel e John M. Cimbala
• Livro – Introdução à Mecânica dos Fluidos – Fox, McDonald e Pritchard –
8°ed
• Conteúdo – Responde Ai – Fenômenos de transporte –
https://app.respondeai.com.br/materias/completas/7
• Conteúdo e imagens – Guia da engenharia – Tipos de escoamento -
https://www.guiadaengenharia.com/tipos-regime-escoamento/
FONTES
https://app.respondeai.com.br/materias/completas/7
https://www.guiadaengenharia.com/tipos-regime-escoamento/
• Conteúdo e imagens – Prof. Rodolfo Rodrigues – Unipampa – Mecânica dos 
fluidos – http://rodolfo.chengineer.com/data/uploads/ba200_aula03.pdf
• Conteúdo – Trajetória e linhas de corrente –
https://www.youtube.com/watch?v=m_MZV8kJaPM
• Imagem – Slide 2 – Lagrange – https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-
Louis_Lagrange
• Imagem – Slide 2 – Euler – http://clubes.obmep.org.br/blog/leonhard-
euler/
• Imagem – Slide 3 – Rio –
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_Piracicaba_(rio_de_Minas_Gerais)
FONTES
http://rodolfo.chengineer.com/data/uploads/ba200_aula03.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=m_MZV8kJaPM
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange
http://clubes.obmep.org.br/blog/leonhard-euler/
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_Piracicaba_(rio_de_Minas_Gerais)