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1 Variável Aleatória: Sejam E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento (S é o conjunto de todos os resultados possíveis). Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(S) é denominado de variável aleatória. Variável Aleatória com um número infinito de valores que podem ser associados a pontos de um intervalo contínuo da reta, é considerada Variável Aleatória Contínua. As variáveis aleatórias contínuas são modeladas por uma função densidade de probabilidade (fdp) que apresentam as seguintes propriedades: a) f(x) ≥ 0 para todo x pertencente aos números reais (x ∈ Rx). b) ∫ RX f(x) dx = 1. c) P(a < X < b) = ( ) ,∫ b a dxXf para a < b em RX Considerações importantes: 1. A probabilidade de qualquer valor especificado de X, por exemplo, x0, tem P(X = x0) = 0, pois P(X = x0) = ( )∫ = 0 0 .0 X X dxXf Assim, as probabilidades a seguir são todas iguais, se x for variável aleatória contínua: P(a ≤ x ≤ b) = P( a ≤ x < b) = P( a < x ≤ b) = P( a < x < b). 2. Note que f(x), densidade de probabilidade, não é probabilidade. Somente quando a função é integrada entre dois entre dois limites diferentes, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva da função entre x = a e x = b; a < b. Função repartição: Quando x é uma variável aleatória contínua, a função repartição (função de distribuição) é definida como F(x) = ( )∫ ∞− 0X dxXf . Exemplo: Seja x uma variável aleatória contínua com a seguinte fdp: f(x) = 2x para 0 < x < 1, Pede-se: a) mostrar que f(x) é uma fdp; b) P(1/4 < x < 3/4); c) F(mediana); d) obter x tal que P(X < x) = 0,33; e) P(x > 0,9). 2 a) f(x) é uma fdp porque f(x) ≥ 0 para qualquer x no intervalo entre 0 e 1 e porque .1 2 22 10 21 0 ==∫ x xdx b) P(1/4 < x < 3/4) = F(3/4) - F(1/4) = (3/4)2 - (1/4)2 = 1/2 = 0,5. c) F(md) = md2 = 0,5 ⇒ md = (0,5)1/2 = 0,707, ou seja F(0,707) = P(X < 0,707) = 0,5. d) P(X < x) = 0,33 ⇒ F(x) = x2 = 0,33 ⇒ x = (0,33)1/2 = 0,574. e) P(x > 0,9) = 1 - P(x < 0,9) = 1 - F(0,9)2 = 0,19. Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias: Existem casos em que há interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo, altura e diâmetro de plantas. Assim, sejam E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a E. Sendo X = X(s) e Y = Y(s) duas funções, cada uma associando um número real a cada resultado s ∈ S, denomina-se (X,Y) como sendo uma variável aleatória bidimensional que poderá ser discreta, contínua ou uma discreta e outra contínua. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional contínua, então a função densidade de probabilidade conjunta f(x,y) satisfaz as seguintes condições: f(x,y) ≥ 0 e ( ) .1, =∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− dxdyyxf A função repartição conjunta é: F(x,y) = P(X≤ x, Y≤y). Distribuição de probabilidade marginal: Dada uma variável aleatória bidimensional e sua distribuição conjunta, pode-se determinar a distribuição de X sem considerar Y, ou vice versa. São as chamadas distribuições marginais. Seja (x,y) variável aleatória bidimensional contínua, então a função densidade marginal de x é: g(x) = ∫ +∞ ∞− dyyxf ),( . A função densidade marginal de Y é: h(y) = ∫ +∞ ∞− .),( dxyxf Variáveis aleatórias independentes: Seja (x,y) uma variável aleatória contínua bidimensional. Diz-se que x e y são independentes se, e somente se, f(xi, yj) = g(xi) x h(yi) para todo (x,y) ou simplesmente F(x,y) = F(x) x F(y). 3 Exemplo: Verifique se X independe de Y, dada a função de densidade de probabilidade conjunta igual a f(x,y) = xy/96, x ∈ (0;4) e y ∈ (1;5). A solução é verificar se F(x;y) = F(x) x F(y) ⇒ f(x) = 162 * 8 1 8 )( 82 * 9696 2 0 2 0 5 1 25 1 xxdxxxFxyxdyxy xx ===⇒== ∫∫ f(y) = 24 1 2 * 12 1 12 )( 122 * 9696 2 1 2 1 4 0 24 0 − ===⇒== ∫∫ yydyyyFyxydxxy yy F(x;y) = . 384 )1( 2 * 192192 1 2 * 9696 22 0 22 0 2 10 2 10 − == − == ∫∫∫∫ yxxy xdxydxyxdydxxy xxyxyx Prova: Como F(x) * F(y) = {x2/16} * {(y2 - 1)/24} = F(x;y), as variáveis X e Y são independentes. Distribuição condicional: A distribuição condicional de x dado y é f(x/y) = f(x;y)/f(y) e F(x/y) = .)/(∫ ∞− x dxyxf A distribuição condicional de y dado x é f(y/x) = f(x;y)/f(x) e F(y/x) = ∫ ∞− y dyxyf .)/( Medidas de posição: Média ou esperança matemática: A esperança matemática ou média de uma variável aleatória contínua x é obtida por E[X] = µx = µ = .)(*∫ +∞ ∞− dxxfx Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte fdp: f(x) = 2x para 0 < X < 1. Pede-se para obter a esperança matemática de X, isto é E[X]. E[X] = ( ) . 3 201 3 2 3 *222* 33 1 0 31 0 2 1 0 =−=== ∫∫ xdxxxdxx Propriedades da média: 1. A média de uma constante é a própria constante: E[K] = K; 2. Multiplicando uma variável aleatória por uma constante, sua média fica multiplicada pela constante: E[KX] = KE[X]; 3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou diferença das médias: E[X±Y] = E[X] ± E[Y]; 4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, sua média fica somada ou subtraída da mesma constante: E[X ± K] = E[X] ± K; 4 5. A média de uma variável aleatória centrada na média é zero: E[X - µx] = E[X] - E[µx] = 0; 6. A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das médias: E[XY] = E[X]*E[Y]. Mediana de uma variável aleatória (md): É o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, ou seja, F(md) = 0,5. Moda de uma variável aleatória: É o valor da variável com a maior densidade, para X contínua. Medidas de dispersão: Variância: Define-se variância de uma variável aleatória X como sendo: Var[X] = σ 2(x) = E[(X - µx)2] ⇒ ( ) .)()( 2∫ +∞ ∞− − dxxfxXi µ Obs.: E[(X - µx)2] = E{X2 + µx2 - 2X µx} = E[X2] + µx2 - 2 µx2 = E[X] - µx2. Propriedades da variância: 1. A variância de uma constante é zero: σ2(K) = 0; 2. Multiplicando uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante: σ 2(KX) = K2 σ2(X) ou Var (KX) = K2Var(X); 3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante à uma variável aleatória, sua variância não se altera: Var (X ± K) = Var (X); 4. A variância da soma ou diferença de duas variáveis aleatórias independentes é a soma das respectivas variâncias: Var(X ± Y) = Var (X) + Var(Y). Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância: σ2(X) = ( ) .2 Xσ Exemplo: Seja X uma variável aleatória com a seguinte fdp: f(x) = 3x2, x ∈ (0;1), calcular: E[X]; Var[X] e o desvio padrão. E[X] = . 4 3 4 *3*3* 1 0 41 0 2 X xdxxx µ===∫ E[X2] = . 5 3 5 *3*3* 1 0 51 0 22 ==∫ xdxxx Var(x) = [ ] 80 3 4 3 5 3 2222 = −=−= Xx XE µσ . 5 σX = (3/80)1/2 = 0,1936. Coeficiente de variação: É igual ao desvio padrão expresso em percentagem da média. CV=(σ(X)/µ)*100. Esta estatística é útil para comparar a variabilidade de populações com unidades de medidas diferentes. Propriedades do desvio padrão: 1. Somando ou multiplicando uma constante a uma variável aleatória, seu coeficiente de variação fica, respectivamente, reduzido ou aumentado; 2. Multiplicando ou dividindo uma variável aleatória X por uma constante, seu coeficiente de variação não altera. Covariância e Coeficiente de correlação: O grau de dispersão conjunta e de associação linear entre duas variáveis aleatórias podem ser avaliados pela covariância e coeficiente de correlação. Define-se a covariância entre X e Y como sendo COVXY = E[(Xi - µX)(Yj - µY)] ou simplesmente COVXY = E[XY] - µXµY. Define-se o coeficiente de correlação entre X e Y como sendo [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )contínua. , para ,*11 :onde ; YX dxdyyxfxyXYEXYE XY YX YX XY ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− =⇒≤≤− − = ρ σσ µµρ Exemplo: Seja f(x,y) = (1/48)(8 - x - y), x ∈ (0;2), y ∈ (0;6). Calcular a correlação entre X e Y. 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pequena. e negativa é Y e X entre correlaçãoA 07007,0 16 39 * 144 47 48 108 * 12 112 16 39 48 108 2 15 2 15 4 *2 3 *14 48 1 48 214][ 48 108 3 *2 2 *14 48 1 48 214][ 48 214 2 *8 48 1 48 8 144 47 12 11 6 7 6 7 48 56 4 *6 3 *30 48 1 48 630][ 12 11 3 *6 2 *30 48 1 48 630][ 48 630 2 **8 48 1 48 8 2 3 *18 2 *72 48 11872 48 17218144 48 1 322 8 48 1 48 8][ 2 2 6 0 46 0 36 0 22 6 0 36 0 26 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 42 0 32 0 22 2 0 32 0 22 0 6 0 2 6 0 6 0 6 0 2 0 32 0 22 0 22 2 0 2 0 6 0 36 0 2 2 6 0 26 0 2 0 ⇒−= − = = −=⇒= −= − = == −= − = − = −−= −− = = −=⇒== −= − = == −= − = − = −−= −− = = −=−=−− = −−= −− = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫ XY y y x x yydyyyYE yydyyyYE y xyxxdxyxyf xxdxxxXE xxdxxxXE xyyxydyyxxf xxdxxxdxxxx dxyxyxyxdydxyxxyXYE ρ σ µ σ µ
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