Derivadas passo a passo.

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A Derivada 
 
1.0 Conceitos 
 
 Derivada de f em relação a x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma função é diferenciável / derivável em x0 se existe o limite 
 
 
 
 
 
 
 
 Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0. 
 f é diferenciável em um intervalo se f for diferenciável em cada ponto do interior do 
intervalo e se existir a derivada lateral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Notação de Newton: 
 
 Notação de Leibniz: 
 
 
 
 
2.0 Técnicas de Diferenciação 
 
2.1 Técnicas Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Regra da Cadeia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Derivadas de Funções Logarítmicas e Exponenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 Derivada de Funções Trigonométricas Inversas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 Aproximação Linear Local 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y 
= f(x) coincidir com alguma porção do gráfico da equação. 
 Para realizar uma diferenciação implícita, derivam-se os dois lados da equação. 
 
 
4.0 Diferenciabilidade da Função Inversa 
 
 Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja 
diferenciável e injetora nesse intervalo. Então, f-1 é diferenciável em qualquer ponto da 
imagem de f no qual f’(f-1(x)) ≠ 0 e sua derivada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.0 Regra de L’Hospital 
 
 Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis em um intervalo aberto que contenha x = 
a, exceto, possivelmente, em x = a, e que o limite de g e f, quando x → a seja zero. Se 
existe o limite da divisão das duas funções, ou se esse limite seja mais ou menos infinito, 
então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Usa-se esta regra somente quando o limite encontra-se nas formas indeterminadas 0/0 e 
∞/∞. 
 
 
 
 
 
 
 
6.0 Derivada em Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 Se f é diferenciável em um intervalo aberto I, então dizemos que f é côncava para cima e I 
se f’ é crescente em I e côncava para baixo em I se f’ é decrescente em I. 
 
 
 
 
 
6.1 Ponto de Inflexão 
 
 Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x0 e muda de concavidade no 
ponto (x0)(f(x0)), então dizermos que o ponto do domínio é o ponto de inflexão de f. 
 Os pontos de inflexão marcam os lugares da curva y = f(x) em que a taxa de variação de y 
em relação a x muda de crescente para decrescente, ou vice-versa. 
 Os “candidatos” a este ponto são aqueles em que f’’(x) = 0. 
 
6.2 Extremos Relativos 
 
 Dizemos que x0 é ponto de máximo local de f se existe uma vizinhança V de x0 (V contido 
no Domínio) tal que f(x) ≤ f(x0), para todo x pertencente a V. 
 Dizemos que x0 é ponto de mínimo local de f se existe uma vizinhança V de x0 (V contido 
no Domínio) tal que f(x) ≥ f(x0), para todo x pertencente a V. 
 Um ponto é chamado de ponto crítico de f se f’(x) = 0 ou f’(x). 
 
6.2.1 Teste da Derivada Primeira 
 
 Uma função f tem um extremo relativo naqueles pontos críticos em que f’ troca de sinal. 
 
Se f’(x) > 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e f’(x) < 0 em um intervalo 
aberto imediatamente à direita de x0, então f tem um máximo relativo em x0. 
 
Se f’(x) < 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e f’(x) > 0 em um intervalo 
aberto imediatamente à direita de x0, então f tem um mínimo relativo em x0. 
 
Se f’(x) tem o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e 
quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x0, então f não tem extremo 
relativo em x0. 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.2 Teste da Derivada Segunda 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 Extremos Absolutos 
 
 Dizemos que x0 é ponto de máximo absoluto de f se f(x) ≤ f(x0), para todo x pertencente ao 
Domínio. 
 Dizemos que x0 é ponto de mínimo absoluto de f se f(x) ≥ f(x0), para todo x pertencente ao 
Domínio. 
 Teorema do Valor Extremo: Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito 
[a,b], então f tem um máximo e um mínimo absolutos em [a,b]. 
 Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a,b), então ele deve ocorrer em 
um ponto crítico de f. 
 
6.4 Método de Newton 
 
 
 
 
 
 
6.5 Teorema de Rolle 
 
 Seja f diferenciável no intervalo aberto (a,b) e contínua no intervalo fechado [a,b]. Se 
f(a) = f(b) = 0, então há pelo menos um ponto c em (a,b), tal que f’(c) = 0. 
 
6.6 Teorema do Valor Médio 
 
 Seja f contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Então 
existe pelo menos um ponto c em (a,b), tal que 
 
 
 
 
 
 
 Ou seja, a reta tangente é paralela à reta secante. 
 
6.7 Teorema da Diferença Constante 
 
 Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo I e se f’(x) = g’(x) para cada x de I, então 
f = g é constante em I: Existe uma constante k tal que f(x) – g(x) = k. 
 Ou seja, f e g são translações verticais um do outro. 
 
 
 
 
 
 
7.0 Construção de Gráficos 
 
 Primeiro Passo: Definir o Domínio. 
 
 Segundo Passo: Interseção com o eixo x (Raízes da função). 
 
 Terceiro Passo: Interseção com o eixo y. 
 
 Quarto Passo: Pontos Críticos. 
Calcular a primeira derivada, igualá-la a zero e quando não existe. Objetivo: achar os 
possíveis pontos críticos. 
Estudar o sinal de f’(x). Objetivo: Verificar se os pontos críticos são máximos ou 
mínimos relativos, se não são nada, ou se são assíntotas verticais. 
 
 Quinto Passo: Pontos de Inflexão. 
Calcular a segunda derivada e igualá-la à zero. Objetivo: achar possíveis pontos de 
inflexão. 
Estudar o sinal de f’’(x). Objetivo: verificar se existem pontos de inflexão. 
 
 Sexto Passo: Assíntotas. 
 Calcular o limite tendendoao domínio. Objetivo: Checar se existem assíntotas 
horizontais e verticais e se existem máximos e mínimos absolutos. 
 
 Sétimo Passo: Compilação do gráfico.