Inequação Modular(EsPCEx)

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 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 23 
INEQUAÇÕES MODULARES 
Definição: Inequações modulares são 
aquelas em a incógnita se encontra em 
módulo. 
Exemplos: 
1) |x +1| ≥ 0 
Solução: x pode ser qualquer número real, 
que o módulo de x+1 sempre será maior ou 
igual a zero. Sendo zero apenas no caso 
em que x = -1. 
 
2) |x| + 5 < 8 
Solução: |x| < 8 – 5  |x| < 3  x2 < 9  
-3 < x < 3. 
 
3) |x| > 2 
Solução: |x| > 2  x2 > 4  x < -2 ou x > 
2. 
 
4) |3x + 12| ≤ 0 
Solução: Note, primeiramente, que a 
solução de |3x + 12| < 0 é vazia, pois o 
módulo sempre será > 0. Logo, a única 
solução para |3x + 12| ≤ 0 será quando 
3x+12 = 0  x = -4. 
Observação: 
Os exemplos 2 e 3 acima podem ser 
generalizados. Vejamos, então, de uma 
maneira geral tais situações para um 
determinado número real positivo k. 
 
 
 
Com estas importantes observações, 
seremos capazes de solucionar muitos 
problemas envolvendo inequação modular. 
Exemplos: 
1) |x + 12| < 15 
Solução: -15 < x + 12 < 15  
-15 - 12 < x + 12 -12 < 15 – 12  - 27 < x < 
3 
 
2) |x - 1| ≥ 4 
Solução: |x - 1| ≥ 4  
x – 1 ≤ - 4 ou x – 1 ≥ 4  x ≤ - 3 ou x ≥ 5. 
 
3) 4 < |x + 1| < 8 
Solução: Dividiremos nosso problema em 
duas partes: 
 
1°) resolveremos o seguinte: 4 < |x + 1|  
x + 1 < - 4 ou x + 1 > 4  x < - 5 ou x > 3. 
2°) resolveremos o seguinte: |x + 1| < 8  
- 8 < x + 1 < 8  - 9 < x < 7. 
Logo, de 1 e 2, temos que a interseção das 
respostas será o resultado. 
O resultado será: 
S = {x pertence a R / - 9 < x < - 5 ou 3 < x 
< 7} 
Ver videoaula sobre o assunto para 
compreender a solução final! 
EXERCÍCIOS: 
1)Determine para quais valores reais de x 
é verdadeiramente a desigualdade 
|3𝑥 − 2| < 4 
2)Determine para quais valores reais de x 
é verdadeiramente a desigualdade 
|5𝑥 + 4| > 4 
 
 
 
 
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 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
 MATEMÁTICA 
 AULA 23 
3) A expressão |𝑥 − 𝑎| < 16 também pode 
ser representada por: 
a) x – a < 16 
b) x + a >16 
c) – a – 16 < 𝑥 < 𝑎 + 16 
d) -16 + a < 𝑥 < 𝑎 + 16 
e) x – a< −16 𝑜𝑢 𝑥 − 𝑎 > 0 
 
4)Se Y = {𝑦 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 |6𝑦 − 1| ≥ 5𝑦 −
10}, então: 
a) Y = ]−∞,
1
6
] 
b) Y = R {−1} 
c) Y = R 
d) Y = ∅ 
e) ]
1
6
, +∞[ 
5) Determine para quais valores reais de x 
é verdadeiramente a desigualdade 
|𝑥 − 1| − 3𝑥 + 7 ≤ 0 
 
6) No conjunto dos números reais, o 
conjunto solução da inequação modular 
|2𝑥 + 1| + 4 − 3𝑥 ≥ 0 
7) No conjunto dos números reais, o 
conjunto solução S da inequação modular 
| x | . |x - 5| ≥ 6 é : 
a) S = {𝑥 ∈ 𝑅 |−1 ≤ 𝑥 ≤ 6}. 
b) S = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 2 ≤ 𝑥 ≤ 3}. 
c) S = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 2 ≤ 𝑥 ≤ 3}. 
d) S = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≤ 3}. 
e) S = R 
 
8) Determine para quais valores reais de x 
é verdadeiramente a desigualdade 
 |𝑥² − 10𝑥 + 21| ≤ |3𝑥 − 15|. 
 
9) No conjunto dos números reais, o 
conjunto solução da inequação modular 
|2𝑥 + 1| + 4 − 3𝑥 ≥ 0 
 
10)Se x varia no conjunto dos números 
reais, qual dos intervalos a seguir contém o 
conjunto- solução da desigualdade: 
|𝑥|+2
|𝑥|−1
> 4 
a) (−2,0) 
b) (−2,2) 
c) (−3, −1) 
d) (1,3)