expressoes algebricas

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Matemática Nivelamento 29 
4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 Neste capítulo vamos estudar as expressões algébricas como monômios e 
polinômios. 
 Para iniciar vamos a definição de expressões algébricas. 
 
Expressões algébricas são expressões que envolvem letras e/ou números. 
 
Exemplos: 
a) a + b b) 2x – 8 c) 4x 2 - 3x + 4 
 
d) 3x + 2y e) 3a2 - b + c f) b.c
5
3x
+ 
 
4.1 VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
 Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém quando 
substituímos as letras da expressão por números determinados e efetuamos as operações 
indicadas. 
 
Exemplos: 
 Considere a expressão algébrica a2+ bc. 
 
 
Note que na expressão acima, entre b e c não foi colocado nenhum tipo de sinal. Nos casos 
como este, considera-se que entre estas letras deve ser realizada a operação de 
multiplicação. 
 
 
Vamos encontrar o valor numérico dessa expressão: 
 
 
Seu valor numérico quando a = 3, b = 4 e c = 2 será 32 + 4 × 2 = 9 + 8 = 17 
Seu valor numérico quando a = 5, b = 3 e c = 4 será 52 + 3 × 4 = 25 + 12 = 37 
 
 
4.2 MONÔMIOS 
Monômios são expressões algébricas que não envolvem operações de adição e/ou 
subtração: 
 
Exemplos: 
a) 4a b) abc c) 5x2 d) x3y 
 
Um monômio tem uma parte numérica (coeficiente) e uma parte literal. 
Por exemplo, no monômio 15x 3yz, o coeficiente é 15 e a parte literal é x3yz. 
 
 
 
Matemática Nivelamento 30 
4.2.1 MONÔMIOS SEMELHANTES 
 Monômios semelhantes são aqueles que apresentam a mesma parte literal. 
 
Exemplos: 
a) 3xy2 e 5xy2 
 
b) 24bca
5
3
 e 24bc7a 
 
 
 
4.2.2 OPERAÇÕES COM MONÔMIOS 
 
a) Adição e Subtração de Monômios 
 
Só podemos efetuar as operações de adição e subtração com monômios 
semelhantes, isto é, aqueles que têm as partes literais iguais. Para isso basta efetuar a 
operação indicada com os coeficientes e manter a parte literal. 
 
Exemplos: 
 
a) 2a + 5a = 7a 
b) 8ab2– 3ab2 = 5ab2 
c) 4xy + 7xy – 2xy = 9xy 
d) yx
6
7yx
6
43yx
3
2yx
2
1 2222
=
+
=+ 
Note que, no exemplo “d”, para somar os 
coeficientes foi necessário reduzi-los ao 
mesmo denominador, fazendo o m.m.c. 
entre eles. 
 
 
OBS.: Quando os monômios não são semelhantes, isto é, não possuem a mesma parte 
literal, a soma ou a subtração ficam apenas indicadas. 
 
Exemplo: 
A soma do monômio 3x2y com o monômio 2xyz ficaria indicada por: 
3x2y + 2xyz (não podemos efetuar a soma dos seus coeficientes). 
 
 
b) Multiplicação 
 
O produto de monômios é obtido realizando-se a multiplicação dos coeficientes 
entre si e em seguida multiplicando suas partes literais. Para multiplicar monômios não é 
necessário que eles sejam semelhantes, nesse caso, a multiplicação é apenas indicada. 
 
Exemplos: 
a) 3a × 4b = (3×4) × (a × b) = 12ab 
b) 4x2y6 × 5x4y3 = (4 × 5) × (x2 × x4 × y6 × y3) = 20 x6 y9 
c) 2xy2 × 5x2 y3 z = (2 × 5) × (x × x2 × y2 × y3 × z) = 10x3 y 5 z 
Matemática Nivelamento 31 
Lembrar que quando multiplicamos potências de mesma base, conserva-se a base somam-
se os expoentes. 
 a m . a n = am + n 
 
c) Divisão 
 
O quociente entre dois monômios é obtido realizando-se a divisão dos coeficientes 
entre si e em seguida dividindo suas partes literais. Para dividir monômios não é necessário 
que eles sejam semelhantes, nesse caso, a divisão é apenas indicada. 
 
Exemplos: 
a) (-15a6b4) : (3a2b2) = (-15 : 3)(a6: a2)(b4: b2) = -5 a6 - 2 b4 - 2= -5a4 b2 
b) 2332472542
275
zy6xzyx
3
18
y3x
zy18x
==
−−
 
c) (12x2y7) : (4x5y3) = (12 : 4)(x2-5 y7-3) = 3x-3y4 = 3
4
x
3y
 
 
Lembrar que quando dividimos potências de mesma base, conserva-se a base subtraem-se 
os expoentes. 
 am : an = a m-n 
 
 
d) Potenciação 
 
Para elevar um monômio a um expoente, basta elevar seu coeficiente a esse 
expoente e em seguida elevar a parte literal a esse mesmo expoente. 
 
Exemplos: 
a) (3x2y5)3= 33(x2) 3 (y 5) 3 = 27 x2 × 3 y5 × 3 = 27x 6 y 15 
b) (2a3b4)2= 22(a3)2(b4)2= 4 a3 × 2 b4 × 2= 4 a 6 b 8 
 
Lembrar que na potenciação os expoentes são multiplicados. 
 
(a m) n = a m × n 
 
 
4.3 POLINÔMIOS 
Suponha que queremos realizar a adição com os monômios 4xy, 5x3y2 e 2x2y. Pelo 
que aprendemos anteriormente, sabemos que esta soma não pode ser obtida, porque os 
monômios não são semelhantes. Nesses casos, o que fazemos é deixar as operações 
indicadas, como segue: 
 
4xy + 5x3y2 + 2x2y 
 
Matemática Nivelamento 32 
Uma expressão formada por monômios não semelhantes, como no caso acima, é 
chamada Polinômio. 
 
Outros exemplos: 
a) 7x – 4 
b) 4x – 2y + 4 
d) 2xy + 4x – 3y + z3 
 
Em se tratando de polinômios os monômios envolvidos são chamados de termos do 
polinômio. 
 
O polinômio do exemplo a tem 2 termos que são: 7x e - 4 
O polinômio do exemplo b tem 3 termos que são: 4x, -2y e 4 
O polinômio do exemplo c tem 4 termos que são: 2xy, 4x, -3y e z3 
 
• Sabemos que o monômio tem um único termo. 
• O polinômio com dois termos (exemplo “a”) é chamado binômio e o polinômio 
com três termos (exemplo “b”) é chamado trinômio. 
• Os polinômios com mais de três termos não têm nomes especiais. 
 
4.3.1 POLINÔMIO A UMA VARIÁVEL 
 
 É o polinômio que apresenta uma única variável. Podemos definir estes polinômios 
como sendo toda expressão da forma: 
 
anx
n + an-1x 
n-1
 + an-2x 
n-2
 + ... + a1x
1+ a0x
0
 
 
onde an , an-1 , ..., a0 são os coeficientes do polinômio e xn , xn-1 , . . . , x, são chamados parte 
literal. 
O grau “n” sempre será dado pelo maior expoente da parte literal do polinômio. 
Então podemos dizer que: 
3x + 4 é um polinômio do 1º grau 
5x2 + 3x –1 é um polinômio do 2º grau 
4x 3 – 2x2 + 7x –3 é um polinômio do 3º grau 
x
5
 + 2x 4– 5x2+ 2x – 4 é um polinômio do 5º grau 
 
 
4.3.2 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
 
a) Soma e subtração de polinômios 
 
 Para somarmos ou subtrairmos polinômios, devemos agrupar os termos que tenham 
mesma parte literal (mesma variável e mesmo expoente). Veja: 
 
Matemática Nivelamento 33 
 
 
 
b) Multiplicação de polinômios 
 
 Para multiplicarmos dois ou mais polinômios, devemos aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação com relação à adição, ou seja, devemos multiplicar todos os 
termos de um polinômio por todos os termos do outro. 
 
Veja: 
 
 
 
 
Matemática Nivelamento 34 
 
Agrupando todos os termos, teremos: 
 
Neste polinômio podemos agrupar alguns termos semelhantes (termos com as mesmas 
cores são os semelhantes): 
 
Existe uma maneira simplificada de representar esta multiplicação, veja: 
 
 
E agrupando os termos de mesma parte literal teremos: 
 
 
 
Veja outros exemplos: 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
Obs.: Para multiplicarmos um polinômio por um número real, agimos da mesma forma, 
veja: 
Se P(x) = 5x³ - 10x² + 11, 
3.P(x) será: 3.(5x³ - 10x² + 11) = 15x³ - 30x² + 33 
2.P(x) será: -2.(5x³ - 10x² + 11) = -10x³ + 20x² - 22 
 
 
Matemática Nivelamento 35 
c) Divisão de um polinômio por um monômio 
 
 Para dividirmos um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
 
 
OBS: Propriedade da potenciação 
“Ao dividirmos duas potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes”, ou seja: 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
e) Divisão de polinômio por polinômio 
 Efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) 0, é 
determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: 
 
 
 
Em que: 
A(x) é o dividendoB(x) é o divisor 
Q(x) é quociente 
R(x) é o resto da divisão. 
 
 
 Quando A(x) é divisível por B(x), dizemos que a divisão é exata, isto é, R(x)=0. 
Se B(x) é divisor de A(x), então R(x) =0 
 
Vejamos alguns exemplos de divisão de polinômio por este método, que é chamado 
método da chave. 
 
1) Determinar o quociente de A(x) = x3 + 4x2 + x – 6 por B(x) = x + 2. 
 
Resolução: 
Matemática Nivelamento 36 
 
 
Regra p/ dividir um polinômio A (x) por um polinômio B(x) 
 
1. Divide-se o 1° termo do polinômio A pelo 1° termo do polinômio B e coloca-se o 
resultado sob o polinômio B. 
No exemplo, x3 : x = x2. 
 
2. Multiplica-se o resultado por todos os elemento de B , troca-se o sinal e coloca-se sob o 
polinômio A, somando-se com A e obtendo-se um novo polinômio. 
No exemplo, x2(x + 2) = x3 + 2x2 
Trocando o sinal: - x3 - 2x2 
Somando: (x3 + 4x2 + x – 6) + (- x3 - 2x2) = 2x2 + x - 6 
 
3. Toma-se o 1° termo desse novo polinômio e divide-se pelo 1° termo do polinômio B. 
No exemplo, 2x2 : x = 2x. 
 
4. Multiplica-se o resultado dessa divisão por todos os elemento de B, troca-se o sinal e 
soma-se com o polinômio que está em baixo do polinômio A, obtendo-se um novo 
polinômio. 
No exemplo, 2x(x + 2) = 2x2 + 4x 
Trocando o sinal: - 2x2 - 4x 
Somando: (2x2 + x – 6) + (- 2x2 – 4x) = - 3x - 6 
 
5. Repete-se os passos acima até que o resto R(x) seja um polinômio de grau menor que o 
grau do polinômio B(x) ou zero. 
No exemplo, - 3x : x = -3. 
Multiplicando: -3(x + 2) = - 3x - 6 
Trocando o sinal: 3x + 6 
Somando: (- 3x – 6) + (3x + 6) = 0 
 
Verificamos facilmente que: 
x 
3
 + 4x2 + x – 6 = (x + 2) ( x2 + 2x –3) 
A(x) = B(x).Q(x)