produtos notaveis

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Matemática Nivelamento 37 
5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
Neste capítulo, estão trabalhados conceitos importantes da álgebra: produtos 
notáveis e fatoração. 
São conceitos estudados no ensino fundamental, principalmente a partir da 6ª série, 
quando se começa a resolver equações de 1º grau com uma variável, e no ensino médio. 
O trabalho com álgebra constitui base importante para o trabalho posterior com 
funções. 
 
5.1 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Produtos Notáveis nada mais são do que produtos entre polinômios que podem ser 
escritos de uma forma simplificada. Existem 3 principais casos: 
 
 
 
Desta forma, quanto tivermos uma expressão, por exemplo, como (x + 5)², não 
precisaremos calcular (x + 5).(x + 5), mas simplesmente resolver da forma x² + 2.x.5 + 5², 
ou seja, x² + 10x + 25. Veja outros exemplos: 
Ex1: (x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² 
= x² + 6x + 9 
 
Ex2: (a - 4)² = a² - 2.a.4 + 4² 
= a² - 8a + 16 
 
Ex3: (x - 6).(x + 6) = x² - 36 
Matemática Nivelamento 38 
 
Existem, ainda, 2 casos menos comuns, mas que também merecem importância: 
 
 Resumindo estes outros dois casos, temos 
 
( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
 
( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 
 
 
5.2 FATOR COMUM 
 Sabemos que para multiplicar um monômio por um polinômio multiplica-se o 
monômio por cada termo do polinômio. 
 Como exemplo, vamos efetuar a multiplicação do monômio 3x pelo polinômio 
 y + 3z + 2. 
 Temos, então: 
 
 
Para passar da forma fatorada para a forma não fatorada, efetuamos a 
multiplicação. 
Matemática Nivelamento 39 
Muitas vezes temos a forma não fatorada e precisamos a forma fatorada. 
Dizemos então que precisamos fatorar a expressão. Vejamos como se faz para fatorá-la. 
Você precisa lembrar como se faz a divisão de um polinômio por um monômio. 
Primeiro, observe que, no polinômio, 3xy + 9xz + 6x, 3x é o divisor comum dos 
três termos. Então, dividimos cada termo do polinômio por 3x: 
 
Agora faremos com que 3x multiplique os três de uma só vez, escrevendo a 
expressão da seguinte forma: 
3xy + 9xz + 6x = 3x (y + 3z + 2) 
 
Ao fazer isso, dizemos que 3x, que é chamado de fator comum, foi colocado em 
evidência. Colocar em evidência significa destacar, sobressair ou salientar. 
A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão obtida dividindo a 
expressão inicial pelo fator comum. 
 
1. Exemplos: 
Vamos fatorar 6x3 + 8x2. 
Devemos dividir a expressão pelo fator comum: 2x2. 
Temos: 
43x
2x
8x
2x
6x
2x
8x6x
2
2
2
3
2
23
+=+=
+
 
 
Então, a forma fatorada de 6x3+8x2 é 2x2(3x+4) 
 
 
2.Vamos fatorar ax – ay + a. 
Devemos dividir a expressão pelo fator comum: a. 
Temos: 
 
 
A forma fatorada de ax – ay + a é a.(x–y+1) 
 
 
3. Vamos fatorar 15x4 – 35x2y + 25x3. 
Devemos dividir a expressão pelo fator comum: 5x2. 
Temos: 
4 2 3 4 2 3
2
2 2 2 2
15x 35x y 25x 15x 35x y 25x 3x 7y 5x
5x 5x 5x 5x
− +
= − + = − + 
 
A forma fatorada de 15x2–35y+25x3 é 5x2.(3x2–7y+5x) 
 
 
A visualização do fator comum 
 
Considere três retângulos de mesma largura a 
Matemática Nivelamento 40 
 
 
A área do primeiro retângulo é A1 = ax 
A área do primeiro retângulo é A2 = ay 
A área do primeiro retângulo é A3 = az 
 
A área total At, será dada pela soma das três áreas, isto é: 
At= A1 + A2 + A3 
 
Logo, At = ax + ay + az 
 
Juntando esses retângulos, forma-se outro retângulo, também de largura a, e comprimento 
x + y + z. 
 
Veja a figura abaixo. 
 
 
 
Assim, vê-se que At = a.(x+y+z), ou seja, ax+ay+az=a.(x+y+z). 
 
 
5.3 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO 
Consideremos a expressão: 
5ax + bx + 5ay + by 
 
Observe que, nesse caso, a expressão não possui um fator comum aos quatro 
termos, mas temos um fator “x” que é comum aos dois primeiros e outro fator, “y” que é 
comum aos dois últimos. 
Nesse caso colocamos o x em evidência nos dois primeiros termos e y nos dois 
últimos: 
x(5a+b) + y(5a+b) 
 
Observe agora que apareceu um outro fator, (5a+b), que é comum aos dois termos. 
Colocando esse fator em evidência, temos: 
(5a+b).(x+y) 
 
Esse processo é denominado fatoração por agrupamento. 
 
Veja outros exemplos onde foi aplicada essa técnica: 
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1. Vamos fatorar o polinômio hx – 2x + 5h – 10. 
hx-2x+5h–10= 
x(h–2)+5(h–2)= Colocando x e 5 em evidência; 
(h–2) (x+5) Colocando (h+2) em evidência 
Logo, (h–2).(x+5) é a forma fatorada do polinômio hx–2x+5h–10. 
 
2. Vamos fatorar y³+y²+y+1. 
y³+y²+y+1= 
y²(y+1)+1(y+1)= Observe que y2 e 1 foram colocados em evidência; 
(y+1) (y²+1) Colocando y2 + 1 em evidência. 
Logo, (y+1).(y²+1) é a forma fatorada do polinômio y³+y²+y+1. 
 
3. Vamos fatorar o polinômio 2bc+5c²-10b–25c. 
2bc+5c²-10b–25c= 
c(2b+5c)–5(2b+5c)= Colocando c e 5 em evidência; 
(2b+5c) (c–5) Colocando (c–5) em evidência; 
Logo, (2b+5c).(c–5) é a forma fatorada do polinômio 2bc+5c²-10b–25c. 
 
4. Sabe-se que m + n = 30 e p + q = 18. Nessas condições determine o valor do 
polinômio mp + mq + np + nq. 
Inicialmente vamos escrever o polinômio na forma fatorada: 
mp + mq + np + nq = 
m(p + q) + n (p + q) = 
(p + q) (m + n) 
Substituindo pelos valores dados, temos: 
(p + q) (m + n) = 18x30 = 54 
 
5.4 FATORAÇÃO PRODUTOS NOTÁVEIS 
“PENSANDO AO CONTRÁRIO” - FATORAÇÃO DE PRODUTOS NOTÁVEIS 
E se você tivesse a situação inversa, ou seja, ao invés de um produto notável a ser 
resolvido, um polinômio para ser representado como um produto notável? Veja os casos 
abaixo: 
 
1° Caso) Trinômio Quadrado Perfeito 
Se pensarmos que um produto do tipo, por exemplo, (a+b)² pode ser representado por a² + 
2ab + b², podemos notar que o termo relativo aos elementos “a” e “b” sempre estão 
elevados ao quadrado (portanto para sabermos “a” e “b” deveremos extrair sua raiz 
quadrada) e o termo do meio sempre representa 2.a.b (portanto neste termo deveremos, 
sempre, ter o dobro de a.b). 
 
Ex1: x2 + 6x + 9 
 
 
 
E, se o produto é, então, (x + 3)² o termo do meio deve ser 2.x.3 = 6x, portanto Ok! 
Matemática Nivelamento 42 
 
Veja outros exemplos: 
 
Ex2: x² - 10x + 25 
Pode ser representado por (x - 5)², pois 
xx
2
= 
525 = 
2.x.5 = 10x 
 
Portanto, x² - 10x + 25 = (x - 5)². 
Atenção: O termo central é negativo, o que nos leva a fatorar como um quadrado de uma 
diferença. 
 
Ex3: 4x² + 16x + 16 
x24x 2 = 
416 = 
2.2x.4 = 16x 
 
Portanto, 4x² + 16x + 16 = (2x + 4)². 
 
 
Veja uma situação onde um polinômio parece ser um produto notável, mas não é: 
 x² + 4x + 16 
 
 
2° Caso) Produto da Soma pela diferença entre dois termos: 
Como você já sabe, um produto notável do tipo (a-b).(a+b) pode ser escrito por a²-b². 
(Cuidado! Sempre temos de ter o sinal de subtração). 
 
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Ex1: 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Contexto e aplicações. Volume Único. São Paulo: 
Ática, 2003. 
Edumatec. Disponível em: <http://mandrake.mat.ufrgs.br/edumatec/>. 
GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa: ensino médio. Volume Único. São Paulo: 
FTD, 2000. 
MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, Alex. 
Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. 
SMOLE, Katia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 1 - Ensino Médio - 3ª 
Edição. São Paulo: Saraiva, 2003. 
SMOLE, Katia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 2 - Ensino Médio - 3ª 
Edição. São Paulo: Saraiva, 2003. 
SMOLE, Katia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3 - Ensino Médio - 3ª 
Edição. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 
Sites de interesse do curso: 
 
Só Matemática – http://www.somatematica.com.br 
 
OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemáticadas Escolas Públicas - 
http://www.obmep.org.br/