restas e intervalos

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Matemática Nivelamento 12 
2. RETA REAL E INTERVALOS 
 
Neste capítulo, estão trabalhados os conceitos de reta real, intervalos e operações 
com intervalos. 
São conceitos estudados no ensino médio e complementam o estudo do capítulo 
anterior sobre conjuntos numéricos, pois intervalos são subconjuntos dos números reais. 
 
2.1 RETA REAL 
Qualquer número real pode ser representado numa reta. Para isso, basta 
escolhermos um ponto sobre a reta para representar o zero, ou seja, a origem. Depois 
estabelecemos dois sentidos (um positivo e um negativo) e escolhemos uma unidade de 
medida para graduar a reta. Cada ponto da reta corresponde a um número real. 
 
 
2.2 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número x, representado por |x|, a 
distância entre x e a origem. 
 
Exemplos: 
|3| = 3, |-2| = 2, | 4| = 4, 
3
2
− = 
3
2
 , 
2
1
 = 
2
1
 
 
2.3 NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
Dois números são opostos ou simétricos quando têm o mesmo módulo e sinais 
contrários. Na reta real, estes números se encontram à mesma distância da origem 0 (zero). 
São opostos os números: 
– 4 e 4 (vermelho) –
3
2
 e 
3
2
 (verde) – 6,2 e 6,2 (azul) 
 
 
Matemática Nivelamento 13 
2.4 INTERVALOS 
Sejam a e b números reais tais que a < b. Chamam-se intervalos reais os 
subconjuntos de compreendidos entre os extremos a e b. Observe as representações 
abaixo: 
 
 
 
Observações: 
− A bolinha cheia ( ) no extremo de um intervalo indica que o número associado a 
esse extremo pertence ao intervalo. 
− A bolinha vazia ( ) no extremo de um intervalo indica que o número associado a 
esse extremo não pertence ao intervalo. 
− No + (lê-se: mais infinito) ou - (lê-se: menos infinito) é usada sempre a 
denominação aberta. 
 
2.5 OPERAÇÕES COM INTERVALOS 
Os intervalos são conjuntos, portanto podemos efetuar com eles qualquer uma das 
operações entre conjuntos: união, intersecção e diferença. 
 
Matemática Nivelamento 14 
UNIÃO 
 
 
Considere os conjuntos A e B. 
A união entre estes conjuntos, indicada por A ∪ B, é conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. 
 
INTERSECÇÃO 
 
 
Considere os conjuntos A e B. 
A intersecção entre estes conjuntos, indicada por A ∩ B, é o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A e a B. 
 
DIFERENÇA 
 
Matemática Nivelamento 15 
A diferença entre A e B, indicada por A – B, é conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A e não pertencem a B. 
 
Observação: A – B é diferente de B – A 
 
Exemplos de operações com intervalos: 
 
a) [ - 3 ; 2 ] ( 1 ; 5 ) = [ - 3 ; 5 ) 
 
 
b) [ - 3 ; 2 ] ( 1 ; 5 ) = ( 1 ; 2 ] 
 
 
c) [ - 3 ; 2 ] – ( 1 ; 5 ) = [ - 3 ; 1 ] 
 
 
d) ( 1 ; 5 ) – [ - 3 ; 2 ] = ( 2 ; 5 )