_Algebra_linear_Determinantes_ListExerc

Prévia do material em texto

LISTA DE EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS 
ÁLGEBRA LINEAR 
Determinates 
 
2 
 
Álgebra Linear – Determinantes – Lista de Exercícios Resolvidos 
www.mepassaai.com.br 
 
 
1- Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo. 
 
 
 
Solução 
 
Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte 
forma. 
 
 
 
 
 
 
 
2- Resolva a equação 
 
Solução: 
Essa equação garante que o determinante da matriz de ordem dois é 
igual ao determinante da matriz de ordem um. Dessa forma: 
 
 
 
x² – 2x 
= – 1 x² 
 – 2x + 1 = 0 
 
Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x: 
 
 
Δ = (– 2)² – 4.1.1 
x 
 2.1 
x = 2 ± 0 
 2 
x = = 1 
Nesse caso, a equação tem uma única raiz real, x = 1. 
 
 
 
3 
 
Álgebra Linear – Determinantes – Lista de Exercícios Resolvidos 
www.mepassaai.com.br 
 
3- Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual 
a 8. 
 
 
 
Solução 
 
 
 
Ou seja, temos dois valores para x que fazem com que o determinante da 
matriz A seja igual a 8. 
 
 
 
4- Seja a um número real e seja: 
 
 
 
Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0 
Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única 
raiz real. 
 
Solução: 
 
a) Façamos o determinante com o valor de a = 1: 
 
 
 
Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas 
situações: 
 
3 - x = 0 ou (1 - x) 2 + 4 = 0 
 
Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma 
solução. 
Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a 1. 
 
4 
 
Álgebra Linear – Determinantes – Lista de Exercícios Resolvidos 
www.mepassaai.com.br 
 
 
b) 
 
Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que 
determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3: 
 
 
 
Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não 
deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero. 
 
 
5- Considere a matriz S = dada por Sij = 
 
 
Então, resolva a inequação det S > 3x². 
 
Solução: 
 
Aplicando a definição dada por Sij, temos a matriz S: 
 
Vamos agora calcular o determinante de S pela regra de Sarrus: det S = 
(2.4.6) + (0.0.2) + (0.1.1) – (2.4.0) – (1.0.2) – (6.1.0) det S = 48 
Resolvendo a inequação det S > 3x², temos: 
 
 
 
5 
 
Álgebra Linear – Determinantes – Lista de Exercícios Resolvidos 
www.mepassaai.com.br 
 
det S > 3x² 3x² < 48 x² < 48/3 x < √16 
– 4 < x < 4 
Portanto, para a inequação det S > 3x², temos – 4 < x < 4. 
 
6- Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace: 
 
 
 
Solução: 
 
E de acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha 
ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna: 
 
 
 
Precisamos encontrar os valores dos cofatores: 
 
 
 
Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é 
dado pela seguinte expressão: