CDI - Apostila Funçoes

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Apostila de Cálculo I 
Profa. Camila Pinto da Costa 
Página: 10 
CÁLCULO 1 
 
 
 
CONTEÚDO: 
● Conjuntos Numéricos; 
● Funções Reais; 
● Limites e Continuidade; 
● Derivadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
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Índice 
CÁLCULO 1............................................................................................................ 10 
FUNÇÕES ................................................................................................................. 12 
Definição 1. Função .................................................................................................................12 
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO................................................. 15 
GRÁFICOS ........................................................................................................................... 16 
TESTE DA RETA VERTICAL........................................................................................... 17 
FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE ................................................................... 17 
Definição 2. Função Crescente:................................................................................................18 
Definição 3. Função Decrescente: ............................................................................................18 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES......................................................................................... 19 
FUNÇÃO COMPOSTA ....................................................................................................... 20 
Definição 4. Função Composta ................................................................................................21 
Definição 5. Função Injetora ....................................................................................................22 
Definição 6. Função Sobrejetora ..............................................................................................22 
Definição 7. Função Bijetora....................................................................................................22 
FUNÇÕES ELEMENTARES.............................................................................................. 22 
1) Função Constante...........................................................................................................22 
2) Função Linear ................................................................................................................23 
3) Função Identidade..........................................................................................................24 
4) Função Modular .............................................................................................................24 
5) Função Quadrática .........................................................................................................24 
6) Função Potência.............................................................................................................26 
7) Função Racional ............................................................................................................29 
8) Função Exponencial de base a .....................................................................................30 
9) Função Logarítmica de base a .....................................................................................31 
10) Função definida por várias partes..............................................................................32 
Definição 8. Função Par ...........................................................................................................32 
Definição 9. Função Ímpar .......................................................................................................33 
Definição 10. Função Periódica ...............................................................................................34 
11) Funções Trigonométricas ..........................................................................................34 
a) Função Seno ...................................................................................................................34 
b) Função Cosseno..............................................................................................................34 
c) Função Tangente, Cotagente, Secante e Cossecante ......................................................35 
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES .............................................................................. 37 
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FUNÇÕES 
 
 Uma cultura de 100 bactérias foi localizada num objeto. O número de bactérias 
dobra a cada hora. Quando esse número chegará em 3200? 
 
 
t (horas) nº bactérias 
0 100 
1 200 = 2 x 100 
2 400 = 2(2 x 100) = 22 x 100 
3 800 = 2( 22 x 100) = 32 x 100 
� � 
t 2t x 100 
 
 ( ) 2 100tB t = × 
 ( ) 2 100tf x = × 
 3200 2 100t= × 
 2 32t = 
 5t = horas 
 
 E após 10 horas, quantas bactérias terá nesse objeto? 
 10t = 
 (10) 2 100tB = × ⇒ 10(10) 2 100B = × ⇒ (10) 102400B = bactérias 
 
 
Definição 1. Função 
Uma função f é uma lei (regra) a qual para cada elemento x de um conjunto A 
faz corresponder um único elemento chamado ( )f x em B . 
 
f A B→ 
 ( )x f x→ 
 
 
Figura 1 
A: Domínio conjunto de todos os valores possíveis de x para (conjunto de 
partida). 
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B: Contradomínio (conjunto de chegada). 
 
I: Imagem: conjunto formado por todos os elementos By ∈ que são 
correspondente de algum elemento do x domínio. O conjunto imagem é 
subconjunto do contradomínio. 
 
EExxeemmppllooss ee CCoonnttrraa –– EExxeemmppllooss: 
 
Figura 2: Não é função pois existe um elemento em A com mais de uma imagem. 
 
 
 
Figura 3: Não é função pois existe um elemento em A que não tem correspondente em B . 
 
 
Figura 4: É função 
 
. 
 
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Figura 5: Diagrama que mostra a função como uma espécie de “máquina”. 
 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
Figura 6 
 
 ( )D f A= 
 ( )Cd f B= 
 { }Im( ) 2,4,6,8f = 
 ( ) 2f x x= → lei da função 
 
 
1) Seja { }1,2,3,4A = e B = � 
Seja f A B→ uma lei que a cada elemento de A faz corresponder o seu triplo, 
determine: 
 
a) a lei da função: ( ) 3f x x= 
b) a imagem da função: { }Im( ) 3,6,8,12f = 
c) o domínio da função: ( )D f A= 
d) a imagem do elemento: (3) 9f = 
e) x tal que ( ) 12f x = : 4x = 
 
2) Seja f a função definida por 2
5( )
4
xf x
x
=
−
, determine. 
 
Augusto
Balão de comentário
AQUI É 9
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a) 2
5( 1) 5( 1) ( 1) 4 3f
−
− = =
− −
 
 
b) 2
5(2) 10(2) (2) 4 0f = =− ● Não existe divisão por zero! 
 
c) Para que valores de x a f está definida? 
 
2 4 0x − ≠ 
 
2 4x ≠ 
 2x ≠ ± { }( ) 2, 2D f = − + −� 
 
 
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
 
 O domínio de uma função é um conjunto formado por todos os números reais 
que possuem correspondentes também reais através da lei da função. 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
1) Determinar o domínio de cada uma das funções abaixo: 
 
a) 1( )f x
x
=
 R: 0x ≠ *( )D f = � 
b) ( )f x x= R: 0x ≥ [ )( ) 0;D f = +∞ 
c) ( ) 1f x x= − R: 1 0x − ≥ ⇒ 1x ≥ ⇒ [ )( ) 1;D f = +∞ 
d) ( )f x x= R: ( )D f = � 
 
2) Imagens: 
 
a) *Im( )f = � 
b) [ )Im( ) 0;f = +∞ 
c) [ )Im( ) 0;f = +∞ 
d) [ )Im( ) 0;f += = +∞� 
 
 
Nas funções algébricas: 
1) 1()f x
α
= 0α ≠ 
2) ( ) nf x β= 0β ≥ n = nº par 
3) 1( )
n
f x =
℘
 0℘> n = nºpar 
 
 
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GRÁFICOS 
 
O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. 
Se f for uma função de domínio A , então seu gráfico será o conjunto de pares 
ordenados para cada x do domínio. 
 
( ) }{ , ( ) /G x f x x A= ∈ 
 
 Em outras palavras o gráfico de f consiste em todos os pontos ( ),x y do plano 
coordenado tais que ( )y f x= e x está no domínio da f . 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
1) Dado o gráfico de uma função f abaixo: 
 
 
a) Encontre os valores de (1)f e (5)f . R: (1) 3f = (5) 2f = 
 
b) ( )D f R:[ ]0;8 
 
c) Im( )f R:[ ]1;5 
 
 
 
 
 
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TESTE DA RETA VERTICAL 
 
 Uma curva no plano xy é um gráfico de uma função x se e somente se nenhuma 
reta vertical corta a curva mais de uma vez. 
 
 
 
É função Não é função 
 
 
 
 
FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE 
 
 
● Crescente ● Decrescente 
 1 2x x> 3 4x x< 
 1 2( ) ( )f x f x< 3 4( ) ( )f x f x> 
 
 
 
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 O gráfico acima se eleva de A para B ; cai de B para C e sobe de novo de C 
para D . 
 Dizemos que a função f é crescente no intervalo [ ],a b , decrescente no intervalo 
[ ],b c e crescente no intervalo [ ],c d . 
 Observamos que para qualquer 1x , 2x [ ],a b∈ se 1 2x x< temos 1 2( ) ( )f x f x< , 
ou seja, à medida que os valores de x aumentam, suas imagens também aumentam. 
 
 
Definição 2. Função Crescente: 
 Uma função é chamada crescente em um intervalo I quando para quaisquer 
1 2x x< então 1 2( ) ( )f x f x< . 
 
 
 Observamos que no intervalo [ ],a b quando temos 1 2x x< , as imagens 
1 2( ) ( )f x f x< , ou seja, à medida que os valores de x aumentam, suas imagens 
aumentam. Logo a função é crescente. 
 
 
 
Definição 3. Função Decrescente: 
 Uma função é chamada decrescente em um intervalo I se para quaisquer 3x , 
4x I∈ se 3 4x x< e 3 4( ) ( )f x f x> . 
 
 
 Observamos que no intervalo [ ],b c quando temos 3 4x x< , as imagens 
3 4( ) ( )f x f x> , ou seja, à medida que os valores de x aumentam, suas imagens 
diminuem. Logo a função é decrescente. 
 
EExxeemmppllooss:: 
 
a) ( )f x x= 
 
 Crescente 
 
 
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b) ( ) 1f x x= − + 
 
Decrescente 
 
c) 2( )f x x= 
 
Decrescente ( ];0−∞ 
Crescente [ )0;+∞ 
 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 
 Sejam f e g funções com domínios A e B respectivamente. As funções abaixo 
são definidas da seguinte forma. 
 
 ● ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + 
 ( ) ( ) ( )Dom f g Dom f Dom g+ = ∩ 
 
 ● ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − 
( ) ( ) ( )Dom f g Dom f Dom g− = ∩ 
 
 ● ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x=i i 
 ( ) ( ) ( )Dom f g Dom f Dom g= ∩i 
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● ( ) ( )( )
f f x
x
g g x
 
= 
 
 
 }{( ) / ( ) 0f gDom x Domf Domg g x= ∈ ∩ ≠ 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
1) Sejam as funções ( ) 2 1f x x= + e ( )g x x= .Determine: 
 
a) ( )( )f g x+ e seu domínio. 
 ( )( ) 2 1f g x x x+ = + + 
 [ )( ) 0;D f g+ = +∞ 
 ( )D f = � 
 ( )D g += � 
 
b) ( )f x
g
 
 
 
 e o seu domínio. 
 
2 1( )f xx
g x
  +
= 
 
 
*fD
g +
 
= 
 
� 
 
c) ( )(4)f g− 
 ( )( ) 2 1f g x x x− = + − 
 ( )(4) 2(4) 1 4f g− = + − 
 ( )(4) 7f g− = 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
 
 
 :g A B→ :f B C→ 
 ( )( ) ( )( )fog x f g x= 
 
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 Sejam duas funções f e g . Se começamos com um número se no domínio de 
g , encontramos sua imagem ( )g x . 
 Se esse número ( )g x estiver no domínio de f , então podemos calcular o valor 
de ( ( ))f g x . 
 Assim definimos a função composta de duas funções dadas f e g . 
 
 
Definição 4. Função Composta 
 Dadas duas funções f e g a função composta é definida por: 
 
 ( )( ) ( )( )fog x f g x= 
 ( )( ) ( )( )gof x g f x= 
 
 
 
 
OBS. 1: 
O domínio da fog é o conjunto formado por todos os elementos x do domínio 
da g para os quais ( ( ))f g x é um número real (ou seja, ( )g x ∈ ( )Dom f ). 
 
OBS. 2: 
O domínio da gof é o conjunto formado por todos os elementos x do domínio 
da f para os quais ( )( )g f x é um número real (ou seja, ( )f x ∈ ( )Dom g ). 
 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
1) Sejam as funções 2( )f x x= e ( ) 3g x x= − .Determine: 
 
a) fog e seu domínio. 
 
2( ( )) ( 3)f g x f x x= − = 
 
2( 3) ( 3)f x x− = − 
 
2( 3) 6 9f x x x− = − + 
 
2( )( ) 6 9fog x x x= − + 
 ( )Dom f = � ( )Dom g = � 
 ( )Dom fog = � 
 
b) gof e o seu domínio. 
 
2 2( ( )) ( ) 3g f x g x x= = − 
 
2( )( ) 3gof x x= − 
 ( )Dom gof = � 
 
 
 
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Definição 5. Função Injetora 
 
 Dizemos que uma função f é injetora se cada número em sua imagem 
corresponder exatamente a um número em seu domínio; ou seja, para todo 1x e 2x no 
domínio de f 
se 1 2x x≠ , então 1 2( ) ( )f x f x≠ 1 2( ) ( )f x f x⇔ = somente quando 1 2x x= 
 
 
 
Definição 6. Função Sobrejetora 
 
 Dizemos que uma função :f A B→ é sobrejetora se ,z B x A∀ ∈ ∃ ∈ tal que 
( )f x z= . 
 Em outras palavras, dizemos que f é sobrejetora quando 
Im( ) ( )f CD f= . 
 
 
 
Definição 7. Função Bijetora 
Dizemos que uma função :f A B→ é bijetora quando ela for injetora e 
sobrejetora. 
 
 
 
 
FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
1) Função Constante 
 
( )f x c= , c ∈�
 
 
 
 
 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
 
( ) 3f x = 
 
 ( )D f = � 
 ( ) 3I f = 
 
 
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Página: 23 
2) Função Linear 
 
( )f x ax b= + , ,a b ∈� , 0a ≠ 
 
 O gráfico de uma função linear é uma reta o número real, a é chamado 
de coeficiente angular e o número real b é chamado de coeficiente linear (valor onde a 
reta corta o eixo do y ). 
 
EExxeemmppllooss:: 
 
 
( ) 2 1f x x= + 
 
 
0a > Crescente 
 
 
 
 
( ) 2 1f x x= − + 
 
 
0a < Decrescente 
 
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Página: 24 
 
3) Função Identidade 
( )f x x= 1
0
a
b
=
=
 
 
 
 
 
 
4) Função Modular 
É a função :f →� � dada por ( )f x x= . 
 
x se x 0( )
-x se x <0 
f x x ≥= = 

 
 
 
 
5) Função Quadrática 
 
 
É uma função polinomial da forma: 2( )f x ax bx c= + + , com , ,a b c ∈� e 0a ≠ . 
 
� O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 
 
� A parábola possui um eixo de simetria paralelo ao eixo do y . 
 
� O vértice da parábola é dado po: ( , )v vV x y= , onde: 
 
� 
2v
b
x
a
−
= ou 1 2
2v
x x
x
+
= 
� ( )v vy f x= 
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� O coeficiente a determina se a concavidade da parábola é voltada para cima ou 
para baixo: 
 
� 0a > concavidade voltada para cima, 
� 0a < concavidade voltada para baixo. 
 
� O determinante: 2 4b ac∆ = − , determina se a função possui ou não raízes reais: 
 
� ∆>0 duas raízes reais diferentes, 
� ∆=0 duas raízes reais iguais, 
� ∆<0 não possui raízes reais. 
 
 ∆>0 ∆=0 ∆<0 
 
 
 
 
 
a >0a <0 
 
 
 
 
Tabela 1. Gráfico da função de segundo grau. 
 
 
 
 
EExxeemmpplloo:: 
 Dada a função 2( ) 4 3f x x x= − + , construa seu gráfico. 
 
1. Achar as raízes: 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −
= 
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Página: 26 
 
2 2( 4) ( 4) 4 1 3
2 1
x
− − ± − − ⋅ ⋅
=
⋅
 
 
4 4
2
x
±
= 1 3x = − e 2 1x = 
2. Achar o vértice: 
 
3 1 4 2
2 2v
x
+
= = = 
 
 ( )v vy f x= 2(2) (2) 4(2) 3vy ⇒ = − + 1= − 
 
3. onde corta eixo y: y c= 
 
 
[ )( ) 1;I f = − +∞ 
 
 
6) Função Potência 
 
Uma função as forma ( ) af x x= , onde a é uma constante, é chamada 
função potência. Vamos considerar alguns casos: 
 
i) a n= onde n ∈� 
 
 
 
a=1 
 
( )f x x= 
Augusto
Máquina de escrever
Augusto
Retângulo
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Página: 27 
 
 
 
a=2 
 
2( )f x x= 
 
 
 
 
 
a=3 
 
3( )f x x= 
 
 
 
 
 
a=4 
 
4( )f x x= 
 
 
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 ii) 1a
n
= onde n ∗∈� 
 
 
1( ) nnf x x x= = é uma função raiz 
 
 
 
 
 
 
( )f x x= 
 
 
 
 
 
3( )f x x= 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Página: 29 
 iii) 1a = − 
 
 
 
 
 
1 1( )f x x
x
−
= = 
 
 
7) Função Racional 
 
É uma função da forma ( )( ) ( )
p xf x
q x
= , onde ( )p x e ( )q x são funções polinomiais e 
( ) 0q x ≠ . Seu gráfico pode apresentar retas denominadas assíntotas verticais nos pontos 
onde o denominador se anula e retas denominadas assíntotas horizontais se ( )f x se 
aproxima de um valor finito quando x cresce ou decresce ilimitadamente. 
 
 
 
EExxeemmppllooss:: 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 
 
 
 a)
2
2( ) 1
xf x
x
=
−
 
 
 
2 1 0x − ≠ ⇒ 1x ≠ ± 
 
 { }( ) 1,1D f = − −� 
 
 
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 b) 
2 4( )
2
xf x
x
−
=
−
 
 
2 0x − ≠ ⇒ 2x ≠ 
 
Fatorando: 
( 2)( 2)( ) ( 2)( 2)
x xf x x
x
− +
= = +
−
 
 
{ }( ) 2D f = −� 
{ }( ) 4I f = −� 
 
 
8) Função Exponencial de base a 
 
É a função definida por ( ) xf x a= com 0a > e 1a ≠ . 
● Sempre corta o eixo do y em 1. 
 
 
EExxeemmppllooss:: 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
 
( ) 2xf x = 
1a > Crescente 
 
( )D f = � 
Im( ) (0; )f = +∞ ou *+� 
 
 
( )0(0) 2 1f = = 
 
( )1( 1) 2 2f − = = 
 
( )2(2) 2 4f = = 
 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
 
 
1( )
2
x
f x  =  
 
 
0 1a< < Decrescente 
 
( )D f = � 
Im( ) (0; )f = +∞ ou *+� 
 
 
 
01(0) 1
2
f  = = 
 
11( 1) 2
2
f
−
 
− = = 
 
21( 2) 4
2
f
−
 
− = = 
 
 
 
 
 
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Página: 31 
OBS: Se a base desta função for o número e (euler) teremos a função exponencial 
propriamente dita. 
 
( ) xf x e= 
 
Crescente 
( )D f = � 
*( ) (0; )I f += = +∞� 
 
9) Função Logarítmica de base a 
É a função definida por ( ) logxaf x = (é a função inversa da função 
exponencial de base a ). 
 EExxeemmpplloo:: 
 
 
 
( ) 2xf x = ⇔ 1 2 ( )( ) log xf x− = 
 
( ) (0; )D f = +∞ 
( )I f = � 
 Observe que: 
 2(1) log (1) 0f = = 2(2) log (2) 1f = = 2(4) log (4) 2f = = 
 
OBS: Se a base desta função for o número e (euler) teremos a função logarítmica 
natural apresentada por ln log ( )ex x= . 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
 
( ) ln( )f x x= ou seja: ln yy x e x= ⇔ = 
 
 
( ) (0; )D f = +∞ 
 
( )I f = � 
Observe que: 
 (1) ln1 0f = = ln(1) log (1) 0e= = ln log ( ) 1e e= = 
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10) Função definida por várias partes 
 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
 
 
 
2
-x , se -2 x < 1
( ) 2x-3, se 1 x < 3
 1, se x > 3
f x
 ≤

= ≤


 
 
 
 
2( 2) ( 2) 4f − = − − = − 
 
2(1) (1) 1f = − = − (bola aberta) 
 
2( ) 0 0 0f x x x= → − = → = 
 (1) 2 1 3 1f = − = −i 
 (3) 2 3 3 3f = − =i (bola aberta) 
 
 
 
Definição 8. Função Par 
 
Uma função f é par se e somente se 
 
( ) ( )f x f x− = 
 
Para todo x do seu domínio. 
 
 
 
 EExxeemmppllooss:: 
 
a) 2( ) 4f x x= − 
 
2(1) 1 4 3f = − = − 
 
2( 1) ( 1) 4 3f − = − − = − −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
Apostila de Cálculo I 
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Página: 33 
 
b) ( ) 3f x = 
 
( )a Dom f∈ 
( ) ( ) 3f a f a= − = 
 
 
 
 
 
Definição 9. Função Ímpar 
 
Uma função é ímpar se e somente se 
 ( ) ( )f x f x= − − 
 ( ) ( )f x f x− = − 
 
Para todo x do seu domínio. 
 
 
EExxeemmppllooss:: 
a) ( )f x x= 
 
 (2) 2f = 
 ( 2) 2f − = − 
 
 
b) 3( )f x x= 
 
 (2) 8f = 
 ( 2) 8f − = − 
 
 
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Página: 34 
 
 
 
Definição 10. Função Periódica 
Uma função ( )f x é dita periódica de período T se ( ) ( )f x T f x+ = 
(para cada x) e T é o menor número positivo com essa propriedade. 
 
 
 
 
11) Funções Trigonométricas 
 
a) Função Seno 
 Definimos como a função f de � em � que a cada x ∈� faz 
corresponder o número real y senx= . 
 :f →� � 
 ( )x sen x→ 
 
 
( )D f = � 
[ ]( ) 1;1I f = − 
Função Ímpar: 1
2
sen
pi 
= 
 
 e 1
2
sen
pi 
− = − 
 
 
 
Função periódica: 2T pi= , ( ) ( 2 )sen x sen x kpi= + 
 
 
b) Função Cosseno 
 Definimos como a função f de � em � que a cada x ∈� faz 
corresponder o número real cosy x= . 
 :f →� � 
 cos( )x x→ 
 
 
( )D f = � 
[ ]( ) 1;1I f = − 
 
Função Par: ( )cos 1pi = − e ( )cos 1pi− = − 
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Página: 35 
 
Função periódica: 2T pi= , cos( ) cos( 2 )x x kpi= + 
 
 
c) Função Tangente, Cotagente, Secante e Cossecante 
 Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno, 
assim: 
 
( )( ) ( )
cos( )
sen xf x tg x
x
= = 
1( ) sec( )
cos( )g x x x= = 
 
São definidas para todo x ∈� tais que cos( ) 0x ≠ . 
 
���� 
( )( ) ( )
cos( )
sen xf x tg x
x
= = 
 
 
 
 
Observe que: cos( ) 0x = quando x assume os valores: 3 5 7, , , ,...
2 2 2 2
pi pi pi pi
 
então os valores de x tais que cos( ) 0x = são: (2 1)
2
x n
pi
= + com n ∈� 
 Portanto: { }( ( )) / (2 1) ,
2
D tg x x x n npi= ∈ ≠ ± + ∈� � 
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Página: 36 
 
���� 
1( ) sec( )
cos( )f x x x= = 
{ }(sec( )) / (2 1) ,
2
D x x x n npi= ∈ ≠ ± + ∈� � 
 
 Ainda temos: 
 
 
cos( )( ) ( ) ( )
xf x cotg x
sen x
= = 
1( ) cos ( ) ( )g x ec x sen x= = 
que são definidas para todo x ∈� tais que( ) 0sen x ≠ . 
 
 
Observe que: ( ) 0sen x = quando x assume os valores: 0, , 2 , 3 ,...pi pi pi± ± ± 
Então os valores de x tais que ( ) 0sen x = são: x npi= ± com n ∈� 
 
 
���� 
cos( )( ) ( ) ( )
xf x cotg x
sen x
= = 
{ }( ( )) / ,D cotg x x x n npi= ∈ ≠ ± ∈� �
 
 
 
 
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���� 
1( ) cos ( ) ( )g x ec x sen x= = 
{ }(cosec( )) / ,D x x x n npi= ∈ ≠ ± ∈� � 
 
 
TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES 
 
Algumas famílias de gráficos têm a mesma forma básica. Por exemplo, vamos comparar 
o gráfico de 2y x= com os gráficos de quatro outras funções quadráticas: 
Deslocamento vertical. Deslocamento horizontal. 
 
Reflexão em torno do eixo x. Deslocamento para a esquerda e deslocamento para cima.