CDI - Apostila Limites

Prévia do material em texto

CDI I – 2º P EC – FESP/UEMG
CONSIDERAÇÕES sobre LIMITE
Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. 
Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida.
O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.
Dessa maneira, cabe a esse trabalho realizar uma exposição histórica sobre o início desse estudo tão importante, que é a pedra fundamental do cálculo.
Quando falamos de limites, dois teóricos são fundamentais para o início dos estudos, eles são Zenão de Eléia, grande filósofo grego e Augustin Louis Cauchy, importante
matemático francês.
A idéia de limites, também foi desenvolvida por outros estudiosos importantes, como Issac Newton, D’Alembert. Porém vamos nos ater a conhecer a teoria dos dois grandes
teóricos, Zenão e Cauchy.
A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). Nesses paradoxos, Zenão queria provar que o
movimento não existia, bem como as transformações físicas e as mudanças.E que isso tudo era na verdade uma ilusão do ser humano, provocada pelos seus sentidos.
No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo (o tempo
necessário para se mover metade da distância, em seguida o tempo necessário para se mover metade da distância restante, etc.) durante o qual o movimento deve ocorrer.
A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões
levantadas pelos paradoxos de Zenão.
Outro paradoxo conhecido de Zenão, que também envolve a idéia de limite é o paradoxo de Aquiles e a tartaruga. Imagine uma corrida entre um atleta velocista (Aquiles)
e uma tartaruga. Suponhamos que é dada para a tartaruga uma vantagem inicial em distância. Aquiles jamais a alcançará, porque quando ele chegar ao ponto de onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma nova distância; e quando ele atingir essa nova distância, a tartaruga já terá percorrido uma outra nova distância, e assim, ao infinito. 
O LIMITE DE CAUCHY
Cauchy é um dos maiores matemáticos franceses dos tempos modernos. A ele se deve a formulação precisa do Limite. No começo do século 18, as idéias sobre limites eram
com certeza confusas. Enquanto Augustin Louis Cauchy (1789-1857) estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo para apresentar aos seus estudantes de engenharia ele encontrou erros no programa estabelecido por Lagrange.
Então, Cauchy começou o seu curso de cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite. Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias notas de
aula, essencialmente seus próprios livros. Nas suas classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo. Contudo, Cauchy perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação da sua definição de limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas.
EXEMPLO 1
Considere a seqüência de números: 
Note que conforme n cresce, tendendo a infinito, o valor de 1/nvai se aproximando de zero.
O exemplo acima pode ser representado como:
Onde se lê: o limite de 1/n quando n tende ao infinito é igual à zero, ou o limite da seqüência é zero.
EXEMPLO 2
O gráfico representa a função definida pela sentença: 
Esta função não está definida para x = 6 , pois não faz sentido escrever y = 0/0 . No entanto, podemos calcular f(x) para valores de x muito próximos de 6.
O que isto quer dizer? Acontece que quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1.
Perceba que quando x se aproxima de 6, de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que y também alcance um número
ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se f(x) = y então, o limite de f(x) quando x tende a 6 é igual a 1.
2. Continuidade. Limites
2.1 Noção de Continuidade
Toda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua.
São exemplos de função contínua:
a) uma função quadrática, como  f x x2 2x 3 , cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha
geométrica contínua;
b) a função módulo, f x| x | , cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0);
c) a função seno, f xsenx , cujo gráfico é a senóide;
d) uma função exponencial, como f x 2x , cujo gráfico é também uma curva contínua sem
interrupções.
2.2 Introdução ao Conceito de Limite
Consideremos a função f x2x 1, definida em IR . Ao estudar o seu comportamento
quando a variável x assume valores cada vez mais “próximos” de 1, isto é, quando x tende a 1,
observam-se as duas situações:
1o) Atribuindo valores menores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1
pela esquerda, observa-se:
 x 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 x  1
 f x2x 1 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,98 2,998 2,9998 f x3
Quando x tende a 1 pela esquerda a função, ou seja, o valor de y, tende a 3.
2o) Atribuindo valores maiores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela direita, observa-se:
x 1,4 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 x 1
f x2x 1 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,02 3,002 3,0002 f x3
Quando x tende a 1 pela direita a função, ou seja, o valor de y, tende a 3.
Em ambos os casos nota-se que, quando x tende a 1, f(x) tende a 3. Podem-se obter valores
de f(x) tão próximos de f(1) quanto se quer, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de 1. Diz-se, então, que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a f(1).
Simbolicamente, escreve-se: 
Assim, 
As duas figuras a seguir esquematizam o cálculo dos limites laterais.
Exercícios 1) Calcular as constantes a e b sabendo que 
2) Calcule os limites indicados das funções: 
2.3 Limites Laterais
Quando considera , está-se interessado em valores de x no intervalo aberto contendo
a, mas não o próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas,suponha que tem uma função f como por exemplo, Como f xnão existe para x 3 , f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 3. Logo não tem significado.
Entretanto, se x estiver restrito a valores maiores do que 3, o valor de poderá torna-se tão perto de zero quanto deseja-se, tomando-se x suficientemente próximo de 3, mas maior do que 3. Em tal caso, deixa-se aproximar de 3 pela direita e considera-se o limite lateral direito.
Daí, segue que,
Se, entretanto, a variável independente x estiver restrita a valores menores do que um
número a, diz-se que x tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral
esquerdo. Por exemplo, seja a Logo faz sentido calcular o 
Portanto, 
2.4 Limites de funções algébricas
Vimos que para calcular este limite bastou substituir o valor de x por 1. A
expressão “desaparece” porque x assume valores tão próximos a 1 (tanto pela direita como pela esquerda) que podemos considerar “ser o próprio” 1. Assim, 
Este processo é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas. Entretanto, a
técnica utilizada não é aplicável a algumas funções algébricas, aquelas que são descontínuasem um determinado x.
Considere a ,
note que o domínio desta função é 
Para todo é permitido simplificar o fator comum no numerador e denominador, pois e , 
logo 
Graficamente as funções são idênticas, diferem somente em x = 1, especificamente, o ponto (1, 3) está no gráfico de f(X) = x +2 , mas não está no gráfico de
Abaixo são consideradas três funções com gráficos idênticos, que diferem em x 1. Embora
as funções assumam valores diferentes para x 1, em f x, f 13 ; em gx, g(1) = ; em h(x), h(1) =2, observa-se que Nem sempre o valor que a função f assume para um determinado x = a é o mesmo para 
	Valor da função 
	 Gráfico 
	 Limite quando x → 1
Manipulações algébricas podem e devem ser usadas para determinar certos limites. 
Exemplo:, encontre o .
Solução: Observe que o número 2 não pertence ao domínio da função. Se substituir o 2 na função tem-se,
 que é uma indeterminação. Note que se fatorar o numerador e o denominador, obtém-se . 
Não pode cancelar o fator x – 2 neste momento, pois não existe divisão por zero. Todavia se tomar o limite de f xquando x 2 , tal simplificação é permitida. Assim, 
Solução: Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador:
Como está calculando o limite ,sabendo que x → 9 é diferente de x = 9 pode-se simplificar
Exercícios
 Calcule os limites indicados das funções:
2.5 Inexistência do Limite 
Considere a função , cujo domínio ée cujo gráfico é:
Observe que os valores de f(x), quando x tende a zero, não tendem a um mesmo número L: 
Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não existe . Note que os limites laterais existem.
Para a existência do limite em x → a a relação entre limites laterais e limites tem que ser válida: 
Outro exemplo: Considere o gráfico abaixo:
Exercícios 
Esboce o gráfico e ache o limite indicado:
2)As taxas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos seja o peso de uma carga, C(x) seja o seu custo total e
a) Faça um esboço do gráfico de C.
Ache cada um dos seguintes limites:
3)Use o gráfico para determinar cada limite, quando existe:
4) Considere o gráfico de 
Assinale V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique a sentença quando ela for falsa.
Respostas: 
 2) b) 40; c) 35; d) 140; e) 130
2.6 Definição de Continuidade
Diz-se que f xé contínua em x a quando.
 A função f xé chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir:
Exemplo: Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados: 
f(x) = x2 + x, no ponto x = 2.
Solução: Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam satisfeitas:
 
Verificaremos cada uma delas no ponto . x = 2 
Solução: Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam satisfeitas:
Verificaremos cada uma delas no ponto . x = 1.
A função não é definida em x 1. Não satisfazendo a condição (i) ou qualquer outra já pode-se concluir que a função é descontínua no ponto dado.
2.7 Limites que Envolvem Infinito 
Observe os valores da função , quando x tende a zero.
Quanto mais próximo de zero é o valor de x, maior é o valor de f x.
Quando acontece uma situação dessas, diz-se que f xcresce ilimitadamente quando x tende
a zero.
Generalizando, quando x tende a um número a e os valores de f xficam maiores que
qualquer número positivo considerado, diz-se então que f xcresce ilimitadamente ou que existe o limite infinito:.
Semelhantemente, se quando x tende a a os valores de f xficam menores que qualquer
número negativo considerado, diz-se então que f xdecresce ilimitadamente ou que existe o limite menos infinito:. Por exemplo, ao considerar ,
tem-se:.
Observe o gráfico:
Note que para a função, quando x tende a zero pela direita f xcresce
ilimitadamente, e quando x tende a zero pela esquerda f xdecresce ilimitadamente: