AULA 03 - CÁLCULO 2 - SÉRIES

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CÁLCULO 2
MAT0026 
Profa. Luiza Yoko Taneguti
Doutora em engenharia Mecânica / USP
Mestre em Engenharia Elétrica/ Unicamp
Matemática/ UFSCar
MÓDULO 1: SEQUÊNCIAS E SÉRIES
MÓDULO2: EDO
MÓDULO3: TRANSFORMADA DE LAPLACE
CÁLCULO 2
DEFINIÇÃO 03: Séries Infinitas
Uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + …+ 𝑎𝑛 + … = σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 (1)
Onde 𝑎𝑛 é o n-ésimo termo da série.
2 –SÉRIES INFINITAS
DEFINIÇÃO 04: SOMAS PARCIAIS e CONVERGÊNCIA DE SÉRIES
Dada uma sequência
𝑎𝑛 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , …
Realizando as suas somas parciais
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … = σ𝑘=1
∞ 𝑎𝑘
Então {𝑆𝑛} é a sequência de somas parciais, {𝑆𝑛}= 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, ... , 𝑆𝑛 da série (1).
O número 𝑆𝑛 é a n-ésima soma parcial.
Se a sequência de somas parciais convergir para um limite L dizemos que a série converge
e que a soma é L
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + …+ 𝑎𝑛 + … = ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 = 𝐿
2.1 –SÉRIES GEOMÉTRICAS
DEFINIÇÃO 05: 
Séries geométricas são séries da forma
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯ = ෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑟𝑛−1
EXEMPLOS
𝑎(𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑒), 𝑟(𝑟𝑎𝑧ã𝑜) ∈ ℝ, 𝑎 ≠0
TEOREMA 05 : Convergência e Divergência de Série Geométrica
Dada a série geométrica
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯
Ela CONVERGE se 𝑟 <1 e sua Soma = 
𝑎
1−𝑟
e ela diverge se 𝑟 ≥1
TEOREMA 06 : Combinando Séries
Se σ𝑎𝑛 = 𝐴 𝑒 σ𝑏𝑛 = 𝐵 são séries convergentes então
1. σ(an±bn ) = σan ± σ𝑏𝑛 = A ± B
2. σ𝐾𝑎𝑛 = 𝐾σ𝑎𝑛 = 𝐾𝐴, ∀𝐾
TEOREMA 07 
Se σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 converge então 𝑎𝑛 → 0 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0
TEOREMA 08
σ𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 não existe ou é diferente 
de zero