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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro QUESTA˜O 2 AD1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2 Considere que Joa˜o e´ um homem que satisfaz a`s seguintes proposic¸o˜es compostas: Joa˜o gosta de animais ou Joa˜o e´ casado. Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o gosta de animais. Joa˜o tem mais de 30 anos ou Joa˜o tem filhos. Joa˜o na˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o e´ casado. Joa˜o e´ casado ou Joa˜o usa roupas amarelas. Joa˜o na˜o usa roupas amarelas ou Joa˜o tem mais de 30 anos. Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o na˜o tem filhos. Considere agora as seguintes representac¸o˜es para as proposic¸o˜es elementares: a: Joa˜o e´ casado. b: Joa˜o e´ administrador. c: Joa˜o tem mais de 30 anos. d: Joa˜o tem filhos. e: Joa˜o gosta de animais. f : Joa˜o usa roupas amarelas. a) Usando as letras escolhidas para identificar as proposic¸o˜es elementares, reescreva as 7 proposic¸o˜es compostas dadas com os s´ımbolos da Lo´gica. b) Marque as afirmac¸o˜es abaixo com V se forem “Verdadeiras”, com F se forem “Falsas e com NP se ”Na˜o e´ Poss´ıvel Decidir”somente a partir das afirmac¸o˜es dadas na forma das 7 proposic¸o˜es compostas: ( ) Joa˜o e´ casado. ( ) Joa˜o tem filhos. ( ) Joa˜o na˜o e´ administrador. ( ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∧ a. ( ) Joa˜o e´ administrador. ( ) Joa˜o na˜o e´ casado. ( ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∨ a. ( ) Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos. ( ) Joa˜o na˜o usa roupas amarelas. ( ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como (∼b) ∨ (∼a). ( ) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b ∧ a. ( ) Joa˜o usa roupas amarelas. ( ) Joa˜o gosta de animais. ( ) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ f ∧ (∼c). Soluc¸a˜o: a) A seguir, utilizando-se as letras escolhidas para identificar as proposic¸o˜es elementares, temos as afirmac¸o˜es dadas escritas com os s´ımbolos da Lo´gica. Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 2 AD1 2 1) “Joa˜o gosta de animais ou Joa˜o e´ casado.”corresponde a: e ∨ a. 2) “Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o gosta de animais.”corresponde a: b ∨ (∼e). 3) “Joa˜o tem mais de 30 anos ou Joa˜o tem filhos.”corresponde a: c ∨ d. 4) “Joa˜o na˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o e´ casado.”corresponde a: (∼b) ∨ (∼a). 5) “Joa˜o e´ casado ou Joa˜o usa roupas amarelas.”corresponde a: a ∨ f. 6) “Joa˜o na˜o usa roupas amarelas ou Joa˜o tem mais de 30 anos.”corresponde a: (∼f) ∨ c. 7) “Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o na˜o tem filhos.”corresponde a: (∼b) ∧ (∼d). b) Ana´lise das afirmac¸o˜es obtidas no item a). Vamos comec¸ar pela se´tima afirmac¸a˜o, i.e., pela proposic¸a˜o (∼ b) ∧ (∼ d). Observe que estamos diante de uma proposic¸a˜o composta que e´ a conjunc¸a˜o de (∼ b) e (∼d). Sabemos que uma con- junc¸a˜o e´ verdadeira se e somente se as proposic¸o˜es componentes (∼b) e (∼d) sa˜o ambas verdadeiras. Desta forma, temos que (∼b) e´ Verdadeira e (∼d) e´ Verdadeira, resultando que b e´ Falsa e d e´ Falsa. Analisando agora a segunda afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o b ∨ (∼e), observamos que estamos diante de uma proposic¸a˜o composta que e´ a disjunc¸a˜o de b e (∼e). Sabemos que uma disjunc¸a˜o e´ verda- deira se e somente se uma das proposic¸o˜es componentes e´ verdadeiras. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o b e´ Falsa, portanto e´ necessa´rio que (∼ e) seja Verdadeira para que a proposic¸a˜o b ∨ (∼e) seja verdadeira. Conclu´ımos enta˜o, que e e´ Falsa. Analisando a seguir a primeira afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o e ∨ a, observamos que estamos diante da disjunc¸a˜o de e e a. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o e e´ Falsa, portanto e´ necessa´rio que a seja Verdadeira para que a proposic¸a˜o e ∨ a seja verdadeira. Conclu´ımos enta˜o, que a e´ Verdadeira. Passando agora a` terceira afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o c ∨ d, observamos que estamos diante da disjunc¸a˜o de c e d. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o d e´ Falsa, portanto e´ necessa´rio que c seja Verdadeira para que a proposic¸a˜o c∨d seja verdadeira. Conclu´ımos enta˜o, que c e´ Verdadeira. Falta apenas verificarmos se a proposic¸a˜o f e´ verdadeira ou falsa. Vamos enta˜o analisar as afirmac¸o˜es restantes que envolvem a proposic¸a˜o f , que sa˜o as afirmac¸o˜es (5) e (6). A quinta afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o a ∨ f , trata-se da disjunc¸a˜o de a e f . Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o a e´ Verdadeira, de modo que a proposic¸a˜o a∨f e´ verdadeira, independente do valor lo´gico da proposic¸a˜o f . Da mesma forma, a sexta afirmac¸a˜o, i.e. a proposic¸a˜o (∼ f) ∨ c, trata-se da disjunc¸a˜o de (∼ f) e c. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o c e´ Verdadeira, de Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 2 AD1 3 modo que a proposic¸a˜o (∼ f) ∨ c e´ verdadeira, independente do valor lo´gico da proposic¸a˜o (∼ f). Conclu´ımos assim que as informac¸o˜es dadas na˜o sa˜o suficientes para se concluir o valor verdade da proposic¸a˜o f . Observe que a quarta afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o (∼ b) ∨ (∼ a) na˜o nos acrescenta nada, pois ja´ sabemos que que b e´ Falsa (portanto (∼ b)) e´ Verdadeira e a e´ Verdadeira (portanto (∼ a) e´ Falsa). A partir das considerac¸o˜es anteriores, conclu´ımos que: (Verdadeira) Joa˜o e´ casado. ( Falsa ) Joa˜o tem filhos. (Verdadeira) Joa˜o na˜o e´ administrador. ( Falsa ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∧ a. ( Falsa ) Joa˜o e´ administrador. ( Falsa ) Joa˜o na˜o e´ casado. (Verdadeira) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∨ a. ( Falsa ) Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos. ( NP ) Joa˜o na˜o usa roupas amarelas. (Verdadeira) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como (∼b)∨(∼a). (Afirmac¸a˜o 4) ( NP ) Joa˜o usa roupas amarelas. ( Falsa ) Joa˜o gosta de animais. Ate´ aqui a questa˜o vale 2.5. Falta apenas analisarmos os itens que envolvem as negac¸o˜es das afirmac¸o˜es. Para tanto, vamos negar todas as informac¸o˜es apresentadas. 1) A negac¸a˜o de: “Joa˜o gosta de animais ou Joa˜o e´ casado.”(e ∨ a) e´: “Joa˜o na˜o gosta de animais e Joa˜o na˜o e´ casado.”((∼e) ∧ (∼a)) 2) A negac¸a˜o de: “Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o gosta de animais.”(b ∨ (∼e)) e´: “Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o gosta de animais.”((∼b) ∧ e) 3) A negac¸a˜o de: “Joa˜o tem mais de 30 anos ou Joa˜o tem filhos.”(c ∨ d) e´: “Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos e Joa˜o na˜o tem filhos.”((∼c) ∧ (∼d)) 4) A negac¸a˜o de: “Joa˜o na˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o e´ casado.”((∼b)∨ (∼a)) e´: “Joa˜o e´ administrador e Joa˜o e´ casado.”(b ∧ a) 5) A negac¸a˜o de: “Joa˜o e´ casado ou Joa˜o usa roupas amarelas.”(a∨f) e´: “Joa˜o na˜o e´ casado e Joa˜o na˜o usa roupas amarelas.”((∼a) ∧ (∼f)) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 2 AD1 4 6) A negac¸a˜o de: “Joa˜o na˜o usa roupas amarelas ou Joa˜o tem mais de 30 anos.”((∼f) ∨ c) e´: “Joa˜o usa roupas amarelas e Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos.”(f ∧ (∼c)) 7) A negac¸a˜o de: “Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o na˜o tem filhos.”((∼b)∧ (∼d)) e´: “Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o tem filhos.”(b ∨ d) Estamos agora em condic¸o˜es de preencher as duas u´ltimas lacunas. (Verdadeira) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b∧a. (negac¸a˜o da Proposic¸a˜o 4) (Verdadeira) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ f ∧ (∼ c). (negac¸a˜o da Pro- posic¸a˜o 6) Uma outra forma de resolver estes dois itens e´ aplicando as Leis de Morgan (Aula 4), que dizem que para quaiquer duas proposic¸o˜es p e q, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼ p) ∧ (∼ q) e ∼ (p ∧ q) ≡ (∼ p) ∨ (∼ p) . Conforme sabemos, ∼ (∼ p) ≡ p. Isto e´, a negac¸a˜o da negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o p e´ a pro´pria proposic¸a˜o p. Desta forma, para sabermosse “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b ∧ a” e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira ou falsa, vamos negar esta proposic¸a˜o, aplicar a Lei de Morgan e verificar se o resultado e´ uma das sete proposic¸o˜es que obtivemos no item (a). Sendo assim, temos que ∼ (b ∧ a) ≡ (∼ b) ∨ (∼ a) . De fato, obtivemos a Proposic¸a˜o 4, indicando que a afirmac¸a˜o “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b ∧ a.” e´ Verdadeira. Procedendo de forma ana´loga, para sabermos se “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ f ∧ (∼ c)” e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira ou falsa,, vamos negar esta proposic¸a˜o, aplicar a Lei de Morgan e verificar se o resultado e´ uma das sete proposic¸o˜es que obtivemos no item (a). Sendo assim, temos que ∼ (f ∧ (∼c)) ≡ (∼ f) ∨ c. De fato, obtivemos a Proposic¸a˜o 6, indicando que a afirmac¸a˜o “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ f ∧ (∼c).” e´ Verdadeira. O acerto de cada uma destas lacunas, com justificativa correta, corresponde a um boˆnus de 0.3 pontos na nota final da AD1, na˜o ultrapassando o valor total de 10 pontos da AD1. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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