Buscar

AD1 Q2 MDI 2015.2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
QUESTA˜O 2 AD1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Considere que Joa˜o e´ um homem que satisfaz a`s seguintes proposic¸o˜es compostas:
Joa˜o gosta de animais ou Joa˜o e´ casado.
Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o gosta de animais.
Joa˜o tem mais de 30 anos ou Joa˜o tem filhos.
Joa˜o na˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o e´ casado.
Joa˜o e´ casado ou Joa˜o usa roupas amarelas.
Joa˜o na˜o usa roupas amarelas ou Joa˜o tem mais de 30 anos.
Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o na˜o tem filhos.
Considere agora as seguintes representac¸o˜es para as proposic¸o˜es elementares:
a: Joa˜o e´ casado.
b: Joa˜o e´ administrador.
c: Joa˜o tem mais de 30 anos.
d: Joa˜o tem filhos.
e: Joa˜o gosta de animais.
f : Joa˜o usa roupas amarelas.
a) Usando as letras escolhidas para identificar as proposic¸o˜es elementares, reescreva as 7 proposic¸o˜es
compostas dadas com os s´ımbolos da Lo´gica.
b) Marque as afirmac¸o˜es abaixo com V se forem “Verdadeiras”, com F se forem “Falsas e com
NP se ”Na˜o e´ Poss´ıvel Decidir”somente a partir das afirmac¸o˜es dadas na forma das 7 proposic¸o˜es
compostas:
( ) Joa˜o e´ casado.
( ) Joa˜o tem filhos.
( ) Joa˜o na˜o e´ administrador.
( ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∧ a.
( ) Joa˜o e´ administrador.
( ) Joa˜o na˜o e´ casado.
( ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∨ a.
( ) Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos.
( ) Joa˜o na˜o usa roupas amarelas.
( ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como (∼b) ∨ (∼a).
( ) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b ∧ a.
( ) Joa˜o usa roupas amarelas.
( ) Joa˜o gosta de animais.
( ) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ f ∧ (∼c).
Soluc¸a˜o:
a) A seguir, utilizando-se as letras escolhidas para identificar as proposic¸o˜es elementares, temos as
afirmac¸o˜es dadas escritas com os s´ımbolos da Lo´gica.
Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 2 AD1 2
1) “Joa˜o gosta de animais ou Joa˜o e´ casado.”corresponde a: e ∨ a.
2) “Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o gosta de animais.”corresponde a: b ∨ (∼e).
3) “Joa˜o tem mais de 30 anos ou Joa˜o tem filhos.”corresponde a: c ∨ d.
4) “Joa˜o na˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o e´ casado.”corresponde a: (∼b) ∨ (∼a).
5) “Joa˜o e´ casado ou Joa˜o usa roupas amarelas.”corresponde a: a ∨ f.
6) “Joa˜o na˜o usa roupas amarelas ou Joa˜o tem mais de 30 anos.”corresponde a: (∼f) ∨ c.
7) “Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o na˜o tem filhos.”corresponde a: (∼b) ∧ (∼d).
b) Ana´lise das afirmac¸o˜es obtidas no item a).
Vamos comec¸ar pela se´tima afirmac¸a˜o, i.e., pela proposic¸a˜o (∼ b) ∧ (∼ d). Observe que estamos
diante de uma proposic¸a˜o composta que e´ a conjunc¸a˜o de (∼ b) e (∼d). Sabemos que uma con-
junc¸a˜o e´ verdadeira se e somente se as proposic¸o˜es componentes (∼b) e (∼d) sa˜o ambas verdadeiras.
Desta forma, temos que (∼b) e´ Verdadeira e (∼d) e´ Verdadeira, resultando que b e´ Falsa e d e´
Falsa.
Analisando agora a segunda afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o b ∨ (∼e), observamos que estamos diante
de uma proposic¸a˜o composta que e´ a disjunc¸a˜o de b e (∼e). Sabemos que uma disjunc¸a˜o e´ verda-
deira se e somente se uma das proposic¸o˜es componentes e´ verdadeiras. Conforme ja´ foi verificado,
a proposic¸a˜o b e´ Falsa, portanto e´ necessa´rio que (∼ e) seja Verdadeira para que a proposic¸a˜o
b ∨ (∼e) seja verdadeira. Conclu´ımos enta˜o, que e e´ Falsa.
Analisando a seguir a primeira afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o e ∨ a, observamos que estamos diante
da disjunc¸a˜o de e e a. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o e e´ Falsa, portanto e´ necessa´rio
que a seja Verdadeira para que a proposic¸a˜o e ∨ a seja verdadeira. Conclu´ımos enta˜o, que a e´
Verdadeira.
Passando agora a` terceira afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o c ∨ d, observamos que estamos diante da
disjunc¸a˜o de c e d. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o d e´ Falsa, portanto e´ necessa´rio que c
seja Verdadeira para que a proposic¸a˜o c∨d seja verdadeira. Conclu´ımos enta˜o, que c e´ Verdadeira.
Falta apenas verificarmos se a proposic¸a˜o f e´ verdadeira ou falsa. Vamos enta˜o analisar as afirmac¸o˜es
restantes que envolvem a proposic¸a˜o f , que sa˜o as afirmac¸o˜es (5) e (6).
A quinta afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o a ∨ f , trata-se da disjunc¸a˜o de a e f . Conforme ja´ foi
verificado, a proposic¸a˜o a e´ Verdadeira, de modo que a proposic¸a˜o a∨f e´ verdadeira, independente
do valor lo´gico da proposic¸a˜o f . Da mesma forma, a sexta afirmac¸a˜o, i.e. a proposic¸a˜o (∼ f) ∨ c,
trata-se da disjunc¸a˜o de (∼ f) e c. Conforme ja´ foi verificado, a proposic¸a˜o c e´ Verdadeira, de
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 2 AD1 3
modo que a proposic¸a˜o (∼ f) ∨ c e´ verdadeira, independente do valor lo´gico da proposic¸a˜o (∼ f).
Conclu´ımos assim que as informac¸o˜es dadas na˜o sa˜o suficientes para se concluir o valor verdade da
proposic¸a˜o f .
Observe que a quarta afirmac¸a˜o, i.e., a proposic¸a˜o (∼ b) ∨ (∼ a) na˜o nos acrescenta nada, pois ja´
sabemos que que b e´ Falsa (portanto (∼ b)) e´ Verdadeira e a e´ Verdadeira (portanto (∼ a) e´
Falsa).
A partir das considerac¸o˜es anteriores, conclu´ımos que:
(Verdadeira) Joa˜o e´ casado.
( Falsa ) Joa˜o tem filhos.
(Verdadeira) Joa˜o na˜o e´ administrador.
( Falsa ) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∧ a.
( Falsa ) Joa˜o e´ administrador.
( Falsa ) Joa˜o na˜o e´ casado.
(Verdadeira) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como e ∨ a.
( Falsa ) Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos.
( NP ) Joa˜o na˜o usa roupas amarelas.
(Verdadeira) Uma das proposic¸o˜es apresentadas pode ser escrita como (∼b)∨(∼a). (Afirmac¸a˜o 4)
( NP ) Joa˜o usa roupas amarelas.
( Falsa ) Joa˜o gosta de animais.
Ate´ aqui a questa˜o vale 2.5.
Falta apenas analisarmos os itens que envolvem as negac¸o˜es das afirmac¸o˜es. Para tanto, vamos
negar todas as informac¸o˜es apresentadas.
1) A negac¸a˜o de: “Joa˜o gosta de animais ou Joa˜o e´ casado.”(e ∨ a) e´: “Joa˜o na˜o gosta de
animais e Joa˜o na˜o e´ casado.”((∼e) ∧ (∼a))
2) A negac¸a˜o de: “Joa˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o gosta de animais.”(b ∨ (∼e)) e´: “Joa˜o
na˜o e´ administrador e Joa˜o gosta de animais.”((∼b) ∧ e)
3) A negac¸a˜o de: “Joa˜o tem mais de 30 anos ou Joa˜o tem filhos.”(c ∨ d) e´: “Joa˜o na˜o tem
mais de 30 anos e Joa˜o na˜o tem filhos.”((∼c) ∧ (∼d))
4) A negac¸a˜o de: “Joa˜o na˜o e´ administrador ou Joa˜o na˜o e´ casado.”((∼b)∨ (∼a)) e´: “Joa˜o
e´ administrador e Joa˜o e´ casado.”(b ∧ a)
5) A negac¸a˜o de: “Joa˜o e´ casado ou Joa˜o usa roupas amarelas.”(a∨f) e´: “Joa˜o na˜o e´ casado
e Joa˜o na˜o usa roupas amarelas.”((∼a) ∧ (∼f))
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I QUESTA˜O 2 AD1 4
6) A negac¸a˜o de: “Joa˜o na˜o usa roupas amarelas ou Joa˜o tem mais de 30 anos.”((∼f) ∨ c)
e´: “Joa˜o usa roupas amarelas e Joa˜o na˜o tem mais de 30 anos.”(f ∧ (∼c))
7) A negac¸a˜o de: “Joa˜o na˜o e´ administrador e Joa˜o na˜o tem filhos.”((∼b)∧ (∼d)) e´: “Joa˜o
e´ administrador ou Joa˜o tem filhos.”(b ∨ d)
Estamos agora em condic¸o˜es de preencher as duas u´ltimas lacunas.
(Verdadeira) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b∧a. (negac¸a˜o da Proposic¸a˜o 4)
(Verdadeira) A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ f ∧ (∼ c). (negac¸a˜o da Pro-
posic¸a˜o 6)
Uma outra forma de resolver estes dois itens e´ aplicando as Leis de Morgan (Aula 4), que dizem
que para quaiquer duas proposic¸o˜es p e q,
∼ (p ∨ q) ≡ (∼ p) ∧ (∼ q) e ∼ (p ∧ q) ≡ (∼ p) ∨ (∼ p) .
Conforme sabemos,
∼ (∼ p) ≡ p.
Isto e´, a negac¸a˜o da negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o p e´ a pro´pria proposic¸a˜o p. Desta forma, para
sabermosse “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas e´ b ∧ a” e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira
ou falsa, vamos negar esta proposic¸a˜o, aplicar a Lei de Morgan e verificar se o resultado e´ uma das
sete proposic¸o˜es que obtivemos no item (a). Sendo assim, temos que
∼ (b ∧ a) ≡ (∼ b) ∨ (∼ a) .
De fato, obtivemos a Proposic¸a˜o 4, indicando que a afirmac¸a˜o “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es
apresentadas e´ b ∧ a.” e´ Verdadeira.
Procedendo de forma ana´loga, para sabermos se “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es apresentadas
e´ f ∧ (∼ c)” e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira ou falsa,, vamos negar esta proposic¸a˜o, aplicar a Lei de
Morgan e verificar se o resultado e´ uma das sete proposic¸o˜es que obtivemos no item (a). Sendo
assim, temos que
∼ (f ∧ (∼c)) ≡ (∼ f) ∨ c.
De fato, obtivemos a Proposic¸a˜o 6, indicando que a afirmac¸a˜o “A negac¸a˜o de uma das proposic¸o˜es
apresentadas e´ f ∧ (∼c).” e´ Verdadeira.
O acerto de cada uma destas lacunas, com justificativa correta, corresponde a um boˆnus
de 0.3 pontos na nota final da AD1, na˜o ultrapassando o valor total de 10 pontos da
AD1.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

Outros materiais