Aula_4_-_Mecanica_da_locomocao_de_veiculos_ferroviarios_parte_2_

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Esforço trator em locomotivas diesel-
lét i
E t lét i d t ã t lét i d d
elétricas
Em um motor elétrico de tração, a corrente elétrica na armadura do
motor é inversamente proporcional à velocidade de rotação e
diretamente proporcional ao torque produzido no eixo motor
A velocidade de rotação do motor determina a velocidade da
locomotiva e o torque, a força motriz produzida para mover o trem
No diagrama torque vs. corrente, observa-se que o torque
– e, por conseqüência, o esforço trator – é diretamente
proporcional à corrente elétrica: quanto maior a corrente,proporcional à corrente elétrica: quanto maior a corrente,
maior o torque e, por conseguinte, maior o esforço trator
produzido
No diagrama rotação vs. corrente, observa-se que a
velocidade de rotação do motor é inversamente
proporcional à corrente elétrica: uma corrente elétrica
elevada implica em baixa velocidade de rotação do eixoelevada implica em baixa velocidade de rotação do eixo
motor e, por conseqüência, em baixa velocidade da
locomotiva
Limites de operação das locomotivas 
di l lét i
O d ã d l i di l lé i
diesel-elétricas
Os motores de tração usados em locomotivas diesel-elétricas
são projetados para operar abaixo de uma corrente elétrica
máxima e abaixo de uma voltagem máxima
Na prática, os limites determinam o intervalo de
velocidades em que a locomotiva pode ser
operada sem que seus motores de tração sejamoperada sem que seus motores de tração sejam
danificados
Estabelecido um limite máximo para a corrente
elétrica; este limite estabelece a menor velocidadeelétrica; este limite estabelece a menor velocidade
admissível de rotação do eixo motor e, por
conseqüência, a menor velocidade que a
locomotiva pode manter sem que seus motoresp q
sejam prejudicados
Assim, o limite de voltagem determina a maior
velocidade de rotação do eixo motor e, por
êP conseqüência, a maior velocidade em que a
locomotiva pode ser operada sem danos aos seus
motores
2175t
PF
v
= ⋅
T ã d ê i
N í l d ã dá
Tração por aderência
Nos veículos terrestres que usam rodas, a tração dá-se em 
função do atrito entre as rodas e a via
Sem esse atrito o movimento não é possívelSem esse atrito, o movimento não é possível
Seja uma roda de locomotiva, com raio r e que
suporta um peso P.suporta um peso P.
O torque T, aplicado ao eixo conectado à roda
corresponde a T = Ft·rt
Na zona de contato da roda com o trilho, surge
uma força Fa = N ·f, que se opõe ao deslizamento
d d é h d d d ê i E t f éda roda e é chamada de aderência. Esta força é
dada pelo produto da normal ao peso N e o
coeficiente de atrito estático f, chamado de
êcoeficiente de aderência.
O peso P é denominado de peso aderente
T ã d ê i
é
Tração por aderência
Quando uma roda motriz é submetida a um
torque T aplicado na roda motriz, existem
duas possibilidades
Ft > Fat a
O torque é tal que a força de atrito é insuficiente e a
roda fica patinando, sem que a locomotiva saia do lugar
Nesse caso, o atrito passará a ser um atrito de
deslizamento, menor que o atrito estático
Ft ≤Fa
A força de atrito é suficiente para impedir que a roda
ã épatine e então a locomotiva é capaz de se movimentar,
sendo propelida por uma força Ft
T ã d ê i
ê
Tração por aderência
A aderência, portanto, determina qual a maior força
motriz que pode ser utilizada para movimentar o
veículoveículo
A limitação pela aderência é mais notada nas
velocidades baixas, quando a locomotiva está
iniciando o movimento
Em locomotivas modernas, existem sensores que monitoram
as rodas motrizes e, se alguma delas começa a patinar, um
di iti d j t ti t i i t f ddispositivo despeja automaticamente areia na interface de
contato para, aumentando o coeficiente de aderência,
impedir a patinagem
T ã d ê iTração por aderência
ê ãO coeficiente de aderência f não um valor constante,
mas varia com as condições da superfície do trilho:
seca molhada limpa suja de óleo ou com geloseca, molhada, limpa, suja de óleo ou com gelo
(geada)
êEstado do trilho Aderência
Totalmente seco e limpo 0,33
Lavado pela chuva 0 33Lavado pela chuva 0,33
Seco e limpo 0,22
Seco 0,20
Molhado pela chuva 0,14
Úmido de orvalho 0,125
ÚÚmido e sujo 0,11
Sujo com óleo 0,10
T ã d ê i
é
Tração por aderência
No Brasil, um valor médio comumente usado nos
cálculos de tração é 0,22
Sendo Td o peso aderente total da locomotiva e f o
coeficiente de aderência entre as rodas motrizes e os
trilhos, a maior força motriz Ftmax que pode ser
exercida sem que as rodas motrizes patinem pode
ser determinado por:ser determinado por:
t dF f T= ⋅
Onde: Ftmax = força motriz máxima [N]
f = coeficiente de aderência; e
maxt d f coeficiente de aderência; e
Td = peso aderente da locomotiva
T ã d ê i
é
Tração por aderência
O peso aderente é o peso que atua sobre as rodas
motrizes da locomotiva
O peso total de um veículo é a soma do peso
aderente e do peso morto
O peso morto é o peso que atua sobre as rodas não
acopladas aos eixos tratoresp
Por isso, para melhor aproveitamento do peso aderente, é
interessante que todos os eixos das locomotivas sejam eixosinteressante que todos os eixos das locomotivas sejam eixos
motrizes, já que quanto maior o peso morto, menor a força
motriz máxima que pode ser desenvolvida pela locomotiva
Nas locomotivas modernas, todos os eixos são motrizes
T ã d ê i
A li i ã d ê i é li i ã l
Tração por aderência
A limitação por aderência é sempre menor que a limitação pela
corrente elétrica máxima, como forma de prevenir a queima dos
motores de tração por descuido do operador da máquina
A área interna à curva representa todas as combinações
de força motriz e velocidade possíveis de serem obtidas
com uma locomotivacom uma locomotiva
A envoltória representa a curva de isopotência obtida
com a potência máxima da locomotiva
O limite da aderência é sempre menor que o limite da
corrente máxima, para maior proteção do equipamento
A velocidade máxima que pode ser alcançada pela
locomotiva é determinada pelo limite de voltagem, mas
regras de operação (determinadas pelo projeto
é ãgeométrico e pelo estado de conservação da via)
normalmente fazem com que a velocidade máxima seja
menor que esse limite
R i tê i i t
í
Resistência ao movimento
Quando um veículo terrestre encontra-se em
movimento, surgem diversas forças que se opõem ao
movimentomovimento
A este conjunto de forças, dá-se o nome de resistência ao
movimento (R)movimento (R)
ê éA resistência ao movimento é contrabalançada pela força
motriz produzida pelo motor
R i tê i i tResistência ao movimento
Podem ocorrer 3 situações
Ft > RFt > R
O veículo é submetido a uma aceleração
Ft < R
O veículo está desacelerando
Ft = RFt = R
O veículo mantém uma velocidade constante
R i tê i i t
ê
Resistência ao movimento
A resistência ao movimento de um trem 
possui 4 componentes principais
Resistência ao rolamento
Resistência aerodinâmica
Resistência de rampa
Resistência de curva
R i tê i l tResistência ao rolamento
Causada pela deformação da roda e do trilho
no seu ponto de contato
Pelo atrito interno do motor
Pelo atrito entre eixos e mancais, rodas e
trilhos
Pelo balanço das rodas
Pelos choques entre as flanges das rodas e os
trilhos
Etc.
R i tê i d
é ê â
Resistência do ar
Também chamada de resistência aerodinâmica ou
arrasto
ã ãSurge em função do deslocamento da composição na
atmosfera terrestre
Depende de fatores tais como:
A seção transversal frontal
O comprimento
A forma e rugosidade da superfície externa das locomotivas
e vagõese vagões
A velocidade de deslocamento da composição
A elocidade e di eção do entoA velocidade e direção do vento
Etc.
R i tê i dResistência de rampa
Causada pela ação da gravidade terrestre 
sobre o trem
É positiva numa subida
Isto é, atua no sentido contrário ao do movimento
É negativa numa descidaÉ negativa numa descida
Isto é, atua no sentido do movimento
R i tê i dResistência de curva
Causada tanto pela força centrífuga que
a menta o at ito ent e a oda do t em e oaumenta o atrito entre a roda do trem e o
trilho,como pelo fato de que as rodas, p q
externas do truque são arrastadas numa
curva
R i tê i t t l i t
ê
Resistência total ao movimento
Assim, a resistência total ao movimento, R, de uma
composição ferroviária é dada pela soma:
r a g cR R R R R= + + + Onde: R = resistência total ao movimento [N];R i tê i d l t [N]
t
r a g c
R
14243 Rr = resistência de rolamento [N];
Ra = resistência aerodinâmica [N];
Rt = resistência inerente ao movimento [N];
Rg = resistência de rampa [N]; e
O d i últi t d ã ó i t
g p [ ];
Rc = resistência de curva [N].
Os dois últimos termos da equação só existem,
respectivamente, em trechos inclinados e em curvas
ê á áA resistência inerente ao movimento, ou básica, está
presente toda vez que um trem está em movimento
R i tê i d l t (R )
á à ã í
Resistência de rolamento (Rr)
Está ligada à tecnologia de construção dos veículos 
ferroviários
A resistência de rolamento pode ser calculada por:
2
1 3r
c x
R c c v G
G
⋅⎛ ⎞= + + ⋅ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
Onde: Rr = resistência de rolamento [N];
x número de eixos da locomotiva ou vagão;x = número de eixos da locomotiva ou vagão;
G = peso da locomotiva ou vagão [kN];
v = velocidade de operação [km/h];
c1 = constante que incorpora o efeito da deformação da roda e do trilho;1 q p ç ;
c2 = constante que incorpora o efeito do atrito nos mancais; e
c3 = constante que incorpora o efeito do atrito entre o friso das rodas e o trilhos
R i tê i d l t (R )
O i i d fó l ( G) i ê i
Resistência de rolamento (Rr)
O primeiro termo da fórmula (c1·G) representa a resistência
gerada pela deformação da roda e do trilho, que é proporcional
ao peso do veículo
Valor típico da constante c1 é 0,65
O segundo termo da fórmula representa a resistência geradaO segundo termo da fórmula representa a resistência gerada
pelo atrito nos mancais, que é função do número de eixos, x
Valor típico da constante c2 é 125p 2
O terceiro termo da fórmula reflete o efeito do balanço, choques
e atrito nos frisos das rodas, e varia com a velocidade do trem
Quanto maior a velocidade, maior a resistência gerada por esses
fatores
Os valores típicos de c3 adotados são 0,009, para vagões de
passageiros e locomotivas, e 0,013 para vagões de carga
R i tê i di â i (R )
ê â
Resistência aerodinâmica (Ra)
A resistência aerodinâmica individual de um 
vagão ou locomotiva de um trem é estimado 
ãpela expressão
2
a aR c A v= ⋅ ⋅
Onde: Ra = resistência aerodinâmica [N];
ca = constante que reflete as características aerodinâmicas do vagão ou locomotiva
A = área frontal do veículo; eA = área frontal do veículo; e
V = velocidade de operação [km/h]
R i tê i di â i (R )Resistência aerodinâmica (Ra)
Á í í áÁrea frontal e ca típicos para veículos ferroviários
Veículo Área (m2) ca
Locomotivas
Aerodinâmicas 9 - 11 0,031
Normais 9- 11 0,046
V õVagões
Carga 7,5 – 8,5 0,009
Passageiros 10 – 11 0 006Passageiros 10 11 0,006
R i tê i i t i t
é ê á
Resistência inerente ao movimento
Também chamada de resistência básica
É a soma das parcelas da resistência total quep q
correspondem à resistência de rolamento (Rr) e à
resistência aerodinâmica (Ra)
Exemplo: Qual a resistência inerente ao movimento de um
vagão de carga cuja massa bruta é de 100 toneladas, possui 4
i á f t l d 8 2 60 k /h?eixos, área frontal de 8m2, que se move a 60 km/h?
= + ⇒t r aR R R
⋅⎛ ⎞
+ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
1 3
c x
c c v G
G
2
a aR c A v= ⋅ ⋅
⎛ ⎞⋅⎛ ⎞= + + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
125 4
0,65 0,013 60 980,6
980 6t
R
⎝ ⎠G
( )+ ⋅ ⋅ 20,009 8 60
⎝ ⎠⎝ ⎠980,6
( )
= + =1902 259 2161 N
R i tê i i t i tResistência inerente ao movimento
O exemplo mostra que a maior componente
da Rt é a resistência de rolamento
A resistência aerodinâmica é significativamente
menor que a Rmenor que a Rr
Ra ≅ 14%Rt
Se a velocidade aumenta
100 km/h → Ra ≅ 30%Rr
140 km/h → Ra ≅ 48%Rr/ r
R i tê i i t i t
ã ê ã
Resistência inerente ao movimento
Variação da resistência total de um vagão de carga
em função da velocidade e da sua massa bruta
A inclinação das curvas aumenta com a velocidade,
refletindo o aumento não linear da resistência do ar, que érefletindo o aumento não linear da resistência do ar, que é
função do quadrado da velocidade
A resistência também cresce se o peso bruto total do vagão
crescer
R i tê i i t i t
V i ã d i ê i bá i ífi (R /G) d ã d
Resistência inerente ao movimento
Variação da resistência básica específica (Rt/G) de um vagão de
carga em função da velocidade e da sua massa bruta
O aumento da velocidade produz um
aumento não linear da Rt
Aumento no PBT do vagão implica em uma
redução da resistência básica específica, o
que demonstra a existência de uma
i d l
A utilização de vagões de PBT maior é vantajosa, do ponto de vista da
economia de escala
A utilização de vagões de PBT maior é vantajosa, do ponto de vista da 
resistência básica
Os operadores têm procurado utilizar vagões de maior PBT visando a 
obtenção de ganhos de produtividade
R i tê i i t i t
é
Resistência inerente ao movimento
Além das equações apresentadas para Rr e 
Ra, existem outras fórmulas para estimar a 
ê áresistência básica
Usualmente estabelecidas com base em mediçõesUsualmente estabelecidas com base em medições 
experimentais
São aplicadas às particularidades da frota (vagõesSão aplicadas às particularidades da frota (vagões 
e locomotivas) de cada empresa
ôMetrô de Londres
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22 7 0 88 /R N G kN v km h= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22,7 0,88 /tR N G kN v km h
E í iExercício
Reconstruir o gráfico velocidade versus resistência
básica. Determinar os valores de Rt, Rr e Ra para ot, r a p
vagão de carga do exemplo anterior, considerando as
velocidades de 40 60 e 100 km/h e para massasvelocidades de 40, 60 e 100 km/h e para massas
brutas de 60 t, 80 t e 120 t. Compare e analise os
valores de Rt para as diferentes velocidades e massas
brutas. Para as mesmas velocidades e massas brutas,
determine os valores de resistência básica específica.
Compare e analise os resultados obtidosCompare e analise os resultados obtidos.
R i tê i d (R )Resistência de rampa (Rg)
Causada pela componente da força peso que
atua na direção do movimento
Numa subida, a componente do peso atua no
sentido contrário do movimento sendo portantosentido contrário do movimento, sendo, portanto,
uma resistência
d d d dNuma descida, por atuar no mesmo sentido do
movimento, ela não é uma resistência ao
movimento na acepção mais estrita do termomovimento na acepção mais estrita do termo
A força de frenagem deve ser capaz de contrabalançar
t d it tessa componente do peso, para evitar que o trem
acelere descontroladamente
R i tê i d (R )Resistência de rampa (Rg)
As rampas de ferrovias e rodovias são
normalmente expressas em porcentagem, oup p g ,
seja, o aumento em elevação em metros por
cem metroscem metros
Corresponde à tangente do ângulo que a rampaCorresponde à tangente do ângulo que a rampa
faz com a horizontal
As rampas em ferrovias são sempre bem
suaves
R i tê i d (R )Resistência de rampa (Rg)
Forças que atuam numa locomotiva em uma rampa
Seja P [N] o peso total da locomotivaSeja P [N] o peso total da locomotiva
A componente do peso que atua na
direção do movimento é P·sen αç
Sendo α o ângulo que a rampa faz
com a horizontal
Para ângulos pequenos, o seno e a
tangente são praticamente iguais e,
admitindo se que sen tani admitindo-se que sen α = tan α
tan [ ]
100g
i
R P P Nα= ⋅ = ⋅
Onde: i é a declividade da rampa [%]
Rg e G são dados em Newtows [N]
R i tê i d (R )
é
Resistência de rampa (Rg)
No entanto, é mais usual que o peso dos trens seja
dado em [kN], neste caso P = 1000G
1000 10
i
R G G i1000 10
100g
R G G i= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Onde: G é o peso da locomotiva ou vagão em [kN] [%]
i é a declividade da rampa
A resistência de rampa costuma ser a maior parcela
d i tê i i tda resistência ao movimento
E l
S j ã d 100 (G 100 980 6 kN) i j 60
Exemplo
Seja o vagão de 100t (G = 100.g = 980,6 kN), que viaja a 60
km/h, usado para estudar a resistência básica. Numa rampa de
0,5%, qual é a resistênciatotal
2161 10 980,6 0,5 2161 4903 7064 Nt gR R R= + = + ⋅ ⋅ = + =
Ou seja, a resistência de rampa (Rg) é mais que o dobro da
resistência inerente ao movimento (Rt)
Rg ≅ 69%RRg ≅ 69%R
Se a rampa fosse de 2%, qual seria a resistência de rampa e
seu impacto na resistência total (R)
Rg ≅ 90%R
2161 10 980,6 2 2161 19612 21773 Nt gR R R= + = + ⋅ ⋅ = + =
O que mostra claramente porque rampas íngremes devem ser
evitadas em ferrovias
R i tê i d (R )
í
Resistência de curva (Rc)
Forças que atuam em um veículo que faz uma curva 
com superelevação e
A resultante U da força centrífuga Fc e
do peso G pode ser decomposta em duas
forçasç
A força T, que atua na direção
perpendicular à via
A força Frc, que atua na direção do eixo
Idealmente, a superelevação e é tal que
a componente F é nulaa componente Frc é nula
Mas, nas curvas nas quais a
superelevação não é a ideal, o efeito da
ação da força centrífuga serve para
aumentar a resistência ao movimento
R i tê i d (R )Resistência de curva (Rc)
Nas ferrovias, a Frc comprime o
friso das rodas contra a lateral do
trilho, causando uma componente
de atrito adicional
Além disso, os eixos aos quais as
rodas de um truque ferroviáriorodas de um truque ferroviário
conectam-se são fixos (isto é, não
se movem em curvas) existe umase movem em curvas), existe uma
tendência de arrasto das rodas
externas quando o trem se moveexternas quando o trem se move
em uma curva
R i tê i d (R )Resistência de curva (Rc)
Nas ferrovias, a estimativa da resistência de curva é
normalmente feita através de fórmulas empíricas, já
que sua determinação teórica depende de diversos
parâmetros cuja influência ainda não é muito bemparâmetros cuja influência ainda não é muito bem
compreendida
A AREA (American Railway Engineering Association)
recomenda que a resistência de curva seja calculadarecomenda que a resistência de curva seja calculada
de forma a ser inversamente proporcional ao raio da
curva
R i tê i d (R )
ã
Resistência de curva (Rc)
Equação recomendada pela AREA
G Onde: Rc é a resistência de curva [N];
698c
G
R
r
=
Onde: Rc é a resistência de curva [N];
G é o peso da locomotiva ou vagão em [kN];
r é o raio da curva [m].
Exemplo: Determinar a resistência adicional que atua
b ã d d b l dsobre um vagão de carga de massa bruta total de
100t, ao entrar numa curva cujo raio é 250m
980,6
698 698 2738 N
250c
G
R = = ⋅ =
250c r
C ã d
ê í ã
Compensação de rampas em curvas
Ainda que a resistência específica de curva não seja
muito grande, a resistência de curva pode prejudicar
a operação de composições em rampas íngremesa operação de composições em rampas íngremes
Normalmente as composições são dimensionadas para
explorar ao máximo a potência das locomotivasexplorar ao máximo a potência das locomotivas
Usualmente, projetam-se ferrovias de tal forma que a
inclinação da rampa é reduzida nas curvas de forma ainclinação da rampa é reduzida nas curvas de forma a
compensar a resistência adicional causada pela curva
Assim, garante-se que a soma da resistência de curva e dag q
resistência de rampa é menor ou igual à resistência de
rampa encontrada na rampa máxima do trecho
( ) ( )maxg g cR i R i R≥ +
C ã d
A d ili ã i fi i d
Compensação de rampas em curvas
As rampas compensadas garantem uma utilização mais eficiente da
potência disponível das locomotivas
Evitam a necessidade de dar ao trem capacidade adicional de traçãoEvitam a necessidade de dar ao trem capacidade adicional de tração
que só seria utilizada em algumas curvas
Exemplo: Determinar qual a redução na rampa necessária para compensar
ão efeito da curva de 250 m de raio. Considerar um vagão de carga de
massa bruta total de 100 t.
Solução: Para calcular a rampa compensada do trecho em curva, deve-seSolução: Para calcular a rampa compensada do trecho em curva, deve se
determinar a rampa que provocaria uma resistência equivalente à causada pela
curva
⇒R R 980,6698 10 980 6 i698 10
G
G i
2738
0 28%i i
Assim, se a rampa ao longo de uma curva de 250 m de raio for reduzida em
= ⇒c gR R
,
698 10 980,6
250
= ⋅ ⋅ ⇒i698 10= ⋅ ⋅ ⇒G i
r
0,28%
9806
= ⇒ =i i
p g
0,28%, o trem pode operar sem necessidade de aumentar sua capacidade de
tração
C ã d
ó
Compensação de rampas em curvas
Só existe a necessidade de compensar a rampa se
Rgmax < Rg(i) + Rc
Seja imax a rampa máxima no trecho, pode-se
determinar a rampa limite ilim, que é a maior rampa
que não precisa ser compensada
( ) ( ) maxli li li
10
10 10 c
G i R
R i R i R G i G i R i
⋅ ⋅ −
= + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒ = ⇒( ) ( )
max max lim max lim lim
10 10
10
698 69,8
g g c cR i R i R G i G i R i G
G
ri i i i
+ ⇒ + ⇒ ⇒
⋅
⋅
Portanto, se a rampa i em uma curva for maior que
lim max lim max
,
10
ri i i i
G r
⇒ = − ⇒ = −
⋅
Portanto, se a rampa i em uma curva for maior que
ilim, deve-se rebaixá-la para ilim
C ã d
á
Compensação de rampas em curvas
Exemplo: Supondo-se que a rampa máxima num
trecho seja de 1,2%, determinar qual a rampa limite
d 250 d ipara curvas de 250 m de raio
lim max lim lim
69,8 69,8
1,2 0,92%
250
i i i i
r
= − ⇒ = − ⇒ =
Ou seja, para não ser necessário aumentar a capacidade deOu seja, para não ser necessário aumentar a capacidade de
tração da composição, todas as curvas de 250 m de raio
devem ter compensação de rampa se estiverem em trechosp ç p
onde a inclinação for maior que 0,92%
ã íDeterminação da velocidade de equilíbrio
Considere um trem que viaja ao longo de um trecho
. Esse trem locomove-se sob a ação
de uma força motriz F e de uma força R que éde uma força motriz Ft e de uma força Rt que é
resultante das forças que resistem ao movimento
S t h é t lSe o trecho é reto e plano =>
Rt = Rr + Ra
F e R atuam na mesmaFt e Rt atuam na mesma
direção mas sentidos
contrários
O movimento depende da resultante dessas duas forças
Se F R ≠ 0 a composição está acelerando ou desacelerandoSe Ft – Rt ≠ 0, a composição está acelerando ou desacelerando
Se Ft – Rt = 0, a velocidade do trem mantém-se constante
ã íDeterminação da velocidade de equilíbrio
Quando , a velocidade à qual o trem
viaja é chamada de velocidade de equilíbrioj q
Uma vez alcançada a velocidade de equilíbrio,
a velocidade em que o trem movimenta-se
mantém-se constante se a potência domantém se constante se a potência do
motor for mantida constante e se não
i t t d i tê isurgirem outras componentes da resistência –
que podem ser geradas por uma curva ou
uma rampa
ã í
ê
Determinação da velocidade de equilíbrio
A resistência inerente ao movimento deve ser
calculada em função do número de locomotivas e de
vagões que formam o tremvagões que formam o trem
R R R= +
L v L v
t r a
t L r v r L a v a
R R R
R n R n R n R n R
= +
= + + +
Onde Rt: resistência básica total;
RrL: resistência de rolamento de uma locomotiva;rL
Rrv: resistência de rolamento de um vagão;
RaL: resistência do ar de uma locomotiva;
Rav: resistência do ar de um vagão;
únL: número de locomotivas; e
nL: número de vagões.
ã í
C l id d d ilíb i f i é i l à
Determinação da velocidade de equilíbrio
Como na velocidade de equilíbrio, a força motriz é igual à
resistência total ao movimento, a velocidade de equilíbrio pode
ser determinada por
2175
L v L vL r v r L a v a
P
n R n R n R n R
V
= + + +
Esta equação é um polinômio do terceiro grau que pode ser
resolvido com uma certa facilidade
No entanto, a solução gráfica para determinação da velocidade
de equilíbrio é mais interessante
Permite observar o comportamento do trem sob diversas situaçõesPermite observar o comportamento do trem sob diversas situações
Facilita a determinação de novas velocidades de equilíbrio em
rampas ou em curvas
Determinar o ponto em que a função força motriz intercepta a
função resistência inerente ao movimento
Exemplo 1
Seja um trem que viaja num trecho reto e plano e é
composto por 3 locomotivas de 3000 hp, com pesop p p, p
de 1300 kN cada, e 80 vagões de minério, com peso
de 1100 kN cada Sabe se que a área frontal dasde 1100 kN cada. Sabe-se que a área frontal daslocomotivas é de 10 m2, e a dos vagões, 8,5 m2;
tanto os vagões como as locomotivas têm 4 eixos,
sendo que nas locomotivas todos os eixos são
motrizes. A velocidade máxima das locomotivas é de
105 km/h; a mínima 15 km/h; e a aderência 0 2105 km/h; a mínima, 15 km/h; e a aderência, 0,2.
Determinar a velocidade de equilíbrio desse trem.
S l ã
á
Solução
[ ] [ ]⋅Ln P hpCálculo da força motriz: [ ] [ ]2175= ⋅
⎡ ⎤
⎣ ⎦
L
t
n P hp
F kN
kmV h
3 3000 19575000 19575
2175 2175Lt
n P
F N kN
V V V V
⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ = =
No entanto, a força motriz não pode ser maior que o limite
da aderência. No caso,
max
(0,2 1300) 3 780t dF f T kN= ⋅ = ⋅ ⋅ =
No caso se a força motriz for maior que 780 kN as rodas
max
No caso, se a força motriz for maior que 780 kN, as rodas
derrapam e o trem não se move
S l ã
Cálculo da resistência inerente (R R + R )
Solução
Cálculo da resistência inerente (Rt = Rr + Ra)
Requer a determinação das várias parcelas da resistência 
para as locomotivas (RrL) e para os vagões (Rrv)p ( rL) p g ( rv)
A resistência total de rolamento é calculada a partir da soma 
das resistências de rolamento das locomotivas e dos vagões 
(R = R + R )(Rr = RrL + Rrv)
Locomotivas
2
1 3
125
0,65 0,009
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅
= ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
L L
r L L L L
c x x
R n c c V G n V G1 3 , ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lr L L L L
L LG G
125 4
3 0,65 0,009 1300 4035 35,1 [N]
1300
⋅⎛ ⎞⇒ ⋅ + + ⋅ ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠ L
rV R V
Vagões
2
1 3
125
0,65 0,013
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅
= ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
v
v v
r v v v v
c x x
R n c c V G n V G
G G
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠v vG G
125 4
80 0,65 0,013 1100 97200 1144 [ ]
1100
⋅⎛ ⎞⇒ ⋅ + + ⋅ ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠ L
rV R V N
S l ã
A i ê i l d l
Solução
A resistência total de rolamento:
(4035 35,1 ) (97200 1144 ) 101235 1179,1
L vr r r
R R R V V V= + = + + + = +
A resistência aerodinâmica também deve ser calculada para 
locomotivas e vagões
Locomotivas
( ) ( )2 20,046= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Lr a L a L L L
R R n c A V n A V ( )2 23 0,046 10 1,38 [N]= ⋅ ⋅ ⋅ =V V
Vagões
( ) ( )2 20,009= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
va v a v v v
R n c A V n A V ( )2 280 0,009 8,5 6,12 [N]= ⋅ ⋅ ⋅ =V V
Resistência aerodinâmica total
( ) ( )
v
2 2 21 38 6 12 7 5 [N]R R R V V V
( )
2 2 21,38 6,12 7,5 [N]
L va a a
R R R V V V= + = + =
S l ã
ê é
Solução
A resistência inerente ao movimento total é a soma 
das resistências totais de rolamento e do ar
C l id d d ilíb i F R
[ ]2101235 1179,1 7,5t r aR R R V V N= + = + +
Como na velocidade de equilíbrio Ft = Rt
F R ⇒
219575000 101235 1179,1 7,5
t tF R
V V
V
= ⇒
= + + ⇒
3 27,5 1179,1 101235 19575000 0
80 2 km/h
V V V
V
+ + − =
∴ = 80,2 km/hV∴ =
E í i
á
Exercício
Construir a solução gráfica do exemplo
anterior
Utilizando a mesma construção gráfica,
d t i l id d d ilíb idetermine a velocidade de equilíbrio, se
utilizássemos a potência equivalente a 2
l ti 1 l ti (R 64locomotivas e 1 locomotiva. (Resp.: ≅ 64
km/h e ≅ 41 km/h, respectivamente)