AP1-MEst_II-2013-2-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 Completa – Me´todos Estatisticos II – 2/2013
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [0, 10].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X.
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X.
(c) Calcule P(X > 3).
(d) Calcule P(X ≤ 9|X > 3).
(e) Calcule o valor k tal que P(X ≥ k) = 0, 4.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico na Figura 1.
Figura 1: Func¸a˜o de densidade – Questa˜o 1
(b) f(x) = 0, 1 0 ≤ x ≤ 10
(c) P (X > 3) =
10− 3
10
= 0, 7
(d) P (X ≤ 9|X > 3) = P (3 < X ≤ 9)
P (X > 3)
=
6
7
(e) P (X ≥ k) = 0, 4⇒ 10− k
10
= 0, 4 =⇒ k = 6
Questa˜o 2 [2,0 pts]
Na Figura 2 e´ dado o gra´fico da func¸a˜o de densidade fX de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X.
(a) Determine o valor de k.
(b) Mostre que a expressa˜o de fX e´ f(x) =
{
0, 5x se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contra´rio
(c) Calcule P(X ≤ 0, 5).
(d) Calcule P(0, 5 < X ≤ 1, 5).
Figura 2: Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 2
Soluc¸a˜o
(a) k ≥ 0 e 1
2
2k = 1⇒ k = 1
(b) O gra´fico de fX e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (0, 0) e (2, 1). Logo,
f(x) = bx e f(2) = 1⇒ 1 = 2b⇒ b = 0, 5, o que mostra que a expressa˜o dada esta´ correta.
(c) Veja a Figura 3. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um triaˆngula de base 0, 5 e altura
f(0, 5) = 0, 5× 0, 5 = 0, 25. Logo,
P(X ≤ 0, 5) = 0, 5× 0, 25× 0, 5 = 0, 0625
Figura 3: Questa˜o 2(c) – P(X ≤ 0, 5)
(d) A probabilidade pedida e´ a a´rea do trape´zio sombreado na Figura 4. Logo,
P(0, 5 < X ≤ 1, 5) = f(0, 5) + f(1, 5)
2
× (1, 5− 0, 5) = 1
2
× (0, 5× 0, 5 + 0, 5× 1, 5) = 0, 5
Figura 4: Questa˜o 2(d) – P(0, 5 < X ≤ 1, 5)
2
Questa˜o 3 [3,0 pts]
Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´dia
µ = 50 e variaˆncia σ2 = 49.
(a) Calcule P(X > 57).
(b) Calcule P(X > 43).
(c) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 15.
(d) Seleciona-se uma amostra aleato´ria de tamanho n = 49 dessa populac¸a˜o.
(i) Ache a distribuic¸a˜o de X.
(ii) Calcule P(X ≥ 52).
(iii) Calcule P(49 ≤ X ≤ 52).
Soluc¸a˜o
(a) P(X > 57) = P
(
Z >
57− 50
7
)
= P(Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) P(X > 43) = P
(
Z >
43− 50
7
)
= P(Z > −1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(c)
P(X < c) = 0, 15⇔ P
(
Z <
c− 50
7
)
= 0, 15⇔ P
(
Z > −c− 50
7
)
= 0, 15⇔
tab
(
−c− 50
7
)
= 0, 35⇔ 50− c
7
= 1, 04⇔ c = 42, 72
(d) (i) X ∼ N
(
50;
49
49
)
(ii) P(X ≥ 52) = P
(
Z >
52− 50
1
)
= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 0228
(iii) P(49 ≤ X ≤ 52) = P
(
49− 50
1
< Z <
52− 50
1
)
= tab(1, 0) + tab(2, 0) = 0, 8185
Questa˜o 4 [1,5 pts]
Seja X ∼ Bin(200; 0, 35).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal e indique
os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de con-
tinuidade.
(i) P (X > 90)
(ii) P(52 ≤ X ≤ 112)
Soluc¸a˜o
(a) np = 200× 0, 35 = 70 n(1− p) = 200× 0, 65 = 130 OK!
X ≈ N (70; 200× 0, 35× 0, 65) ou X ≈ N (70; 45, 5)
3
(b) (i) P(X > 90) ≈ P
(
Z ≥ 90, 5− 70√
45, 5
)
= P (Z ≥ 3, 04) = 0, 5− 0, 4988 = 0, 0012
(ii) P(52 ≤ X ≤ 88) ≈ P
(
51, 5− 70√
45, 5
≤ Z ≤ 88, 5− 70√
45, 5
)
= P(−2, 74 ≤ Z ≤ 2, 74) =
2× tab(2, 74) = 0, 9938
Questa˜o 5 [1,0 pt]
Em vez de arriscarem uma ida ao shopping local, muitos consumidores compram seus presentes
de Natal pela Internet. Das pessoas que compram os presentes pela Internet, 36% compram
brinquedos e jogos eletroˆnicos. Suponha que 200 clientes que compraram presentes pela Internet
sejam selecionados aleatoriamente.
(a) Ache a probabilidade de que a proporc¸a˜o amostral dos clientes que compraram brinquedos
e jogos pela Internet seja inferior a 0,35.
(b) Ache a probabilidade de que a proporc¸a˜o amostral dos clientes que compraram brinquedos
e jogos pela Internet seja superior a 0,40.
Soluc¸a˜o
Seja X a varia´vel indicadora de compra de brinquedos e jogos eletroˆnicos. Enta˜o, X ∼
Bern(0, 36). Se P̂ e´ a proporc¸a˜o das pessoas que compram jogos e brinquedos eletroˆnicos,
enta˜o
P̂ ≈ N
(
0, 36;
0, 36× 0, 64
200
)
A aproximac¸a˜o normal pode ser usada pois 200× 0, 36 = 72 e 200× 64 = 128.
(a) P(P̂ < 0, 35) ≈ P
Z < 0, 35− 0, 36√0, 36× 0, 64
200
 = P(Z < −0, 29) = 0, 5− tab(0, 29) = 0, 3859
(b) P(P̂ > 0, 40) ≈ P
Z > 0, 40− 0, 36√0, 36× 0, 64
200
 = P(Z > 1, 18) = 0, 5− tab(1, 18) = 0, 119
4