AP1_ME_II_2011_2_GAB

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Gabarito da AP1 - 2o. semestre de 2011 - Profa. Ana Maria Farias
1. Na Figura 1 é dado o gráfico de uma função f(x) .
Figura 1: Função de densidade para a questão 1
(a) (0,5 ponto) Sabendo que f(1) = 3k e f(3) = k, determine o valor de k para que f(x)
seja a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
• k ≥ 0− OK, pois o gráfico está no primeiro quadrante, onde y = f(x) > 0.
• A área sob a curva deve ser 1: 12 × (3k + k)× 2 = 1. Logo, k = 14 .
(b) (0,5 ponto) Determine a expressão de f(x).
Solução
f(x) = ax+ b− reta que passa pelos pontos (1, 34) e (3,
1
4)½
1a+ b = 34
3a+ b = 14
⇒ a = −1
4
⇒ b = 1 ∴ f(x) =
½ −x+4
4 1 ≤ x ≤ 3
0 x < 1 ou x > 3
(c) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 5).
Solução
Essa é a área sombreada na Figura 2.
Figura 2: P (X < 2, 5) - Solução da questão 1(c)
1
Pr(X < 2, 5) =
∙
f(2, 5) +
3
4
¸
× 2, 5− 1
2
=
∙µ
−2.5 + 4
4
¶
+
3
4
¸
× 0.75 = 27
32
= 0, 84375
(d) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 0 |X < 2, 5).
Solução
Pr(X < 2, 0 |X < 2, 5) = Pr [(X < 2, 5) ∩ (X < 2, 0)]
Pr(X < 2, 5)
=
Pr(X < 2, 0)
27/32
=
£
f(2, 0) + 34
¤× 2,0−12
27/32
=
£¡−2+4
4
¢
+ 34
¤× 0.5
27/32
=
5/8
27/32
=
5
8
× 32
27
=
20
27
= 0, 74074
2. Seja X ∼ N(75; 32). Calcule:
(a) (0,5 ponto) Pr(X ≥ 78)
Solução
Pr(X ≥ 78) = Pr
µ
Z ≥ 78− 75
3
¶
= Pr(Z ≥ 1, 0) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) (0,5 ponto) Pr(X < 66).
Solução
Pr(X < 66) = Pr
µ
Z <
66− 75
3
¶
= Pr(Z < −3, 0) = Pr(Z > 3, 0) = 0, 5−tab(3) = 0, 0013
(c) (0,5 ponto) Ache o valor de k tal que Pr(X < k) = 0, 10.
Solução
Pr(X < k) = 0, 10⇔ Pr
µ
Z <
k − 75
3
¶
= 0, 10
⇔ Pr
µ
Z > − k − 75
3
¶
= 0, 10⇔ tab
µ
− k − 75
3
¶
= 0, 40
⇔ 75− k
3
= 1, 28⇔ k = 71, 16
(d) (0,5 ponto) Extrai-se uma amostra aleatória de tamanho n = 9. Calcule a probabilidade
de a média amostral ser maior que 78.
Solução
Temos que X ∼ N
µ
75;
32
9
¶
Pr(X > 78) = Pr
µ
Z >
78− 75
1
¶
= Pr(Z ≥ 3) = 0, 5− tab(3) = 0, 5− 0, 4987 = 0, 0013
3. Em um restaurante universitário, o tempo decorrido entre a chegada de uma pessoa na fila até
o momento em que ela se senta para fazer a sua refeição segue uma distribuição Normal com
média de 10 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
2
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste menos de 12 minutos até
se sentar?
Solução
Seja T o tempo gasto por um usuário até se sentar. Então, T ∼ N(10; 22)
P (T < 12) = P
µ
Z <
12− 10
2
¶
= P (Z < 1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste mais de 15 minutos até se
sentar?
Solução
P (T > 15) = P
µ
Z >
15− 10
2
¶
= P (Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0.5− 0.4938 = 0, 0062
(c) (0,5 ponto) Se um usuário já está na fila há 9 minutos, qual é a probabilidade de que
ele leve menos de 12 minutos até se sentar?
Solução
P (T < 12|T ≥ 9) = P (9 ≤ T < 12)
P (T ≥ 9) =
P
µ
9− 10
2
≤ Z < 12− 10
2
¶
P
µ
Z ≥ 9− 10
2
¶ = P (−0, 5 ≤ Z < 1)
P (Z ≥ −0, 5)
=
tab(1, 0) + tab(0, 5)
0, 5 + tab(0, 5)
=
0, 3413 + 0, 1915
0, 5 + 0, 1915
=
0, 5328
0, 6915
= 0, 7705
(d) (0,5 ponto) Determine o tempo t tal que 5% dos usuários levam menos que t minutos
até se sentarem.
Solução
P (T < t) = 0, 05⇐⇒ P
µ
Z <
t− 10
2
¶
= 0, 05⇐⇒ t− 10
2
= −1, 64⇐⇒ t = 6, 72
4. (2,0 pontos) De uma população normal com desvio padrão 8, extrai-se uma amostra de
tamanho 36, que acusa uma média amostral de 8,1. Obtenha um intervalo de confiança para
a média populacional com nível de confiança de 99%.
Solução
1− α = 99% =⇒ zα/2 = 2, 58
� = 2.58× 8√
36
= 3, 44
e o intervalo de confiança é
[8.1− 3.44 , 8.1 + 3.44] = [4, 66 , 11, 54]
5. (2,0 pontos) Verifique se cada uma das afirmativas abaixo é falsa ou verdadeira, justificando
sua resposta em qualquer caso.
3
(a) (0,5 ponto) Com base nos mesmos dados, foram obtidos os seguintes intervalos de
confiança para a média populacional:
I1 : (4, 450 , 8, 550)
I2 : (3, 275 , 9, 725)
Podemos afirmar que (1) a média amostral é x = 6, 5 e que (2) o nível de confiança
utilizado na obtenção de I1 é maior que o nível de confiança utilizado na construção de
I2.
Solução
A média amostral é o ponto médio do intervalo de confiança. Para I1,o ponto médio
é 4.450+8.5502 = 6, 5 e para I2,
3.275+9.725
2 = 6, 5. Logo, x = 6, 5 e a primeira parte da
afirmativa é verdadeira.
O comprimento de I1 é menor do que o comprimento de I2; logo, o nível de confiança
para I1 é menor do que o nível de confiança para I2. Sendo assim, a segunda parte da
afirmativa é falsa.
(b) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5. O erro máximo deve ser de 0,02. O tamanho da amostra necessário para um
nível de confiança de 99% será maior que o tamanho necessário para um nível de confiança
de 95%.
Solução
Verdadeira. Mantidas as outras variáveis constantes (erro e desvio padrão popula-
cional), quanto maior o nível de confiança, maior deverá ser o tamanho da amostra.
(c) Em um estudo, pretende-se estimar a média de duas populações normais com o mesmo
nível de confiança 1−α. Para isso, uma amostra de tamanho n será tirada de cada uma
das populações. Se o desvio padrão da população 1 é σ = 2 e da população 2 é σ = 4,
então o erro de estimação será maior para a população 1.
Solução
A população 1 tem desvio padrão menor que a população 2. Logo, o erro de estimação
para a população 1 será menor, já que se matêm cosntantes n e α. Logo, a afirmativa é
falsa.
(d) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5, com erro máximo ser de 0,1. Então o tamanho n = 7500 é suficiente para se
garantir um nível de confiança de 90%, mas não um nível de confiança de 95%.
Solução
1− α = 90% =⇒ 1, 64× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.64× 50,1 =⇒ n ≥ 6724
1− α = 95% =⇒ 1, 96× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.96× 50,1 =⇒ n ≥ 9604
Logo, a afirmativa é verdadeira.
4