Aulas 7 e 8 - Análise Combinatória - partes I e II (1)

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Princípios de contagem. Arranjos e permutações. Combinações. 
 
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de maneiras que um aconteci-
mento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades. 
Ex: quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1 a 5? De quantas maneiras 
podemos formar uma comissão de 3 pessoas tendo 15 estudantes? 
Logo, a Análise Combinatória trata de problemas de contagem e podem ter as seguintes situações: 
Arranjo  devemos organizar os elementos de um conjunto diferenciando-se entre si pela ordem 
Combinação  não há diferença entre os elementos se a ordem for alterada. 
Permutação  os elementos serão encontrados apenas trocando-os de lugares, de posição. 
Para facilitar nosso entendimento sobre esse assunto, vamos imaginar que precisaremos decidir quem 
ganhou uma partida. Como foi empate, jogaremos uma moeda. Aí, pergunto: de quantas maneiras a 
moeda poderá cair? Ora, LÓGICO: cara ou coroa (2 possibilidades). Assim, fica simples. Porém, se imagi-
narmos jogar 3 vezes a mesma moeda, quantos resultados poderemos encontrar? Para isso, iremos co-
nhecer a árvore de possibilidades ou diagrama de árvore: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, conseguiremos descobrir quantas e quais são as possibilidades no lançamento de quatro moe-
das. A ideia da AC é descobrirmos quantas possibilidades poderão ocorrer em um determinado evento, 
sem utilizarmos a árvore. 
A nossa árvore é baseada em um princípio: Princípio Fundamental da Contagem. 
Consiste em dividirmos o nosso evento em etapas e descobrirmos qual o número de resultados possí-
veis. Um acontecimento pode ocorrer em várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: 
P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; 
. 
Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então: 
(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer. 
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Exemplo1: Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 
e 5, sendo que o número deve ser maior que 400? 
(A) 10 (B) 125 (C) 50 (D) 25 (E) 75 
Para cada item, vamos seguir o que manda o Princípio, ok? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Uma dona de casa vai fazer o almoço. Na sua geladeira, tem três tipos de carnes, e quatro 
tipos de saladas. Quantas possibilidades essa dona de casa tem para preparar o almoço, sabendo que o 
almoço deverá ter um tipo de carne e um tipo de salada? 
(A) 7. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 24. 
 
Exemplo3: Determinado Banco adota as seguintes regras, para que o usuário monte sua senha: 
i. A senha tem que ser formada por 4 dígitos distintos; 
ii. O primeiro dígito não pode ser zero; 
iii. O último dígito é ímpar. 
Com essas condições, o número total de senhas que o usuário pode montar é igual a 
(A) 5.040. (B) 1.680. (C) 2.240. (D) 2.520. 
 
Exemplo4: Na figura apresentada, um campo quadrado foi dividido para plantação de quatro culturas 
diferentes, uma única em cada porção: cana-de-açúcar, para suprir a fazenda com combustível e abaste-
cer uma pequena produção de rapadura, feijão, mandioca e amendoim. Recomenda-se que a cana-de-
açúcar não seja plantada na porção do terreno onde nasce o sol (leste), para não fazer sombra, pela 
manhã, nas outras culturas. 
 
1
 Gabarito: letra C 
2
 Gabarito: letra D 
3
 Gabarito: letra C 
4
 Gabarito: letra E 
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Assim, obedecendo essa recomendação, assinale a alternativa que indica quantas disposições distintas 
para plantar as quatro culturas são possíveis nesse campo. 
(A) 4. (B) 6. (C) 12. (D) 14. (E) 18. 
 
Alguns editais trazem em seu Conteúdo Programático o seguinte tópico: contagem: princípio aditivo e 
multiplicativo. E o que quer dizer isso? 
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO é exatamente a conceito inicial do PFC, ou seja, temos 'etapas' 
do evento, sendo que cada uma delas é calculada separadamente. Ao final, para termos o total de pos-
sibilidades, devemos MULTIPLICAR o valor encontrado em cada uma das 'etapas'. 
No PRINCÍPIO ADITIVO, temos subconjuntos do evento completo independentes entre si, ou seja, 
não tem elementos em comum. Assim, para encontrar o total de possibilidades, devemos SOMAR os 
subconjuntos; 
Exemplo5: Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. 
A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas for-
madas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou 
Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de 
diferentes filas que podem ser formadas é igual a: 
(A) 420 (B) 480 (C) 360 (D) 240 (E) 60 
 
Já conhecemos o princípio da contagem. Agora, iremos conhecer os dois primeiros tipos de análise 
combinatória: Arranjo e Combinação (vamos deixar a permutação para daqui a pouco). 
 
ARRANJO X COMBINAÇÃO 
Esses tipos de AC se confundem muito nas questões de RL. Sempre há a pergunta: qual dos dois devo 
usar? Veremos, através de exemplos, como escolheremos a correta. Próximo passo: resolver utilizando 
o método escolhido! 
Exemplo: Quantas maneiras podem ser encontradas com as vogais A, E, I, O e U para formar as letras 
para placas em um carro, escolhendo letras distintas? 
 
Tipo: _______________________________ 
 
5
 Gabarito: letra A 
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Exemplo: Utilizando apenas cebola, tomate, cenoura, alface e pepino, de quantas formas poderemos 
fazer uma salada, utilizando apenas 3 ingredientes? 
 
Tipo: _______________________________ 
 
 
Vejam que os 2 exemplos trazem a mesma quantidade de elementos disponíveis (n = ___) e a mesma 
quantidade de elementos para serem escolhidos (p = ___). 
Com uma diferença... 
 
 
 
A ideia principal que devemos ter em mente para diferenciar ARRANJO de COMBINAÇÃO é: 
A ORDEM IMPORTA??? 
 
 
 
 
 
Ou seja, se eu escolher um resultado qualquer e mudar a ORDEM desse resultado, terei um NOVO resul-
tado ou será o MESMO? 
Agora que já decidimos qual tipo iremos usar, está na hora de resolver as questões. Para isso, teremos 
que usar uma fórmula para cada tipo. 
Se NOVO RESULTADO, ______________________! 
 
Se MESMO RESULTADO, _____________________! 
 
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Arranjo Combinação 
 
n é o número de elementos do conjunto todo e 
p é o número de elementos do grupo que queremos formar. 
 
 FATORIAL 
Aqui, vale apenas uma recordação! 
O fatorial de um número n é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e 
excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação. 
Se quisermos encontrar o fatorial de 7, temos que: 
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 840 
Pronto! Fechamos agora com chave de ouro o que precisamos saber sobre Arranjo e Combinação. Cabe 
agora a vocês resolverem questões, começando pelos dois exemplos: 
Exemplo Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo6: Para pintar 4 paredes, cada uma de uma cor, dispõe-se de 12 cores de tinta. De quantas for-
mas é possível realizar esse trabalho? 
(A) 11.820 (B) 11.840 (C) 11.860 (D) 11.880 (E) 12.880 
 
Exemplo7: De um total de seis clientes de uma loja, dois serão escolhidos ao acaso para participar de 
uma pesquisa de opinião. O número de possíveis pares de clientes que podem ser formados vale: 
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (E) 25 
 
 
6
 Gabarito: letra D 
7
 Gabarito: letra C 
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Exemplo8: Um Hospital dispõe de 8 enfermeiros: 5 homens e 3 mulheres. Para atender os pacientes no 
período da noite é preciso formar um grupo de 5 enfermeiros de modo que sempre participem 3 enfer-
meiros e 2 enfermeiras. Quantos grupos diferentes podemos formar? 
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50 
 
Exemplo9: Dentre 5 enfermeiros, dois serão selecionados para a escala de certo dia. Um para um plan-
tão diurno e outro para o plantão noturno, subsequente. De quantos modos essa escala pode ser feita? 
(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 30 (E) 60 
 
PERMUTAÇÃO 
Sabe por que deixei Permutação para depois? Porque Permutação é tão-somente um caso particular do 
Arranjo! Quando estivermos em uma questão de Arranjo e observarmos que o n é igual ao p, então es-
taremos diante de uma questão de Permutação. 
E como calculá-lo? A fórmula da Permutação é a mais simples de todas: 
 
Outra forma de encontrarmos questões de Permutação é quando aparecer a palavra ANAGRAMA. Ana-
grama é qualquer ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não significado. O concei-
to é o mesmo: Falou em ANAGRAMA, falou em PERMUTAÇÃO, ok? 
Guardem também essa expressão: PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO! Nos exemplos, falaremos nisso, ok? 
Exemplo10: Ao chegar a um auditório quase lotado, um grupo de quatro pessoas encontra exatamente 
quatro cadeiras vazias. O número de formas diferentes pelas quais essas pessoas podem ser alocadas 
nos lugares vazios é: 
(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 24 
 
Exemplo11: O número de maneiras diferentes de se colocar as letras da sigla CONDER em fila, de modo 
que a fila comece por uma vogal, é 
(A) 240. (B) 120. (C) 96. (D) 72. (E) 60. 
 
Exemplo12: Quantos são os anagramas da palavra ANANIAS? 
(A) 5040 (B) 2160 (C) 860 (D) 540 (E) 420 
 
TÉCNICA DA ‘LIGA’ 
 
8
 Gabarito: letra C 
9
 Gabarito: letra C 
10
 Gabarito: letra E 
11
 Gabarito: letra A 
12
 Gabarito: letra E 
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A Técnica da ‘Liga’ é uma forma de resolver tipos de questões bem específicas relacionadas a permuta-
ção. Essas questões trazem, normalmente, a mesma situação: a necessidade de JUNTAR um determina-
do grupo. 
Coloquei abaixo algumas situações para formarmos o conceito da técnica. Depois, veremos algumas 
questões de prova, ok? 
Guardem a palavra HECTOR (meu filho). Com base nela, vamos ver: 
SITUAÇÃO 1) Quantos anagramas poderemos formar? 
 
 
 
 
SITUAÇÃO 2) Quantos anagramas poderemos ter se as vogais ficarem juntas? 
Passo 1: LIGA 
Passo 2: Olho ‘pra fora’ 
Passo 3: olho ‘pra dentro’ 
 
 
 
 
 
SITUAÇÃO 3) Quantos anagramas poderemos ter se as vogais ficarem juntas e as consoantes ficarem 
juntas? 
 
 
 
 
 
 
Agora, ficou fácil resolvermos a questão! Vamos ver? 
 
 
 
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Exemplo13: Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas delas (João e Maria) precisam ficar sem-
pre juntas. De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar? 
(A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56 
 
Mais uma aula já foi, meu povo! Hora do treino agora! Até a próxima! 
 
Beijo no papai e na mamãe, 
PH 
 
13
 Gabarito: letra A 
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Exemplo14: Um cidadão foi abrir o cofre, mas esqueceu a senha de acesso; no entanto, lembrava que na 
senha não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 4, o segundo era impar, o terceiro era me-
nor que 4 e o quarto e último era par. Qual o maior número de tentativas que este cidadão pode fazer, 
no intuito de descobrir a senha? 
(A) 60 (B) 70 (C) 100 (D) 80 (E) 110 
 
Exemplo15: Marcelo vai passar quatro dias na praia e leva em sua bagagem sete camisetas (três camise-
tas brancas diferentes, uma preta, uma amarela, uma vermelha e uma laranja) e quatro bermudas (uma 
preta, uma cinza, uma branca e uma azul). 
De quantos modos distintos Marcelo poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para vestir-se, de 
modo que as peças escolhidas sejam de cores diferentes? 
(A) 14 (B) 17 (C) 24 (D) 26 (E) 28 
 
Exemplo16: Para compor o conselho de saúde de um município, deve ser escolhido um médico dentre 
três candidatos, dois psicólogos dentre 5 candidatos e três assistentes sociais dentre 6 candidatos. O 
número total de escolhas possíveis para o conselho é: 
(A) 540 (B) 600 (C) 16200 (D) 7200 
 
Exemplo17: Uma corrida será disputada por 10 competidores. O pódio será formado pelos cinco primei-
ros colocados, nessa ordem: o 1o, o 2o, o 3o, o 4o, e o 5o. O número de diferentes pódios que podem 
ser formados é igual a: 
(A) 8.358; (B) 15.504; (C) 30.240; 
(D) 320; (E) 1.245. 
 
Exemplo18: Um Hospital dispõe de 8 enfermeiros: 5 homens e 3 mulheres. Para atender os pacientes no 
período da noite é preciso formar um grupo de 5 enfermeiros de modo que sempre participem 3 enfer-
meiros e 2 enfermeiras. Quantos grupos diferentes podemos formar? 
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50 
 
Exemplo19: Dentre 5 enfermeiros, dois serão selecionados para a escala de certo dia. Um para um plan-
tão diurno e outro para o plantão noturno, subsequente. De quantos modos essa escala pode ser feita? 
(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 30 (E) 60 
 
14
 Gabarito: letra A 
15
 Gabarito: letra C 
16
 Gabarito: letra B 
17
 Gabarito: letra C 
18
 Gabarito: letra C 
19
 Gabarito: letra C 
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Exemplo20: O total de anagramas da palavra CONCURSO que começam com a letra C e terminam com a 
letra N é igual a: 
(A) 180 (B) 720 (C) 1260 (D) 360 
 
Exemplo21: Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus quadros. Antônio vai expor 3 
quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em 
linha reta, sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o número de possibili-
dades distintas de montar essa exposição é igual a: 
(A) 5 (B) 12 (C) 24 (D) 6 (E) 15 
 
Exemplo22: Quatro casais amigos compraram oito entradas em um cinema de tal modo que todos senta-
rão em oito poltronas consecutivas de uma mesma fila. Se cada casal sentará junto, o número de manei-
ras distintas de as oito pessoas se acomodarem nas oito poltronas é igual a: 
(A) 236; (B) 384; (C) 408; (D) 512; (E) 680. 
 
 
 
 
20
 Gabarito: letra D 
21
 Gabarito: letra C 
22
 Gabarito: letra B 
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