Exercicios_de_rea_e_estimativa_com_somas_finitas

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292 Cálcu lo 
Exerácios 5.1 
-
Escolhemos as alturas dos retângulos como o maior valor de sen x em cada subin-
tervalo. Em um determinado subintervalo, esse maior valor pode ocorrer na extre-
midade esquerda, na extremidade direita ou em algum ponto entre elas. Calculamos 
sen x nesse ponto para obter a altura do retângulo de uma soma superior. A soma das 
áreas dos retângulos, portanto, estima a área total (Figura 5.7): 
( 
7T '1T 3 '1T '1T '1T 5 '1T 3 '1T 7 7T ) '1T 
A ~ sen8 + sen4 + sen8 + sen2 + sen2 + sen8 + sen4 + sen8 · 8 
~ (0,38 + 0,7 1 + 0,92 + 1 + 1 + 0,92 + 0,71 + 0,38) · ; = (6,02) · ; ~ 2,365. 
Para estimar o valor médio de sen x, dividimos a área estimada por '1T e obtemos a 
aproximação 2,365/'TT ~ 0,753. 
Como usamos uma soma superior para aproximar a área, essa estimativa é 
maior do que o valor médio real de sen x em [O, '1T]. Se usarmos cada vez mais 
retângulos, e cada um ficar cada vez mais estreito, chegaremos mais e mais perto 
do valor médio real. Usando as técnicas abordadas na Seção 5.3, mostraremos que 
o valor médio real é 2/7T ~ 0,64. 
Como anteriormente, poderíamos muito bem ter usado retângulos sob o grá-
fico de y = sen x e calculado uma soma inferior de aproximação, ou poderíamos 
ter usado a regra do ponto médio. Na Seção 5.3, veremos que, em cada caso, as 
aproximações estarão mais próximas da área real se todos os retângulos forem su-
ficientemente estreitos. 
Resumo 
A área sob o gráfico de uma função positiva, a distância percorrida por um 
objeto em movimento que não muda de direção e sentido e o valor médio de uma 
função não negativa ao longo de um intervalo podem ser aproximados por somas 
finitas. Primeiro dividimos os intervalos em subintervalos, tratando a função apro-
priada/ como se ela fosse constante em cada subintervalo. Em seguida, multiplica-
mos a largura de cada subintervalo pelo valor de / em um ponto dentro dele; depois, 
somamos os produtos. Se o intervalo [a, b] for subdividido em n subintervalos de 
larguras iguais Lu = (b- a)/n e se f(ck) for o valor de/ e1n dado ponto ck no k-ésimo 
intervalo, esse processo resultará em uma soma f inita com a seguinte forma: 
f(c 1) Lu + f(c2) Lu + f(c3) Lu + ··· + f(cn) tu. 
As escolhas para ck podem maximizar ou minimizar o valor de f no k-ésimo subin-
tervalo, ou fornecer algum valor intermediário. O verdadeiro valor ficará em algum 
ponto entre as aproximações dadas pelas somas superiores e inferiores. As aproxi-
mações de soma finita que observamos melhoram à medida que consideramos mais 
subintervalos de largura cada vez menor. 
Area 3. f(x) = 1/x entrex= l ex=S. 
Nos Exercícios 1-4, use aproximações finitas para estimar a área 
sob a curva da função, usando 
a. uma soma inferior com dois retângulos de largura igual. 
b. uma soma inferior com quatro retângulos de largura igual. 
e. uma soma superior com dois retângulos de largura igual. 
d. uma soma superior com quatro retângulos de largura igual. 
1. /(x)=x2 entrex=Oex= 1. 
2. f(x)=x3 entrex=Oex= l. 
4. f(x) = 4 - x2 entrex= - 2 ex=2. 
Usando retângulos cujas alturas sejam dadas pelo valor da função 
no ponto médio da base do retângulo (regra do ponto médio), estime 
a área sob as curvas das seguintes funções, utilizando primeiro, dois 
e depois quatro, retângulos. 
5. f(x) = x2 entre x = O ex= 1. 
6. f(x) = x3 entre x = O ex= 1. 
7. /(x) = l /x entrex= l ex=5. 
8. f(x) = 4 - x2 entrex= - 2 ex=2. 
Paulo Henrique
Nota
Resolver os exercícios de 1 a 14.
Distância 
9. Distância percorrida A tabela a seguir mostra a velocidade 
de uma locomotiva em miniatura que se desloca por um trilho 
durante 1 O segundos. Estime a distância percorrida pela mi-
niatura usando 1 O subintervalos de comprimento 1 com 
a. valores na extremidade esquerda. 
b. valores na extremidade direita. 
Tempo Velocidade Tempo Velocidade 
(s) (polis) (s) (pol/s) 
o o 6 1 l 
1 12 7 6 
2 22 8 2 
3 10 9 6 
4 5 10 o 
5 13 
10. Distância percorrida rio acima Você está sentado junto à 
foz de um rio, observando as ondas levarem uma garrafa rio 
acima. Você registra a velocidade da garrafa a cada 5 minu-
tos durante uma hora, obtendo os resultados apresentados na 
tabela a seguir. Que distância, aproximadamente, a garrafa 
percorreu durante essa hora? Faça uma estimativa usando 12 
subintervalos de comprimento 5 co111 
a. valores na extremidade esquerda. 
b. valores na extremidade direita. 
Tempo (min) Velocidade 
(m/s) 
Tempo (min) Velocidade 
(m/s) 
11. 
o 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
1 
1,2 
1,7 
2,0 
1,8 
1,6 
1,4 
35 
40 
45 
50 
55 
60 
1,2 
1,0 
l 8 
' 
1,5 
1,2 
o 
Comprimento de uma estrada Você e um amigo estão pres-
tes a dirigir em um trecho sinuoso de uma estrada de terra em 
um carro cujo velocímetro funciona, mas cujo hodômetro ( con-
tador de quilômetros) está quebrado. Para descobrir a extensão 
desse trecho de estrada, você registra a velocidade do carro a 
intervalos de 1 O segundos, com os resultados apresentados na 
tabela a seguir. Estime o comprimento desse percurso usando 
a. o valor na extremidade esquerda de cada intervalo. 
b. o valor na extren1idade direita de cada intervalo. 
Tempo 
(s) 
Velocidade 
( convertida em 
pés/s) (30 mph 
= 44 pés/s) 
Tempo 
(s) 
Velocidade 
( convertida em 
pés/s) (30 mph = 
44 pés/s) 
o 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
o 
44 
15 
35 
30 
44 
35 
70 
80 
90 
100 
110 
120 
15 
22 
35 
44 
30 
35 
Capítu lo 5 Integração 293 
12. Distância a partir dos dados de velocidade A tabela a seguir 
fornece dados sobre a velocidade de um carro esportivo que ace-
lera de O a 142 milhas/hora em 36 segundos ( 1 O milésimos de 
uma hora). 
Tempo (h) Velocidade 
(mph) 
Tempo (h) Velocidade 
(mph) 
13. 
0,0 
0,001 
0,002 
0,003 
0,004 
0,005 
o 
40 
62 
82 
96 
108 
milhas/hora 
' ' 
160 
1 40 
120 -
100 -
80 
/ - - j 
60 
, ( -
/ 
40 r 
' 
20 -/ 
I 
~r 
-; f 
" ,I 
/ 
0,006 
0,007 
0,008 
0,009 
0,0 l O 
,,,,.. ... 
,..... 
1 
o O ,002 O ,004 O ,006 O ,008 
j 
' . 
0,01 
horas 
116 
125 
132 
137 
142 
a. Use retângulos para estimar a distância que o carro per-
correu durante os 36 segundos decorridos até atingir 142 
milhas/hora. 
b. Aproximadamente quantos segundos o carro levou para 
atingir o ponto médio do caminho? Qual era então a veloci-
dade aproximada do carro? 
Queda livre e resistência do ar Um objeto é solto de um he-
licóptero. O objeto cai cada vez mais rápido, mas sua aceleração 
(taxa de variação da velocidade) diminui com o passar do tempo 
por causa da resistência do ar. A aceleração é 1nedida em pés por 
segundo ao quadrado e registrada a cada segundo durante 5 se-
gundos após o lançamento, como se pode ver na tabela a seguir: 
t O 1 2 3 4 5 
a 32,00 19,41 11,77 7,14 4,33 2,63 
a. Faça uma estimativa superior para o 1nódulo da velocidade 
quando t = 5. 
b. Faça uma estimativa inferior para o módulo da velocidade 
quando t = 5. 
c. Faça uma estimativa superior para a altura da queda quando 
t = 3. 
14. Distância percorrida por um projétil Um objeto é ati ra-
do do nível do mar para cima com uma velocidade inicial de 
400 pés/s. 
a. Supondo que a gravidade seja a única força que atua sobre 
o objeto, superestime sua velocidade depois de 5 segundos. 
Use g = 32 pés/s2 para a aceleração gravitacional. 
b. Faça uma estimativa inferior à altura atingida depois de 5 s.