Aula 5 - Aplicações

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DESCRIÇÃO
Aplicações para as equações diferenciais em sistemas elétricos, mecânicos e físicos e para
transformadas de Laplace.
PROPÓSITO
Apresentar aplicações das equações diferenciais de primeira ordem, de segunda ordem e da
transformada de Laplace em diversos sistemas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
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OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 2
Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
MÓDULO 3
Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
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MÓDULO 1
 Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
DE PRIMEIRA ORDEM
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As equações diferenciais de primeira ordem têm diversas aplicações na Ciência e na
Engenharia.
Neste módulo, apresentaremos aplicações com alguns exemplos em sistemas elétricos,
químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS
DE POTÊNCIA
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser utilizadas, em problemas de sistemas
elétricos, para resolução de circuitos elétricos do tipo RC e do tipo RL.
O circuito RC é o circuito que contém um resistor e um capacitor em série e o circuito RL é o
que possui um resistor e um indutor em série, como podemos ver nas imagens a seguir.
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Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RC
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RL.
CIRCUITO RL
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
v(t) - Ri(t) - L
di ( t )
dt = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, conhecendo a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtemos a função i(t),
que fornece o valor da corrente elétrica em cada instante de tempo. A equação é uma equação
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diferencial linear com coeficientes constantes e não homogênea.
Reescrevendo a equação:
di ( t )
dt +
R
L i(t) =
1
L v(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a expressão de i(t), podemos obter a tensão no indutor pela equação:
vL(t) = L
di ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RC
Para o caso do circuito RC, usamos a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é
obtido pela equação:
v ( t ) - vc ( t )
R = C
dvc ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, podemos obter a
dependência da tensão no capacitor com o tempo, vc(t).
Reescrevendo a equação a ser resolvida:
dvc ( t )
dt +
vc ( t )
RC =
v ( t )
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obtermos a expressão de vc(t), pode ser obtida a corrente da malha i(t) pela equação:
i(t) = C
dvc ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Seja um circuito RC em série com resistência de 200Ω e capacitor de 0,5 F. A tensão é
fornecida através de uma fonte contínua de 50V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente e
a tensão no capacitor após t segundos.
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RESOLUÇÃO
O modelo do circuito RC será dado por:
v ( t ) - vc ( t )
R = C
dvc ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema:
50 - vc ( t )
200 = 0,5
dvc ( t )
dt →
dvc ( t )
dt +
1
100 vc(t) =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo:
dvc ( t )
dt + a(t)dvc(t) = b(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a(t) =
1
100 e b(t) =
1
2
Agora temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp ∫
1
100 dt = e
1
100 t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
∫P(t)b(t)dt = ∫e
1
100 t.
1
2 dt = 50 e
1
100 t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc(t) =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e100t
50 e
1
100 t + k , K real
vc(t) = 50 + ke
-
1
100 t V , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em
t = 0s
, então,
( )
( )
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vc(t) = 0
.
Desse modo,
0 = 50 + k → k = - 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc(t) = 50 1 - e
-
1
100 t A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obtermos a corrente
i(t)
, podemos fazer
i(t) = C
dvc ( t )
dt = 0, 5
dvc ( t )
dt
i(t) = 0,5 50
1
100 e
-
1
100 t = 0,25 e -
1
100 t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
(BALANCEAMENTO)
Vamos exemplificar, agora, a utilização de equações diferencial de primeira ordem na solução
de problemas relacionados a sistemas químicos.
O exemplo prático será relacionado a uma mistura de uma solução ou balanço de massa.
( )
( )
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MISTURA DE SOLUÇÕES (BALANÇO DE
MASSA)
Um problema de mistura de soluções está relacionado com um recipiente de capacidade fixa
em que se mistura uma substância em um líquido. A solução, em dada concentração, entra no
recipiente a uma taxa fixa, e a mistura realizada no interior do tanque sai dele também com
uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada.
 
Imagem: Shutterstock.com
Seja um recipiente de volume VT contendo inicialmente um líquido com volume V e uma
quantidade inicial de substância s0.
A taxa de variação da quantidade de substância no recipiente com o tempo será dada por
ds
dt .
Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, da
substância no tanque:
DS
DT = TE - TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Mas a substância entra no tanque misturada ao líquido, assim:
TE = CQE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que:
c – concentração da substância na mistura de entrada.
QE – Vazão de entrada (volume pelo tempo).
Isso é a taxa de entrada dada pela vazão de entrada do líquido, QE, que é volume pelo tempo
vezes a concentração da substância na mistura de entrada, medida em massa por volume.
Por exemplo, a mistura entra com uma vazão de 20L/min com uma concentração de
substância de 10kg/L. Assim, a taxa de entrada será de 10kg/L · 20L/min = 200kg de
substância por minuto.
De forma semelhante:
TS =
S
V QS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que QS é a vazão de saída da mistura, também medida em volume por tempo.
Repare que a mistura que vai sair terá uma concentração da substância que se encontra no
recipiente. Considere que a substância misturada não muda o volume do líquido.
Por exemplo, no instante de saída encontramos 2.000kg de substância e 10.000L no
recipiente, com uma vazão de saída de 20L/min. Assim, a taxa de saída da substância será:
2000
10000 
KG
L . 20L /MIN = 4KG /MINLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar o caso mais simples em que a vazão de entrada QE é igual à vazãode saída
QS, assim, o volume do líquido V não varia com o tempo.
EXEMPLO 2
Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 200kg de sal. É inserida no recipiente
uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma
taxa fixa de 50L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque
com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no
recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo instante de
tempo. Seja
s(t)
a quantidade de sal, em kg, depois de
t
minutos. Para
t = 0
, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial. Em nosso exemplo, 200kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por 
ds ( t )
dt . Essa taxa será dada pela
diferença entre a taxa de entrada,
TE
, e a taxa de saída,
TS,
do sal no tanque:
ds ( t )
dt = TE - TS
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 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em nosso exemplo, a taxa de entrada seria dada por 0,5kg/L vezes 50L/min, então,
TE = 25kg /min
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, em nosso exemplo de 50L/min, o recipiente
sempre fica com sua capacidade fixa, de 10.000L. Considera-se que o sal não aumenta o
volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/10.000(kg/L), que mede a quantidade de sal no
recipiente pelo volume total vezes a vazão de saída de 50L/min. Assim,
TS = s(t) /200kg /min
ds ( t )
dt = 25 - 
s
200 =
5000 - s
200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim:
ds
5000 - s =
1
200 dt → ∫
ds
5000 - s = ∫
1
200 dt + C, C real
- ln|5000 - s| =
t
200 + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
t = 0
, temos
s = 200kg
- ln|5000 - 200| =
0
200 + C → C = - ln4800
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
- ln|5000 - s| =
t
200 - ln4800
5000 - s = exp ln4800 -
t
200 = 4800 exp -
t
200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
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Então,
s(t) = 5000 - 4800exp -
t
200 , com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que podemos obter a quantidade de sal para qualquer instante
t
. Além disso, podemos até determinar qual a máxima quantidade de sal haverá no recipiente.
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, assim,
smax = 5000kg
.
Vamos, agora, analisar o caso quando as vazões de entrada e de saída são diferentes.
Nesse caso, ocorre uma variação do volume do líquido no tanque dada pela diferença de
vazão:
DV ( T )
DT = QE - QS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que QE e QS são as vazões de entrada e saída, respectivamente, do líquido no tanque,
que está misturado com a substância.
Se QE < QS, o líquido irá aumentar de volume no tanque até transbordar em determinado
instante.
Assim, o volume do líquido usado na taxa de saída da substância varia com o tempo. Esse
volume será solução da equação diferencial 
dV ( t )
dt = QE - QS.
De modo semelhante, a variação da quantidade da substância no recipiente será dada por:
DS
DT = TE - TS = CQE -
S
V QS
( )
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 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a diferença que
V
varia com tempo.
Iremos ver o exemplo da solução desse tipo de problema no Teoria na Prática deste módulo.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS
NEWTONIANOS
Em vários problemas da Física, encontramos soluções por meio de uma equação diferencial de
primeira ordem. Iremos estudar alguns a seguir.
Vamos iniciar por um problema da cinemática relacionado à queda livre com resistência do ar.
QUEDA LIVRE SUJEITA À RESISTÊNCIA DO AR
Na Física, estudamos a segunda Lei de Newton, que relaciona a força, em N, que age em um
objeto de massa m, em kg, e sua aceleração em m/s2, por meio da equação:
→
F = M
→
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas lembre-se de que, enquanto a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao
tempo, a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Desse modo, a
aceleração será a segunda derivada da posição pelo tempo:
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A =
DV ( T )
DT =
D 2S ( T )
DT 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará
sujeito apenas ao seu peso e a aceleração será constante e igual à aceleração da gravidade,
não necessitando de uma equação diferencial para modelar o problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força proporcional a sua
velocidade, assim,
Far = Kv = K
ds(t)
dt
,
K
é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente.
Um objeto em queda livre de massa m, medida em kg, estará sujeito ao peso empurrando o
objeto para baixo e à resistência do ar, contrário ao peso.
FR = P - FAR = MA
MG - K
DS ( T )
DT = M
D 2S ( T )
DT 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que g é aceleração da gravidade.
Assim, conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo. Porém, temos uma
equação diferencial de segunda ordem, que não é objeto deste módulo.
Podemos, então, modelar a velocidade com o tempo:
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MG - KV(T) = M
DV ( T )
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Organizando a equação:
DV ( T )
DT +
K
M V(T) = G
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a
solução:
V(T) =
MG
K 1 - E
-
K
M T M /S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
V(T) =
DS ( T )
DT → S(T) = ∫
T
0V(T) DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
( )
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S(T) = ∫T0
MG
K 1 - E
-
K
M T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
S(T) =
MG
K T -
M
K 1 - E
-
K
M T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Um objeto com massa de 5kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de
proporcionalidade da resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a
velocidade máxima obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade
como 10m/s2.
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
mg - Kv = m
dv
dt →
dv
dt + 0,2 v = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com
dv
dt
+ a(t)v = b(t)
.
( )
[ ( )]
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Então,
a(t) = 0, 2
e
b(t) = 10
. 
Agora, temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp(∫0,2 dt) = e0,2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
∫P(t)b(t)dt = ∫e0,2t10 dt = 50 e0,2t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
v(t) =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e0 , 2t
50e0 , 2t + k , k real
v(t) = 50 + ke - 0 ,2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando t tende ao infinito,a exponencial tenderá a zero e a velocidade chega ao seu valor
máximo de 50m/s2. 
Como o objeto saiu do repouso:
v0=50+ke-0,2.0=0→0=50+k→k=-50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a expressão da velocidade pelo tempo é obtida por:
vt=501-e-0,2tm/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, tratar de um problema relacionado à temperatura, denominado Lei de Newton
do Resfriamento.
( )
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO
Imagine um sólido de determinado material a uma temperatura T_1 colocado em um grande
recipiente cujo líquido tem uma temperatura T_2 > T_1. O líquido irá transmitir calor para a
esfera, que aumentará a sua temperatura.
A equação que regerá a variação da temperatura do sólido será dada por:
1ΜDTDT=T2-T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
Μ=HAMC SEG-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com m sendo a massa do sólido, A sendo a área de contato do sólido com o líquido, c o calor
específico do sólido e h o coeficiente de transmissão de calor por convenção entre o líquido e o
sólido.
O inverso de \mu é denominado de constante de tempo do aquecimento ou desaquecimento.
EXEMPLO 4
Uma esfera com 300 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C.
Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da
esfera após 30 seg.
RESOLUÇÃO
1μdTdt=T2-T→10dTdt=100-TLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
dT100-T=0,1 dt→∫dT100-T=∫0,1 dt
-ln100-T=0,1t+C , C real
100-T=exp-0,1t+C→T=100-expCexp(-0,1t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
T=100-k exp-0,1t, k real positivo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para t=0, temos T=30^0C.
T0=100 –ke-0,1.0=100-k=30→k=70
Tt=100 –70e-0,1t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
T30=100–70e-0,1.30=100–70e-3=96,510C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outros exemplos de aplicações podem ser encontrados nas obras listadas nas referências no
fim do tema.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM CIRCUITO RL EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 20Ω E
INDUTOR DE 2H. A TENSÃO É FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE
CONTÍNUA DE 200V QUE É LIGADA EM T = 0S. DETERMINE A
CORRENTE LIMITE QUE OCORRERÁ NO CIRCUITO.
A) 5A
B) 10A
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
C) 15A
D) 20A
E) 25A
2. UM OBJETO COM MASSA DE 10KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM
AMBIENTE CUJA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA
RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,5NS2/M. O OBJETO SAI DO REPOUSO.
DETERMINE A EXPRESSÃO DA VELOCIDADE, EM FUNÇÃO DO TEMPO,
OBTIDA POR ELE DURANTE SUA QUEDA. CONSIDERE A ACELERAÇÃO
DA GRAVIDADE COMO 10M/S2. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES
ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) vt=501-e-0,1tm/s 
B) vt=1001-e-0,5tm/s 
C) vt=2001-e-0,5tm/s 
D) vt=1001-e-0,05tm/s 
E) vt=2001-e-0,05tm/s 
3. UMA ESFERA COM 500C DE TEMPERATURA É COLOCADA
TOTALMENTE EM UM LÍQUIDO QUE ESTÁ A 1000C. SABENDO QUE A
CONSTANTE DE TEMPO DE AQUECIMENTO VALE 100SEG., DETERMINE
A TEMPERATURA DA ESFERA, EM 0C, APÓS 1 SEG.
A) Entre 60 e 70
B) Entre 70 e 80
C) Entre 80 e 90
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
D) Entre 90 e 100
E) Entre 100 e 110
4. SEJA UM CIRCUITO RC EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 100Ω E
CAPACITOR DE X, MEDIDO EM F. A TENSÃO É FORNECIDA POR MEIO
DE UMA FONTE CONTÍNUA DE 50V LIGADA EM T = 0S. DETERMINE O
VALOR DE X SABENDO QUE APÓS 10S A CORRENTE NO CAPACITOR
VALE 0,5 E-1A.
A) 0,5F
B) 0,4F
C) 0,3F
D) 0,2F
E) 0,1F
5. SEJA UM RECIPIENTE QUE CONTÉM, INICIALMENTE, 1000L DE ÁGUA
E 20KG DE SAL. É INSERIDA NO RECIPIENTE UMA SOLUÇÃO (ÁGUA
SALGADA), COM UMA CONCENTRAÇÃO DE 5KG DE SAL POR LITRO DE
ÁGUA, A UMA TAXA FIXA DE 25L/MIN. ESSA SOLUÇÃO É MISTURADA
COMPLETAMENTE E TEM UMA SAÍDA DO TANQUE COM UMA TAXA DE
25L/MIN. DETERMINE A QUANTIDADE DE SAL QUE PERMANECE NO
RECIPIENTE APÓS 600S DO INÍCIO DO PROCESSO.
A) Entre 801 e 900kg
B) Entre 901 e 1000kg
C) Entre 1001 e 1100kg
D) Entre 1101 e 1200kg
E) Entre 1201 e 1300kg
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
6. EM UM PROBLEMA DE BALANÇO DE MASSA, A VAZÃO DE ENTRADA
E DE SAÍDA É A MESMA. UM RECIPIENTE CONTÉM 2.000L DE UM
LÍQUIDO COM 100KG INICIAIS DE UMA SUBSTÂNCIA. A
CONCENTRAÇÃO DA ENTRADA É DE 10KG/L DE LÍQUIDO. SABE-SE
QUE A CONCENTRAÇÃO DE SUBSTÂNCIA NO RECIPIENTE, 500 MIN
APÓS O INÍCIO DO PROCESSO, É DE 17.910,5KG. DETERMINE A VAZÃO
DE ENTRADA E DE SAÍDA.
A) Entre 9L/min e 10L/min
B) Entre 19L/min e 20L/min
C) Entre 29L/min e 30L/min
D) Entre 39L/min e 40L/min
E) Entre 49L/min e 50L/min
GABARITO
1. Seja um circuito RL em série com resistência de 20Ω e indutor de 2H. A tensão é
fornecida através de uma fonte contínua de 200V que é ligada em t = 0s. Determine a
corrente limite que ocorrerá no circuito.
A alternativa "B " está correta.
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
di(t)dt+RLit=1Lv(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema:
di(t)dt+202it=12200→di(t)dt+10it=100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
ditdt+atit=bt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a(t)=10 e b(t)=100.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Agora, temos que obter o fator integrante:
Pt=exp∫atdt=exp∫10 dt=e10t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
∫Ptbtdt=∫e10t100 dt=10 e10t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
i(t)=1P(t)∫Ptbtdt+k =1e10t10e10t+k , k real
i(t)=10+ke-10tA , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em t=0s, então, i(0)=0. Desse modo,
0=10+k→k=-10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
it=101-e-10tA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando t→∞ temos:
limt→∞it=101-0=10A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 10kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de
proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5Ns2/m. O objeto sai do repouso.
Determine a expressão da velocidade, em função do tempo, obtida por ele durante sua
queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem
horizontal
A alternativa "E " está correta.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
APLICAÇÃO DE EDO PRIMEIRA ORDEM EM
SISTEMAS FÍSICOS
3. Uma esfera com 500C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a
1000C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 100seg., determine a
temperatura da esfera, em 0C, após 1 seg.
A alternativa "C " está correta.
1μdTdt=T2-T→100dTdt=100-T
dT100-T= dt→∫dT100-T=∫ dt
-ln100-T=t-C , C real
100-T=exp-t+C→T=100-expCexp(-t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
T=100-kexp-t, k real positivo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para t = 0, temos T = 50^0C.
T(0)=100–ke-0=100-k=50→k=50
T(t)=100–50e-t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
T(1)=100–50e-10=81,60C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
4. Seja um circuito RC emsérie com resistência de 100Ω e capacitor de x, medido em F.
A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de 50V ligada em t = 0s. Determine
o valor de x sabendo que após 10s a corrente no capacitor vale 0,5 e-1A.
A alternativa "E " está correta.
O modelo do circuito RC será dado por
v(t)-vc(t)R=Cdvc(t)dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema
50-vc(t)100=xdvc(t)dt→dvc(t)dt+1100xvct=12x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
dvctdt+atdvct=bt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então Então a(t)=1100x e b(t)=12x.
Agora tem que se obter o fator integrante
Pt=exp∫atdt=exp∫1100x dt=e1100xt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo agora a integral
∫Ptbtdt=∫e1100xt.12x dt=50 e1100xt 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
vc(t)=1P(t)∫Ptbtdt+k =1e-100xt50 e-100x t+k , k real
vct=50+ke-1100xt V , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em t=0s, então vct=0. Desta forma
0=50+k→k=-50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Então
vct=501-e-1100xtA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a corrente i(t) pode fazer it= Cdvc(t)dt
it=x501100xe-1100xt=0,5 e-1100xt
i10=0,5 e-1100x.10=0,5 e-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
-1100x.10=-1→C=0,1 F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja um recipiente que contém, inicialmente, 1000L de água e 20kg de sal. É inserida
no recipiente uma solução (água salgada), com uma concentração de 5kg de sal por litro
de água, a uma taxa fixa de 25L/min. Essa solução é misturada completamente e tem
uma saída do tanque com uma taxa de 25L/min. Determine a quantidade de sal que
permanece no recipiente após 600s do início do processo.
A alternativa "D " está correta.
dsdt=TE-TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 5kg/L vezes 25L/min, então, T_E=125kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, sendo 25L/min, o recipiente sempre fica com
sua capacidade fixa, de 1.000L. Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/1000(kg/L), que mede a quantidade de sal no
recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de 25 L/min. Assim, T_S=s(t)/40kg/min.
dsdt=125- s40=5000-s40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos
solucionar a equação pelos métodos estudados no módulo.
ds5000-s=140dt→∫ds5000-s=∫140dt+C, C realLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
-ln5000-s=t40+C,C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0, temos s = 20kg
-ln5000-20=040+C→C=-ln4980
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
-ln5000-s=t40-ln 4980
5000-s=exp ln 4980-t40=4980 exp-t40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
st=5000-4980 exp-t40, com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para t = 600 s = 10 min.
Assim,
st=5000-4980 exp-14=1121,57kg
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. Um
recipiente contém 2.000L de um líquido com 100kg iniciais de uma substância. A
concentração da entrada é de 10kg/L de líquido. Sabe-se que a concentração de
substância no recipiente, 500 min após o início do processo, é de 17.910,5kg. Determine
a vazão de entrada e de saída.
A alternativa "A " está correta.
dsdt=TE-TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 10kg/L vezes Q L/min, então, T_E=10Q kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, o recipiente sempre fica com sua capacidade
fixa, de 2.000L.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
A taxa de saída da substância será de s(t)/2000 (kg/L) vezes a vazão de saída de Q L/min.
Assim, T_S=Qs(t)/2000 kg/min.
dsdt=10Q- s Q2000=Q20000-s2000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos
solucionar a equação pelos métodos estudados no módulo.
ds20000-s=Q2000dt→∫ds20000-s=∫Q2000dt+C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
-ln20000-s=Qt2000+C,C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0, temos s = 100kg
-ln20000-100=0+C→C=-ln 19.900
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
-ln20.000-s=Qt2000-ln 19.900
20.000-s=exp ln 19.900-Qt2000=19.900 exp -Qt2000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
st=20.000-19.900 exp-Qt2000, com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para t = 500 min, temos s(10) = 17.910,5.
Assim,
17.910,5=20.000-19.900 exp-Q4
19.900 exp-Q4=2089,5→exp-Q4=0,105
-Q4=ln0,105=-2,25→Q≈9L/min
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um tanque com um volume máximo de 280L que contém inicialmente 10kg de uma
substância dissolvida em um volume de 180L de um líquido. Suponha que a vazão de entrada
no recipiente ocorra a uma taxa de 12L/min, contendo uma concentração de 0,25kg/L da
substância. A mistura é retirada do líquido com uma taxa de 8L/min. Determine a quantidade
de substância no recipiente quando o líquido começar a transbordar.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO EDO PRIMEIRA ORDEM EM
SISTEMAS QUÍMICOS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UM CIRCUITO RC EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 2000 Ω E
CAPACITOR DE 1 F. A TENSÃO É FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTELoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
CONTÍNUA DE 100V LIGADA EM T = 0S. DETERMINE A TENSÃO NO
CAPACITOR APÓS 100 S.
A) 101-e-110A
B) 2001-e-110A
C) 101-e-120A
D) 1001-e-120A
E) 2001-e-1200A
2. UM OBJETO COM MASSA DE 2KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM
AMBIENTE CUJA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA
RESISTÊNCIA DO AR É DE 1NS2/M. O OBJETO SAI DO REPOUSO.
DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA ATINGIDA POR ELE DURANTE SUA
QUEDA. CONSIDERE A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10M/S2.
A) 10m/s
B) 15m/s
C) 20m/s
D) 25m/s
E) 30m/s
GABARITO
1. Seja um circuito RC em série com resistência de 2000 Ω e capacitor de 1 F. A tensão é
fornecida através de uma fonte contínua de 100V ligada em t = 0s. Determine a tensão no
capacitor após 100 s.
A alternativa "D " está correta.
 
O modelo do circuito RC será dado por:
v(t)-vc(t)R=Cdvc(t)dtLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema,
100-vc(t)2000=1dvc(t)dt→dvc(t)dt+12000vct=120
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
dvctdt+atdvct=bt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
a(t)=12000eb(t)=120.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, temos que obtero fator integrante:
Pt=exp∫atdt=exp∫12000 dt=e12000t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
∫Ptbtdt=∫e12000t.120 dt=100 e12000t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc(t)=1P(t)∫Ptbtdt+k =1e2000t100 e12000t+k , k real
vct=100+ke-12000t V , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em t = 0s, então, vct=0. Desse modo,
0=100+k→k=-100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vct=1001-e-12000tA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Assim,
vc100=1001-e-12000100A
vc100=1001-e-120A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 2kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de
proporcionalidade da resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine
a velocidade máxima atingida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da
gravidade como 10m/s2.
A alternativa "C " está correta.
 
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
mg-Kv=mdvdt→dvdt+0,5 v=10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com dvdt+atv=bt.
Então, a(t) = 0,5 e b(t) = 10.
Agora, temos que obter o fator integrante:
Pt=exp∫atdt=exp∫0,5 dt=e0,5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral,
∫Ptbtdt=∫e0,5t10 dt=20 e0,5t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vt=1P(t)∫Ptbtdt+k =1e0,5t20 e0,5t+k , k real
v(t)=20+ke-0,5tm/s , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto t tende ao infinito, a exponencial tende a zero e a velocidade chega em seu valor
máximo de 20m/s.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
MÓDULO 2
 Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
DE SEGUNDA ORDEM
As equações diferenciais de segunda ordem têm diversas aplicações na Ciência e na
Engenharia.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Neste módulo, apresentaremos aplicações, com alguns exemplos, em sistemas elétricos,
químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS
Estudamos a resolução de circuitos elétricos RC e RL por meio de equações diferenciais de
primeira ordem. Quando surgem problemas com circuitos RLC, ou seja, um resistor em série
com capacitor e indutor, a solução irá requerer uma solução de uma equação diferencial de
segunda ordem.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RLC.
Considere que a carga do capacitor no instante t é representada por Q(t), assim, a corrente
elétrica do circuito será dada por:
IT=DQTDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a equação de malha no circuito RLC, teremos:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
LDITDT+RIT+QTC=VT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor da derivada da corrente:
LD2Q(T)DT2+RDQ(T)DT+QTC=VT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem de coeficientes constantes.
Para resolvermos esse problema de valor inicial, necessitamos de duas informações que
normalmente serão o valor da corrente e da carga do capacitor no instante t = 0. Lembre-se de
que i(t) = Q’(t), assim, teremos Q(0) e Q’(0) = i(0).
Se derivarmos a equação diferencial em ambos os lados:
LD3QTDT3+RDIDT+1CDQTDT=V'T
LD2ITDT2+RDITDT+1CIT=V'T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem relacionando a corrente ao tempo.
EXEMPLO 5
Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que R=40Ω,
C=16·10 – 4 F, L=1H e v(t)=50 cos(5t). Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t=0 são
nulas.
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
RESOLUÇÃO
Montando o modelo para carga do capacitor:
Ld2Q(t)dt2+RdQ(t)dt+QtC=vt→d2Qtdt2+40dQtdt+625Qt=50 cos(5t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada:
q''+40q'+625q=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica
k2+40k+625=0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
k=-b±b2-4ac2a=-40±402-4.1.6252=-40±-9002=-20±15j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
qH=ae-20tcos15t+be-20tsen(15t), a e b reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, analisando o termo não homogêneo 50\ cos(5t), vamos tentar uma solução particular do
tipo
m1 sen5t+m2 cos(5t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
qp=m1 sen5t+m2cos5t→qp,=5m1 cos5t-5m2 sen(5t)→
qp,,=-25m1 sen5t-25m2 cos(5t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO (Equação Diferencial Ordinária ) :
-25m1 sen5t-25m2 cos5t+405m1 cos5t-5m2 sen(5t)+
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
+625m1 sen5t+m2cos5t=
=-25m2+200m1+625m2cos5t+-25m1-200m2+625m1sen5t=
=200m1+600m2cos5t+-200m2+600m1sen5t=50 cos(5t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
200m1+600m2=50-200m2+600m1=0→200m1+600. 600200m1=2000m1=50→m1=140
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E m_2=3m_1=\frac{3}{40}
Assim,
Qt=qh+qP=a e-20tcos15t+be-20tsen15t+0,025 sen5t+0,075cos5t, 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a e b são números pertencente aos conjuntos dos números reais.
Mas Q(0)=a+0,075=0→a=-0,075
it=dQ(t)dt=Q't=-20 ae-20tcos15t-15ae-20tsen15t-20be-20tsen15t 
+15be-20tcos15t+0,125cos5t-0,125sen(5t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Q’(0)=-20a+15b+0,125=0→15b=-0,125+20a=-0,125+20.-0,075
15b=1,625→b=0,108
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
Qt=0,075 e-20tcos15t+0,108 e-20tsen15t+0,025 sen5t+0,075cos5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que na expressão existem termos que tendem a zero quando o tempo tende ao
infinito. Esses termos são os multiplicados pelo exponencial.
Quando t tende ao infinito, teremos:
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
QT=0,025 SEN5T+0,075COS5T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que será a própria solução particular e será denominado de solução de estado ou
regime permanente ou solução de estado ou regime estacionário. A solução geral é
denominada solução em estado ou regime transitório.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
Vamos estudar uma aplicação em Mecânica Quântica na solução da equação de Schrödinger
independente do tempo.
A Mecânica Quântica surgiu para analisar o movimento das partículas que, por serem bastante
pequenas, não atendiam à mecânica de Newton, denominada Mecânica Clássica. Nessa linha,
analisamos a equação de Schrödinger que determina a função de onda de uma partícula.
A solução geral que depende do tempo é uma equação diferencial parcial, não sendo assunto
de nosso estudo, assim, iremos analisar a equação que depende apenas da posição x,
independente do tempo, que é resolvida pela solução de uma EDO de segunda ordem.
Seja \varphi\left(x\right) a função de onda que depende da posição x.
A equaçãounidimensional de Schrödinger é dada por:
-H28Π2MD2ΦDX2+VXΦ=EΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
m é a massa da partícula;
E é a energia total da partícula;
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Vx é a energia potencial no ponto x;
h é a constante de Plank que vale aproximadamente 6,626 10-34
Vamos estudar o caso simples com V(x) = 0.
Assim, a equação se transforma:
-H28Π2MD2ΦDX2=EΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Seja uma partícula de massa m. Determine sua função de onda unidimensional, sabendo que
se encontra em uma região com energia potencial nula. Sabe-se, também, que φ0=a e φL=0.
RESOLUÇÃO
Temos que resolver o seguinte modelo:
-h28π2md2φdx2=Eφ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar, vamos substituir \frac{h^2}{8\pi^2m}=\mu, assim,
-μd2φdx2=Eφ→μd2φdx2+Eφ=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
μk2+E=0→k=±-Eμ=±i Eμ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, \varphi=A\ cos\left(\frac{E}{\mu}x\right)+B\ sen\left(\frac{E}{\mu}x\right).
Como \varphi\left(0\right)=a\rightarrow A.1+B.0=a\rightarrow A=aLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Como \varphi\left(L\right)=0\rightarrow a\ cos\left(\frac{E}{\mu}L\right)+B\ sen\left(\frac{E}
{\mu}L\right)=0\rightarrow B=-a\ ctg\left(\frac{E}{\mu}L\right)
Assim,
φx=a cosEμx+-a ctgEμL senEμx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS
Neste item de aplicação de equação do segundo grau em sistemas físicos, realizaremos um
estudo sobre vibrações em um sistema massa-mola.
Seja um objeto de massa m preso na extremidade de uma mola, com constante de elasticidade
k > 0, na vertical. Na outra extremidade, a mola é presa em um ponto fixo no teto. Vide a
imagem ao lado.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Se não tivermos nenhum corpo preso na mola, ela não estará esticada ou comprimida, estará
em seu estado natural. Quando esticamos ou comprimimos a mola, por um espaçamento x
medido em metros, ela apresentará uma força de resistência:
F→=-KX→
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consideremos \vec{x} positivo quando se estica a mola e \vec{x} negativo quando se comprime
a mola. Vamos considerar o primeiro caso de não existir nenhuma resistência ou
amortecimento ou outra força qualquer além da força da mola e do peso do corpo. Esse caso
será denominado de vibrações sem amortecimento.
VIBRAÇÕES SEM AMORTECIMENTO
Ao prendermos um corpo na extremidade da mola, ela estará em equilíbrio estático regido pela
equação:
P→=MG→=KL→→L→=MKG→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a mola estará parada, esticada por um espaçamento \vec{L}.
Vamos, agora, causar um distúrbio, retirando essa mola do seu equilíbrio, esticando ou
comprimindo-a, em relação ao ponto de equilíbrio estático, de \vec{x}.
Assim, a força da mola será, agora:
F→M=-K(X→+L→)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei de Newton nos indica que:
F→R=F→M-P→=MA→=MD2XDT2
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
F→R=-KX=MD2XDT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
MD2XDT2+FR=0
MD2XDT2+KX=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear. O movimento a que o
corpo estará sujeito nessas condições será denominado de Movimento Harmônico Simples.
Nesse caso, por não existir resistência ao movimento, a mola fica comprimindo e esticando
sempre com a mesma amplitude.
EXEMPLO 7
Seja um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k =
128N/m. Um corpo de 6,4kg é preso em sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola
fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é esticada para uma distância total de
0,7m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g = 10m/s2.
RESOLUÇÃO
Repare que no estado de equilíbrio teremos: P→=mg→
=KL→→L→=mKg→=6,4.10128=0,5m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Ao esticarmos a mola 0,7m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. Esse
movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
md2xdt2+Kx=0
2d2xdt2+128x=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
2u2+128=0→u2=-64→u=±8i
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x=m1cos8t+m2sen(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes m1 e m2. A primeira
condição é que x(0) = 0,2 m. Em outras palavras, em t = 0, a mola estará fora do equilíbrio por
um espaçamento de 0,7 – 0,5 = 0,2m. A segunda condição é que largamos a mola em x = 0,2m
do repouso, assim v(0) = x’(0) = 0.
Aplicando as condições de contorno:
x=m1cos8t+m2sen8t→x'=-8m1sen8t+8m2cos(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x(0)=m1=0,2
x’(0)=8m2=0→m2=0
Assim,
xt=0,2cos(8t)
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Observe que o movimento harmônico de vibração acontecerá com uma amplitude de 0,2m, que
é o esticamento extra que foi aplicado.
Vamos, agora, analisar o caso com uma força de resistência ou amortecimento.
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VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO
Considere o caso de se ter uma força de resistência, como o ar, ou um amortecimento por meio
de um dispositivo externo. Essa força de resistência é oposta ao movimento e proporcional à
velocidade, assim,
F→AM=-CV=-CDXDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A constante c é denominada de constante de amortecimento. Agora, seguindo a lei de Newton,
a força resultante será dada pela força da mola extra mais o amortecimento.
F→R=MD2XDT2=MG-KXT-CDXDT
MD2XDT2=MG-K(X+L)-CDXDT
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Considerando que apenas com o corpo m, a mola fica em equilíbrio estático em L, assim, mg =
kL.
MD2XDT2=KL-KX+L-CDXDT=-KX-CDXDT
OU
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MD2XDT2+CDXDT+KX=0
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Que também é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Esse movimento amortecido tem três tipos diferentes.
Veja!
A equação característica da EDO será:
MU2+CU+K=0
U=-C±C2-4MK2M
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CASO 1
SUPERAMORTECIMENTO OU
SOBREAMORTECIMENTO:
C2-4MK>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação dois números reais r_1 e r_2.
Como c, m e k são positivos: c2-4mk<0.
Assim,Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
r1=-c+c2-4mk2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
r2=-c-c2-4mk2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Serão número negativos. Nesse caso, o movimento x será regido pela equação
x=m1er1t+m2er2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá a zero quanto t tender ao infinito e não ocorrerá nenhuma oscilação.
CASO 2
AMORTECIMENTO CRÍTICO:
C2-4MK=0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação um número real:
r1=r1=r=-c2m<0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O movimento x será regido pela equação:
x=m1+m2tert
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá também a zero quando t tende ao infinito, porém, em um tempo de
amortecimento menor do que o caso anterior. Nesse caso, tampouco ocorrerá a oscilação.
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CASO 3
SUBAMORTECIMENTO:
C2-4MK<0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teremos como raízes da equação dois números complexos a+\pm bi.
Com a=\frac{-c}{2m} e b=\frac{\sqrt{4mk-c^2}}{2m}
Nesse caso, o movimento x será regido pela equação:
x=e-c2mt(m1cosbt+m2sen(bt))
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Esse movimento será um movimento oscilatório, porém, com as amplitudes diminuindo com o
tempo. Assim, tenderá também a zero quando t tende ao infinito.
O caso 3 é o único em que existirá oscilação antes da parada total do sistema massa-mola.
EXEMPLO 8
Considere o mesmo sistema massa-mola do exemplo anterior. O sistema agora é retirado do ar
e colocado em um fluido que contém uma constante de amortecimento c = 68. Determine o
movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de equilíbrio x = 0,5m, porém,
com uma velocidade inicial provocada de 0,6m/s.
RESOLUÇÃO
A equação que modelará o sistema será:
md2xdt2+cdxdt+kx=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados:
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2d2xdt2+68dxdt+128x=0
d2xdt2+34dxdt+64x=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica da EDO será:
u2+34u+64=0
u=-34±1156-4.642=-34±302=-32-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, teremos um movimento sobreamortecido com equação:
xt=m1e-32t+m2e-2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando as condições de contorno x(0)=0 e v(0)=x’(0) = 0,6.
x't=-32m1e-32t-2m2e-2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x(0) = m1 + m2 = 0
x’(0) = – 32 m1 – 2 m2 = 0,6
Resolvendo
m2=–m1→-32m1+2m1=0,6→m1=-0,630=-0,02
m2 = – m1 = 0,02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
xt=0,02e-2t-e-32t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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ESSES CASOS SÃO DENOMINADOS
MOVIMENTOS LIVRES, POIS NÃO EXISTE
OUTRA FORÇA AGINDO NO SISTEMA.
Caso haja uma força externa, além da mola e peso, agindo no sistema, denominamos
vibrações forçadas. As vibrações forçadas resultarão em batimentos ou ressonâncias,
conforme ocorrerem ou não amortecimentos. Esse tipo de vibração não será objeto de estudo
deste módulo, mas pode ser encontrado nas obras listadas nas referências no fim do conteúdo.
Outro ponto é que estudamos a mola na vertical, mas o estudo análogo pode ser feito para a
mola na horizontal sobre uma superfície. Outros exemplos de aplicações, além dos que aqui
foram apresentados, também podem ser encontrados nas referências no fim do conteúdo.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM SISTEMA MASSA-MOLA NA VERTICAL PRESO A UM
AMORTECEDOR COM CONSTANTE DE AMORTECIMENTO C = 32. A
MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA DE K E O CORPO PRESO A ELA TEM
MASSA DE 4KG. O SISTEMA ESTÁ EM EQUILÍBRIO COM UM
ESPAÇAMENTO DA MOLA DE 0,4M. APÓS ESTICAR O CORPO E LARGAR
O SISTEMA EM UM ESTICAMENTO DA MOLA TOTAL DE 0,8M, O SISTEMA
ENTRARÁ EM MOVIMENTO. 
 
MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A K SABENDO
QUE O MOVIMENTO SERÁ DO TIPO SUBAMORTECIDO.
A) k = 32
B) k = 64
C) k > 64
D) k < 64Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
E) k < 32
2. SEJA UMA PARTÍCULA DE MASSA M TAL QUE H28Π2M=9. A
PARTÍCULA SE ENCONTRA EM UMA REGIÃO COM ENERGIA POTENCIAL
NULA E UMA ENERGIA TOTAL EM TODOS OS PONTOS IGUAIS A E = 1J.
SABE-SE TAMBÉM QUE Φ0=0 E ΦΠ=4. DETERMINE SUA FUNÇÃO DE
ONDA UNIDIMENSIONAL:
A) φx=833 cos13x
B) φx=833 sen13x
C) φx=8 sen16x
D) φx=8 sen13x
E) φx=8 cos13x
3. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A
CORRENTE ELÉTRICA DE UM CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE
SINAL DADA POR VT=SEN(T). SABE-SE QUE R = 1Ω, C = 1F E L = 2H.
A) it=sent-cos(t)
B) it=-12sent+12cos(t)
C) it=-12sent-12cos(t)
D) it=12sent+12cos(t)
E) it=12sent-12cos(t)
4. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA
ESTÁ PRESA A UM CORPO DE MASSA 2KG E TEM UMA CONSTANTE DE
ELASTICIDADE DE 200N/M. DETERMINE A EQUAÇÃO QUE REGE O
MOVIMENTO. O CORPO É LARGADO COM UMA VELOCIDADE INICIAL DE
1M/S NA POSIÇÃO DE 0,8M. CONSIDERE G = 10M/S^2. 
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 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES
ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) xt=-0,1cos10t+0,4 sen(10t)
B) xt=0,4cos10t-0,1 sen(10t)
C) xt=0,4cos10t+0,4 sen(10t)
D) xt=0,7cos10t+0,1 sen(10t)
E) xt=0,1cos10t+0,7 sen(10t)
5. DETERMINE O VALOR DA CARGA DE UM CAPACITOR Q(T) EM UM
CIRCUITO RLC, SABENDO QUE R=20Ω, C=2·10–3 F, L=1H E V(T)=12V.
SABE-SE QUE A CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA PARA T=0 SÃO
NULAS. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES
ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Qt=-12 e-10tcos20t+6 e-10tsen20t+12
B) Qt=12 e-10tcos20t-6 e-10tsen20t+0,024
C) Qt=-12 e-10tcos20t+6 e-10tsen20t+0,024
D) Qt=-12 e-10tsen(20t)+6 e-10tcos20t+0,024
E) Qt=12 e-20tcos20t+6 e-20tsen20t+12
6. CONSIDERE UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL QUE SE
ENCONTRA DENTRO DE UM FLUIDO COM CONSTANTE DE
AMORTECIMENTO C=16. O CORPO PENDURADO À MOLA TEM PESO DE
40N, E A CONSTANTE DA MOLA É DE 272N/M. DETERMINE O
MOVIMENTO EXECUTADO PELO SISTEMA SABENDO QUE SAI DA
POSIÇÃO DE X = 0,647M, PORÉM, COM UMA VELOCIDADE INICIALLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
PROVOCADA DE 4,6M/S. CONSIDERE G=10M/S^2. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES
ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) xt=e-2t0,5cos8t+0,7 sen(8t)
B) xt=e-2t0,7cos8t+0,5 sen(8t)
C) xt=e-8t0,5cos2t+0,7 sen(2t)
D) xt=e-8t0,5cos2t+0,5 sen(2t)
E) xt=e-2t0,5cos8t-0,7 sen(8t)
GABARITO
1. Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de
amortecimento c = 32. A mola tem constante elástica de k e o corpo preso a ela tem
massa de 4kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4m.
Após esticar o corpo e largar o sistema em um esticamento da mola total de 0,8m, o
sistema entrará em movimento. 
 
Marque a alternativa verdadeira relacionada a k sabendo que o movimento será do tipo
subamortecido.
A alternativa "C " está correta.
A equação que modelará o movimento será:
md2xdt2+cdxdt+kx=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
4d2xdt2+32dxdt+kx=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o movimento ser subamortecido, a equação característica terá raízes complexas.
Assim,Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
c2-4mk<0→322-4.4.k<0→16k>1024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, k > 64.
2. Seja uma partícula de massa m tal que h28π2m=9. A partícula se encontra em uma
região com energia potencial nula e uma energia total em todos os pontos iguais a E =
1J. Sabe-se também que φ0=0 e φπ=4. Determine sua função de onda unidimensional:
A alternativa "B " está correta.
Temos que resolver o seguinte modelo:
-h28π2md2φdx2=Eφ→-9d2φdx2=φ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
9k2+1=0→k=±-19=±i 19=±i13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Assim,
φ=A cos13x+B sen13x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
φ0=0→A.1+B.0=0→A=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
φπ3=4→B sen13π=4→B32=4→B=83=833
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
φx=833 sen13x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito
RLC para uma fonte de sinal dada por vt=sen(t). Sabe-se que R = 1Ω, C = 1F e L = 2H.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
A alternativa "E " está correta.
Montando o modelo apresentado na teoria:
Ld2i(t)dt2+Rdi(t)dt+1Ci(t)=v't
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
2d2i(t)dt2+di(t)dt+it= sent'= cost
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular. Agora, analisando o termo não
homogêneo cos(t), vamos tentar uma solução particular do tipo m1 sent+m2 cos(t)
Se
ip=m1 sent+m2cost→ip,=m1 cost-m2 sen(t)→
ip''=-m1 sent-m2 cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
2d2i(t)dt2+di(t)dt+it=cos(t)
2(-m1 sent-m2 cos(t))+(m1 cost-m2 sen(t))+m1 sent+m2cost=
(-m1-m2) sent+(m1-m2) cost=cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, m1=-m2 e m1=1+m2
Portanto, m1=12 e m2=-12
Assim, a solução particular será a solução em estado estacionário:
it=12sent-12cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de
massa 2kg e tem uma constante de elasticidade de 200N/m. Determine a equação que
rege o movimento. O corpo é largado com uma velocidade inicial de 1m/s na posição de
0,8m. Considere g = 10m/s^2. 
 
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem
horizontal
A alternativa "D " está correta.
No estado de equilíbrio, temos:
P=mg=kL→L=mkg=2.10200=0,1m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,8 m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. O
valor da posição inicial de x = 0,8 – 0,1 = 0,7m. Esse movimento será regido por uma EDO de
segunda ordem dada por:
md2xdt2+kx=0
2d2xdt2+200x=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
2u2+200=0→u2+100=0→u2=-10→u=± 10i
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x=m1cos10t+m2sen(10t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes m_1 e m_2.
A primeira condição é que x(0) = 0,7m. Em outras palavras, em t = 0, a mola estará fora do
equilíbrio por um espaçamento de 0,8 – 0,1 = 0,7m.
A segunda condição é que largamos a mola em x = 0,7m com velocidade 1m/s, assim, v(0) =
x’(0) = 1.
Aplicando as condições de contorno:
x=m1cos10t+m2sen10t→x'=-10m1sen8t+10m2cos(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x(0) = m1 = 0,7
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
x’(0)=10m2=1→m2=0,1
Assim,
xt=0,7cos10t+0,1 sen(10t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC, sabendo que
R=20Ω, C=2·10–3 F, L=1H e v(t)=12V. Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t=0
são nulas. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem
horizontal
A alternativa "C " está correta.
Montando o modelo, apresentado na teoria, para carga do capacitor
Ld2Q(t)dt2+RdQ(t)dt+QtC=vt→d2Qtdt2+20dQtdt+500 Qt=12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada
2q,,+20q,+500q=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica k2+20k+500=0
Então
k=-b±b2-4ac2a=-20±202-4.1.5002=-20±-16002=-10±20j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
qH=a e-10tcos20t+be-10tsen(20t), a e b reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora analisando o termo não homogêneo (12), vamos tentar uma solução particular do tipo m
Se
qp=m→qp,=0 →qp,,=0Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO
0+0+500m=12→m=0,024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Qt=qh+qP=a e-10tcos20t+be-10tsen20t+0,024, a e b reais 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Q(0)=a+12=0→a=-12
it=dQ(t)dt=Q,t=-10 a e-10tcos20 t-20a e-10tsen20t-10be-10tsen20t 
+20be-10tcos20t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Q’(0)=-10a+20b=0→2b=a=-12 →b=-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
Qt=-12 e-10tcos20t+6 e-10tsen20t+0,024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere um sistema massa-mola vertical que se encontra dentro de um fluido com
constante de amortecimento c=16. O corpo pendurado à mola tem peso de 40N, e a
constante da mola é de 272N/m. Determine o movimento executado pelo sistema
sabendo que sai da posição de x = 0,647m, porém, com uma velocidade inicial
provocada de 4,6m/s. Considere g=10m/s^2. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem
horizontal
A alternativa "A " está correta.
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APLICAÇÃO DE EDO SEGUNDA ORDEM EM
SISTEMAS FÍSICOS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um pêndulo simples de comprimento L = 5 m está preso em um ponto fixo no teto segurando
um corpo de massa m. Esse pêndulo é levado a uma posição de α em relação à vertical e é
largado seguindo um movimento de oscilação. Determine a equação do movimento do pêndulo
sabendo que ele é largado com velocidade nula em um ângulo \alpha=0,2\ rd.
Utilize a aproximação de senα = α para ângulos pequenos.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO DA EDO SEGUNDA ORDEM NO
ESTUDO DO PÊNDULO
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A
CORRENTE ELÉTRICA DE UM CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE
SINAL DADA POR VT=COS(T). SABE-SE QUE R = 1Ω, C = 1F E L = 2H.
A) it=sent-cos(t)
B) it=-12sent+12cos(t)
C) it=12sent+12cos(t)
D) it=-12sent-12cos(t)
E) it=12sent-12cos(t)
2. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA
ESTÁ PRESA A UM CORPO DE MASSA 1KG E TEM UMA CONSTANTE DE
ELASTICIDADE DE 100N/M. DETERMINE A EQUAÇÃO QUE REGE O
MOVIMENTO SABENDO QUE O SISTEMA É LARGADO, SEM
VELOCIDADE, DE UMA POSIÇÃO 0,5M. CONSIDERE G = 10M/S^2.
A) xt=0,4 cos(10t)
B) xt=0,4 sen(10t)
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C) xt=0,4cos10t+0,4 sen(10t)
D) xt=0,5 cos(10t)
E) xt=0,5 sen(10t)
GABARITO
1. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito
RLC para uma fonte de sinal dada por vt=cos(t). Sabe-se que R = 1Ω, C = 1F e L = 2H.
A alternativa "C " está correta.
 
Montando o modelo apresentado na teoria:
Ld2i(t)dt2+Rdi(t)dt+1Ci(t)=v'(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
2d2i(t)dt2+di(t)dt+it=cost'= -sen(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário éa própria solução particular.
Agora analisando o termo não homogêneo -sen(t), vamos tentar uma solução particular do tipo
m1 sent+m2 cost.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
ip=m1 sent+m2cost→ip,=m1 cost-m2 sen(t)→
ip,,=-m1 sent-m2 cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
2d2i(t)dt2+di(t)dt+it=-sen(t)
2(-m1 sent-m2 cos(t))+(m1 cost-m2 sen(t))+m1 sent+m2cost=
(-m1-m2) sent+(m1-m2) cost=-sen(t)
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, m1=m2 e m1=1-m2
Portanto, m1=12 e m2=12
A solução particular será a solução em estado estacionário:
it=12sent+12cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de
massa 1kg e tem uma constante de elasticidade de 100N/m. Determine a equação que
rege o movimento sabendo que o sistema é largado, sem velocidade, de uma posição
0,5m. Considere g = 10m/s^2.
A alternativa "A " está correta.
 
No estado de equilíbrio, teremos:
P=mg=kL→L=mkg=1.10100=0,1m
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Ao esticarmos a mola 0,5 m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá um movimento.
O valor da posição inicial de x = 0,5 – 0,1 = 0,4m. Esse movimento será regido por uma EDO
de segunda ordem dada por:
md2xdt2+kx=0
d2xdt2+100x=0
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A equação característica será dada por:
u2+100=0→u2=-10→u=± 10i
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Assim,
x=m1cos10t+m2sen(10t)
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Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes m_1 e m_2.
A primeira condição é que x(0) = 0,4m. Em outras palavras, em t = 0, a mola estará fora do
equilíbrio por um espaçamento de 0,5 – 0,1 = 0,4m.
A segunda condição é que largamos a mola em x = 0,4m do repouso, assim v(0) = x’(0) = 0.
Aplicando as condições de contorno:
x=m1cos10t+m2sen10t→x'=-10m1sen8t+10m2cos(8t)
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x(0) = m1 = 0,4
x’(0)=10m2=0→m2=0
Assim,
xt=0,4 cos(10t)
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MÓDULO 3
 Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
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APLICAÇÕES DA TRANSFORMADAS DE
LAPLACE
A transformada de Laplace tem diversas aplicações na análise de sistemas de controle,
circuitos elétricos, vibrações mecânicas, entre outras. As saídas desses sistemas apresentam
dois tipos de regimes quanto à sua variação com o tempo: transitório e o permanente. Neste
módulo, apresentaremos aplicações da transformada de Laplace na análise de sistemas em
regime transitório e em regime permanente para sistemas de primeira e segunda ordem.
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CONCEITOS INICIAIS
Na busca da melhor solução, usamos modelos que definem o funcionamento de um sistema.
Assim, com o modelo, ao inserirmos uma entrada, obteremos a resposta ou a saída desse
sistema, isso é, o resultado que estamos estudando. Essa resposta, quando analisada no
tempo, consistirá em dois regimes distintos: transitório e permanente.
A RESPOSTA TRANSITÓRIA É AQUELA QUE VAI
DO ESTADO INICIAL ATÉ O ESTADO FINAL. A
RESPOSTA PERMANENTE OU ESTACIONÁRIA É
AQUELA QUE PERMANECE QUANDO O VALOR
DO TEMPO TENDE AO INFINITO.
Na análise de um sistema, utilizamos como entrada alguns sinais de teste que vão examinar o
comportamento desse sistema. Esses sinais normalmente são função senoidal ou cossenoidal,
função degrau unitário, função impulso e função rampa.
Considerando as transformadas de Laplace das funções seno e cosseno, temos:
LSEN AT=AS2+A2 E LCOS AT=SS2+A2
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Vamos, agora, examinar as transformadas de Laplace nas três outras entradas utilizadas para
analisar o sistema.
FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO EM T = A
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FT=UAT=0, T<A1, T≥A
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Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
FS=LFT=∫0∞E-STUA(T)DT=∫0AE-ST.0 DT+∫A∞E-
ST.1 DT=-1SE-STA∞
LUA(T)=E-ASS
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Para o caso de a = 0: \mathcal{L}\left[u_0(t)\right]=\frac{1}{s}
FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO EM T = A
FT=ΔAT-A=0, T≠A1, T=A E ∫-∞∞ΔT-ADT=1Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
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Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Essa função pode ser analisada do seguinte modo:
ΔT=LIMΤ→0DΤ(T) COM DΤT=12Τ, -
Τ<T<Τ0 OUTROS CASOS
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Como:
∫-∞∞ΔT-AG(T)DT=G(A)
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Então,
ℒΔ(T-A)=E-AS
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Para o caso de a = 0: \mathcal{L}\left[\delta\left(t\right)\right]=1
A função impulso também é denominada de Delta de Dirac.
FUNÇÃO RAMPA
FT=RT=0, T<0T, T≥0
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Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
FS=ℒFT=∫0∞E-STR(T)DT=∫0∞E-ST.T DT
ℒFT=-TSE-ST-1S2E-ST0∞=1S2
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ANÁLISE DE SISTEMAS DE PRIMEIRA
ORDEM
Vamos estudar sistemas de primeira ordem pela análise de um circuito elétrico. Considere um
circuito RL, representado na imagem a seguir. Esse circuito pode ser modelado por meio da
seguinte equação diferencial:
DI(T)DT+RLIT=1LV(T)
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Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RL modelado por uma EDO.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
LDI(T)DT+RLIT=L1LV(T)
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SIS+I0+RLIS=1LVS
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Mas i(0) = 0
SIS+RLIS=1LVS→SL+RLIS=1LVS
IS=1LS+RVS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que variando a entrada, obtemos a saída, analisando, assim, o sistema. Veja os
exemplos.
EXEMPLO 9
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por um
degrau de amplitude V.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar que a entrada será um degrau de amplitude V centrado em t = 0. Assim, se
v(t) é um degrau de amplitude V, temos V(s) = \frac{V}{s}.
Desse modo,
Is=1Ls+R Vs=1Ls+RLVs=VL1s+RL1s=VL LRs-LRs+RL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
it=VRL-11s-1s+RL=VRL-11s-VRL-11s+RL=VR(1-e-RLt) , t > 0
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 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero
e cresce exponencialmente até i(t) = \frac{V}{R}.
Portanto, em regime permanente, a saída seria i(t) = \frac{V}{R}
EXEMPLO 10
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em t = 0 por uma
rampa.
RESOLUÇÃO
Vamos, agora, realizar a análise considerando como entrada uma rampa em t = 0.
Assim, V(s) = \frac{1}{s^2}Desse modo,
Is=1Ls+R 1s2=1Ls+RL1s2=1L1s+RL1s2=1L LRs2-L2R2s+L2R2s+RL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
it=1LL-1LRs2-L2R2s+L2R2s+RL=1RL-11s2-LR2L-11s+LR2L-11s+RL
it=1Rt+LR2e-RLt-1, t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero
e no regime permanente o sinal tende a
it=1Rt-LR2≈1Rt.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
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Analise a resposta de um circuito RC para uma entrada impulso de amplitude V centrada em t
= 0.
RESOLUÇÃO
Temos, agora, um circuito RC.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RC modelado por uma EDO.
Esse circuito é modelado pela equação:
v(t)-vc(t)R=Cdvc(t)dt
dvc(t)dt+1RCvct=1RCvt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos que i\left(t\right)=\ C\frac{{dv}_c(t)}{dt}
Nesse caso, a entrada será v(t) e a saída v_c(t) que permite calcular i(t).
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
Ldvc(t)dt+1RCvct=L1RCv(t)
sVcs+vc0+1RCVcs=1RCVs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas v_c(0) = 0
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sVcs+1RCVcs=1RCVs→sRC+1RCIs=1RCVs
Vcs=1RCs+1Vs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude V centrado em t = 0. Assim,
V(s) = V
Vcs=1RCs+1 V=1RCs+1RCV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
vct=VRCL-11s+1RC=VRCe-1RCt. t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta em regime transitório do sistema.
Repare que v_c\left(t\right) começa em \frac{V}{RC} e quando t tende ao infinito v_c\left(t\right)
tenderá a zero.
Caso se deseje analisar a corrente do circuito:
it= Cdvc(t)dt=CVRC-1RCe-1RCt=-VR2Ce-1RCt, t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui foram apresentados exemplos com circuitos elétricos de primeira ordem. Mas qualquer
sistema que apresente um modelo de primeira ordem pode seguir a mesma análise.
SS=1AS+BES
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função que multiplica E(s) para se obter S(s) é denominada de função de transferência do
sistema.
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ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA
ORDEM
Para analisar os sistemas de segunda ordem, vamos ver o exemplo de um sistema massa-
mola presa no teto, ou seja, na vertical. A mola tem constante elástica k. Vamos considerar, no
primeiro caso, um sistema sem amortecimento. Quando o sistema está em equilíbrio estático, o
corpo estará na posição x = 0. Vide a imagem a seguir.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Sistema está em equilíbrio estático.
Para retirar esse sistema do equilíbrio, aplicamos uma força externa g(t) vertical, adicional, no
corpo m. Assim, pela Lei de Newton, podemos modelar a posição do corpo pela equação:
MD2XDT2=MG+GT-K(X-X0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como mg = k x_0
MD2XDT2+KX=GT
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D2XDT2+KMX=1MGT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que começamos a aplicar g(t) em t = 0, assim, para t = 0, tanto a posição
quanto a velocidade são nulas. Em outras palavras, x(0) =x’(0) = 0.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
LD2XDT2+KMX=L1MG(T)
S2XS-SX0-X'0+KMXS=1MG(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como x(0) = x’(0) = 0
S2XS+KMXS=1MG(S)
MS2+KMXS=1MGS→XS=1MS2+KG(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, nossa saída X(s) é determinada pela entrada G(s).
Vamos fazer um exemplo para uma função g(t).
EXEMPLO 12Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Analise um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força g(t) externa,
agindo a partir de t = 0. Considere a força g(t) um impulso unitário aplicado em t = 0.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função impulso unitário em t = 0. Assim, G(s) = 1.
Xs=1ms2+k=1ms2+km=1mmkkms2+km=1mkkms2+km
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
xt=1mkL-1kms2+km=1mksenkmt, t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, nesse caso, as respostas transitória e permanente serão as mesmas, sendo uma
oscilação senoidal.
Vamos, agora, estudar um caso mais complexo, com o sistema apresentando um
amortecimento contrário ao aumento da velocidade. Com uma constante de amortecimento
dada por c, o modelo agora será dado por:
D2XDT2+CMDXDT+KMX=1MGT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
LD2XDT2+CMDXDT+KMX=L1MG(T)
S2XS-SX0-X'(0)+CMSXS-KMX(0)+KMXS=1MG(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como x(0)=x’(0)=0Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
S2XS+CMSXS+KMXS=1MG(S)
MS2+CS+KMXS=1MGS→XS=1MS2+CS+KGS
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O sistema apresentará sobremortecido, amortecimento crítico ou Subamortecimento, quando,
respectivamente, c2-4mk>0, c2-4mk=0 ou c2-4mk<0.
Veja o exemplo.
EXEMPLO 13
Analise um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força g(t) externa,
agindo a partir de t = 0. Considere a força g(t) um degrau unitário. Analise o caso quando,
pelos valores de c e k, o sistema seja subamortecido.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função degrau unitária em t = 0. Assim, G(s) = \frac{1}
{s}.
Xs=1ms2+cs+k 1s=1ms2+cms+km 1s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar o caso do subamortecimento, em que as raízes da equação do segundo grau
serão números complexos conjugados:
s2+cms+km=0→s=-c±c2-4mk2m
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Como c2-4mk<0
s=a±ib 
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Em que a = -\frac{c}{2m} e b = \frac{\sqrt{{4mk-c}^2}}{2m}
Xs=1ms2+cms+km 1s=mks-mks+cks2+cms+km
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Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
xt=mkL-11s-L-1mks+cks2+cms+km
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A primeira inversa é simples: {\frac{m}{k}\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]=\frac{m}{k}
Para o segundo termo, precisamos completar quadrados:
mks+cks2+cms+km=mks+cks2+cms+…+km=mks+cks2+cms+c24m2+km-c24m2=
=mks+cks+c2m2+km-c24m2=mks+cms+c2m2+km-c24m2=
=mks+c2m+c2ms+c2m2+km-c24m2=mks+c2ms+c2m2+km-c24m2+mkc2ms+c2m2+km-c24m2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo é a inversa da função cosseno vezes uma exponencial:
mkL-1s+c2ms+c2m2+km-c24m2=mke-c2mtcoskm-c24m2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos continuar com o segundo termo:
mkc2ms+c2m2+km-c24m2=c2k1km-c24m2km-c24m2s+c2m2+km-c24m2
c2k1km-c24m2L-1km-c24m2s+c2m2+km-c24m2=mkc2k1km-c24m2e-c2mtsenkm-c24m2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, reunindo as informações:
xt=mk1-e-c2mtcoskm-c24m2 t-c2k1km-c24m2e-c2mtsenkm-c24m2t,t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta no regime transitório apresentando uma oscilação amortecida.
Para quando t tende ao infinito x(t) = \frac{m}{k}, sendo a resposta permanente.
Analisamos, neste módulo, os sistemas de segunda ordem relacionados a um sistema de
vibração de molas. Mas qualquer sistema que tenha uma função de transferência de segunda
ordem, isso é:Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
SS=1AS2+BS+CES, A, B E C REAIS
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Podem ser analisados de forma análoga.
Exemplos diferentes dos aqui analisados podem ser encontrados nas obras listadas nas
referências no fim do conteúdo.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A RESPOSTA DE UM CIRCUITO RC PARA UMA ENTRADA
DEGRAU DE AMPLITUDE V CENTRADA EM T = 0.
A) vc=V(1+e-1RCt)
B) vc=V(1-e-1RCt)
C) vc=V(1-e-RCt)
D) vc=V(1-e1RCt)
E) vc=V(1+e-RC t)
2. DETERMINE A SAÍDA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA SEM
AMORTECIMENTO E COM AÇÃO DE UMA FORÇA F(T) EXTERNA,
AGINDO A PARTIR DE T = 0. A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA 50N/M
E O CORPO PRESO A MESMA TEM MASSA DE 10KG. CONSIDERE A
FORÇA F(T) UM IMPULSO DE AMPLITUDE 5.
A) 125cos5 t
B) 125sen5 t
C) 15sen5 tLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
D) 15cos5 t
E) 125sen5 t
3. DETERMINE A SAÍDA DE UM CIRCUITO RL PARA UMA ENTRADA
DADA POR UM IMPULSO DE AMPLITUDE 5V EM T = 0. CONSIDERE R = 1
Ω E L = 1 H.
A) 2t
B) 10e-t
C) 10et
D) 5et
E) 5e-t
4. SEJA UM SISTEMA MODELADO PELA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
SEGUNDA ORDEM COM UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DADA POR
XS=1S2+34S+64 FS
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
ESSE SISTEMA É EXCITADO POR UMA ENTRADA F(T) DEGRAU DE
AMPLITUDE 2 A PARTIR DE T = 0. DETERMINE O VALOR DE X(T).
A) xt=132-120e-2t+1480e-32t
B) xt=132+120e-2t+1240e-32t
C) xt=132-120e-2t-1240e-32t
D) xt=116-120e2t+1480e32t
E) xt=120e2t+1480e32t
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
5. DETERMINE A RESPOSTA TRANSITÓRIA DE UM SISTEMA QUE
APRESENTA UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DADA PELA EQUAÇÃO
IS=1LS+RV(S). ESSE SISTEMA TEM COMO ENTRADA, A PARTIR DE T = 0,
UMA FUNÇÃO V(T) = 2T + U_0(T) PARA T ≥ 0.
A) it=2Rt-2LR2-1R1+e-RLt
B) it=2R-2LR2+1R1-e-RLt
C) it=t+2LR21-e-RLt
D) it=2Rt+2LR2-1R1-e-RLt
E) it=2Rt+2LR2-1R1+e-RLt
6. CONSIDERE UM SISTEMA MASSA-MOLA COM AMORTECIMENTO E
COM AÇÃO DE UMA FORÇA G(T) EXTERNA AGINDO A PARTIR DE T = 0.
ESSE SISTEMA FOI MODELADO POR UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
SEGUNDA ORDEM
D2XDT2+10DXDT+29X=GT
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE
A ROLAGEM HORIZONTAL
CONSIDERE A FORÇA G(T), UM DEGRAU UNITÁRIO E QUE AS
CONDIÇÕES DE CONTORNO SÃO X(0)= X’(0) = 0. DETERMINE A
RESPOSTA TRANSITÓRIA DO SISTEMA:
A) xt=1191+e-5tcos2t+52e-5tsen2t
B) xt=1581+e-5tcos2t-12e-5tsen2t
C) xt=1291-e-5tcos2t-52e-5tsen2t
D) xt=1291-e-5tsen2t-52e-5tcos2t
E) xt=1291-3e-5tcos2t+32e-5tsen2t
GABARITOLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
1. Determine a resposta de um circuito RC para uma entrada degrau de amplitude V
centrada em t = 0.
A alternativa "B " está correta.
Já estudamos na teoria que para um circuito RC temos a função:
Vcs=1RCs+1Vs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um degrau de amplitude V centrado em t = 0. Assim, se
v(t) é um degrau de amplitude V, temos V(s) = \frac{V}{s}
Desse modo,
Vcs=1RCs+1 Vs=1RCs+1RCVs=VRC1s+1RC1s=VRC RCs-RCs+1RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
vct=VL-11s-1s+1RC=VL-11s-VL-11s+1RC=V1-e-1RCt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. A tensão do capacitor inicia
em zero e cresce exponencialmente até V.
Portanto, em regime permanente, a saída seria v_c(t) = V.
2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma
força f(t) externa, agindo a partir de t = 0. A mola tem constante elástica 50N/m e o corpo
preso a mesma tem massa de 10kg. Considere a força f(t) um impulso de amplitude 5.
A alternativa "B " está correta.
Na teoria, já definimos que a função de transferência desse sistema será:
Xs=1ms2+kHs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores do enunciado:
Xs=110s2+50H(s)
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Vamos considerar a entrada como uma função impulso de amplitude 2 em t = 0. Assim, G(s) =
1.
Xs=110s2+50L5δt=110s2+5.5=12155s2+5=1255s2+5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
xt=125L-15s2+5=125sen5 t, t > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a saída de um circuito RL para uma entrada dada por um impulso de
amplitude 5V em t = 0. Considere R = 1 Ω e L = 1 H.
A alternativa "E " está correta.
De acordo com a ED do circuito RL, temos:
di(t)dt+RLit=1Lv(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores do enunciado:
di(t)dt+it=5δ(t)
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Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito, obtemos:
Is=1s+1 ℒ5δt
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Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude V centrado em t = 0. Desse
modo, V(s) =5
Is=1s+1 5=5s+1
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Aplicando a transformada inversa de Laplace:
it=5L-11s+1=5e-t
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4. Seja um sistema modelado pela equação diferencial de segunda ordem com uma
função de transferência dada por
Xs=1s2+34s+64 Fs
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse sistema é excitado por uma entrada f(t) degrau de amplitude 2 a partir de t = 0.
Determine o valor de x(t).
A alternativa "A " está correta.
Xs=1s2+34s+64 F(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar a entrada como uma função degrau de amplitude 2 em t = 0. Assim, F(s) =
\frac{2}{s}.
Xs=1s2+34s+64 2s
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Obtendo as raízes do denominador:
s=-34±342-4.1.642=-34±302=-2-32
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Portanto, será um sistema sobreamortecido.
Xs=1s2+34s+64 2s=1(s+2)(s+32) 2s 
Xs=-130(s+2)+1480(s+32)+ 132s 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
xt=132L-11s-130L-11s+2+1480L-11s+32
xt=132-120e-2t+1480e-32t, t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a resposta transitória de um sistema que apresenta uma função de
transferência dada pela equação Is=1Ls+RV(s). Esse sistema tem como entrada, a partir
de t = 0, uma função v(t) = 2t + u_0(t) para t ≥ 0.
A alternativa "D " está correta.
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APLICAÇÃO DE TRANSFORMADA
LAPLACE EM SISTEMAS DE PRIMEIRA
ORDEM
6. Considere um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força g(t)
externa agindo a partir de t = 0. Esse sistema foi modelado por uma equação diferencial
de segunda ordem
d2xdt2+10dxdt+29x=gt
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Considere a força g(t), um degrau unitário e que as condições de contorno são x(0)=
x’(0)= 0. Determine a resposta transitória do sistema:
A alternativa "C " está correta.
APLICAÇÃO DE TRANSFORMADA
LAPLACE EM SISTEMAS DE SEGUNDA
ORDEM
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um circuito RLC conforme a imagem abaixo.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RLC com Capacitor e Resistência em paralelo.
Deseja-se obter a tensão sobre o capacitor, tendo como entrada no sistema uma função v(t).
Após analisarmos o circuito, verificamos que a função de transferência será dada por:
VCs=1LCs2+1RCs+1LCV(s)
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Determine a resposta do sistema, sabendo que v(t) é uma função rampa que se inicia em t = 0.
Dados: R = 0, 5 Ω, C = 1 F e L = 1 H.
RESOLUÇÃO
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APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SAÍDA DE UM CIRCUITO RL PARA UMA ENTRADA
DADA POR UM IMPULSO DE AMPLITUDE V EM T = 0.
A) VLe-RLt
B) VRe-RLt
C) VLeRLt
D) RLe-LRt
E) VReRLt
2. DETERMINE A SAÍDA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA SEM
AMORTECIMENTO E COM AÇÃO DE UMA FORÇA H(T) EXTERNA,
AGINDO A PARTIR DE T = 0. A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA
100N/M E O CORPO PRESO A ELA TEM MASSA DE 10KG. CONSIDERE A
FORÇA H(T), UM IMPULSO DE AMPLITUDE 2.
A) 110cos10 t
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B) 110sen10 t
C) 1510sen10 t
D) 1510cos10 t
E) 110sen t
GABARITO
1. Determine a saída de um circuito RL para uma entrada dada por um impulso de
amplitude V em t = 0.
A alternativa "A " está correta.
 
Utilizando a EDO de modelagem do circuito RL, temos:
di(t)dt+RLit=1Lv(t)
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Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito obtemos, conforme
estudamos:
Is=1Ls+RVs
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Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude V centrado em t = 0. Desse
modo, V(s)=V
Is=1Ls+R V=1Ls+RLV
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Aplicando a transformada inversa de Laplace:
it=VLL-11s+RL=VLL-11s+RL=VLe-RLt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma
força h(t) externa, agindo a partir de t = 0. A mola tem constante elástica 100N/m e o
corpo preso a ela tem massa de 10kg. Considere a força h(t), um impulso de amplitude 2.
A alternativa "C " está correta.
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Na teoria, já definimos que a função de transferência desse sistema será:
Xs=1ms2+kH(s)
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Substituindo os valores do enunciado:
Xs=110s2+100H(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar a entrada como uma função impulso de amplitude 2 em t = 0. Assim, G(s) =
1.
Xs=110s2+100ℒ2δt=110s2+10.2=21011010s2+10=151010s2+10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
xt=1510L-110s2+10=1510sen10 t, t>0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, nesse caso, só teremos uma resposta permanente, que será uma oscilação
senoidal.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, apresentamos as aplicações de equações diferenciais.
No primeiro módulo, analisamos a aplicação de equações diferenciais de primeira ordem em
sistemas elétricos, químicos e físicos. No segundo, estudamos as aplicações de equações
diferenciais de segunda ordem nesses três tipos de sistemas. Por fim, vimos, no terceiro
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módulo, as aplicações de Transformada de Laplace em regimes transitório e permanente para
sistemas de primeira e segunda ordem.
Assim, esperamos que, ao chegar ao fim deste assunto, você tenha a capacidade de aplicar as
equações diferenciais de primeira e segunda ordem e da Transformada de Laplace em
diversos sistemas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education,
2012. 
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 4. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. 
HALLET, H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. 
KREIDER, D. et al. Introdução à Análise Linear. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: Ao
Livro Técnico, 1983. 
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
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listadas em nossas Referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de CerqueiraLoading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
 CURRÍCULO LATTES
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