Matriz de transformacao linear

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Nota de aula: Matriz de Transformação Linear 
Prof. Rebello out/99 rev. jan/2016 
 
A estratégia didática desta nota de aula será de inverter a abordagem clássica deste tema. 
Vimos nas aulas anteriores o conceito e alguns exemplos de transformação linear. 
Vamos usar um desses exemplos: 
 
𝑇( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = [ −𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 , 4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 ] 
 
Esta mesma transformação poderá ser representada na forma matricial: 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = [ 
−1 1 4
 4 −2 −3
 ] . [ 
𝑥
𝑦 
𝑧
] 
 
Obs.: Note que o resultado, após multiplicação, será apenas o vetor transposto ao anterior. 
Aliás, escrever vetores na forma de coluna é o padrão clássico. 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = [ 
−𝑥 + 𝑦 + 4𝑧
4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧
] 
 
Assim, a matriz de tranformação será: 𝑀 = [ 
−1 1 4
 4 −2 −3
 ] 
 
Veja que precisamos apenas ter muito claro o conceito de multiplicação de matrizes. 
 
 
Outros exemplos: 
Seja 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ −𝑦 , 𝑥 ] Matriz associada: 𝑀 = [ 
0 −1
1 0
 ] 
 
 Seja 𝑇(𝑥, 𝑦) = [ 2𝑥 − 𝑦 ,
𝑥+𝑦
2
 , 3𝑦 ] Matriz associada: 𝑀 = [ 
2 −1
1
2
1
2
0 3
 ] 
 
 
 
 2 
A transformações abordadas até aqui, estão aplicadas na base canônica, por isso, a facilidade de 
identificar a matriz de transformação de forma tão direta. 
Quando a transformação é aplicada dentro do mesmo subespaço chamamos de Operador 
Linear. 
Esse tipo de transformação é muito usado no dia a dia, principalmente nas manipulações de 
imagens no computador. 
Como exemplo, temos a rotação em 2D 
 
 
 [ 
1 0
0 1
 ] − 𝑅 → [ 
cos(𝜃) −sen(𝜃) 
sen(𝜃) cos(𝜃) 
 ] 
 
 Obs.: Componentes dos versores dispostas em colunas 
 
Note que a matriz identidade [ 
1 0
0 1
 ] representa a transformação nula 
 
 
Vejas alguns exemplos de transformações lineares no plano ( Operadores Lineares) 
 
 
Vamos considerar algumas transformações sobre a figura criada no Scilab: “pombo” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Vamos fazer uma rotação com 𝜃 = 𝜋/6 sobre a figura (ave1) no Scilab: 
 
 
 
 
 
Reflexão em y: 
 
 
 
Simetria em relação a origem: 
 
 
 
Cisalhamento (horizontal): 
 
 
 4 
 
 
Ampliação: 
 
 
 
 
 
O mesmo poderá ser feito no espaço tridimensional ( 𝑅3 ): 
 
Rotação no em torno do eixo X: 𝑀 = [ 
1 0 0
0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃
0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 ] 
 
Rotação no em torno do eixo Y: 𝑀 = [ 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃
0 1 0
−𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 ] 
 
Rotação no em torno do eixo Z: 𝑀 = [ 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
0 0 1
 ] 
 
 
Agora, podemos analisar o caso de um objeto descrito numa base 𝛽1 e sofre uma transformação, 
porém, sua imagem é representada numa base 𝛽2. 
 
 
 5 
Matriz Generalizada 
 
Sejam T: V W uma transformção linear, A uma base de V e B uma base de W. Para tornar 
menos abstrato, porém sem perder a generalização, consideraremos a dim V =2 e a dim W = 3. 
 
Assim 𝛽1 = { �⃗� 1, 𝑣 1 } e 𝛽2 = { �⃗� 2, 𝑣 2, �⃗⃗� 2 } 
 
Um vetor 𝑣 de V pode ser escrito como: 
 
 𝑣 = 𝑥1. �⃗� 1 + 𝑦1. 𝑣 1 ou [𝑣 ]𝛽1 = [
𝑥1
𝑦1
] 
 
e sua imagem como: 
 
𝑇( 𝑣 ) = 𝑥2. �⃗� 2 + 𝑦2. 𝑣 2 + 𝑧2. �⃗⃗� 2 ou [𝑇( 𝑣 )]𝛽2 = [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] 
 
 
 
 
Aplicando a transformação na primeira combinação linear, vem: 
 
𝑇( 𝑣 ) = 𝑥1. 𝑇( �⃗� 1 ) + 𝑦1. 𝑇( 𝑣 1 ) 
 
Como conhecemos 𝑇( 𝑣 ) da segunda combinação linear, temos: 
 
 𝑥2. �⃗� 2 + 𝑦2. 𝑣 2 + 𝑧2. �⃗⃗� 2 = 𝑥1. 𝑇( �⃗� 1 ) + 𝑦1. 𝑇( 𝑣 1 ) 
 
Que na forma matricial fica: 
 
[
�⃗� 2 𝑣 2 �⃗⃗� 2
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
] . [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [
𝑇( �⃗� 1) 𝑇( 𝑣 1)
⋮ ⋮
⋮ ⋮
] . [
𝑥1
𝑦1
] 
 
 
 6 
Multiplicando (pela esquerda) toda a equação pela inversa da matriz formada pelos vetores da 
base 𝛽2, temos: 
 
 [
�⃗� 2 𝑣 2 �⃗⃗� 2
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
]
−1
. [
�⃗� 2 𝑣 2 �⃗⃗� 2
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
] . [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [
�⃗� 2 𝑣 2 �⃗⃗� 2
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
]
−1
. [
𝑇( �⃗� 1) 𝑇( 𝑣 1)
⋮ ⋮
⋮ ⋮
] . [
𝑥1
𝑦1
] 
 
 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] . [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [
�⃗� 2 𝑣 2 �⃗⃗� 2
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
]
−1
. [
𝑇( �⃗� 1) 𝑇( 𝑣 1)
⋮ ⋮
⋮ ⋮
] . [
𝑥1
𝑦1
] 
 
Finalmente: [
𝑥2
𝑦2
𝑧2
] = [
�⃗� 2 𝑣 2 �⃗⃗� 2
⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
]
−1
. [
𝑇( �⃗� 1) 𝑇( 𝑣 1)
⋮ ⋮
⋮ ⋮
] . [
𝑥1
𝑦1
] 
 
 
A matriz produto será a Matriz da Transformação T(v) 
 
Obs: Quanto às matrizes acima, a primeira matriz tem nas suas colunas as coordenadas dos 
vetores da base 𝛽2 , enquanto na segunda matriz as colunas são formadas pelas coordenadas das 
imagens dos vetores da base 𝛽1. 
 
Exemplo: 
Determine a matriz da transformação linear T : R3  R2, se 
 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [ 2𝑥 – 𝑦 + 𝑧, 3𝑥 + 𝑦 – 2𝑧] , sendo as bases 𝛽1 = { �⃗� 1 , 𝑣 1 , �⃗⃗� 1 } do R3 e 
𝛽2 = { �⃗� 2, 𝑣 2 } do R2 , onde: 
 
�⃗� 1 = [ 
1
1
1
 ] , 𝑣 1 = [ 
0
1
1
 ] , �⃗⃗� 1 = [ 
0
0
1
 ] e �⃗� 2 = [ 
2
1
 ] , 𝑣 2 = [ 
5
3
 ] 
 
 7 
Pela transformação, temos: 
 
Assim: 𝑇(�⃗� 1) = [ 2, 2 ], 𝑇(𝑣 1) = [ 0, −1 ] , 𝑇(�⃗⃗� 1) = [ 1, −2 ] 
 
 






























1
1
11
2
2
.
212
102
.
31
52
z
y
x
y
x
 
 
 































1
1
1
2
2
.
212
102
.
21
53
z
y
x
y
x
 
 
 
























1
1
1
2
2
.
522
1354
z
y
x
y
x
 
Portanto a matriz da transformação será T = 







522
1354