integrais duplas-coordenadaspolares

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Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis
x = x(u, v)	e	y = y(u, v)
uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa
u = u(x, y)	e	v = v(x, y).
Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos
(3)
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Onde
é o determinante jacobiano de x e y em relação
a u e v, dado por
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por
(4)
e seu jacobiano é dado por
Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:
(5)
Coordenadas Polares
Obtenção da Fórmula
Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e  satisfazem:
Coordenadas Polares
Área A’ do retângulo em D’
Área A do retângulo polar em D
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
dA = dxdy = rdrd
x 2	2 r 2
x 2 y 2
x1	x1 y1	1 r1
V   A(x)dx  .  f (x, y)dydx 	. f (r, )rdrd
Coordenadas Polares
Integral Dupla em D’
Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5).
Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por
(rk cosk , rk sink)
que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em
D’. Assim, a soma de Riemann
é equivalente a
onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.
Coordenadas Polares
Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos
que equivale a integral
dada pela fórmula (5).
Coordenadas Polares
x
y
P(x,y) = P(r,)
r

x
y
Relações: r2 = x2 + y2
 = arctg(y/x) x = r.cos
y = r.sen z = z
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
y
			
			
			
x
r

y
P
y = r sen 
x
x = r cos 
sen  = y/r
P cos  = x/r
r2	= x2 + y2
 = arctg y/x
retang.  polares
polares  retang.
Curvas em Coordenadas Polares
y

2
x
r = f ()
1    2
P
1
r

Regiões em Coordenadas Polares
y
2
x
1
f1	()  r  f2	()
1    2
2
r = f	()
1
r = f	()
R
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
y
x


R
R	= (r
2
k	1	2
2
- r	)( - )/2
r1
r
2
R
k
= [(r1 + r2)/2] (r)
unidade de área:
Rk
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
	
R
 r ()
r ()
2
1
f (r, )rdrd
 f (r, )dA 
Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares
R:    
r1 ()  r  r2	()
Exercícios
Exemplo: Calcular	ex	 y	dydx
2	2
R
R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo.
R = 1
ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE
R
f 2		f 2	1dydx
x	y
Área 
Exemplo:
Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2
abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).
Exercícios
Exercícios
Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y)  0, a integral
nos	dá	o	volume	do	sólido	delimitado	superiormente	pelo
gráfico
de	z	=	f	(x,	y),	região	D
inferiormente	pela	e
lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
Exercícios
Cálculo Áreas de Regiões Planas
Fazendo	f	(x,	y)	=	1,	a	área	da	região	de	integração	D	é dada por:
Exercícios
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Loiuis Leithold. – O cálculo com Geometria Analítica volume 2,
editora HARBRA.
James Stewart. – Cálculo volume 2, editora CENGAGE
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